MASALAH PROGRAM STOKASTIK
CACAH CAMPURAN
TESIS Oleh FARIDAWATY MARPAUNG 067021003/MTSEKOLAH PASCASARJANA
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2008
METODE PENGEMBANGAN PENDEKATAN RATA
RATA SAMPEL UNTUK MENYELESAIKAN
MASALAH PROGRAM STOKASTIK
CACAH CAMPURAN
TESIS
Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam
Program Studi Magister Matematika pada Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera Utara
Oleh
FARIDAWATY MARPAUNG 067021003/MT
SEKOLAH PASCASARJANA
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2008
MENYELESAIKAN MASALAH PROGRAM STOKASTIK CACAH CAMPURAN
Nama Mahasiswa : Faridawaty Marpaung Nomor Pokok : 067021003
Program Studi : Matematika
Menyetujui, Komisi Pembimbing
(Prof. Dr. Herman Mawengkang) (Dr. Saib Suwilo, M.Sc)
Ketua Anggota
Ketua Program Studi, Direktur,
(Prof. Dr. Herman Mawengkang) (Prof. Dr. Ir. T.Chairun Nisa. B,M.Sc)
Telah diuji pada Tanggal 15 Juli 2008
PANITIA PENGUJI TESIS
Ketua : Prof. Dr. Herman Mawengkang Anggota : 1. Dr. Saib Suwilo, M.Sc
2. Drs. Marwan Harahap, M.Eng 3. Drs. Opim Salim S., MIkom. PhD
Penelitian ini mengemukakan atau menjelaskan suatu strategi penyelesaian un-tuk menyelesaikan masalah program integer stokastik dua tahap. Metodologi ini menggunakan ratarata program stokastik melalui sampel, dan pemecahan ratarata masalah melalui sebuah algoritma optimal. Tujuan dari skema ini akan menghasilkan sebuah penyelesaian optimal untuk masalah yang sebenarnya de-ngan pendekatan sebuah eksponensial yang cepat sebagai ukuran sampel yang fix, dijelaskan teknik statistik dan deterministik bounding untuk memvalidasi kualitas dari sebuah calon penyelesaian optimal.
Kata Kunci : Program stokastik, Optimal.
ABSTRACT
This thesis addresses a solution strategy for solving two stage stochastic integer programming problems. The proposed methodology relies on approximation the underlying stochastic program via sampling, and solving the approximate prob-lem via a specialized optimization algorithm. The proposed scheme will produce an optimal solution to the true problem with probability approaching one expo-nentially fast as the sample size increased. For fixed sample size, we described statistical and deterministic bounding techniques to validate the quality of a can-didate optimal solution.
Keywords : Stochastic program, Optimal
Puji dan syukur kehadirat Allah SWT penulis panjatkan atas limpahan rahmat dan karunia-Nya atas terselesaikannya penulisan tesis ini yang berjudul
”Metode Pengembangan pendekatan rata-rata sampel untuk menyele-saikan masalah program stokastik”.
Pada kesempatan ini, penulis menyampaikan ucapakan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:
Bapak Prof. dr. Chaeruddin P. Lubis, DTM&H, Sp.A(K) selaku
Rek-tor Universitas Sumatera Utara yang sudah memberi kesempatan kepada penulis untuk menempuh pendidikan di Universitas Sumatera Utara.
Ibu Prof. Dr. Ir. T. Chairun Nisa B., M.Sc. selaku Direktur Sekolah
Pascasarjana Universitas Sumatera Utara yang sudah memberikan kesempatan kepada penulis untuk mengikuti Program Studi Magister Matematika di Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera Utara.
Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku Ketua Program Studi
Ma-gister Matematika Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera Utara dan selaku Anggota Komisi Pembimbing yang telah membantu dalam penyelesaian tesisi ini.
Bapak Dr. Saib Suwilo, M.Sc. selaku Sekretaris Program Studi Magister
Matematika Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera Utara yang telah mem-berikan motivasi kepada penulis.
Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku Ketua Komisi Pembimbing
yang telah banyak memberikan saran dan bimbingan kepada penulis.
Drs. Marwan Harahap, M.Eng. dan Bapak Drs. Opim Salim S., MIkom. PhD. selaku Pembanding atas segala saran dan masukannya.
Seluruh staf pengajar pada Program Studi Magister Matematika Sekolah
Pas-casarjana Universitas Sumatera Utara yang sudah membimbing dan membantu selama penulis mengenyam pendidikan.
Seluruh keluarga, Ayahanda A.T. Marpaung dan Ibunda T. Siahaan dan adik-adik yang senantiasa mendukung dan mendoakan untuk keberhasilan
penulis dalam menyelesaikan pendidikan ini.
Ibu Darmawaty, S.Pd. dan keluarga yang sudah banyak membantu penulis
dalam menghadapi banyak kesulitan selama menyelesaikan pendidikan ini.
Kepada semua teman-teman serta semua pihak yang tidak dapat disebutkan
satu persatu penulis ucapkan terima kasih atas bantuan dan dorongan yang telah diberikan sehingga penulis dapat menyelesaikan pendidikan tepat waktu. Tidak lupa terima kasih untuk Misiani, SSi. selaku staf Administrasi Program Studi Magister Matematika Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan pelayanan yang baik kepada penulis.
Penulis menyadari tesis ini masih mempunyai kekurangan, namun demikian harapan penulis, semoga tesis ini dapat bermanfaat bagi yang membutuhkannya.
Medan, Juli 2008 Penulis,
Faridawaty Marpaung
Penulis dilahirkan di Medan pada tanggal 30 Oktober 1971, sebagai anak kedua dari tujuh bersaudara dari ayah A.T. Marpaung dan Ibu T. Siahaan. Penulis menamatkan Sekolah Dasar Negeri 060833 Medan pada tahun 1984, Seko-lah Menengah Pertama Negeri 17 Medan pada tahun 1987, SekoSeko-lah Menengah Atas Negeri 4 Medan pada tahun 1990, dan pada tahun 1990 melanjutkan pen-didikan di Universitas Sumatera Utara (USU) Medan, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Jurusan Matematika dan lulus pada tahun 1996. Dari tahun 2002 sampai dengan sekarang penulis menjadi staf pengajar, di Universitas Muhammadiyah Sumatera Utara (UMSU). Pada tahun 2006 penulis mengikuti pendidikan pada Program Studi Magister Matematika Sekolah Pascasarjana Uni-versitas Sumatera Utara.
DAFTAR ISI
Halaman
ABSTRAK . . . i
ABSTRACT . . . ii
KATA PENGANTAR . . . iii
RIWAYAT HIDUP . . . v DAFTAR ISI . . . vi BAB 1 PENDAHULUAN . . . 1 1.1 Latar Belakang . . . 1 1.2 Perumusan Masalah . . . 3 1.3 Tujuan Penelitian . . . 3 1.4 Kontribusi Penelitian . . . 4 1.5 Metodologi Penelitian . . . 4
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA . . . 5
2.1 Pengertian Program Stokastik . . . 5
2.2 Program Stokastik Dua Tahap . . . 8
2.3 Pengertian Dasar Program stokastik Tahap Ganda . . . 12
2.4 Metode Pendekatan Rata-rata Sampel ( PRS ) . . . 21
BAB 3 PENGEMBANGAN RATA-RATA SAMPEL . . . 23
3.1 Tahap Pertama Diskrit . . . 23
3.2 Tahap Pertama Kontinu . . . 25
3.3 Tahap Pertama Kontinu dan Sebaran Diskrit . . . 27
BAB 4 KESIMPULAN . . . 37 DAFTAR PUSTAKA . . . 38
BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Dalam model operasional dan perencanaan diperlukan syarat bilangan cacah pada peubah keputusan. Untuk hal, keputusan peningkatan sumber penghasilan, memiliki faktor seperti harga tetap, perubahan biaya, dan lain-lain menunjukkan model program cacah campuran. Berbagai aplikasi seperti yang muncul dalam skedul, rotasi, lokasi, perencanaan produksi, dan pembelanjaan, menunjukkan model bilangan cacah.
Program stokastik adalah merupakan program matematika, dimana bebe-rapa data yang termuat pada tujuan atau kendala mengandung ketidakpastian yang dicirikan oleh distribusi peluang pada parameter. Dalam persoalan program stokastik adalah membuat sebuah keputusan sekarang dan meminimumkan biaya rata-rata harapan sebagai konsekuensi dari keputusan, paradigma ini dikenal se-bagai model recourse.
Program stokastik cacah campuran adalah cabang program stokastik yang berkaitan dengan program stokastik dimana peubah keputusan meliputi syarat umum. Dalam program stokastik cacah campuran bertujuan mencari non-antisipasi keputusan (disini dan sekarang) yang diprioritaskan untuk mengetahui realisasi peubah acak. Keputusan ini dibutuhkan untuk menjadikan cara menjumlahkan total biaya atau hasil akhir optimal, dan lagi pula berbagai keputusan (termasuk melakukan recourse) dibatasi untuk bilangan cacah. Berbagai macam masalah
program stokastik cacah campuran yang timbul tergantung pada keputusan bi-langan cacah yang dibuat, jarang untuk hasil observasi peubah acak.
Peubah keputusan problem program stokastik dua-tahap dipartisi menjadi dua himpunan. Peubah tahap pertama ditentukan sebelum melakukan realisasi parameter tak pasti. Kemudian, satu kejadian acak yang muncul sendiri, se-lanjutnya, desain atau perbaikan pengawasan operasi dapat berbentuk pilihan, pada biaya pasti, nilai tahap kedua atau peubah recourse. Tujuan deterministik keputusan tahap pertama sedemikian hingga jumlah biaya tahap pertama dan ekspektasi biaya recourse minimum. Formulasi standar dari program stokastik dua tahap sebagai berikut:
min x∈X {g(x) := c T x + E[Q(x, ξ(ω))]} Kendala Ax = b x ∈ RM0 + (1.1)
dengan x adalah keputusan antisipatif tahap pertama yang diambil sebelum peubah acak teramati dan
Q(x, ω) := inf
y∈Y{q T
y : Wy ≥ h − Tx} (1.2)
merupakan nilai optimal dan ξ := (q, T, W, h) menyatakan vektor dari parameter problem tahap kedua. Diandaikan bahwa beberapa (atau semua) komponen ξ acak, ditulis ξ(ω), dan ekspektasi dalam diambil berdasarkan sebaran peluang dari
ξ(ω) yang diandaikan diketahui. Persoalan dengan peubah x ∈ Rn1, membentuk
tahap pertama yang perlu diputuskan sebelum realisasi ξ(ω). Persoalan (1.2) dengan peubah y ∈ Rn2, membentuk recourse untuk keputusan tahap pertama
3
Penelitian ini berkaitan dengan program stokastik dua tahap dengan
re-course fix, yaitu matriks W adalah tertentu (bukan acak) dan peubah rere-course
dipersyaratkan cacah, yaitu Y ⊆ Zn2 dalam (1.2).
Diperlihatkan dalam Schultz, R. (1995) dua sumber kesulitan dalam menye-lesaikan program stokastik dengan recourse cacah adalah:
1. Evaluasi eksak dari ekspektasi biaya recourse. 2. Mengoptimalkan Ekspektasi biaya recourse
Dalam pendekatan yang diajukan, fungsi ekspektasi biaya recourse dalam diganti oleh pendekatan rata-rata sampel dan problem optimisasi terkait disele-saikan dengan memakai algoritma khusus untuk optimisasi tak konveks. Disini dianalisis laju konvergensi dari Pendekatan Ratarata Sampel (PRS) untuk pro-gram stokastik dengan recourse cacah.
1.2 Perumusan Masalah
Untuk menentukan E[Q(x, ξ(ω))] pada persamaan secara eksak sulit di-lakukan sehingga didi-lakukan pendekatan yang baik bagi E[Q(x, ξ(ω))].
1.3 Tujuan Penelitian
Penelitian ini bertujuan untuk mengembangkan metode pendekatan rata-rata sampel untuk menentukan fungsi biaya recourse dalam masalah program stokastik cacah campuran.
1.4 Kontribusi Penelitian
Penelitian ini diharapkan memperolehnya metode pengembangan pendekatan rata-rata sampel untuk menyelesaikan persoalan keputusan dan perencanaan yang mengandung ketidakpastian.
1.5 Metodologi Penelitian
Penelitian ini membahas metode pengembangan pendekatan rata-rata sam-pel untuk memecahkan program stokastik cacah campuran. Sebagai langkah awal pada bab III dibicarakan konsep dasar program stokastik dan program stokastik dua tahap yang bertujuan untuk menggeneralisasi program stokastik dua tahap. Program stokastik dua tahap berisi vektor deterministik. Pada tahap per-tama penyelesaian persoalan rencana awal deterministik akan dibuat. Pemben-tukan rencana awal deterministik dilakukan sebelum kondisi acak dari persoalan ditentukan. Sebuah vector acak pada penyelesaian persoalan yang sesuai digu-nakan untuk merencadigu-nakan kompensasi divergensi, spesifikasi parameter dari per-soalan akan muncul pada tahap kedua. Selanjutnya pada bab III juga dibahas metode Pendekatan Rata-rata Sampel (PRS) yang digunakan pada tahap per-tama bertujuan untuk mengestimasi ekspektasi fungsi nilai E[Q(x, ξ(ω))] oleh fungsi rata-rata sampel N−1PN
n=1Q(x, ξ n)
Pada bagian akhir dibahas Algoritma Branch and Bound yang mengeksploi-tasi sifat struktural dengan mempartisi ruang pencarian sepanjang harga x.
BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Pengertian Program Stokastik
Persoalan keputusan dapat dimodelkan dengan menggunakan program ma-tematika, tujuannya adalah untuk menentukan nilai maksimum atau minimum. Keputusan yang dihasilkan bergantung kepada kendala yang dibatasi oleh sum-ber dana, persyaratan minimum dan lain-lain. Keputusan dinyatakan oleh peubah berupa bilangan cacah atau nonnegatif. Sebagai contoh dari persoalan data ter-masuk biaya perunit, rata-rata produksi, penjualan atau kapasitas.
Andaikan keputusan dinyatakan dengan peubah (x1, x2, . . . , xn). Sebagai
contoh xi menyatakan produksi ke i dari n produk. Bentuk umum program
matematikanya adalah:
max Z = f (x)
Kendala fi(x) ≥ bi, i = 1, 2, . . . , n
x ≥ 0, x ∈ X
(2.1)
dimana X adalah himpunan real non negative.
Program stokastik adalah sebuah nama yang menyatakan program mate-matika yang dapat berupa linear, cacah, cacah campuran, non linear dengan menampilkan elemen stokastik pada data. Sehingga program stokastik dapat dinyatakan bahwa:
a. Pada program matematika deterministik, data adalah bilangan bilangan yang diketahui.
b. Pada program stokastik, data merupakan bilangan tidak pasti yang disajikan sebagai distribusi peluang.
Program stokastik adalah merupakan program matematika, dimana bebe-rapa data yang termuat pada tujuan atau kendala mengandung ketidakpastian, ketidakpastian biasanya dicirikan oleh distribusi peluang pada parameter. Walau-pun ketidakpastian didefinisikan dengan tepat, tetapi pada prakteknya diberikan beberapa scenario yang spesifik dan distribusi peluang gabungan yang cepat.
Ada dua model dalam permasalahan program stokastik, yaitu:
1. Recourse Models (Model Rekursif)
2. Probabilistically Constrained Models (Model Kendala Berpeluang)
Dalam persoalan program stokastik adalah membuat sebuah keputusan seka-rang dan meminimumkan biaya rata-rata harapan sebagai konsekuensi dari kepu-tusan, paradigma ini dikenal sebagai model recourse. Andaikan x adalah vektor keputusan yang diambil, dan y(w) adalah sebuah vektor keputusan yang menya-takan aksi terbaru atau konsekuensi dari x. Himpunan berbeda yang berisi y akan dipilih dari tiap-tiap hasil yang mungkin dari w. Formulasi dua tahapnya adalah
min h1(x) + E[h2(y(w), w)]
Kendala g1(x) ≤ 0, . . . , gm(x) ≤ 0 f1(x, y(w)) ≤ 0, ∀w ∈ W .. . fk(x, y(w)) ≤ 0, ∀w ∈ W x ∈ X, y(w) ∈ Y (2.2)
7
Dimana himpunan kendala f1, f2, . . . , fk menggambarkan hubungan antara
keputusan tahap pertama x dan keputusan tahap kedua y(w). Dicatat bahwa dipersyaratkan tiap-tiap kendala dipenuhi dengan peluang 1, atau untuk setiap
w ∈ W yang mungkin. Fungsi h2merupakan penyelesaian yang sering muncul dari
persoalan matematika. Tidak dibutuhkan untuk membuat korelasi yang berubah-ubah (recourse) untuk keputusan tahap pertama, perlu untuk dibuat korelasi yang terbaik.
Untuk persoalan tahap ganda, pengaruh keputusan sekarang akan ditunggu untuk beberapa ketidakpastian yang diselesaikan kembali (direalisasikan), se-hingga pembuatan keputusan yang lain didasarkan pada apa yang terjadi. Tujuan-nya adalah untuk meminimumkan biaya yang diharapkan dari semua keputusan yang diambil.
Pada beberapa kasus, dapat digunakan suatu model yang lebih tepat untuk mencoba menentukan sebuah keputusan, yang mana keputusan tersebut dijamin oleh himpunan kendala yang akan dipenuhi oleh sebuah peluang tertentu. Model umum dengan kendala berpeluang disebut probabilistically constrained models yang dirumuskan sebagai berikut:
min Z = f (x) Kendala P [g1(x) ≤ 0 . . . gm(x) ≤ 0] ≥ α h1(x) ≤ 0 h2(x) ≤ 0 x ∈ X (2.3)
2.2 Program Stokastik Dua Tahap
Banyak persoalan perencanaan dan manajemen yang mengandung resiko dan ketidakpastian dibahas dengan program stokastik dua tahap. Persoalan stokastik dengan kompensasi dari divergensi pada system dengan kendala mem-punyai aplikasi yang lebih banyak dari pada model program yang lain. Penyele-saian persoalan program stokastik dua tahap berisi vektor deterministik. Pada tahap pertama, penyelesaian persoalan rencana awal deterministik akan dibuat. Pembentukan rencana awal deterministic dilakukan sebelum kondisi acak dari per-soalan ditentukan. Sebuah vektor acak pada penyelesaian perper-soalan yang sesuai digunakan untuk merencanakan kompensasi divergensi, spesifikasi parameter dari persoalan akan muncul pada tahap kedua. Tujuan dari manager pada persoalan di atas adalah meminimum nilai rata-rata yang mana tidak hanya termasuk pe-ngeluaran pada tahap perencanaan pendahuluan tetapi juga pada tahap kedua yang diperlukan untuk mengkompensasi pada divergensi di dalam system kendala persoalan. Jika persoalan program stokastik dengan model dua tahap dapat di-selesaikan maka pemilihan dari rencana awal deterministic akan menjamin keber-adaan (ekstensi) vektor acak di dalam kompensasi untuk sistem yang divergen.
Andaikan terdapat persoalan berikut:
min(C, X) (2.4)
A0X = B0 (2.5)
AX = B (2.6)
9 Dimana: C = {cj}, j = 1, 2, . . . , m B = {bi}, i = 1, 2, . . . , m B0 = {b0 k}, k = 1, 2, . . . , m A0 = {a0 kj}, k = 1, 2, . . . , m, j = 1, 2, . . . , n A = {aij}, i = 1, 2, . . . , m, j = 1, 2, . . . , n
Andaikan elemen dari matriks A = A(ω), vektor B = B(ω) dan C = C(ω) bernilai acak. Maka untuk proses penyelesaian dari persoalan (3.4-3.7) akan diba-has menjadi dua tahap, sebelum pengamatan dari parameter acak pada kondisi dari tahap pertama dipilih rencana non-negative deterministik X0 yang memenuhi kondisi (3.5) pada tahap kedua ditentukan spesifikasi ω0 dari setiap kejadian acak yang bersamaan sesuai dengan nilai A(ω0) dan B(ω0). Hitung divergensi
B(ω0)A(ω0)X0 yang muncul pada kondisi (3.6) setelah realisasi ω0 ∈ Ω. Definisi-kan vektor kompensasi divergensi Y ≥ 0 yang sesuai dengan hubungan berikut:
D(ω0)Y (ω0) = B(ω0)A(ω0)X0 (2.8)
Dimana D = kdilk, i = 1, 2, . . . , m; l = 1, 2, . . . , n1 adalah sebuah matriks
kompensasi yang berisi elemen acak. Sehingga diasumsikan bahwa realisasi acak
ω yang diamati pada tahap kedua tidak bergantung pada pemilihan rencana
pen-dahuluan X0.
Perhatikan persoalan program matematika berikut : Tentukan vektor X berdimensi n dan vektor Y (ω) berdimensi n1, ω ∈ Ω. Yang menghasilkan
min
Dengan kendala
A0X = B0 (2.10)
A(ω)X + D(ω)Y = B(ω), ω ∈ Ω (2.11)
X ≥ 0, Y (ω) ≥ 0 (2.12)
H adalah vektor penalty yang bergantung pada nilai komponen dari vektor Y (ω) yang mana merupakan kompensasi divergensi. E adalah notasi ekspekstasi
matematika setelah ditentukan rencana awal X0, dipilih komponen vektor Y (ω) dengan cara menjamin penalty minimum untuk konpensasi divergensi pada kon-disi dari persoalan. Dengan kata lain, setelah ditentukan vektor X0, perlu penye-lesaian persoalan
{min
Y (H, Y (ω))|D(ω)Y (ω) = B(ω)A(ω)X, Y (ω) ≥ 0} (2.13)
Persoalan (2.13) akan mempunyai banyak rencana, vektor Y (ω) tidak dapat ditentukan pada tiap ω ∈ Ω yang menjamin penemuan kondisi (2.11). Persoalan (2.9)-(2.12) dikenal sebagai persoalan program stokastik dua tahap dan persoalan tahap kedua.
Model dan pendekatan dari penyelesaian persoalan program stokastik dua tahap dapat digunakan untuk perspektif perencanaan dan operasional manaje-men, karena selalu terdapat keacakan yang mempengaruhi yang sudah diren-canakan pada system manajemen (pelaksanaan). Model dua tahap juga kurang sensitive terhadap perubahan pada parameter dari kondisi persoalan, yang menye-babkan lebih stabil. Akibatnya vektor dapat diterima untuk rencana tahap per-tama yang diperlukan untuk setiap ω ∈ Ω, terdapat vektor Y ≥ 0 sedemikian
11
hingga.
D(ω)Y (ω) = B(ω)A(ω)X (2.14)
Andaikan kendala tambahan yang disebutkan secara implicit pada (2.14) muncul pada tahap kedua dari persoalan yang dihasilkan; dan andaikan kondisi yang ditentukan pada vektor non-negatif X dari persamaan (2.10) sudah diten-tukan.
Andaikan himpunan K1 = {X : A0 = B0, X ≥ 0} didefinisikan oleh
kendala yang sudah ditentukan tetapi K2 = {X : ∀ω ∈ Ω, ∃Y ≥ 0, A(ω)X =
B(ω)D(ω)Y (ω)} didefinisikan oleh kendala yang dihasilkan. Maka himpunan
K = K1 ∩ K2 adalah himpunan vektor X yang layak memenuhi persoalan
(2.9)-(2.12). Jika X ∈ K, maka vektor X memenuhi kendala yang sudah ditentukan
A0X = B, X ≥ 0 dan sampai itu, persoalan tahap kedua (2.6) akan memiliki
banyak rencana.
Untuk perhitungan lanjutan diperlukan hasil berikut:
Teorema 1 Himpunan K dengan vektor X pada persoalan program stokastik dua
tahap adalah konveks.
Bukti : K = K1 ∩ K2 tetapi K1 = {X : A0 = B0, X ≥ 0} adalah konveks.
Didefinisikan untuk ω ∈ Ω yang ditentukan pada himpunan K2ω = {X|∃Y (ω) ≥
0} sedemikian hingga A(ω)X = B(ω)D(ω)Y (ω) adalah konveks. Hal ini menya-takan bahwa K2 = ∪ω∈ΩK2ω dan K = K1∩ K2 adalah himpunan konveks sebagai
2.3 Pengertian Dasar Program stokastik Tahap Ganda
Persoalan program stokastik dinamik digeneralisasi oleh kasus dua tahap. Banyak persoalan praktis yang berupa perencanaan, perencanaan dan manajemen tidak dapat digambarkan dengan bantuan model statis. Untuk model bertujuan, metode program stokastik tahap ganda seringkali digunakan. Model program stokastik tahap ganda dan metode untuk realisasi secukupnya bergantung pada informasi mengenai nilai parameter di dalam kondisi persoalan, dimana memiliki waktu untuk membuat keputusan selanjutnya. Persoalan dinamik dari tiap-tiap tahap berurutan disyaratkan untuk melengkapi kompensasi divergensi yang dikon-disikan realisasi persoalan dan oleh pembuatan keputusan tercepat dari tahap se-belumnya. Pada masalah yang lain, disyaratkan bahwa tiap-tiap tahap peluang yang memenuhi kendala tidak melebihi nilai tertentu yang diberikan sebelumnya atas ekspektasi matematika pada fungsi dari divergensi di dalam kondisi yang dibatasi oleh bilangan yang diberikan atau nilai dari fungsi pada parameter acak yang direalisasikan pada tahap sebelumnya.
Persoalan dinamik akan memiliki salah satu bentuk yaitu : tidak dapat dikondisikan, kondisi probabilitas atau kendala statistik. Untuk persoalan di-namik dengan kendala tidak dapat dikondisikan, karateristik keputusan adalah membuat pada basis informasi mengenai distribusi yang dikombinasikan oleh pa-rameter acak dari kondisi pada semua tahap.
Pada persoalan dinamik dengan kondisi dua kasus kendala dapat dibedakan menjadi : (a) momen pembuatan keputusan hanya realisasi dari parameter acak pada tahap sebelumnya yang diperkirakan diketahui dan (b) momen pembuatan keputusan melengkapi informasi yang tersedia mengenai realisasi parameter acak
13
yang dinyatakan dengan tahapan, tetapi nilai dari parameter acak pada tahapan berurutan tidak diketahui.
Penyelesaian optimal untuk persoalan program stokastik dinamik dapat diper-oleh dengan strategi murni atau campuran. Pada komponen kasus akhir dari pe-nyelesaian atau karateristik statistic dari distibusi yang memberikan pepe-nyelesaian akan bergantung pada nilai parameter acak di dalam kondisi persoalan, yang direalisasikan oleh momen pembuatan keputusan
Untuk perhitungan selanjutnya dalam analisis persoalan program stokastik tahap ganda, didefinisikan konsep yang diberikan berikut ini. Andaikan terdapat tahap ke-i yaitu Ωi, i = 0, 1, . . . , n untuk beberapa ruang kejadian elementer ωi,
dimana Ωi berisi satu elemen Ω0. Andaikan Ωk adalah descartian product Ωi ,
i = 1, 2, . . . , k : ωk = (ω
1, . . . , ωk); Ωn= Ω dan andaikan pada Ω diberikan ukuran
probabilistic p yang didefinisikan dengan cara : jika A ⊂ Ωk maka pk(A) =
p(A × Ωk+1 × · · · × Ωn). Diperkenalkan ruang probabilistic (Ω, Σ, P ) dengan Σ
berkaitan dengan σ-algebra, definisikan Pk sebagai kondisi ukuran probabilistik
pada Ωk
Pk(A|ωk−1∈ B) =
Pk(A × B)
Pk(Ωk × B)
Untuk sembarang A ⊂ Ωk, B ⊂ Ωk−1
Xk dinyatakan sebagai descartian product X
i, untuk setiap i = 1, 2, . . . , k
dan Xk = (x
i, . . . , xk) ∈ Xk, Xk ∼ X dimana X0, X1, . . . , Xn adalah barisan
himpunan dari struktur sembarang Xk ∈ χk, k = 0, 1, . . . , n dan himpunan X
Andaikan mk diberikan sebagai fungsi vektor pada ϕk(ωk, Xk) berdimensi
untuk setiap ωk ∈ Ωk, Xk ∈ Xk, k = 1, 2, . . . , n dan juga untuk setiap ω ∈ Ω pada
himpunan X fungsi ϕ0(ωn, Xn). Masukkan himpunan acak G0k = G 0 k(ω
k) dan
bk(ωk−1)mk fungsi vektor Bk dinyatakan sebagai ruang Banach yang termasuk
pada fungsi vektor berdimensi bk(ωk)
Pk
i=1mi. Akhirnya, Eωk(U (ω
k)|ωk−1)
me-nyatakan kondisi ekspektasi matematika U (ωk) dibawah perkiraan realisasi ωk−1
yang diketahui.
Andaikan dibahas model berbeda pada persoalan program stokastik tahap ganda dengan menggunakan notasi yang diperkenalkan diatas.
Andaikan terdapat persoalan program stokastik tahap ganda:
Eϕ0 = (ω n , Xn) → inf (2.15) Eϕ0 = (ω k , Xk) ≥ bk (2.16) Xk ∈ Gk, k = 1, 2, . . . , n (2.17)
Untuk memformulasikan persoalan secara lengkap, diperlukan titik luar apa-bila kendala yang tidak dapat dikondisikan atau kondisional, apakah penyelesaian persoalan ditentukan dengan strategi murni atau strategi campuran, dan didalam kelas fungsi yang terukur atau distribusi yang akan mendapatkan penyelesaian. Persoalan praktisnya akan bergantung pada makna isi, penyelesaian pada tiap-tiap tahap dapat dihitung sebagai vektor deterministic atau sebagai rule-function pada penyelesaian dari realisasi dan parameter acak yang diobservasi dari kondisi, atau sebagai distribusi menentukan distribusi kontinu Xk dengan perkiraan
infor-masi yang diperlukan mengenai nilai yang direalisasikan data initial acak yang diperoleh model konkrit untuk persoalan dan struktur informasinya ditentukan
15
oleh keputusan selanjutnya. Didalam syarat-syarat yang diajukan oleh Ermolyev (1970), hasil-hasil persoalan stokastik tahap ganda dari rangkaian tipe.
- Pengamatan - keputusan - pengamatan - · · · - keputusan Keputusan - pengamatan - keputusan - · · · - keputusan
Andaikan dibahas bermacam-macam model persoalan program stokastik tahap ganda yang menggunakan klasifikasi yang diberikan oleh Judin (1972). Persoalan stokastik tahap ganda dengan kendala yang tidak dapat dikondisikan adalah Z Ωn×Xn ϕn(ωn, Xn)dFωn,Xn→inf (2.18) Z ΩkXk ϕk(ωk, Xk)dFωk,Xk (2.19) Xk ∈ Gk, k = 1, 2, . . . , n (2.20)
Pemilihan beberapa kelas yang paling menarik untuk aplikasi dari sejumlah struktur informasi yang merupakan persyaratan persoalan program tahap ganda dengan kendala kondisional. Model kongkrit dari (2.15)-(2.17) pada kasus per-soalan dengan kendala kondisional, diselesaikan dengan strategi campuran adalah:
Z Ωn×Xn ϕ0(ωn, Xn)dFωn,Xn→inf (2.21) Z ΩkXk ϕk(ωk, Xk)dFωk|ωdFωk|ωk−1 ≥ bk(ωk−1) (2.22) Xk ∈ Gk(ωk), k = 1, 2, . . . , n (2.23)
Penyelesaian persoalan akan menjadi himpunan fungsi distribusi FXk|ωk.
Biasanya untuk mengatakan persoalan diselesaikan dengan distribusi yang diten-tukan kemudian jika FXk|ωk didefinisikan setelah realisasi dan pengamatan
ωk. Dikatakan bahwa persoalan yang diselesaikan dengan distribusi yang
diten-tukan sebelumnya, jika FXk|ωk didefinisikan setelah realisasi dan pengamatan X
k−1
tetapi sebelum pengamatan ωk, distribusi yang ditentukan sebelumnya
bergan-tung pada Xk−1 dan ωk−1.
Jika persoalan tahap ganda dengan kendala kondisional diselesaikan dengan strategi murni, model konkrit (2.15)-(2.17) akan menjadi
Z Ωn×Xn ϕ(ωn, Xn)dFωn→inf (2.24) Z ΩkXk ϕk(ωk, Xk)dFωk|ωk−1 ≥ bk(ωk−1 (2.25) Xk ∈ Gk(ωk), k = 1, 2, . . . , n (2.26)
Fungsi Xk dari parameter acak yang direalisasikan dan diamati pada kondisi
dari persoalan penyelesaian. Persoalan diselesaikan dengan aturan yang diten-tukan kemudian jika keputusan dibuat setelah realisasi dan pengamatan ωk.
Aturan-aturan yang ditentukan kemudian untuk penyelesaian sedemikian hingga Xk = Xk(ωk). Dikatakan bahwa persoalan diselesaikan dengan aturan yang ditentukan sebelumnya jika keputusan dibuat setelah realisasi dan penga-matan ωk−1, tetapi sebelum pengamatan ωk. Pada kasus aturan sebelumnya:
Xk = Xk = (ωk−1)
Biasanya, persoalan (2.21)-(2.23) atau (2.24)-(2.26) dikenal sebagai per-soalan stokastik tahap ganda dengan rigid model, jika kondisi (2.22) atau (2.25) tidak dihadirkan, keputusan tiap-tiap tahap dibuat setelah observasi kondisi dan keputusan pada tahap sebelumnya.
17
Relasi tertentu yang dimiliki antara determinasi domain untuk persoalan dengan kendala yang tidak dapat dikondisikan dan kendala yang dapat dikon-disikan. Pernyataan berikut akan menggeneralisasi hasil yang diperoleh, yang telah dikerjakan oleh Eisner (1971) untuk persoalan stokastik tahap ganda parsial linear. Pernyataan yang berikut diambil dari Judin (1974)
Andaikan U adalah himpunan penyelesaian yang layak untuk persoalan stokastik tahap ganda dengan kendala yang tidak dapat dikondisikan
U = {Xk ∈ Gi × · · · × Gn|Eϕk(ωk, Xk) ≥ bk, k = 1, 2, ×, n}
Dan V [bn(ωn−1] adalah himpunan penyelesaian (aturan penyelesaian, distribusi
sebelum atau sesudah penyelesaian) pada persoalan dengan kendala kondisional.
Teorema 2 Himpunan U dan V adalah terhubung oleh relasi
U = {Xk ∈ V [˜bn(ωn−1)]|E˜bk(ωn−1) = bk, k = 1, 2, ×, n}
Bukti :
˜
V = {Xk ∈ V [˜bn(ωn−1)]|E˜bk(ωn−1) = bk, k = 1, 2, ×, n}. Andaikan Xn ∈ ˜V .
Yang menyatakan bahwa
Eωkϕk(ωk, Xk) = Eωk−1{Eωkϕk(ωk, Xk)|omegak−1}
≥ Eωk−1˜bk(ωk−1) = bk; k = 1, 2, . . . , n
Karena Xn ∈ U . Andaikan Xn ∈ U , didefinisikan ˜bk(ωk−1
) = Eωk{ωk(ωk, Xk)|ωk−1+ bkEωkϕk(ωk, Xk)}
Dengan definisi ˜bk(ωn−1) didapatkan Eωk1˜bk(ωk−1). Sehingga Xn ∈ ˜V .
Akibat. Dengan fungsi sama ϕk(ωk, Xk) dan himpunan Gk, k = 1, 2, . . . , n
do-main penyelesaian layak dari persoalan (2.18)-(2.20) dan (2.21)-(2.23) atau (2.24)-(2.26) (bergantung pada persoalan yang diselesaikan dengan strategi campuran atau strategi murni) bersamaan bentuknya jika dan hanya jika Ebk(ωk−1) = bk.
Pernyataan diatas menyebabkan kemungkinan untuk memformulasi ulang hasil kualitatif dan seringkali juga menghitung metode yang dikerjakan untuk persoalan kelas lain.
Relasi antara distribusi penyelesaian dan aturan penyelesaian sangat menarik. Jika fungsi ϕ0 adalah konveks dan komponen fungsi vektor ϕk adalah konkaf pada
X dengan tiap-tiap ω, maka nilai optimal dari fungsi objektif yang dicapai pada
distribusi penyelesaian dapat dicapai juga dengan aturan penyelesaian. Konveksi-tas dari ω0 dan ωk tidak menghabiskan kondisi dengan strategi optimal murni dan
strategi campuran yang didefinisikan menyatu dan nilai sama dari fungsi tujuan. Nilai fungsi tujuan untuk aturan optimal sebelumnya pada persoalan stokastik tahap ganda di dalam rigid model dengan nilai fungsi tujuan didistribusi penye-lesaian optimal sebelumnya.
Pernyataan lebih tegas untuk aturan penyelesaian sesudahnya dan distribusi penyelesaian diberikan berikut.
Teorema 3 (a). Andaikan ukuran probabilistik Fω didalam Ω = Ωn adalah
kon-tinu (b) andaikan terdapat fungsi positif G(ω) dan Gk(ωk) berkendala atas menurut
19
optimal sesudahnya untuk persoalan stokastik tahap ganda didefinisikan oleh nilai yang sama pada fungsi tujuan sebagai distribusi penyelesaian optimal sesudahnya.
Teorema 2.3 untuk persoalan stokastik satu tahap telah dibuktikan oleh Judin (1972).
Persoalan program stokastik tahap ganda dengan kendala kondisional da-pat didistribusikan untuk system persamaan yang memenuhi pemisahan tahapan. Andaikan akan dibahas persoalan (2.24)-(2.26) yang diselesaikan dengan strategi murni ( dengan penyelesaian sebelum aturan penyelesaian sesudahnya )
Untuk definisi domain pada persoalan tahap ke-I berkaitan dengan him-punan:
Ki ={Xi ∈ G0|∃{yi+1 ∈ G0i+1, . . . , yn∈ G0n}}
Eωi[ϕi(ωi, Xi)|wi−1] ≥ bi(ωi−1)
Eωi+s[ϕi(ωi+s, XI, yi+1,...,y i+s)|w i+s−1 ] ≥ bi+s(ωi+s−1) (2.27) Jika ∀ωi+s−1, . . . , ωn−1, s = 1, 2, . . . , n − i G0
i menyatakan proyeksi Giterhadap hyper-plane dari koordinat yang
didefin-isikan oleh komponen vektor Xi. Persyaratan keberadaan dari vektor yi+s, s =
1, 2, . . . , n − i yang memenuhi kondisi (2.27) adalah ekivalen terhadap keberadaan kendala di dalam persoalan dua tahap. Kondisi cukup dan perlu untuk menye-lesaikan persoalan (2.24)-(2.26) adalah kondisi Ki 6= Φ (fungsi objektif (2.24)
Fungsi tujuan dari persoalan Qi(Xi) pada tahap ke i mengatakan kondisional
ekspektasi matematika ϕ0(ωn, Xn) pada asumsi senua tahapan sebelum tahap
ke i, himpunan ωi−1 merupakan parameter yang direalisasikan dengan kondisi
persoalan dan komponen keputusan himpunan Xi−1, dan sesudah tahapan ke i
keputusan optimal berikutnya : X∗
i+1, . . . , X ∗ n
Qi(Xi) = Eωn|ωn, Xi−1, Xi, Xi+1, . . . , Xnk (2.28)
Sejauh ini, definisi penyelesaian aturan optimal pada tahap ke i dari per-soalan stokastik tahap ganda direduksi untuk menyelesaikan perper-soalan program matematika berikut
inf
Xi∈Xi
Qi(Xi) (2.29)
Aturan sesudahnya untuk penyelesaian adalah : Xi = Xi(ωi), yi+s; s =
1, 2, . . . , n − i, dan aturan sebelumnya untuk penyelesaian adalah:
Xi = Xi(ωi−1; yi+s(ωi+s−1); s = 1, 2, . . . , n − i
Jika fungsi tujuan dapat dipisahkan, yaitu ϕ0(ωn, Xn) =
Pn
j=1ϕ0(ωj, Xj)
kita mempunyai
Qi(Xi) = Eωi|ωi−1{ϕ0(ωi, Xi) + Q∗i+1(ωi, Xi)}
Dimana
Q∗i+1(ωi−1, Xi−1)} = inf
Xi∈Ki Eωi|ωi−1{ϕ0(ωi, Xi) + Q∗i+1(ωi, Xi)}, i = 1, 2, . . . , n − 1 Dengan i = n Q∗n(ωn−1, Xn−1) = inf Xi∈Ki Eωi|ωi−1{ϕ0n(ωn, Xn)
21
Analog dengan persoalan pemisahan tahapan untuk persoalan stokastik tahap ganda dengan strategi campuran yang dikonstruksikan.
2.4 Metode Pendekatan Rata-rata Sampel ( PRS )
Suatu sampel ξ1, . . . , ξN dari N realisasi vektor acak dibentuk dan
akibat-nya ekspektasi fungsi nilai E [Q (x, ξ (ω))] diestimasi oleh fungsi rata-rata sampel
N−1PN
n=1Q(x, ξ
n). Aproksimasi rata-rata sampel yang diperoleh
min x∈X ( ˆ gN(x) := cTx + N−1 N X n=1 Q(x, ξn) ) (2.30) ˆ
vN dan ˆxN masing-masing menyatakan nilai optimal dan penyelesaian optimal
problem PRS (1.1) dan v∗ serta x∗ masing-masing menyatakan nilai optimal dan penyelesaian optimal problem awal . Hal penting yang perlu diperhatikan adalah:
i. Apakah ˆvN dan ˆxN konvergen terhadap mitranya V∗dan X∗ apabila ukuran
sampel N dinaikkan.
ii. Jika ya, dapat dianalisis lagi konvergensi, dan karena itu diestimasikan uku-ran sampel yang diperlukan memperoleh optimal sebenarnya.
iii. Adalah pendekatan optimisasi yang efisien untuk menyelesaikan problem PRS dengan ukuran sampel yang diinginkan.
iv. Perhatikan bahwa untuk N yang diketahui penyelesaian ˆxN adalah layak
dan merupakan calon untuk penyelesaian optimal terhadap problem awal. Apakah dapat diberikan informasi tentang kualitas dari calon penyelesaian ini.
Pertanyaan-pertanyaan diatas telah terjawab untuk program linier stokastik dua-tahap, yaitu apabila peubah tahap pertama dan kedua dalam dan kontinu. Telah dibuktikan bahwa untuk program linier stokastik dengan sebaran diskrit, suatu penyelesaian optimal dari PRS memberikan penyelesaian optimal eksak dari problem awal dengan peluang mendekati satu secara eksponensial apabila
N bertambah oleh (Shapiro and Homem-de-Mello, 2001). Uji statistik untuk memvalidasi calon penyelesaian yang didasarkan pada gap optimalitas Norkin et al. (1998) demikian pula syarat optimalitas (Shapiro end Homen de Mello, 1998) telah diajukan. Lebih lanjut lagi, teknik sampling ini telah diintegrasikan dengan algoritma dekomposisi untuk menyelesaikan program linier stokastik dari berbagai ukuran dengan hasil yang cukup akurat Linderoth et al. (2002). Konvergensi dari pendekatan PRS telah juga diperluas untuk program stokastik dengan himpunan keputusan tahap pertama diskrit dan berhingga Kleywegt et al. (2001).
BAB 3
PENGEMBANGAN RATA-RATA SAMPEL
Pada bagian ini dibicarakan sifat konvergensi dari estimastor PRS, terutama yang diterapkan pada program dua tahap dengan recourse integer . Untuk memakai hasil klasik, seperti Hukum Bilangan Besar, perlu diandaikan bahwa sampel yang dibentuk bersebaran bebas identik (bbi). Namun perlu diperhatikan bahwa sifat konvergensi dapat diturunkan terhadap kondisi lebih luas.
Disini diajukan algoritma Branch and Bound untuk program stokastik inte-ger dua tahap dengan sebaran diskrit peubah inteinte-ger campuran ditahap pertama dan peubah integer murni di tahap kedua. Konsep dari algoritma ini adalah mengidentifikasi calon penyelesaian dengan berturut-turut mempartisipasi ruang pencarian.
3.1 Tahap Pertama Diskrit
Metode konvergensi PRS dalam Kleywegt et al. (2001) apabila diterap-kan pada program stokastik dengan himpunan keputusan tahap pertama yang berhingga.
Perhatikan program stokastik dua-tahap dengan karateristik berikut:
i. Himpunan keputusan tahap-pertama X berhingga (tapi mungkin sangat besar)
ii. Fungsi recourse Q(x, ·) adalah terukur dan E[Q(x, ξ(ω))] adalah berhingga 23
untuk setiap x ∈ X.
Dimana v∗ dan ˆv
N, masing-masing menyatakan nilai optimal dari problem
awal dan problem PRS. Kemudian untuk ε ≥ 0, andaikan Xε dan ˆXε
N
menya-takan himpunan penyelesaian ε optimal, masing-masing dari problem awal dan PRS. Khususnya untuk ε = 0 himpunan ini menjadi himpunan X∗ dan ˆX
N dari
penyelesaian optimal problem terkait.
Dapat diperlihatkan bahwa, dengan asumsi (i) dan (ii) diatas, ˆvN merupakan
estimator konsisten dari v∗, yaitu ˆv
N konvergen dengan peluang satu terhadap
v∗ jika N → ∞. Juga dengan memakai teori Deviasi besar, diperlihatkan dalam Kleywegt, et al. (2001) bahwa untuk setiap ε ≥ 0 dan δ ∈ [0, ε] terdapat konstanta
γ(δ, ε) ≥ 0, sehingga 1 − P ˆ XNδ ⊂ X ε ≤ |X}e−N γ(δ,ε) (3.1)
Kemudian, dengan pengandaian tambahan (yang selalu berlaku dalam kasus di-mana sebaran ξ(ε) mempunyai support berhingga), konstanta γ(δ, ε) positif, dan untuk δ dan ξ kecil dapat diestimasi sebagai
γ(δ, ε) ≥ (ε ∗− δ)2 3σ2 ≥ (ε − δ)2 3σ2 (3.2) Dengan ε∗ := min
x∈X |Xεgg(x) − v∗danσ2 adalah variansi maksimal dari
selisih tertentu antara nilai fungsi objektif problem PRS. Perhatikan bahwa, karena himpunan X berhingga, ε∗ selalu lebih besar daripada ε, dan akibatnya γ(δ, ε) ≥
0, bahkan jika δ = ε. Secara khusus, untuk δ = ε = 0, pertidaksamaan (3.1) mem-berikan laju eksponensial konvergensi dari peluang kejadian {ˆxN ∈ X∗} adalah
25
Begitupun, untuk daerah layak X besar (tapi berhingga) selisih ε∗− ε
cen-derung kecil. Estimasi ruas kanan dari (3.2) mengakibatkan estimasi ukuran sam-pel N = N (ε, δ, α) yang diperlukan untuk menyelesaikan problem awal (nilai eks-pektasi) dengan peluang 1 − α dan presisi ε > 0 dengan menyelesaikan problem PRS untuk presisi δ ∈ [0, ε). N ≥ 3δ 2 (ε − δ)2log |X| α (3.3)
Walaupun batasan di atas biasanya terlalu konservatif untuk dipakai dalam perhitungan ukuran sampel, ia memperlihatkan ketergantungan logaritma dari
N (ε, δ, α) pada ukuran |X| dari problem tahap pertama.
Hasil diatas tidak membuat asumsi berkenaan dengan peubah recourse. Jadi analisis di atas secara langsung terpakai pada program stokastik dua-tahap de-ngan recourse cacah asalkan himpunan keputusan layak tahap-pertama berhingga.
3.2 Tahap Pertama Kontinu
Hasil konvergen tadi dapat disesuaikan yang berkaitan dengan kasus dimana beberapa atau semua peubah dapat mengambil nilai kontinu. Perhatikan bahwa dua norm sembarang pada ruang berdimensi berhingga Rn1 adalah ekivalen untuk
alasan teknis bentuk kxk := max {|x1| , . . . , |xn1|} dapat dipakai. Andaikan
him-punan X terbatas (tidak perlu berhingga) dari Rn1. Untuk suatu v > 0 diketahui,
pandang himpunan bagian berhingga Xv dari X sehingga untuk setiap x ∈ X
ter-dapat x0∈ X
v yang memenuhi kx − x0k ≤ v. Jika D diameter dari himpunan X,
maka himpunan Xv demikian dapat dibentuk dengan |Xv| ≤ Dv
n1
. Dengan men-ciutkan himpunan layak X ke himpunan bagiannya Xv, sebagai konsekuensi dari
(6) diperoleh estimasi berikut tentang ukuran sampel, yang dikehendaki untuk menyelesaikan problem tereduksi dengan akurasi ε0> δ
N ≥ 3δ 2 (ε0− δ)2 n1log D v − log α (3.4)
Kemudian andaikan bahwa fungsi ekspektasi g(x) Lipschitz kontinu pada X modulus L. Maka suatu penyelesaian ε0-optimal dari problem tereduksi meru-pakan penyelesaian ε0-optimal dari problem (1), dengan ε = ε0 + Lv. Buat
v := (ε − δ)/2L dan ε0 = ε − Lv = ε − (ε − δ)/2. Pergunakan (2.4) diper-oleh estimasi ukuran sampel N yang diperlukan untuk menyelesaikan problem (1.1). N ≥ 12δ 2 (ε − δ)2 n1log 2DL ε − δ − log α (3.5)
Estimasi (3.5) ini memperlihatkan bahwa ukuran sampel yang diperlukan untuk menyelesaikan problem (1) dengan peluang 1 − α dan akurasi ε > 0 setelah menyelesaikan problem PRS dengan akurasi δ < ε, tumbuh secara linier dalam dimensi n, dari tahap pertama problem.
Estimasi (3.5) terpakai langsung pada program stokastik dua-tahap dengan integer recourse asalkan ekspektasi nilai fungsi g(x) Lipschitz kontinu. Diper-lihatkan dalam Schultz (1995) bahwa dalam kasus program dua-tahap dengan integer recourse nilai fungsi ekspektasi g(x) adalah Lipschitz kontinu pada su-atu himpunan kompak jika vektor data acak ξ(ω) mempunyai sebaran kontinu dan beberapa syarat lunak tambahan dipenuhi. Sebaliknya, jika ξ(ω) mempunyai sebaran diskrit maka g(x) tidak kontinu.
27
3.3 Tahap Pertama Kontinu dan Sebaran Diskrit
Program stokastik dua-tahap dengan integer recourse apabila vektor data acak bersebaran diskrit dengan dukungan berhingga. Diperlihatkan bahwa dalam hal demikian problem awal dan PRS dapat diformulasikan secara ekivalen sebagai problem pada daerah layak berhingga.
Dengan asumsi berikut:
(A1). Sebaran dari vektor data acak ξ(ω) mempunyai dukungan berhingga Ξ =
{ξ1, . . . , ξK} dengan peluang masing-masing p1, . . . , pK setiap realisasi ξk =
(qk, Tk, W, hk), k = 1, . . . , K) dari ξ(ω) disebut skenario.
Maka nilai ekspektasi E[Q(x, ξ(ω))] sama denganPKk=1pkQ(x, ξk), jadi
prob-lem awal (1.1) dapat ditulis berikut: min x∈X ( g(x) := cTx + K X k=1 pkQ(x, ξk) ) (3.6) disini Q(x, ξk) := inf y∈Y qkTy : W y ≥ hk− Tkx (3.7) dengan X ⊆ <n1, c ∈ <n1, Y ⊆ <n2, W ∈ <n1, dan untuk semua k, q
k ∈
<n2, T
k ∈ <m2×n1 dan hk ∈ <m2.
Dalam beberapa aplikasi jumlah total skenario K sangat besar , membuat evaluasi tepat dari jumlah PKk=1pkQ(x, ξk) tidaklah mungkin. Ini
memoti-vasi kebutuhan pendekatan berbaris sampling untuk menyelesaikan (3.6). (A2). Peubah tahap pertama kontinu, dan himpunan kendala X tidak kosong,
kompak dan polihedral.
(A3). Peubah tahap kedua yang integer murni ,yaitu Y ⊆ Zn2 dalam (1.2).
yang wajar. Tahap pertama Integer-campuran dapat diatasi dalam kerangka berikut tanpa kesulitan konseptual. Tambahan (A1)−(A3) juga diandaikan.
(A4). Q(x, ξk) berhingga ∀ x ∈ X dan k = 1, . . . , K
(A5). Matriks kendala tahap-kedua integer, yaitu W ∈ Zm2×n2.
Asumsi (A4) berarti bahwa Q(x, ξk) < +∞ dan Q(x, ξk) > −∞ dan k =
1, . . . , K. Yang pertama dari dua pertidaksamaan ini dikenal sebagai sifat recourse relatif lengkap Wets (1996 ) karena X kompak, recourse relatif lengkap selalu dapat dicapai dengan menambahkan penalti peubah antifisial pada problem tahap kedua. Asumsi (A5) dapat dipenuhi dengan pemberian skala yang sesuai apabila
elemen matriks rasional. Pada asumsi (A3) diperoleh bahwa, untuk setiap ξ ∈
EQ(·, ξ) merupakan nilai fungsi optimal dari program integer murni dan dikenal
sebagai konstan perbagian yaitu, untuk setiap Z ∈ Zn2 dan ξ ∈ E fungsi Q(·, ξ)
konstan pada himpunan Schultz et al. (1998 )
C(z, ξ) := {x ∈ <n1 : h − z − 1 ≤ T x < h − z} (3.8)
dengan notasi ” ≤ ” dan ” ≤ ” terpakai per komponen. Maka akibatnya un-tuk setiap z ∈ Zn2 fungsi PK
k=1pkQ (·, ξk) konstan pada himpunan C (z) :=
∩K
k=1C (z, ξk). Perhatikan bahwa C(z) daerah polihedral yang tidak terbuka ataupun
tertutup sekarang, andaikan:
Z := {z ∈ Zm2 : C (z) ∩ X 6=⊆ φ}
Karena X terbatas oleh asumsi (A2), himpunan Z berhingga diperoleh
bahwa himpunan X dapat disajikan sebagai gabungan sejumlah berhingga him-punan polihedral C(z) ∩ X, z ∈ Z. Pada setiap himhim-punan C(z) ∩ X ekspektasi
29
nilai fungsi g(x) adalah linier dan nilai optimal dicapai pada suatu titik ekstrim (verteks) dari C(z) ∩ X. Defenisikan
V := [
z∈Z
vert(C(z) ∩ X) (3.9)
dengan vert (S) menyatakan himpunan verteks polihedral S. Perhatikan bahwa
X adalah polihedral oleh defenisi, jadi dari keberhinggaan Z aktuality himpunan V berhingga . Telah diperlihatkan Schultz et al. (1998) bahwa terhadap asumsi
problem (3.6) memiliki penyelesaian optimal x∗ ∈ V . Dari hasil ini, maka (3.6)
dapat dinyatakan sehingga program stokastik dua-tahap berikut dengan keputu-san tahap-pertama berhingga:
min x∈V ( g(x) = cTx + K X k=1 pkQ(x, ξk) ) (3.10)
Diajukan dalam Schultz et al. (1998) untuk menyelesaikan (3.10) dengan mengenumerasi himpunan berhingga V .
Bagaimana mengestimasi |V |. Dari (3.8) jelas bahwa himpunan Z men-cakup semua vektor integer z, sehingga untuk hk fix, komponen ke j dari z, yaitu zj mengambil nilai bhkj − Tjxc untuk semua x ∈ X. Perlihatkan x :=
{x ∈ <m2 : x = T
x, x ∈ X} dan andaikan D diameter x. Perhatikan karena x
kom-pak, X juga komkom-pak, jadi D ≤ ∞. Maka, untuk suatu hk fix, z
j dapat menjadi
bila paling banyak D + 1 nilai. Jika sekarang, diperhatikan semua K skenario, zj
dapat mengambil k(d + 1) nilai yang mungkin. Akibatnya, dapat dibatasi kardi-nalitas dari Z sebagai |Z| ≤ [K(D + 1)]m2. Sekarang perhatikan untuk sembarang z ∈ Z, sistem cl (C (z)) =x ∈ <n1 : x ≥ 0, T x ≤ hk− z, Tx≥ hk − z − 1, ∀k =x ∈ <n1 : x ≥ 0, T x ≤ h − z, Tx ≥ ¯h − z − 1
dengan h = mink{hk} dan ¯h = maxk{hk}, operasi maks dan min perbagian.
Dengan mengandaikan bahwa X = {x ∈ <n1 : Ax ≤ b, x ≥ 0} dimana A matriks m1 × n1, terdapat untuk sembarang z ∈ Z,
cl (C (z)) ∩ X =x ∈ <n1 : Ax ≤ b, x ≥ 0, T
x ≤ h − z, Tx≥ ¯h − z − 1
Sistem diatas terdefenisi paling banyak untuk n1+m1+2m2, pertidaksamaan
linier (termasuk non-negativitas), jadi paling banyak memiliki n1+ m1+ 2m2 n1 < (n1+ m1+ 2m2)m1+2m2
Titik ekstrim. Jadi diperoleh batas atas kardinalitas dari V , yaitu |V | < [K(D + 1)]m2(n
1+ m1+ 2m2)m1+2m2 (3.11)
Jadi kardinalitas dari V , demikian pula usaha yang dibutuhkan dalam meng-evaluasi calon penyelesaian x ∈ V . Sebagian besar tergantung pada K. De-ngan memakai pendekatan PRS konsiderasi terhadap semua skenario {ξ1, . . . , ξK}
dalam dapat dihindari. Pandang sampel {ξ1, . . . , ξN} dari parameter tak pasti
problem, dengan ukuran sampel N jauh lebih kecil daripada K. Maka problem PRS yang terkait dengan (3.10) adalah:
min x∈Vn ( ˆ gN (x) = cTx + 1 N N X n=1 Q(x, ξn) ) (3.12) Dengan VN sampel mitra dari himpunan V yaitu,
Vn:= ∪z∈ZNvert(CN(z) ∩ X) (3.13)
Dengan CN(z) := ∩Nn−1C (z, ξ
n) dan Z
N := {z ∈ Zm2 : CN(z) ∩ x 6= φ}
31
himpunan ini masing-masing dinyatakan oleh himpunan Ξ dan himpunan bagian yang disampel dari Ξ. Tidak secara langsung jelas apakah penyelesaian (3.12) ter-masuk dalam hmpunan calon penyelesaian optimal V . Untungnya, karena vektor yang disampel membentuk himpunan bagian dari Ξ, akibatnya Vn ⊂ V . Jadi
sembarang penyelesaian untuk (3.12) merupakan calon penyelesaian optimal ter-hadap problem awal. Sekarang dapat secara langsung diterapkan hasil konvergensi eksponensial dari (4.10) terhadap program stokastik dengan recourse integer dan peubah tahap- pertama kontinu. Secara khusus pertidaksamaan (3.1) menjadi
1 − P ˆ XNδ ⊂ X ε ≤ |V |e−N γ(δ,ε) (3.14)
Dimana, seperti sebelumnya ˆXδ
N adalah himpunan penyelesaian secara
δ-optimal terhadap problem PRS, Xε adalah himpunan penyelesaian ε-optimal
terkadang problem awal, dan konstanta γ(δ, ξ) dapat diestimasi menggunakan (3.2). Dengan memakai (3.14) dan estimasi dari |V | dalam (3.11) dapat diten-tukan ukuran sampel untuk problem PRS yang menjamin suatu penyelesaian
ε-optimal terhadap problem awal dengan peluang 1 − α sebagai berikut.
N ≥ 3δ
2
(ε − δ)2(m2log[K(D + 1)]) + (m1+ 2m2)(n1 + m1+ 2m2) − log α) (3.15)
Walaupun estimasi ukuran sampel N ini terlalu konservatif untuk tujuan praktis, ia memperlihatkan bahwa N berkembang secara linier terhadap dimensi problem dan secara logarithmically terhadap jumlah skenario K. Ini mengiden-tifikasikan bahwa dapat diperoleh penyelesaian cukup akurat terhadap problem yang mencakup sejumlah besar skenario dengan memakai ukuran sampel sedikit. Sekarang perhatikan situasi dimana sebaran sebenarnya dari ξ(ω) kontinu sedangkan sejumlah berhingga skenario diperoleh dengan diskritisari fungsi
se-baran ini. Jika diskritisari demikian cukup baik, maka perbedaan antara nilai ekspektasi terkait dari fungsi objektif kecil, yaitu andaikan η batasan konstan nilai mutlak dari perbedaan antara nilai-nilai ekspektasi Q(x, ξ(ω)), yang diambil ter-hadap sebaran diskrit dan kontinu dari ξ(ω), untuk semua x ∈ X. Akibatnya jika ¯
x merupakan penyelesaian ε-optimal dari problem nilai ekspektasi terhadap salah
satu sebaran ini, maka ¯x merupakan penyelesaian (ε + 2η-optimal dari problem
nilai ekspektasi terhadap sebaran lainnya. Karena itu , jika fungsi nilai ekspektasi yang diambil terhadap sebaran kontinu, adalah kontinu Lipschitz pada X, maka estimasi (3.4) dapat diaplikasikan terhadap problema dengan sebaran terdiskriti-sari yang disesuaikan untuk konstanta yang terkait.
3.4 Menyelesaikan Problem PRS
Secara prinsip teknik enumerasi Schultz et al. (1998) dapat dipakai un-tuk menyelesaikan problem PRS (3.12). Namun umumnya sangat sulit unun-tuk mengkarakterisasi himpunan VN kecuali problem tahap-kedua memiliki struktur
sangat sederhana, tambahan lagi kardinalitas V∞ sangat besar, sehingga
enu-merasi tidak dimungkinkan secara komputasi. Alternatifnya, dapat dicoba un-tuk menyelesaikan deterministik ekivalen dari (3.12) dengan memakai algoritma branch and bound. Namun, teknik demikian tidak mencoba untuk mengeksplotasi struktur yang dapat teruraikan dari problem, dan metode ini akan gagal kecuali ukuran sampel kecil. Dekomposisi berbaris algoritma Branch and Bound yang dihentangkan dalam Ahmed et al. (2000) untuk menyelesaikan problem PRS. Di-samping mengkarakterisasi himpunan calon penyelesaian Vn, algoritma ini
33
Lebih lanjut lagi, algoritma memanfaatkan informasi batas bawah untuk menge-liminasi bagian daerah pencarian sehingga mencegah enumerasi lengkap. Karena algoritma tidak secara eksplisit menelusuri Vn, harus dipastikan bahwa
penyele-saian akhir yang diperoleh tidak termasuk dalam himpunan ini untuk mencapai konvergensi.
Berikut ini diuraikan algoritma sebagai penambahan terhadap asumsi (A1)−
(A5), algoritma mengandaikan (A6) matriks teknologi T , yang mengaitkan
prob-lem tahap pertama dan kedua adalah deterministik, yaitu Tk = T untuk semua
k.
Perlihatkan transformasi linier dari peubah problem tahap pertama x de-ngan memakai T oleh x := Tx. Peubah x dikenal sebagai peubah lunak dalam
literatur program stokastik. Ide prinsip dibelakang algoritma adalah memandang problem PRS dalam peubah lunak.
min χ∈χ n ˆ GN(χ) := Φ(χ) + ˆΨN(χ) o (3.16) dimana Φ := inf x∈X{c T x : T x = χ}, ˆΨN(χ) = N−1 N X n=1 Ψ)N (χ, ξjn) Ψ(χ, ξ) := inf y∈Y qTy : W y ≥ h − χ dan X := {X ∈ <m2 : X = T x, x ∈ X}
X memiliki dimensi lebih kecil dari pada x. Lebih penting lagi, transformasi
ini memberikan struktur tertentu terhadap fungsi diskontinu ΨN(·). Khususnya,
dapat diperlihatkan Ahmed et al. (2000) bahwa ΨN : <m2 → < mempunyai sifat
i. Ia tak naik sepanjang setiap komponen Xj, j = 1, . . . , m2 dari X.
ii. Untuk setiap z ∈ Zm1, ia konstan pada himpunan
CN(z) := {X : hn− z − 1 ≤ X ≤ hn− z, n = 1, . . . , N }
Perhatikan bahwa himpunan CN(z)-dikaitkan dengan himpunan CN(z) oleh
transformasikan X = Tx. Juga perhatikan baku CN(z) adalah hiper-empat persegi
karena ia merupakan perkalian kartesian dari interval. Jadi, fungsi nilai ekspektasi tahap kedua ΨN(·) konstan perbagian pada daerah empat persegi dalam ruang
peubah lunak X. Maka diskontinuitas dari ΨN(·) hanya dapat terletak di batas
daerah-daerah ini dan, karena itu, semua ortogonal pada sumbu peubah lebih lanjut lagi, karena X kompak, maka X juga kompak. Jadi daerah demikian dalam himpunan layak problem berhingga.
Algoritma mengeksploitasi sifat structural di atas dengan mempartisi ruang
χ menjadi daerah berbentuk Qm2
j=1[lj, uj), dimana uj merupakan komponen ke
j dari suatu titik χ pada mana fungsi nilai tahap kedua ϕ(·) diskontinu.
Per-hatikan bahwa ˆϕN(·) hanya dapat diskontinu di suatu titik χ dimana
sekurang-kurangnya satu dari komponen vector hn− χ merupakan integral untuk beberapa
35
Dibawah ini diberikan pernyataan formal dari algoritma branch and bound. Notasi:
L Daftar subproblem
i Nomor iterasi; juga dipakai untuk mengindikatorkan subproblem terpilih
P Partisi yang berkaitan dengan i
αi Batas atas yang diperoleh di iterasi i
βi Batas bawah pada subproblem i
χi Penyelesaian layak untuk nilai subproblem
U Batas atas pada nilai optimal global
L Batas bawah pada nilai optimal global
χ∗ Calon optimum global
Algoritma Inisialisasi
Proses problem dengan membentuk hiper-persegi berbentuk P0 :=Qm1
j=1[l 0 j, u0j)
sehingga χ ⊂ P0. Tambahkan problem min ˆG
N(χ) dengan kendala χ ∈ χ ∩ P0
untuk mendaftarkan subproblem terbuka L. Buat U ← +∞ dan penghitung ite-rasi i ← 0.
Iterasi i:
Langkah i.1 : Jika =∅, berhenti dengan penyelesaian χ∗, jika tidak, pilih sub-problem i, yang didefinisikan sehingga min ˆGN(χ) dengan kendala χ ∈ χ ∩ P0
dari subproblem saat ini. Buat L ←L\{i}.
Langkah i.2 : Problem batas bawah βi yang memenuhi βI ≤ inf{ ˆGN(χ) : χ ∈
χ ∩ Pi}. Jika ξ ∩ Pi = ∅, βi = +∞. Tentukan penyelesaian layak ξi ∈ χ dan hitung batas atas αi ≥ ˆGN(χi).
Langkah i.2.a : Buat L → minl∈L∪{i}βl.
Langkah i.2.b : Jika αi < U , maka χ∗ ← χi dan U ← αi.
Langkah i.2.c : Hentikan daftar subproblem, yaitu L ←L\{l : βl≥ U }.
Jika βi≥ U pergi ke langkah i.1 dan pilih subproblem lain.
Langkah i.3 : Partisi Pi menjadi Pi1 dan Pi2. Buat L ← L{i
1, i2} yaitu
per-soalan kedua subproblem dari ˆGN(χ) kendala χ ∈ χ ∩ Pi1 dan dari ˆGN(χ) kendala
χ ∈ χ ∩ Pi2 ke daftar subproblem terbuka. Untuk tujuan pemilihan βi1, βi2 ← βi.
BAB 4 KESIMPULAN
Dalam penelitian ini dikembangkan metode pendekatan rata-rata sampel untuk program stokastik dua tahap. Penyelesaian persoalan program stokastik dua tahap berisi vector deterministik. Pada tahap pertama, dibuat penyelesaian persoalan rencana awal deterministik. Pembentukan rencana awal deterministik dilakukan sebelum kondisi acak dari persoalan ditentukan. Pada tahap kedua digunakan sebuah vector acak pada persoalan yang sesuai untuk merencanakan kompensasi divergensi, spesifikasi parameter.
Dua kesulitan dalam menyelesaikan program stokastik adalah:
1. Evaluasi eksak dari ekspektasi biaya recourse. 2. Mengoptimalkan Ekspektasi biaya recourse.
Algoritma Branch and Bound untuk menyelesaikan problem PRS. Algo-ritma Branch and Bound juga mengkaraterisasi himpunan calon penyelesaian dan mengidentifikasi calon penyelesaian dengan berturut-turut mempartisi ruang pencarian. Algoritma memanfaatkan informasi batas bawah untuk mengelimi-nasi bagian daerah pencarian. Karena algoritma tidak secara eksplisit menelusuri himpunan calon penyelesaian dipastikan bahwa penyelesaian akhir yang diperoleh tidak termasuk dalam himpunan ini untuk mencapai konvergensi.
Ahmed, S. (2000). Strategic Planning under Uncertainty:Stochastic Integer
Pro-gramming Approaches. Ph.D. Thesis, University of Illinois at
Urbana-Champaign.
Ahmed, S., Tawarmalani, M., and Sahinidis, N.V. (2000). A ?nite branch
and bound algorithm for two stage stochastic integer programs. Submitted
for publication. E-print available in the Stochastic Programming E-Print Series:http://dochost.rz.hu-berlin.de/speps/.
Bienstock, D., and Shapiro, J.F. (1998). Optimizing resource acquisition decisions
by stochastic programming. Management Science, 34:215229.
Birge, J.R. and Dempster, M.A.H. (1996). Stochastic programming approaches to
stochastic scheduling. Journal of Global Optimization, 9(3-4):417451.
Birge, J.R., dan Louveaux, F. (1997). Introduction to Stochastic Programming. Spinger-Verlag, New York.
Birge, J.R., and Louveaux, F. (1997). Introduction to Stochastic Programming. Springer, New York, NY.
Care, C.C., and Schultz, R. (1999). Dual Decomposition in Stochastic Integer
Pro-gramming. Operation Research Letters 24, 37-45.
Caroe, C.C., Ruszczynski, A., and Schultz, R. (1997). Unit commitment under
uncertainty via two-stage stochastic programming. In Proceedings of NOAS
97,Caroeet al.(eds.), Department of Computer Science, University of Copen-hagen, pages 2130.
Caroe, C.C. (1998). Decomposition in stochastic integer programming. PhD thesis, University of Copenhagen.
Engell, S., Mrkert, A., Sand, G., and Schultz, R. (2004). Aggregated Scheduling of
a Multiproduct Bacth Plant by Two-Stage Stochastic Integer Programming.
Optimazation and Engineering 5, 335-359
Ermolyev, J.M.(1970). Stochastic Quasi-Gradient Methods and Applications, Ph.D. in Institute of Cybernetics Ukrainian S.S.R. Academy of Sciences,Kiec. Eisner, M.J., Kaplan, R.S., dan Soden,. J.V. (1971). Admissible Rules for the
E-Model of Chance-Constrained Programming, Management Sci., No. 17.
Judin, D.B. (1972). Multi-Stage Planning Problems under Risk and Uncertainty, Technologi Cybernetics. No.6
Kall, P., and Wallace, S.W. (1994). Stochastic Programming. John Wiley and Sons, Chichester, England.
39
Kleywegt, A. J., Shapiro, A., and Homem-De-Mello,T. (2001). The sample average
approximation method for stochastic discrete optimization. SIAM Journal of
Optimization, 12:479502.
Laporte, G., Louveaux, F.V., and Van Hamme, L. (1994). Exact solution of a
stochastic location problem by an integer L-shaped algorithm. Transportation
Science, 28(2):95103.
Linderoth, J., Shapiro, S., and Wright, S. (2002). The empirical behavior of
sam-pling methods for stochastic programming. Optimization Technical Report
02-01, Computer Sciences Department, University of Wisconsin-Madison. Mak, W.K., Morton, D.P., and Wood, R.K. (1999). Monte Carlo bounding
tech-niques for determining solution quality in stochastic programs. Operations
Research Letters, 24:475.
Norkin, V.I., P?ug, Ch., and Ruszczynski, A. (1998). A branch and bound method
for stochastic global optimization. Mathematical Programming, 83:425450.
Norkin, V.I., P?ug, G.C., and Ruszczynski, A. (1998). A branch and bound method
for stochastic global optimization. Mathematical Programming, 83:425450.
Norkin, V.I., Ermoliev, Y.M., and Ruszczynski,A. (1998). On optimal allocation
of indivisibles under uncertainty. Operations Research, 46:381395.
Sahinidis, N.V. (2004). Optimization Under Uncertainty : state-of- the-art and
opportunities. Computers and Chemical Enginneering 28, 971 983.
Schultz, R. (1995). On structure and stability in stochastic programs with random
technology matrixand complete integer recourse. Mathematical Programming,
70(1):7389.
Schultz, R. (1996). Rates of convergence in stochastic programs with complete
in-teger recourse. SIAM J. Optimization, 6(4):11381152.
Schultz, R., Stougie,L., and Van der Vlerk,M.H. (1998). Solving stochastic
pro-grams with integer recourse by enumeration: A framework using Grobner basis reductions. Mathematical Programming, 83:229252
Shapiro, A., and Homem de Mello,T. (1998). A simulation-based approach to
two stage stochastic programming with recourse. Mathematical Programming,
81(3, Ser. A):301325.
Shapiro,A., and Homem-de-Mello,T. (2001). On rate of convergence of Monte
Carlo approximations of stochastic programs. SIAM Journal on
Optimiza-tion,11:7086.
Tayur, S.R., Thomas, R.R., and Natraj, N.R. (1995). An algebraic geometry
algo-rithm for scheduling in the presence of setups and correlated demands.
Tiil, J., Sand, G., Engell, S., Emmerich, M., and Schnemann, L. (2005). A Hybrid
Algorithm for Solving Two-Stage Stochastic Integer Programming by Combin-ing Evo;utionary Algorithms and Mathematical ProgrammCombin-ing Methods.
Vol-ume 20A of Computer-Aided Chemcal Engineering, Amsterdam, Elsevier 187-192.
Verweij, B., Ahmed, S., Kleywegt, A.J., Nemhauser, G., and Shapiro, A. (2001).
The sample average approximation method applied to stochastic routing prob-lems: A computational study. Submitted for publication.
Wets,R.J-B. (1966). Programming under uncertainty: The solution set. SIAM Jour-nal on Applied Mathematics, 14:1143 1151.
