INTEGRAL RIEMANN FUNGSI BERNILAI VEKTOR

(1)

ABSTRAK

INTEGRAL RIEMANN FUNGSI BERNILAI VEKTOR

Oleh Pita Rini

Bernhard Riemann mendefinisikan suatu integral matematika yang didasarkan pada suatu prosedur pembatasan yang mendekati area suatu daerah kurva linier dengan partisi daerah ke dalam selang-selang vertikal. Dengan mengkaji tentang sifat-sifat integral Riemaan pada fungsi real ( ) yang terdefinisi pada interval[ , ]kemudian menggunakan konsep integral Riemaan pada fungsi bernilai real untuk mengkaji tentang sifat dari integral Riemaan pada fungsi bernilai vektor dapat terlihat bahwa intergral pada fungsi berniai real memiliki ekuivalensi dengan integral pada fungsi bernilai vektor yaitu fungsi vektor ( ) dikatakan terintegralkan Riemann pada[ , ]jika dan hanya jika fungsi ( )terintegralkan pada[ , ], dimana ( ) = ( ), ( ) + ( ) merupakan fungsi vektor dari [ , ] ,dan ( ) merupakan fungsi bernilai real yang terintegralkan pada [ , ] ke R. Karena ekuivalensi maka sifat-sifat integral Riemann pada fungsi real yakni sifat linier, penambahan selang, perkalian dengan skalar, monoton juga berlaku pada integral Riemaan pada fungsi bernilai vektor.

(2)

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Fungsi adalah suatu aturan yang menghubungkan tiap unsur dalam himpunan ke dalam

unsur himpunan . Jika menghubungkan unsur dengan unsur , maka di tulis = ( )

dengan ( )adalah nilai dari dia. Untuk fungsi-fungsi yang paling umumAdanBadalah himpunan bilangan real, di mana disebut fungsi bernilai real dari suatu peubah real.

Fungsi-fungsi umum lainnya terjadi ketika adalah himpunan bilangan real danAadalah himpunan vektor.

Pemahaman tentang limit fungsi merupakan syarat mutlak untuk bisa memahami integral maupun diferensial. Limit fungsi bernilai vektor

F( ) = ( ) + ( ) + . . . + ( ) terdefinisi pada selang terbuka di yang memuat , kecuali mungkin diasendiri danL= (l1, l2, …, ln) vektor diRn. Limit fungsi

jika mendekatiasama dengan ditulis ( ) = , jika∀ε>0,∃δ>0sehingga 0<| |<δ maka ( ) <ε. Konsep limit fungsi vektor ini didefinisikan dengan

memanfaatkan konsep limit fungsi real, yaitu jikafadalah suatu fungsi, makalim ( ) = jika dan hanya jika > 0, > 0sehingga jika0 < | | < berlaku| ( ) | < .

Mengintegralkan suatu fungsif(x)adalah menentukan suatu fungsiF(x)sehingga turunannya

)

 . Integral terbagi menjadi dua macam yaitu integral tentu dan integral tak

(3)

Pada fungsi real integral tentu diperkenalkan sebagai limit jumlah Riemann. Riemann mendefinisikan integral pada fungsi suatu domain berupa interval tertutup dan terbatas pada

himpunan real sebagai luas daerah di bawah kurva dari fungsi tersebut. Untuk menentukan luas daerah tersebut diawali dengan membagi interval di mana fungsi terdifinisi pada subinterval-subinterval yang banyak dan berhingga. Secara umum integral Riemann

didefinisikan

= ( ) = lim ( )

Pada penelitian ini akan dicari sifat-sifat integral Riemann pada fungsi bernilai vektor dengan

memanfaatkan sifat limit dan sifat integral Riemann pada fungsi bernilai real.

1.2 Tujuan Penelitian

Tujuan penelitian ini adalah memahami dan mengkontruksi konsep integral Riemann fungsi

bernilai real ke dalam integral Riemann fungsi bernilai vektor.

1.3 Batasan Masalah

Penelitian ini hanya membahas konsep integral fungsi bernilai vektor pada integral Riemann

dengan mengunakan konsep dan sifat-sifat integral Riemann pada fungsi bernilai real.

1.4 Manfaat Penelitian

Adapun manfaat penelitian ini adalah:

1. Mempermudah dalam memahami konsep integral.

2. Memahami konsep dan sifat-sifat integral Riemann dalam fungsi bernilai real dan fungsi

bernilai vektor.

(4)

II. LANDASAN TEORI

2.1 Fungsi

Definisi 2.1.1 Fungsi Bernilai Real

Fungsi bernilai real adalah fungsi yang domain dan rangenya adalah himpunan bagian dari

real.

Definisi 2.1.2 Limit Fungsi Jika adalah suatu fungsi, maka

✁✂ ✦

✄ ☎ ✆

Jika dan hanya jika✧ ✝✞ ✟ ✝✞sehingga jika✞ ✠✡ ✡✠ berlaku

✡ ✄ ☎ ✡ ✠

(Ayres,jr dan Mendelson,2004 ).

(5)

Diberikan ✌✍sebarang. Karena✎✏✑

karena > 0sebarang, maka

lim ( ) + ( ) = +

lim , maka berlaku:

(6)

 ; 0

(Ayres,jr dan Mendelson,2004 ).

Teorema 2.1.1 Kekontinuan Fungsi

Misalkan , fungsi disebut kontinu di Auntuk setiap > 0, terdapat > 0sedemikian sehingga jika memenuhi| | < maka| ( ) ( )| < . Fungsi

disebut kontinu padaA, jika kontinu di setiap titik .

Bukti :

Misalkan kontinu di , ambil > 0sebarang. Anggap = ( ( ) , ( ) + ), karena

kontinu di maka terdapat lingkungan dari sehingga ( ) ,untuk setiap .

Pilih > 0sehingga( , + ) , maka untuk ini berlaku ( ) ,sehingga

untuk| | < maka| ( ) ( )| < .

Diberikan sebarang( ) barisan yang konvergen ke dan ambil > 0sebarang. Menurut

hepotesis terdapat > 0sedemikian sehingga jika memenuhi| | < maka

| ( ) ( )| < . Karena( )konvergen ke , maka terdapat sehingga| | <

bila . Jadi untuk berlaku| ( ) ( )| < , sehingga( ( ))konvergen

ke ( ). Ini menunjukkan fungsi kontinu di .

Teorema 2.1.2 Kontinu Seragam

Misalkan dan : , dikatakan kontinu seragam pada jika untuk setiap > 0,

(7)

2.2 Vektor

Definisi 2.2.1 Ruang Vektor

Ruang vektor V adalah himpunan vektor tak kosong di mana dua operasi berlaku,

penjumlahan dan perkalian skalar. Setiap dua vektor dan dan kombinasi liniernya dan

, dan bilangan real merupakan anggota dari V, dan memenuhi sifat-sifat sebagai

berikut :

- Operasi penjumlahan :

1. + = +

2. + + = + +

3. + 0 =

4. + ( ) = 0

- Operasi perkalian :

1. + = +

2. ( + ) = +

3. ( ) = ( )

4. 1 = (Maddox, 1970).

Definisi 2.2.2 Fungsi Bernilai Vektor

Suatu fungsi bernilai vektor dengan peubah real memadankan tiap bilangan real dengan

suatu vektor ( ).

Jadi

(8)

dengan dan fungsi bernilai real

( Spiegel, 1990).

Definisi 2.2.3 Limit Fungsi Bernilai Vektor

Misalkan fungsi vektor ✙ ✚ ✛ ✙ ✚✜ ✙ ✚✜✢✢✢✜ ✙ ✚terdefinisi pada selang terbuka di

yang memuata, kecuali mungkin diasendiri danL=(l1, l2, …, ln)vektor diRn. Limit fungsiFjikatmendekatia, ditulis

✣ ( ) =

dan didefinisikan sebagai berikut:

setiap > 0 ada bilangan > 0sehingga

( ) − <ε

Untuk semua di daerah definisi fungsi dan memenuhi0<| − |<δ.

Teorema 2.2.1 Limit Fungsi Bernilai Vektor

Misalkan ( ) = ( ) + ( ) , makaFmemiliki limit dicjika dan hanya jika dan memiliki limit di . Dalam hal ini berlaku:



lim ( )



(Purcell dan Varberg, 1987).

(9)

Misal diberikan sebarang partikel ∈ dan = (0,0,0) merupakan titik awal. Maka jarak atau norm antara dan dinotasikan dengan‖ ‖ serta didefisikan sebagai:

‖ ‖ = + + ,,,+

atau

‖ ‖ = | |

2.3 Integral Riemann

Definisi 2.3.1 Partisi

Misalkan : → terbatas dan = { , ,…, }partisi pada selang[ , ], suatu himpunan berhingga{ = , ,…., = } sedemikian sehingga

= < < < < =

Norm partisiPyang dinyatakan dengan‖ ‖ nilai terbesar diantara bilangan( − ), =

1,2,…, . Maka definisi jumlah Riemann pada fungsi : → adalah

( ; ) = ( )( − )

(Bartle, 1992).

Definisi 2.3.2

Diberikan integral tertutup[ , ], partisiQdisebut penghalus partisiPpada[ , ] jika ⊆ (Herawan-Thobirin, 2008).

(10)

Untuk setiap bilangan real > 0terdapat partisiPpada[ , ] sehingga‖ ‖<

(Herawan-Thobirin, 2008).

Definisi 2.3.3 Jumlah Riemann Atas dan Jumlah Riemann Bawah

Misalkan partisi dari[ , ] adalah terbatas. Untuk setiap subinterval[ , ] dari maka:

= { ( ): ∈[ , ]}dan = { ( ): ∈[ , ]}

Sehingga jumlah integral Riemann bawah dari dengan partisi adalah

( ; ) = ( − )

sedangkan jumlah integral Riemann atas adalah

( ; ) = ( − )

dengan = inf ( ) dan = sup ( ). Akibatnya

( ; ) ≤ ( ; ) ≤ ( ; )

Definisi 2.3.4 Integral Riemann Atas dan Integral Riemann Bawah

Misalkan fungsi bernilai real yang terbatas dan terdefinisi pada : [ , ] dan =

( , ,…, , ) merupakan partisi dari . Maka integral Riemann atas dan integral

Riemann bawah secara bersamaan didefinisikan sebagai:

(11)

dan

Sup ( ; ) = ( )

Fungsi dikatakan terintegralkan Riemann pada selang[ , ] jika

( ) = ( )

dan dinotasikan

( )

Definisi 2.3.5 Integral Sebagai Limit

Diberikan fungsi real dan terbatas pada[ , ] untuk tiap partisi = { , ,…, }pada

[ , ] dibentuk jumlah

( ; ) = ( )( − )

Di mana merupakan titik sebarang pada sebselang tertutup[ , ] = 1,2,. ., . Bilangan real disebut limit ( , ) untuk norm‖ ‖ → 0 dan ditulislim_{‖ ‖ →} ( , ) = jika dan hanya jika untuk setiap > 0yang diberikan dan sebarang pengambilan titik ∈[ , ] , terdapat > 0untuk semua partisi pada [a,b] dengan‖ ‖< berlaku

| ( ; − )| <

Definisi 2.3.6 Integral Riemann

(12)

Jika

Maka f terintegralkan pada[ , ]

Teorema 2.3.2 Keintegralan Riemann

Jika terbatas pada[ , ] dan ia kontinu di sana kecuali pada sejumlah terhingga titik, maka terintegralkan pada[ , ]. Khususnya, jika kontinu pada seluruh selang[ , ]maka ia terintegralkan pada[ , ]

Teorema 2.3.3 Keintegralan Riemann Fungsi Kontinu

Jika kontinu pada[ , ] maka terintegralkan pada[ , ].

Bukti:

Fungsi yang kontinu pada[ , ] pasti terbatas pada[ , ] dan kontinu seragam pada[ , ]. Karena fungsi kontinu seragam pada[ , ] maka diberikan sebarang > 0terdapat > 0 sedemikian sehingga untuk setiap , ∈[ , ] dengan| − | < berlaku

| ( ) − ( )| < −

diberikan = { , ,…, } partisi dari[ , ], setiap subinterval[ , ], mencapai nilai maksimum dan nilai minimum , maka

(13)

diperoleh:

− = ( ) − ( ) <

−

akibatnya:

0 ≤ ( , ) − ( , ) = ( , ) − ( , )

= ( − ) ( , )

= ( ) − ( ) ( , )

≤

− ( , )

=

− ( − ) =

ini menunjukkan

( , ) − ( , ) <

Karena > 0sebarang maka ∈ [ , ].

Teorema 2.3.4 Ketunggalan

Jika ∈ [ , ] maka nilai integralnya tunggal.

Bukti:

(14)

Karena merupakan nilai integral fungsi pada[ , ], maka terdapat bilangan > 0 sehingga untuk setiap partisi pada[ , ] dengan sifat‖ ‖ < berlaku

| ( ; ) − | < 2

Dan karena merupakan nilai integral fungsi pada[ , ], maka terdapat bilangan > 0 sehingga untuk setiap partisi pada[ , ] dengan sifat‖ ‖ < berlaku

| ( ; ) − | <

(15)

(Herawan-Thobirin, 2008).

Teorema 2.3.5 Fungsi Monoton Integral Riemann

Misal : [ , ] → fungsi monoton, maka terintegralan Riemann pada[ , ].

Bukti:

Karena terbatas pada[ , ] dan misal diberikan > 0berlaku ( , ) − ( , ) < maka untuk tiap partisiPpada selang[ , ] berlaku0 ≤ ( , ) − ( , ) ≤ | || ( ) − ( )|.

Karena monoton, setiap subinterval[ , ] diperoleh:

− = | ( ) − ( )|

akibatnya:

0 ≤ ( , ) − ( , ) = ( − ) ( , )

≤ | | ( − ) = | | | ( ) − ( )|

Karena monoton maka ( ) − ( ) keduanya bernilai positif atau keduanya bernilai negatif. Sehingga

0 ≤ ( , ) − ( , ) ≤ | | | ( ) − ( )|

(16)

dengan demikian ∈ [ , ].

Teorema 2.3.6 Nilai Rata-rata (Mean) Untuk Integral Riemann

Misalkanf kontinu pada[ , ]. Maka terdapatcdalam[ , ] sedemikian rupa sehingga:

( ) = ( − ) ( )

(Ayres,jr dan Mendelson,2004 )

Teorema 2.3.7 Teorema Dasar Kalkulus

Misalkan fungsifkontinu pada interval[ , ] dan misalkanF(x)=∫ ( ) yaitu adalah anti turunan darifmaka :

( ) = ( ) − ( )

(Ayres,jr dan Mendelson,2004).

Bukti:

Diberikan > 0sebarang, pilih partisi = { , ,…, } dari I sedemikian sehingga

( , ) − ( , ) <

Menurut teorema nilai rata-rata, pada setiap interval[ , ] terdapat titik ∈( , ) sedemikian sehingga:

(17)

Misalkan dan adalah infimum dan supremum dari pada[ , ] maka

( , ) ≤ ( ) − ( ) ≤ ( , )

Untuk tiap k = 1,2,3,...,n. Dengan menjumlahkan suku-suku di tengah maka diperoleh

( , ) ≤ ( ) − ( ) ≤ ( , )

selain itu dimiliki

( , ) ≤ ( ) ≤ ( , )

akibatnya

( ) − [ ( ) − ( )] <

Karena ini berlaku untuk sembarang > 0, maka dapat disimpulkan

( ) = ( ) − ( )

(Gunawan,2008).

Selain kriteria di atas, sifat lainnya yang dimiliki oleh integral Riemann pada fungsi bernilai

real adalah sebagai berikut.

(18)

Andaikan bahwa dan teritegralkan pada[ , ] dan bakwa konstanta. Maka dan

+ terintegralkan dan

(i). ∫ ( ) = ∫ ( )

(ii).∫ [ ( ) + ( )] = ∫ ( ) + ∫ ( )

Bukti:

i. Diketahui ∈ [ , ]. Diberikan sebarang > 0dan merupakan konstanta.

Karena ∈ [ , ]maka terdapat = ∫ ( ) dan > 0sehingga untuk setiap

partisi P pada [a,b] dengan sifat‖ ‖ < berlaku

| ( , ) − | <

JikaPsebarang partisi pada[ , ] dengan sifat‖ ‖ < berlaku

| ( , ) − | = ( ) ( )( )( , ) − <

= ( ) ( )( , ) − <

karenakkonstanta maka

= ( ) ( )( , ) − <

= | ( , ) − | <

= ( )

(19)

Karena ∈ [ , ]maka terdapat = ∫ ( ) dan > 0sehingga untuk setiap partisi pada[ , ] dengan sifat‖ ‖ < berlaku

| ( , ) − | < 2

dan karena ∈ [ , ] maka terdapat = ∫ ( ) dan > 0sehingga untuk

setiap partisi pada[ , ] dengan sifat‖ ‖ < berlaku

| ( , ) − | < 2

Dipilih = { , }akibatnya jika sebarang partisi pada[ , ] dengan sifat

‖ ‖ < akibatnya

| ( , + ) − ( − )| = ( ) ( + )( )( , ) − ( − )

= ( ) ( )( , ) + ( )( , ) − ( − )

= ( ) ( )( , ) + ( ) ( )( , ) − ( − )

≤ ( ) ( )( , ) − ) + ( ) ( )( , ) − )

<

2+ 2=

Terbukti( + ) ∈ [ , ] dan∫ [ ( ) + ( )] = ∫ ( ) + ∫ ( )

(20)

Jika terintegralkan pada selang yang mengandung tiga titik yaitu , , maka

( ) = ( ) + ( )

(21)

III. METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian

Penelitian ini dilakukan pada semester ganjil, tahun ajaran 2012/2013 di Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA), Universitas Lampung.

3.2 Metode Penelitian

Penelitian ini bersifat studi literatur dengan mengkaji jurnal-jurnal dan buku-buku teks yang

berkaitan dengan bidang yang diteliti. Tahapan penelitian ini adalah :

1. Penulusuran beberapa jurnal dan buku teks yang terkait.

2. Menulusuri konsep-konsep dan definisi-definisi yang berkaitan dengan persamaan integral Riemann serta konsep vektor.

3. Mempelajari dan memahami konsep-konsep dan definisi-definisi pada bab

sebelumnya (landasan teori).

4. Menggunakaan konsep-konsep dan definis-definisi untuk mengkontruksi integral

(22)

Oleh

PITA RINI

Skripsi

Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar SARJANA SAINS

Pada

Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG

(23)

(Skripsi)

Oleh PITA RINI

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG

(24)

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Kotabumi pada tanggal 7 September 1987, anak ketiga dari ketiga bersaudara dari pasangan Bapak Drs. Munjiyat dan Ibu Sutarni.

Penulis menyelesaikan Pendidikan di Sekolah Dasar Negeri 1 Gapura Kotabumi Lampung

Utara pada tahun 1999, Sekolah Lanjut Tingkat Pertama Negeri 1 Kotabumi Lampung Utara pada tahun 2002, dan Sekolah Menengah Atas Negeri 3 Kotabumi Lampung Utara pada tahun 2005. Pada tahun yang sama penulis diterima sebagai mahasiswa Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung (FMIPA Unila) melalui jalur Seleksi Penerimaan Mahasiswa Baru (SPMB). Sedangkan pada tahun 2008,

(25)

MOTTO

Bukanlah kesulitan yang membuat kita takut, tapi ketakutan yang membuat kita sulit, karena

itu jangan pernah mencoba untuk menyerah dan jangan pernah menyerah untuk

mencoba, maka jangan katakan pada Allah aku punya masalah, tetapi katakan pada

(26)

MENGESAHKAN

1. Tim Penguji

Ketua :Dra. Dorrah Aziz, M.Si.

Sekertaris :Amanto, M.Si.

Penguji

Bukan Pembimbing :Dr. Muslim Ansori

2. Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Prof. Suharso, Ph.D

NIP. 19690530 199512 1 001

(27)

PERSEMBAHAN

Dengan rasa syukur dan kerendahan hati, skripsi ini penulis persembahkan untuk

1. Bapak dan Mamak, sebagai tanda hormat dan baktiku atas kesabaran dan doanya

menantiku menjadi seorang sarjana;

2. Mas Toro dan Mbak Ari atas kasihnya yang tak terhingga;

(28)

Judul Skripsi :INTEGRAL RIEMANN FUNGSI BERNILAI VEKTOR Nama Mahasiswa :Pita Rini

No. Pokok Mahasiswa : 0517031055

Jurusan : Matematika

Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

MENYETUJUI Komisi Pembimbing

Dra. Dorrah Aziz, M.Si. Amanto, M.Si.

NIP 19610128 198811 2 001 NIP 19730314 200012 1 002

MENGETAHUI Ketua Jurusan

(29)

SANWACANA

Puji syukur penulis panjatkan ke hadirat Allah Subhana wata’ala karena berkat limpahan

rahmat-Nya penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudulIntegral Riemann Fungsi Bernilai Vektor.

Inilah pekerjaan paling besar yang pernah penulis lakukan, maka selayaknya penulis menyampaikan penghargaan dan terima kasih kepada

1. Ibu Dra. Dorrah Azis, M.Si selaku pembimbing pertama atas bimbingan, arahan, saran dan bantuannya selama penulis menyelesaikan skripsi ini;

2. Bapak Amanto, S.Si, M.Si selaku pembimbing kedua yang telah meluangkan waktunya untuk memberikan bimbingan dengan sabar dan pengertian;

1. Bapak Dr. Muslim Ansori selaku pembahas yang telah memberikan masukkan dan saran kepada penulis;

4. Ibu Notiragayu, M.Si selaku pembimbing akademik;

5. Bapak Prof. Suharso, Ph.D selaku Dekan FMIPA, beserta stafnya;

6. Bapak Tiryono Ruby, M.Sc. Ph.D selaku Katua Jurusan Matematika beserta seluruh dosen

Jurusan Matematika FMIPA Unila dan staf-stafnya;

7. Kiki atas persaudaraan dan kebersamaan yang tak terganti;

8. Sahabat-sahabatku: Anita, Yus, Selva, Artika, Yuni, Alien, Deka, dan Icha, terima kasih atas dorongan dan semangat yang diberikan selama ini;

(30)

dan teman-teman di Wisma Annisa 1 atas persaudaraan dan doanya.

Demikian ucapan terima kasih penulis sampaikan, hanya Allah SWT yang dapat membalas dan memberi rahmat-Nya atas segala usaha dan bantuan yang telah diberikan kepada penulis.

Harapan penulis semoga skripsi ini tidak hanya dihargai sebagai suatu syarat untuk memperoleh gelar sarjana sains, akan tetapi sebagai suatu sumbangsih kepada mahasiswa

yang ingin mengembangkan ataupun memperbaiki penelitian di dalam skripsi ini. Banyak sekali perkembangan dan perbaikkan menarik yang penulis temukan dan ingin sekali penulis lanjutkan. Akan tetapi tidak terlaksana dan semoga dapat dilanjutkan oleh mahasiswa yang

tertarik.

Bandar Lampung, Desember 2012

Penulis