BAB 3 PENGEMBANGAN RATA-RATA SAMPEL
3.3 Tahap Pertama Kontinu dan Sebaran Diskrit
Program stokastik dua-tahap dengan integer recourse apabila vektor data acak bersebaran diskrit dengan dukungan berhingga. Diperlihatkan bahwa dalam hal demikian problem awal dan PRS dapat diformulasikan secara ekivalen sebagai problem pada daerah layak berhingga.
Dengan asumsi berikut:
(A1). Sebaran dari vektor data acak ξ(ω) mempunyai dukungan berhingga Ξ = {ξ1, . . . , ξK} dengan peluang masing-masing p1, . . . , pK setiap realisasi ξk = (qk, Tk, W, hk), k = 1, . . . , K) dari ξ(ω) disebut skenario.
Maka nilai ekspektasi E[Q(x, ξ(ω))] sama denganPK
k=1pkQ(x, ξk), jadi prob-lem awal (1.1) dapat ditulis berikut:
min x∈X ( g(x) := cTx + K X k=1 pkQ(x, ξk) ) (3.6) disini Q(x, ξk) := inf y∈Y qkTy : W y ≥ hk− Tkx (3.7) dengan X ⊆ <n1, c ∈ <n1, Y ⊆ <n2, W ∈ <n1, dan untuk semua k, qk ∈ <n2, Tk ∈ <m2×n1 dan hk ∈ <m2.
Dalam beberapa aplikasi jumlah total skenario K sangat besar , membuat evaluasi tepat dari jumlah PK
k=1pkQ(x, ξk) tidaklah mungkin. Ini memoti-vasi kebutuhan pendekatan berbaris sampling untuk menyelesaikan (3.6). (A2). Peubah tahap pertama kontinu, dan himpunan kendala X tidak kosong,
kompak dan polihedral.
(A3). Peubah tahap kedua yang integer murni ,yaitu Y ⊆ Zn2 dalam (1.2). Perhatikan bahwa asumsi peubah tahap pertama kontinu merupakan hal
yang wajar. Tahap pertama Integer-campuran dapat diatasi dalam kerangka berikut tanpa kesulitan konseptual. Tambahan (A1)−(A3) juga diandaikan. (A4). Q(x, ξk) berhingga ∀ x ∈ X dan k = 1, . . . , K
(A5). Matriks kendala tahap-kedua integer, yaitu W ∈ Zm2×n2.
Asumsi (A4) berarti bahwa Q(x, ξk) < +∞ dan Q(x, ξk) > −∞ dan k = 1, . . . , K. Yang pertama dari dua pertidaksamaan ini dikenal sebagai sifat recourse relatif lengkap Wets (1996 ) karena X kompak, recourse relatif lengkap selalu dapat dicapai dengan menambahkan penalti peubah antifisial pada problem tahap kedua. Asumsi (A5) dapat dipenuhi dengan pemberian skala yang sesuai apabila elemen matriks rasional. Pada asumsi (A3) diperoleh bahwa, untuk setiap ξ ∈
EQ(·, ξ) merupakan nilai fungsi optimal dari program integer murni dan dikenal
sebagai konstan perbagian yaitu, untuk setiap Z ∈ Zn2 dan ξ ∈ E fungsi Q(·, ξ) konstan pada himpunan Schultz et al. (1998 )
C(z, ξ) := {x ∈ <n1 : h − z − 1 ≤ T x < h − z} (3.8)
dengan notasi ” ≤ ” dan ” ≤ ” terpakai per komponen. Maka akibatnya un-tuk setiap z ∈ Zn2 fungsi PK
k=1pkQ (·, ξk) konstan pada himpunan C (z) := ∩K
k=1C (z, ξk). Perhatikan bahwa C(z) daerah polihedral yang tidak terbuka ataupun tertutup sekarang, andaikan:
Z := {z ∈ Zm2 : C (z) ∩ X 6=⊆ φ}
Karena X terbatas oleh asumsi (A2), himpunan Z berhingga diperoleh bahwa himpunan X dapat disajikan sebagai gabungan sejumlah berhingga him-punan polihedral C(z) ∩ X, z ∈ Z. Pada setiap himhim-punan C(z) ∩ X ekspektasi
29
nilai fungsi g(x) adalah linier dan nilai optimal dicapai pada suatu titik ekstrim (verteks) dari C(z) ∩ X. Defenisikan
V := [
z∈Z
vert(C(z) ∩ X) (3.9)
dengan vert (S) menyatakan himpunan verteks polihedral S. Perhatikan bahwa
X adalah polihedral oleh defenisi, jadi dari keberhinggaan Z aktuality himpunan V berhingga . Telah diperlihatkan Schultz et al. (1998) bahwa terhadap asumsi
problem (3.6) memiliki penyelesaian optimal x∗ ∈ V . Dari hasil ini, maka (3.6) dapat dinyatakan sehingga program stokastik dua-tahap berikut dengan keputu-san tahap-pertama berhingga:
min x∈V ( g(x) = cTx + K X k=1 pkQ(x, ξk) ) (3.10)
Diajukan dalam Schultz et al. (1998) untuk menyelesaikan (3.10) dengan mengenumerasi himpunan berhingga V .
Bagaimana mengestimasi |V |. Dari (3.8) jelas bahwa himpunan Z men-cakup semua vektor integer z, sehingga untuk hk fix, komponen ke j dari z, yaitu zj mengambil nilai bhkj − Tjxc untuk semua x ∈ X. Perlihatkan x := {x ∈ <m2 : x = Tx, x ∈ X} dan andaikan D diameter x. Perhatikan karena x
kom-pak, X juga komkom-pak, jadi D ≤ ∞. Maka, untuk suatu hk fix, zj dapat menjadi bila paling banyak D + 1 nilai. Jika sekarang, diperhatikan semua K skenario, zj
dapat mengambil k(d + 1) nilai yang mungkin. Akibatnya, dapat dibatasi kardi-nalitas dari Z sebagai |Z| ≤ [K(D + 1)]m2. Sekarang perhatikan untuk sembarang
z ∈ Z, sistem
cl (C (z)) =
x ∈ <n1 : x ≥ 0, Tx ≤ hk− z, Tx≥ hk − z − 1, ∀k =
dengan h = mink{hk} dan ¯h = maxk{hk}, operasi maks dan min perbagian. Dengan mengandaikan bahwa X = {x ∈ <n1 : Ax ≤ b, x ≥ 0} dimana A matriks
m1 × n1, terdapat untuk sembarang z ∈ Z,
cl (C (z)) ∩ X =
x ∈ <n1 : Ax ≤ b, x ≥ 0, Tx ≤ h − z, Tx≥ ¯h − z − 1
Sistem diatas terdefenisi paling banyak untuk n1+m1+2m2, pertidaksamaan linier (termasuk non-negativitas), jadi paling banyak memiliki
n1+ m1+ 2m2 n1 < (n1+ m1+ 2m2)m1+2m2
Titik ekstrim. Jadi diperoleh batas atas kardinalitas dari V , yaitu |V | < [K(D + 1)]m2(n1+ m1+ 2m2)m1+2m2
(3.11)
Jadi kardinalitas dari V , demikian pula usaha yang dibutuhkan dalam meng-evaluasi calon penyelesaian x ∈ V . Sebagian besar tergantung pada K. De-ngan memakai pendekatan PRS konsiderasi terhadap semua skenario {ξ1, . . . , ξK} dalam dapat dihindari. Pandang sampel {ξ1, . . . , ξN} dari parameter tak pasti problem, dengan ukuran sampel N jauh lebih kecil daripada K. Maka problem PRS yang terkait dengan (3.10) adalah:
min x∈Vn ( ˆ gN (x) = cTx + 1 N N X n=1 Q(x, ξn) ) (3.12) Dengan VN sampel mitra dari himpunan V yaitu,
Vn:= ∪z∈ZNvert(CN(z) ∩ X) (3.13)
Dengan CN(z) := ∩N
n−1C (z, ξn) dan ZN := {z ∈ Zm2 : CN(z) ∩ x 6= φ} Per-hatikan bahwa himpunan V dan VN dalam problem (3.10) dan (3.12) tidak sama,
31
himpunan ini masing-masing dinyatakan oleh himpunan Ξ dan himpunan bagian yang disampel dari Ξ. Tidak secara langsung jelas apakah penyelesaian (3.12) ter-masuk dalam hmpunan calon penyelesaian optimal V . Untungnya, karena vektor yang disampel membentuk himpunan bagian dari Ξ, akibatnya Vn ⊂ V . Jadi sembarang penyelesaian untuk (3.12) merupakan calon penyelesaian optimal ter-hadap problem awal. Sekarang dapat secara langsung diterapkan hasil konvergensi eksponensial dari (4.10) terhadap program stokastik dengan recourse integer dan peubah tahap- pertama kontinu. Secara khusus pertidaksamaan (3.1) menjadi
1 − P ˆ XNδ ⊂ Xε ≤ |V |e−N γ(δ,ε) (3.14)
Dimana, seperti sebelumnya ˆXδ
N adalah himpunan penyelesaian secara δ-optimal terhadap problem PRS, Xε adalah himpunan penyelesaian ε-optimal terkadang problem awal, dan konstanta γ(δ, ξ) dapat diestimasi menggunakan (3.2). Dengan memakai (3.14) dan estimasi dari |V | dalam (3.11) dapat diten-tukan ukuran sampel untuk problem PRS yang menjamin suatu penyelesaian
ε-optimal terhadap problem awal dengan peluang 1 − α sebagai berikut.
N ≥ 3δ
2
(ε − δ)2(m2log[K(D + 1)]) + (m1+ 2m2)(n1 + m1+ 2m2) − log α) (3.15) Walaupun estimasi ukuran sampel N ini terlalu konservatif untuk tujuan praktis, ia memperlihatkan bahwa N berkembang secara linier terhadap dimensi problem dan secara logarithmically terhadap jumlah skenario K. Ini mengiden-tifikasikan bahwa dapat diperoleh penyelesaian cukup akurat terhadap problem yang mencakup sejumlah besar skenario dengan memakai ukuran sampel sedikit. Sekarang perhatikan situasi dimana sebaran sebenarnya dari ξ(ω) kontinu sedangkan sejumlah berhingga skenario diperoleh dengan diskritisari fungsi
se-baran ini. Jika diskritisari demikian cukup baik, maka perbedaan antara nilai ekspektasi terkait dari fungsi objektif kecil, yaitu andaikan η batasan konstan nilai mutlak dari perbedaan antara nilai-nilai ekspektasi Q(x, ξ(ω)), yang diambil ter-hadap sebaran diskrit dan kontinu dari ξ(ω), untuk semua x ∈ X. Akibatnya jika ¯
x merupakan penyelesaian ε-optimal dari problem nilai ekspektasi terhadap salah
satu sebaran ini, maka ¯x merupakan penyelesaian (ε + 2η-optimal dari problem
nilai ekspektasi terhadap sebaran lainnya. Karena itu , jika fungsi nilai ekspektasi yang diambil terhadap sebaran kontinu, adalah kontinu Lipschitz pada X, maka estimasi (3.4) dapat diaplikasikan terhadap problema dengan sebaran terdiskriti-sari yang disesuaikan untuk konstanta yang terkait.
3.4 Menyelesaikan Problem PRS
Secara prinsip teknik enumerasi Schultz et al. (1998) dapat dipakai un-tuk menyelesaikan problem PRS (3.12). Namun umumnya sangat sulit unun-tuk mengkarakterisasi himpunan VN kecuali problem tahap-kedua memiliki struktur sangat sederhana, tambahan lagi kardinalitas V∞ sangat besar, sehingga enu-merasi tidak dimungkinkan secara komputasi. Alternatifnya, dapat dicoba un-tuk menyelesaikan deterministik ekivalen dari (3.12) dengan memakai algoritma branch and bound. Namun, teknik demikian tidak mencoba untuk mengeksplotasi struktur yang dapat teruraikan dari problem, dan metode ini akan gagal kecuali ukuran sampel kecil. Dekomposisi berbaris algoritma Branch and Bound yang dihentangkan dalam Ahmed et al. (2000) untuk menyelesaikan problem PRS. Di-samping mengkarakterisasi himpunan calon penyelesaian Vn, algoritma ini mengi-dentifikasi calon penyelesaian dengan berturut-turut mempartisi ruang pencarian.
33
Lebih lanjut lagi, algoritma memanfaatkan informasi batas bawah untuk menge-liminasi bagian daerah pencarian sehingga mencegah enumerasi lengkap. Karena algoritma tidak secara eksplisit menelusuri Vn, harus dipastikan bahwa penyele-saian akhir yang diperoleh tidak termasuk dalam himpunan ini untuk mencapai konvergensi.
Berikut ini diuraikan algoritma sebagai penambahan terhadap asumsi (A1)− (A5), algoritma mengandaikan (A6) matriks teknologi T , yang mengaitkan prob-lem tahap pertama dan kedua adalah deterministik, yaitu Tk = T untuk semua
k.
Perlihatkan transformasi linier dari peubah problem tahap pertama x de-ngan memakai T oleh x := Tx. Peubah x dikenal sebagai peubah lunak dalam literatur program stokastik. Ide prinsip dibelakang algoritma adalah memandang problem PRS dalam peubah lunak.
min χ∈χ n ˆ GN(χ) := Φ(χ) + ˆΨN(χ) o (3.16) dimana Φ := inf x∈X{cTx : T x = χ}, ˆΨN(χ) = N−1 N X n=1 Ψ)N (χ, ξjn) Ψ(χ, ξ) := inf y∈Y qTy : W y ≥ h − χ dan X := {X ∈ <m2 : X = Tx, x ∈ X}
X memiliki dimensi lebih kecil dari pada x. Lebih penting lagi, transformasi
ini memberikan struktur tertentu terhadap fungsi diskontinu ΨN(·). Khususnya, dapat diperlihatkan Ahmed et al. (2000) bahwa ΨN : <m2 → < mempunyai sifat berikut:
i. Ia tak naik sepanjang setiap komponen Xj, j = 1, . . . , m2 dari X.
ii. Untuk setiap z ∈ Zm1, ia konstan pada himpunan
CN(z) := {X : hn− z − 1 ≤ X ≤ hn− z, n = 1, . . . , N }
Perhatikan bahwa himpunan CN(z)-dikaitkan dengan himpunan CN(z) oleh transformasikan X = Tx. Juga perhatikan baku CN(z) adalah hiper-empat persegi karena ia merupakan perkalian kartesian dari interval. Jadi, fungsi nilai ekspektasi tahap kedua ΨN(·) konstan perbagian pada daerah empat persegi dalam ruang peubah lunak X. Maka diskontinuitas dari ΨN(·) hanya dapat terletak di batas daerah-daerah ini dan, karena itu, semua ortogonal pada sumbu peubah lebih lanjut lagi, karena X kompak, maka X juga kompak. Jadi daerah demikian dalam himpunan layak problem berhingga.
Algoritma mengeksploitasi sifat structural di atas dengan mempartisi ruang
χ menjadi daerah berbentuk Qm2
j=1[lj, uj), dimana uj merupakan komponen ke
j dari suatu titik χ pada mana fungsi nilai tahap kedua ϕ(·) diskontinu.
Per-hatikan bahwa ˆϕN(·) hanya dapat diskontinu di suatu titik χ dimana sekurang-kurangnya satu dari komponen vector hn− χ merupakan integral untuk beberapa
35
Dibawah ini diberikan pernyataan formal dari algoritma branch and bound. Notasi:
L Daftar subproblem
i Nomor iterasi; juga dipakai untuk mengindikatorkan subproblem terpilih
P Partisi yang berkaitan dengan i
αi Batas atas yang diperoleh di iterasi i
βi Batas bawah pada subproblem i
χi Penyelesaian layak untuk nilai subproblem
U Batas atas pada nilai optimal global
L Batas bawah pada nilai optimal global
χ∗ Calon optimum global
Algoritma Inisialisasi
Proses problem dengan membentuk hiper-persegi berbentuk P0 :=Qm1 j=1[l0
j, u0 j) sehingga χ ⊂ P0. Tambahkan problem min ˆGN(χ) dengan kendala χ ∈ χ ∩ P0
untuk mendaftarkan subproblem terbuka L. Buat U ← +∞ dan penghitung ite-rasi i ← 0.
Iterasi i:
Langkah i.1 : Jika =∅, berhenti dengan penyelesaian χ∗, jika tidak, pilih sub-problem i, yang didefinisikan sehingga min ˆGN(χ) dengan kendala χ ∈ χ ∩ P0 dari subproblem saat ini. Buat L ←L\{i}.
Langkah i.2 : Problem batas bawah βi yang memenuhi βI ≤ inf{ ˆGN(χ) : χ ∈
χ ∩ Pi}. Jika ξ ∩ Pi = ∅, βi = +∞. Tentukan penyelesaian layak ξi ∈ χ dan hitung batas atas αi ≥ ˆGN(χi).
Langkah i.2.a : Buat L → minl∈L∪{i}βl.
Langkah i.2.b : Jika αi < U , maka χ∗ ← χi dan U ← αi.
Langkah i.2.c : Hentikan daftar subproblem, yaitu L ←L\{l : βl≥ U }.
Jika βi≥ U pergi ke langkah i.1 dan pilih subproblem lain.
Langkah i.3 : Partisi Pi menjadi Pi1 dan Pi2. Buat L ← L{i1, i2} yaitu per-soalan kedua subproblem dari ˆGN(χ) kendala χ ∈ χ ∩ Pi1 dan dari ˆGN(χ) kendala
χ ∈ χ ∩ Pi2 ke daftar subproblem terbuka. Untuk tujuan pemilihan βi1, βi2 ← βi. Buat i ← i + 1 dan kembali ke langkah i.1
BAB 4 KESIMPULAN
Dalam penelitian ini dikembangkan metode pendekatan rata-rata sampel untuk program stokastik dua tahap. Penyelesaian persoalan program stokastik dua tahap berisi vector deterministik. Pada tahap pertama, dibuat penyelesaian persoalan rencana awal deterministik. Pembentukan rencana awal deterministik dilakukan sebelum kondisi acak dari persoalan ditentukan. Pada tahap kedua digunakan sebuah vector acak pada persoalan yang sesuai untuk merencanakan kompensasi divergensi, spesifikasi parameter.
Dua kesulitan dalam menyelesaikan program stokastik adalah:
1. Evaluasi eksak dari ekspektasi biaya recourse. 2. Mengoptimalkan Ekspektasi biaya recourse.
Algoritma Branch and Bound untuk menyelesaikan problem PRS. Algo-ritma Branch and Bound juga mengkaraterisasi himpunan calon penyelesaian dan mengidentifikasi calon penyelesaian dengan berturut-turut mempartisi ruang pencarian. Algoritma memanfaatkan informasi batas bawah untuk mengelimi-nasi bagian daerah pencarian. Karena algoritma tidak secara eksplisit menelusuri himpunan calon penyelesaian dipastikan bahwa penyelesaian akhir yang diperoleh tidak termasuk dalam himpunan ini untuk mencapai konvergensi.
Ahmed, S. (2000). Strategic Planning under Uncertainty:Stochastic Integer
Pro-gramming Approaches. Ph.D. Thesis, University of Illinois at
Urbana-Champaign.
Ahmed, S., Tawarmalani, M., and Sahinidis, N.V. (2000). A ?nite branch
and bound algorithm for two stage stochastic integer programs. Submitted
for publication. E-print available in the Stochastic Programming E-Print Series:http://dochost.rz.hu-berlin.de/speps/.
Bienstock, D., and Shapiro, J.F. (1998). Optimizing resource acquisition decisions
by stochastic programming. Management Science, 34:215229.
Birge, J.R. and Dempster, M.A.H. (1996). Stochastic programming approaches to
stochastic scheduling. Journal of Global Optimization, 9(3-4):417451.
Birge, J.R., dan Louveaux, F. (1997). Introduction to Stochastic Programming. Spinger-Verlag, New York.
Birge, J.R., and Louveaux, F. (1997). Introduction to Stochastic Programming. Springer, New York, NY.
Care, C.C., and Schultz, R. (1999). Dual Decomposition in Stochastic Integer
Pro-gramming. Operation Research Letters 24, 37-45.
Caroe, C.C., Ruszczynski, A., and Schultz, R. (1997). Unit commitment under
uncertainty via two-stage stochastic programming. In Proceedings of NOAS
97,Caroeet al.(eds.), Department of Computer Science, University of Copen-hagen, pages 2130.
Caroe, C.C. (1998). Decomposition in stochastic integer programming. PhD thesis, University of Copenhagen.
Engell, S., Mrkert, A., Sand, G., and Schultz, R. (2004). Aggregated Scheduling of
a Multiproduct Bacth Plant by Two-Stage Stochastic Integer Programming.
Optimazation and Engineering 5, 335-359
Ermolyev, J.M.(1970). Stochastic Quasi-Gradient Methods and Applications, Ph.D. in Institute of Cybernetics Ukrainian S.S.R. Academy of Sciences,Kiec. Eisner, M.J., Kaplan, R.S., dan Soden,. J.V. (1971). Admissible Rules for the
E-Model of Chance-Constrained Programming, Management Sci., No. 17.
Judin, D.B. (1972). Multi-Stage Planning Problems under Risk and Uncertainty, Technologi Cybernetics. No.6
Kall, P., and Wallace, S.W. (1994). Stochastic Programming. John Wiley and Sons, Chichester, England.
39
Kleywegt, A. J., Shapiro, A., and Homem-De-Mello,T. (2001). The sample average
approximation method for stochastic discrete optimization. SIAM Journal of
Optimization, 12:479502.
Laporte, G., Louveaux, F.V., and Van Hamme, L. (1994). Exact solution of a
stochastic location problem by an integer L-shaped algorithm. Transportation
Science, 28(2):95103.
Linderoth, J., Shapiro, S., and Wright, S. (2002). The empirical behavior of
sam-pling methods for stochastic programming. Optimization Technical Report
02-01, Computer Sciences Department, University of Wisconsin-Madison. Mak, W.K., Morton, D.P., and Wood, R.K. (1999). Monte Carlo bounding
tech-niques for determining solution quality in stochastic programs. Operations
Research Letters, 24:475.
Norkin, V.I., P?ug, Ch., and Ruszczynski, A. (1998). A branch and bound method
for stochastic global optimization. Mathematical Programming, 83:425450.
Norkin, V.I., P?ug, G.C., and Ruszczynski, A. (1998). A branch and bound method
for stochastic global optimization. Mathematical Programming, 83:425450.
Norkin, V.I., Ermoliev, Y.M., and Ruszczynski,A. (1998). On optimal allocation
of indivisibles under uncertainty. Operations Research, 46:381395.
Sahinidis, N.V. (2004). Optimization Under Uncertainty : state-of- the-art and
opportunities. Computers and Chemical Enginneering 28, 971 983.
Schultz, R. (1995). On structure and stability in stochastic programs with random
technology matrixand complete integer recourse. Mathematical Programming,
70(1):7389.
Schultz, R. (1996). Rates of convergence in stochastic programs with complete
in-teger recourse. SIAM J. Optimization, 6(4):11381152.
Schultz, R., Stougie,L., and Van der Vlerk,M.H. (1998). Solving stochastic
pro-grams with integer recourse by enumeration: A framework using Grobner basis reductions. Mathematical Programming, 83:229252
Shapiro, A., and Homem de Mello,T. (1998). A simulation-based approach to
two stage stochastic programming with recourse. Mathematical Programming,
81(3, Ser. A):301325.
Shapiro,A., and Homem-de-Mello,T. (2001). On rate of convergence of Monte
Carlo approximations of stochastic programs. SIAM Journal on
Optimiza-tion,11:7086.
Tayur, S.R., Thomas, R.R., and Natraj, N.R. (1995). An algebraic geometry
algo-rithm for scheduling in the presence of setups and correlated demands.
Tiil, J., Sand, G., Engell, S., Emmerich, M., and Schnemann, L. (2005). A Hybrid
Algorithm for Solving Two-Stage Stochastic Integer Programming by Combin-ing Evo;utionary Algorithms and Mathematical ProgrammCombin-ing Methods.
Vol-ume 20A of Computer-Aided Chemcal Engineering, Amsterdam, Elsevier 187-192.
Verweij, B., Ahmed, S., Kleywegt, A.J., Nemhauser, G., and Shapiro, A. (2001).
The sample average approximation method applied to stochastic routing prob-lems: A computational study. Submitted for publication.
Wets,R.J-B. (1966). Programming under uncertainty: The solution set. SIAM Jour-nal on Applied Mathematics, 14:1143 1151.