KAJIAN KONSISTENSI PENDUGAAN PARAMETER MODEL
WAKTU KONTINU PADA DATA WAKTU TAK TERATUR
ERICA FERA JUWITA
SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR
PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA*
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis berjudul “Kajian Konsistensi Pendugaan Parameter Model Waktu Kontinu pada Data Waktu Tak Teratur”
adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apapun kepada perguruan tinggi manapun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor.
Bogor, Agustus 2014
Erica Fera Juwita
NIM G152120221
RINGKASAN
ERICA FERA JUWITA. Kajian Konsistensi Pendugaan Parameter Model Waktu Kontinu pada Data Waktu Tak Teratur. Dibimbing oleh ASEP SAEFUDDIN dan
BAGUS SARTONO.
Pemodelan deret waktu sudah banyak berkembang, mulai dari pemodelan sederhana yang melibatkan sebuah peubah dan amatan, seperti model
Autoregressive, Moving Average, dan ARIMA. Begitu juga, untuk pemodelan yang lebih kompleks yang melibatkan beberapa peubah dan amatan dapat digunakan model Vector Autoregressive (VAR) dan Vector Error Correction Model (VECM), serta model data panel. Pada umumnya data yang digunakan dalam pemodelan tersebut diamati pada selang waktu yang teratur dan prediksi hanya dapat dilakukan pada beda kala yang merupakan kelipatan dari panjang selang pengamatan. Untuk itu, pemodelan tersebut dikenal sebagai model waktu diskret.
Keterbatasan yang dimiliki oleh model waktu diskret menyebabkan nilai prediksi yang diperoleh dengan pemodelan tersebut tidak dapat menggambarkan hubungan dari beberapa peubah yang dianggap mengalami perubahan secara kontinu. Untuk itu telah dikembangkan suatu model yang disebut sebagai model waktu kontinu yang memungkinkan peneliti dalam melakukan prediksi pada berbagai beda kala secara kontinu meskipun pengamatan dilakukan dalam periode waktu yang bersifat diskret. Karena data yang digunakan dalam pemodelan waktu kontinu tetap diambil pada waktu diskret, maka model waktu kontinu juga dibentuk berdasarkan model diskret antara lain Exact Discrete Model (EDM) dan
Approximate Discrete Model (ADM).
Kelebihan yang dimiliki oleh model waktu kontinu antara lain dapat digunakan untuk prediksi pada berbagai selang waktu, dan dapat digunakan pada pengamatan yang memiliki selang waktu tidak sama (tidak teratur). Walaupun demikian ketidakteraturan harus terjadi sama untuk setiap objek amatan jika melibatkan lebih dari satu objek amatan, atau disebut sebagai data waktu tak teratur. Pada beberapa penelitian sebelumnya banyak digunakan data waktu tak teratur dalam pemodelan waktu kontinu menggunakan pendekatan EDM. Untuk itu dalam penelitian ini dilakukan kajian mengenai konsistensi pendugaan parameter model waktu kontinu pada data waktu tak teratur tersebut melalui pendekatan EDM. Pendugaan parameter model waktu kontinu dapat dikatakan konsisten ketika hasil pendugaan parameter model waktu kontinu dengan data waktu tak teratur tidak berbeda dengan hasil pendugaan parameter model waktu kontinu dengan data waktu teratur.
Untuk mengetahui seberapa banyak data waktu tak teratur yang dapat digunakan untuk memperoleh hasil dugaan parameter yang konsisten, maka dibentuk beberapa jenis data waktu tak teratur berdasarkan data waktu teratur yang dimiliki. Hasil yang diperoleh menunjukkan bahwa pendugaan parameter model waktu kontinu dapat dikatakan telah konsisten hanya dengan menggunakan data waktu tak teratur sebanyak 20%.
SUMMARY
ERICA FERA JUWITA. Consistency Study of Continuous Time Model Parameter Estimation in Irregular Time Data. Supervised by Asep Saefuddin and Bagus Sartono.
Modeling of time series has been much developed, started from simple modeling that involves a variable and observation, like autoregressive models, moving average, and ARIMA. Likewise, the more complex modeling that involves multiple variables and observation such as Vector Autoregressive (VAR) and Vector Error Correction Model (VECM), as well as panel data models. In general, the data used in the modeling observed at regular intervals, and the predictions may only be done at a different time that is a multiple of the observation interval. Therefore, the modeling is known as a discrete time model.
Limitations of the discrete model causes the obtained predicted value cannot describe the relationship of variables which are considered to change continuously. In respect, it has developed a model called continuous time models, which allow researchers to predict various different times continuously, although the observations were carried out in a discrete. Because of the data used in the continuous time modeling still taken in discrete, hence the model was also formed based on the continuous time discrete models, such as the Exact Discrete Model (EDM) and Approximate Discrete Model (ADM).
The advantages of the continuous time models; can be used for the predictions at various intervals, and can be used on observations that have not same interval (irregular). However, the irregularity should occur at the same for each object observation that involves more than one object, or called the irregular time data. In some previous studies, a lot of irregular time data used in the modeling of continuous time using EDM. Therefore, this study examines the consistency of continuous time models parameter estimation at irregular time data using EDM. Parameter estimation of continuous time models can be said to be consistent when the results of the parameter estimation of continuous time models with irregular time data are not different from the results of parameter estimation of continuous time models with regular data interval.
To find out how lot of irregular time data that can be used to obtain consistent estimates for the parameters, were formed some types of irregular time data based on available regular time data. The results indicate that the parameter estimation of continuous time models can be said to have consistent only by using 20% irregular time data.
© Hak Cipta Milik IPB, Tahun 2014
Hak Cipta Dilindungi Undang-Undang
Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu masalah, dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan IPB
KAJIAN KONSISTENSI PENDUGAAN PARAMETER MODEL
WAKTU KONTINU PADA DATA WAKTU TAK TERATUR
ERICA FERA JUWITA
Tesis
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains
pada
Program Studi Statistika Terapan
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITU PERTANIAN BOGOR
Judul Penelitian : Kajian Konsistensi Pendugaan Parameter Model Waktu Kontinu pada Data Waktu Tak Teratur
Nama : Erica Fera Juwita
NIM : G152120221
Disetujui oleh Komisi Pembimbing
Prof Dr Ir Asep Saefuddin, MSc Ketua
Dr Bagus Sartono, MSi Anggota
Diketahui oleh
Ketua Program Studi Statistika Terapan
Dr Ir Indahwati, MSi
Dekan Sekolah Pascasarjana
Dr Ir Dahrul Syah, MScAgr
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis yang berjudul “Kajian Konsistensi Pendugaan Parameter Model Waktu Kontinu Pada Data Waktu Tak
Teratur”.
Terima kasih yang sebesar-besarnya kepada semua pihak yang telah turut peran serta dalam penyusunan tesis ini, terutama kepada :
1. Bapak Prof. Dr. Ir. Asep Saefuddin, M.Sc dan Bapak Dr. Bagus Sartono, M.Si selaku dosen pembimbing,
2. Dr.Ir. Indahwati, M.Si selaku Ketua Program Studi Statistika Terapan S2 IPB.
3. Dr. Farit Mochamad Afendi, M.Si, selaku penguji luar komisi pada ujian tesis.
4. Seluruh Dosen Dapartemen Statistika IPB yang telah mengasuh dan mendidik penulis selama di bangku kuliah hingga berhasil menyelesaikan studi.
5. Seluruh staf Departemen Statistika IPB atas bantuan, pelayanan, dan kerjasamanya selama ini.
6. Orang tua serta seluruh keluarga dan sahabat atas segala dukungan, doa dan kasih sayangnya.
7. Reba A Pratama, yang selalu direpotkan ketika mengerjakan tesis ini, atas doa, dukungan, serta bantuannya.
8. Keluarga Besar Mahasiswa Pascasarjana Program Studi Statistika dan Statistika Terapan IPB.
Penulis menyadari bahwa tesis ini masih belum sempurna. Oleh karena itu, penulis mengharapkan saran dan kritik yang membangun demi kesempurnaan penulisan selanjutnya. Semoga semua bantuan yang diberikan kepada penulis mendapatkan balasan dari Allah SWT, dan semoga penelitian ini dapat bermanfaat bagi semua pihak yang membutuhkan.
Bogor, Agustus 2014
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL vi
DAFTAR GAMBAR vi
DAFTAR LAMPIRAN vi
1 PENDAHULUAN 1
Latar Belakang 1
Tujuan Penelitian 3
2 TINJAUAN PUSTAKA 3
Exact Discrete Model (EDM) 3
Model Persamaan Struktural 3
Hubungan Antara Model Waktu Kontinu dan Model Waktu diskret 5
Model Waktu Kontinu 5
Pendugaan Parameter Model Waktu Kontinudengan SEM 6
3 METODE PENELITIAN 6
Data 6
Prosedur Analisis Data 7
4 HASIL DAN PEMBAHASAN 9
Angka Melek Huruf (AMH) 9
Anggaran Pendapatan dan Belanja Daerah (APBD) 11
Hubungan AMH dan Anggaran Pendidikan 14
Pendugaan Parameter Model Waktu Kontinu 15
Konsistensi Hasil Dugaan Parameter Model Waktu Kontinu Pada Data
Waktu Tak Teratur 17
5 SIMPULAN DAN SARAN 19
Simpulan 19
Saran 20
DAFTAR PUSTAKA 20
RIWAYAT HIDUP 32
DAFTAR TABEL
1 Statistik persentase AMH pada tahun 2008-2012 10
2 Statistik dari peubah persentase anggaran pendidikan pendidikan pada
tahun 2008-2012 13
3 Nilai Korelasi AMH dan anggaran pendidikan periode tahun
2008-2012 14
4 Hasil pendugaan parameter EDM untuk Δti = 1 15
5 Hasil pendugaan parameter model waktu kontinu untuk berbagai Δti 16
6 Hasil prediksi model waktu kontinu untuk berbagai
t
i 177 Hasil analisis konsistensi parameter model waktu kontinu untuk data
waktu tak teratur pada Δti = 1 17
DAFTAR GAMBAR
1 Diagram jalur dalam model persamaan struktural 4
2 Frekuensi persentase angka melek huruf (AMH) kota/kabupaten di
Indonesia periode tahun 2012 9
3 Persentase dari lima kelompok persentase AMH kota/kabupaten di
Indonesia periode tahun 2012 10
4 Frekuensi nilai autokorelasi peubah AMH 11
5 Persentase dari tiga kelompok anggaran pendidikan kota/kabupaten di
Indonesia periode tahun 2008-2012 12
6 Frekuensi nilai autokorelasi peubah anggaran pendidikan 13
DAFTAR LAMPIRAN
1 Data persentase Angka Melek Huruf (AMH) dan anggaran pendidikan
(APBD) periode tahun 2008-2012 22
2 Histogram peubah AMH periode 2008-2011 23
3 Hasil analisis konsistensi parameter model waktu kontinu untuk data
waktu tak teratur pada Δti = 2 23
4 Hasil analisis konsistensi parameter model waktu kontinu untuk data
waktu tak teratur pada Δti = 0.5 24
5 Algoritma pendugaan parameter EDM 24
1
1 PENDAHULUAN
Latar Belakang
Dalam berbagai bidang ilmu sangat umum dilakukan pengamatan yang menghasilkan dataderet waktu, yaitu data yang diperoleh dengan cara melakukan pengamatan terhadap suatu objek pada suatu periode dengan selang waktu yang teratur. Misalnya dalam bidang ekonomi dilakukan pengamatan terhadap nilai inflasi di Indonesia pada beberapa periode waktu dengan tujuan agar pemerintah dapat menetapkan kebijakan pengendalian inflasi. Untuk itu, berbagai macam pemodelan deret waktu dikembangkan untuk memperoleh nilai prediksi dari data yang telah dikumpulkan tersebut antara lain model Autoregressive, model Moving Average, dan model ARIMA.
Kemudian pada perkembangannya ternyata nilai dari suatu peubah tidak hanya dipengaruhi oleh nilai dari peubah itu sendiri pada periode sebelumnya, melainkan dapat dipengaruhi oleh nilai dari peubah lain yang diamati pada periode yang sama. Misalnya, nilai inflasi di Indonesia tidak hanya dipengaruhi oleh nilai inflasi pada periode sebelumnya melainkan juga dipengaruhi oleh nilai dari suku bunga. Dalam ekonometrika, jika suatu peubah (Yt) tidak hanya dipengaruhi oleh periode waktu sebelumnya (Yt-k) melainkan juga dipengaruhi oleh peubah lain (Xt-k) maka model tersebut dikenal sebagi model cross-lagged. Beberapa metode yang telah dikembangkan dalam menyusun pemodelan cross-lagged antara lain, jika di dalam model terlibat lebih dari satu peubah dan satu objek amatan, maka model Vector Autoregressive (VAR) (Sim 1980), atau model
Vector Error Correction Model (VECM) (Engle dan Granger 1987) dapat digunakan. Namun, jika di dalam model terlibat lebih dari satu peubah dan lebih dari satu objek amatan maka pemodelan data panel menjadi salah satu solusi (Baltagi 2005).
Pada umumnya pengamatan-pengamatan tersebut diukur pada selang waktu yang teratur, misalnya nilai dari peubah inflasi dan suku bunga diamati dengan selang waktu bulanan. Menggunakan model-model diatas maka dapat diduga nilai dari pengaruh peubah inflasi pada periode saat ini dengan beda kala (lag) satu bulan, dua bulan ,dan seterusnya, serta dapat diduga pengaruh dari hubungan peubah inflasi dan suku bunga secara bersama-sama. Pemodelan tersebut disebut sebagai model waktu diskret, karena prediksi hanya dapat dilakukan pada beda kala yang merupakan kelipatan dari panjang selang pengamatan. Akan tetapi, jika ingin melakukan prediksi pada beda kala mingguan atau bahkan harian dengan memanfaatkan data bulanan, maka model waktu diskret tidak dapat digunakan.
2
ke nilai yang mendasari parameter model waktu kontinu dengan hubungan non linier, lalu digunakan pendekatan model persamaan simultan untuk menduga parameter model tersebut. Selanjutnya Oud dan Jansen (2000) menunjukkan bagaimana paket software SEM seperti Mx dapat digunakan untuk menduga parameter model waktu kontinu menggunakan metode direct, yaitu menerapkan secara langsung hubungan non linier EDM pada waktu pendugaan.
Menurut Yu (2011) pengembangan model waktu kontinu ini didasari atas fakta bahwa banyak peubah yang mengalami perubahan yang bersifat kontinu, akan tetapi karena keterbatasan merekam data menjadi seolah-olah waktu yang melekat pada data tersebut bersifat diskret. Salah satu peubah yang mengalami perubahan secara kontinu tetapi data yang dikumpulkan berdasarkan waktu diskret adalah persentase Angka Melek Huruf (AMH). AMH merupakan persentase penduduk usia 15 tahun ke atas yang dapat membaca dan menulis huruf latin dan atau huruf lainnya. Kemampuan seseorang untuk dapat membaca dan menulis tentunya mengalami perubahan secara kontinu. Namun, pengamatan terhadap peubah AMH tidak dilakukan secara kontinu, karena akan membutuhkan biaya dan tenaga yang cukup besar, sehingga pengamatan terhadap peubah AMH hanya dilakukan pada periode waktu tertentu atau satu kali dalam satu tahun. Perubahan persentase AMH di tiap tahunnya salah satunya disebabkan oleh penentuan anggaran pendidikan yang dicantumkan dalam Anggaran Pendapatan dan Belanja Daerah (APBD). Hal ini tercantum dalam Peraturan Pemerintah Nomor 58 Tahun 2005 yang menyatakan bahwa realisasi APBD memberikan dampak bagi peningkatan kesejahteraan masyarakat dan kualitas pembangunan manusia. Tingkat kesejahteraan masyarakat dan kualitas pembangunan manusia tercermin dalam IPM. Karena AMH adalah salah satu komponen pembentuk IPM, maka dapat dikatakan bahwa anggaran pendidikan mempunyai hubungan sebab akibat dengan AMH.
Selain dapat digunakan untuk prediksi pada berbagai selang waktu (secara kontinu), model waktu kontinu juga memiliki kelebihan lain dibandingkan model waktu diskret. Kelebihannya adalah model waktu kontinu tetap dapat digunakan untuk prediksi, walaupun pengamatan terhadap objek yang dilakukan memiliki selang waktu tidak selalu sama (tidak teratur). Walaupun demikian, Voelke et al. (2012) menyatakan bahwa ketidakteraturan harus terjadi sama untuk setiap objek amatan jika melibatkan lebih dari satu objek amatan, atau disebut sebagai data dengan waktu tak teratur. Seperti pada penelitian yang dilakukan oleh Voelke et al. (2012), menggunakan analisis model waktu kontinu dengan pendekatan SEM untuk mengetahui hubungan antara Authoritarianism dan Anomia. Hal yang sama juga dilakukan oleh Toharudin et al. (2014) dalam melihat hubungan antara
Individualism, Nationalism, Ethnocentrism, dan Authoritarianism di Flanders, Belgia. Karena dalam beberapa penelitian sebelumnya digunakan data waktu tak teratur dalam pemodelan waktu kontinu, maka peneliti tertarik untuk mengkaji konsistensi pendugaan parameter model waktu kontinu pada data tersebut. Dalam hal ini konsistensi yang dimaksudkan adalah hasil dugaan parameter model waktu kontinu yang diperoleh dari data waktu tak teratur tidak berbeda jika dibandingkan dengan hasil dugaan parameter model waktu kontinu pada data waktu teratur (data lengkap).
3
bidang pendidikan sebagai data waktu teratur (data lengkap). Kemudian dari data waktu teratur tersebut dibentuk data simulasi dengan cara menghilangkan sebagian nilai amatan, sehingga diperoleh data waktu tak teratur. Hal ini dilakukan untuk mengetahui hasil dugaan parameter model waktu kontinu yang diperoleh dari data waktu tak teratur tetap konsisten dengan hasil dugaan parameter model waktu kontinu dengan data waktu teratur.
Tujuan Penelitian
Berdasarkan latar belakang tersebut, maka penelitian ini bertujuan untuk menganalisis konsistensi pendugaan parameter model waktu kontinu pada data waktu tak teratur.
2 TINJAUAN PUSTAKA
Exact Discrete Model (EDM)
Exact Discrete Model (EDM) adalah model yang menghubungkan parameter model waktu diskret ke nilai yang mendasari parameter model waktu kontinudengan hubungan non linier, dengan persamaan sebagai berikut:
)
(
Δ
)
Δ
(
)
(
Δ
)
(
A
x
b
w
ix
t
i
t
it
i
t
i
t
i=1,2,…T (1)dengan A(Δti) adalah matriks yang terdiri atas efek autoregressive pada diagonal utama dan efek cross-lagged pada diagonal lainnya, yang disebut sebagai matriks
drift. Sedangkan, b adalah intersep dan w(Δti) adalah vektor dari galat yang berukuran V1 dengan cov(w(Δti))= Q(Δti), yang diasumsikan tidak berkorelasi antar waktu, dan Δti adalah kelipatan dari panjang selang pengamatan. Selain itu
subscript i menunjukkan bahwa walaupun waktu adalah kontinu yang didefinisikan sebagai t, akan tetapi pengamatan tetap diambil pada titik waktu diskret (Voelke et al. 2012).
Model Persamaan Struktural
Menurut Bollen (1989), model persamaan struktural umumnya dibagi dalam dua model yaitu model struktural (2),
B
; dengan cov()Ψ (2)
dengan:
: vektor peubah laten endogen (tak teramati) berukuran m × 1
B : matriks variabel berukuran m × m
: vektor sisaan model struktural berukuran m × 1
dan model pengukuran (3)
ε Λ
4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 b A.Δ b A.Δ b A.Δ μ B 0 xt t t t dengan:
y : vektor indikator peubah laten endogen yang dapat diamati berukuran p× 1 : matriks regresi y atas berukuran p×m
: vektor sisaan model pengukuran berukuran p× 1
Kemudian, model persamaan struktural dapat digambarkan dalam diagram jalur pada Gambar 1.
Gambar 1 Diagram jalur dalam model persamaan struktural
Menurut Oud dan Singer (2008), pendugaan parameter EDM dapat dilakukan salah satunya dengan metode kemungkinan maksimum melalui pendekatan model persamaan struktural. Hal ini terjadi karena struktur parameter EDM dianalogikan sama dengan model persamaan struktural. Dalam model persamaan strukural diketahui vektor peubah endogen ( ) dan vektor sisaan () terdiri atas :
'
y1 ' y2 ' y3 '...ym '1
(4) '
0 ' 1 ' 2 '... m '1
(5)Kemudian, jika struktur parameter EDM dituliskan dalam bentuk persamaan struktural, maka vektor peubah endogen ( ) terdiri atas :
' ' '
'1 ' 0
*' y(t ) y(t ) y(ti) ...y(tiT) 1 (6)
dan vektor sisaan () menjadi:
(0) (0) ' ' '... '1
'
* y t μyt wΔt1 wΔti wΔtiT (7)
Sehingga model persamaan (2) dapat dituliskan, sebagai berikut:
* *
*B ; dengan cov cov( *)Ψ (8)
Oleh karena itu, dapat dikatakan bahwa rangkaian peubah deret waktu dalam EDM dianalogikan sebagai indikator dalam model persamaan struktural, sehingga parameter EDM dapat diduga dengan metode kemungkinan maksimum melalui pendekatan model persamaan struktural seperti berikut ini,
p tr
FML logΣ (SΣ1)logS (9)
dengan FML adalah fungsi kemungkinan maksimum, p adalah jumlah peubah yang diamati, S adalah matriks kovarian sampel, dan adalah matriks kovarian populasi dari peubah-peubah teramati, dengan asumsi S dan adalah matriks definit positif. Parameter-parameter yang akan diduga dalam EDM merupakan elemen-elemen yang terdapat dalam matriks B dan
Ψ
, berikut ini:5
Hubungan Antara Model Waktu Kontinu dan Waktu diskret
Oud dan Delsing (2010) menjelaskan bahwa hubungan antara model waktu kontinu dengan waktu diskret dibentuk dengan cara menurunkan persamaan (1) model waktu diskret terhadap t, sebagai berikut:
dt t d (t) dt t
d ( ) W( )
G b Ax x (10) dengan ) ( ) ( 0 ) ( 0 xt
e t
x Att (11)
dimana x(t0)x
ti ti
dan ti tt0, sehingga turunan dari model waktudiskret pada persamaan (10), dituliskan pada persamaan (12).
( )0 0
0
0 d s
t t t t s t t t t t W G e b I e A ) x( e )
x( A.( ) 1 A.( )
A.( ) (12)dengan
A e I Q
Qe e
W G
eA.( ) d s t A.( ) A t sds irow # 1 A#.(t t ) row
t s t t t s
t
' 00 0 ) .( ) ( cov
untuk QGG'dan A#
AIIA
, dengan G adalah matriks segitiga atas.Model Waktu Kontinu
Model waktu kontinu adalah model yang dapat menggambarkan hubungan antara suatu peubah dengan peubah lain (cross-lagged) dan peubah itu sendiri pada waktu sebelumnya (autoregressive) dengan parameter model yang bersifat kontinu. Dalam Voelke et al. (2012) bentuk umum dari model waktu kontinu adalah: ) Δ ( ) ( ) Δ ( )
( .Δ Δ i
t i
i t
i t t t
t e ix A e i Ib w
x A 1 A. (13)
dengan: ) (ti
x = vektor pengamatan pada waktu ke- ti,
ti Δti
x = vektor pengamatan pada waktu ke-
ti ti
,i
t
Δ = selang waktu yang bersifat kontinu
A = matriks drift,
b = intersep,
) (Δti
w = vektor sisaan pada waktu ke-ti
Hubungan non linier antara model waktu kontinu pada persamaan (13) dengan model waktu diskret pada persamaan (1), dapat dibuktikan dengan menggunakan deret taylor seperti pada persamaan berikut ini.
0 32 ( ) ...
! 3 1 ) ( ! 2 1 ! ) ( k k t t t t k t
eA A I A A A
(16)
6
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 * b I e A e b I e A e b I e A e μ B A.Δ 1 A.Δ A.Δ 1 A.Δ A.Δ 1 A.Δ xt0 t t t t t t
At t e t ( t t t t dt de A A A A I A A A A A A ... ) ! 3 1 ! 2 1 ... ! 3 1 ! 2 1 0 3 2 3 4 2 3 2 (17)Selanjutnya dengan menyamakan persamaan (11) dengan persamaan (1) maka, ,
e t
A( ) A(Δti)
i
, )
(Δ I)b
(A A
b 1
i
t (18)
A I I A e I (GG')
t
Q irow 1 A I I A t t row
i
.( 0)
)
(Δ
Untuk itu, dengan menggunakan persamaan (19) dapat diperoleh pendugaan parameter diskret dengan nilai Δti yang berbeda-beda.
... . A 3! 1 . A 2! 1 A. I e
A 2 3 i3
i 2 i
A.
t t
t t ti
i) Δ Δ Δ
(Δ (19)
Pendugaan Parameter Model Waktu Kontinu
Pendugaan parameter model waktu kontinu dilakukan menggunakan metode kemungkinan maksimum yang sama seperti pada pendugaan parameter EDM pada persamaan (9). Hasil dugaan parameter dari EDM dijadikan sebagai nilai awal yang akan digunakan dalam melakukan pendugaan parameter model waktu kontinu, sehingga diperoleh dugaan parameter dari matriks B* dan
Ψ
*,berikut ini: 1 0 Δt Q 0 0 0 0 0 0 Δt Q 0 0 Δt Q 0 t x Φ Ψ T i i 1 0
xt0
Φ adalah matriks kovarian dari peubah konstruk pada pengamatan pertama. Hal ini terjadi karena tidak bisa diasumsikan suatu prediksi dari galat pada periode pertama.
3 METODE PENELITIAN
Data
Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data sekunder yang terdiri atas persentase Angka Melek Huruf (AMH) dan persentase Anggaran Pendapatan dan Belanja Daerah (APBD) dalam bidang pendidikan periode tahun 2008-2012 yang masing-masing diperoleh dari website www.bps.go.id dan
www.dpjk.kemenkeu.go.id. Diketahui bahwa data persentase APBD yang
7
ditetapkan, namun persentase APBD yang digunakan dalam penelitian ini tidak mengubah sedikitpun data yang diperoleh dari website kementerian keuangan tersebut. Berdasarkan data APBD yang diperoleh diketahui bahwa jumlah kota/kabupaten di Indonesia pada tahun 2008 sebanyak 451 (tidak termasuk kota di provinsi DKI Jakarta), kemudian pada tahun 2009 terdapat sebanyak 477 kota/kabupaten, pada tahun 2010 terdapat sebanyak 486 kota/kabupaten, pada tahun 2011 terdapat sebanyak 491 kota/kabupaten, dan pada tahun 2012 terdapat sebanyak 487 kota/kabupaten. Oleh karena, dalam penelitian ini dibutuhkan daerah yang mempunyai nilai pengamatan lengkap untuk kedua peubah pada periode tahun 2008-2012, sehingga hanya sebanyak 441 kota/kabupaten yang dipilih untuk digunakan sebagai data waktu teratur. Kemudian berdasarkan data waktu teratur yang dimiliki dibentuk data waktu tak teratur dengan cara menghilangkan beberapa nilai amatan secara acak dari data waktu teratur.
Prosedur Analisis Data
Langkah-langkah analisis yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:
Tahap 1:
Membentuk data simulasi yang akan dijadikan sebagai data waktu tak teratur,dengan cara:
1. Menghilangkan beberapa nilai pengamatan secara acak dari data lengkap yang digunakan, sehingga diperoleh data dengan amatan yang selang pengamatannya tidak teratur. Jumlah nilai amatan yang dihilangkan digolongkan dalam 8 jenis yaitu:
a. Menghilangkan nilai amatan sebanyak 5% dari data waktu teratur. b. Menghilangkan nilai amatan sebanyak 10% dari data waktu teratur. c. Menghilangkan nilai amatan sebanyak 20% dari data waktu teratur. d. Menghilangkan nilai amatan sebanyak 30% dari data waktu teratur. e. Menghilangkan nilai amatan sebanyak 40% dari data waktu teratur. f. Menghilangkan nilai amatan sebanyak 50% dari data waktu teratur. g. Menghilangkan nilai amatan sebanyak 60% dari data waktu teratur. h. Menghilangkan nilai amatan sebanyak 70% dari data waktu teratur.
2. Ulangi langkah 1(a) – 1(h) sebanyak 100 kali dengan pengacakan yang berbeda, dengan tujuan diperoleh 100 gugus data untuk masing-masing data simulasi.
3. Dalam melakukan langkah 1, diperhatikan bahwa nilai amatan yang harus dihilangkan adalah sepasang nilai amatan pada periode waktu tertentu (jadi nilai amatan peubah AMH dan anggaran pendidikan dihilangkan secara bersama-sama pada periode waktu tertentu). Kemudian tidak menghilangkan seluruh nilai amatan pada periode waktu 2008-2012 dalam satu observasi. Tahap 2:
1. Eksplorasi data persentase AMH dan anggaran pendidikan yang diamati pada periode tahun 2008-2012.
8
b. Menghitung autokorelasi pada masing-masing peubah (persentase AMH dan persentase anggaran pendidikan untuk seluruh daerah yang diamati), dengan rumus sebagai berikut:
n t t k n t k t t k Z Z Z Z Z Z 1 2 1 ˆ
, k= 0,1,2,… (14)Keterangan:
ˆk = nilai autokorelasi n = jumlah observasi k = selang waktuZt = amatan pada waktu ke-t
Z = rata-rata dari seluruh amatan
c. Untuk mengetahui hubungan AMH periode saat ini (AMHt) dan anggaran pendidikan periode sebelumnya (APBDt-1), begitu juga sebaliknya, digunakan analisis korelasi product moment, dengan rumus:
n i i n i i i n i i Y Y X X Y Y X X r 1 2 2 11 , i=1,2,…,n (15)
Keterangan:
r = korelasi (-1< r <1)
Xi = nilai observasi ke-i pada peubah AMH
Yi = nilai observasi ke-i pada peubah anggaran pendidikan X = rata-rata dari peubah AMH
Y = rata-rata dari peubah anggaran pendidikan
2. Menentukan nilai awal yang diperoleh dari hasil pendugaan parameter EDM, yang terdiri atas Φˆ
x
t0
, x(t)0
μ
ˆ
, Qˆ
Δti ,bˆ, dan Aˆ (matriks drift). Pendugaan parameter EDM dilakukan dengan metode kemungkinan maksimum seperti pada persamaan (8). Analisis ini menggunakan software M-PLUS 7.3. Melakukan standarisasi terhadap Aˆ (matriks drift) yang diperoleh pada langkah 2, dengan rumus:
i i * Δ I Δ A A t t
ˆ( ) (16)
4. Kemudian nilai awal yang diperoleh pada langkah 2 yang terdiri atas Φˆ
x
t0
,
μ
ˆ
x(t0), Qˆ
Δti , dan bˆ, serta A*
yang diperoleh dari langkah 3 digunakan untuk menduga parameter model waktu kontinu, sehingga diperoleh nilai dugaan sesuai dengan yang terdapat dalam elemen-elemen matriks B* dan
Ψ
*. Analisis ini menggunakan software R 2.15. (openMx).9
6. Menghitung pendugaan parameter model waktu kontinu untuk semua data simulasi dengan menggunakan nilai awal pada langkah 2 dan 3.
7. Menghitung batas atas (BA) dan batas bawah (BB) untuk masing-masing pendugaan parameter model waktu kontinu (Δti=1, Δti=2, dan Δti=0.5), dengan tingkat kepercayaan sebesar 95%.
Tahap 3:
Bandingkan hasil dugaan parameter dalam matriks A (matriks drift yang terdiri atas autoregressive pada diagonal utamanya dan cross-lagged pada diagonal lainnya) yang diperoleh dari data waktu tak teratur dengan data waktu teratur. Hasil dugaan parameter model waktu kontinu dikatakan konsisten, ketika hasil dugaan parameter data waktu tak teratur berada diantara batas bawah (BB) dan batas atas (BA) hasil dugaan parameter data waktu teratur dengan tingkat kepercayaan yang digunakan sebesar 95%.
4 HASIL DAN PEMBAHASAN
Angka Melek Huruf (AMH)
Angka melek huruf adalah presentase penduduk usia 15 tahun ke atas yang dapat membaca dan menulis huruf latin dan atau huruf lainnya. Angka melek huruf juga menggunakan batasan yang digunakan sesuai kesepakatan beberapa negara. Batas maksimum untuk angka melek huruf adalah 100, sedangkan batas minimum 0. Angka melek huruf menunjukkan kemampuan penduduk di suatu wilayah dalam menyerap informasi dari media dan menunjukkan kemampuan untuk berkomunikasi secara lisan dan tertulis. Angka melek huruf ini adalah salah satu komponen pembentuk Indeks Pembangunan Manusia (IPM).
100 90 80 70 60 50 40 30 160
140
120
100
80
60
40
20
0
Persentase AMH
Fr
e
q
u
e
n
c
y
Gambar 2 Frekuensi dari persentase AMH kota/kabupaten di Indonesia periode
10
Gambar 3 Persentase dari lima kelompok persentase AMH kota/kabupaten di
Indonesia periode tahun 2012
Dari Gambar 2, dapat dilihat bahwa frekuensi dari persentase AMH kota/kabupaten di Indonesia pada periode tahun 2012 memiliki pola sebaran yang hampir sama dengan periode tahun 2008 sampai dengan tahun 2011 (lampiran 2). Kemudian untuk lebih detailnya dapat dilihat pada Gambar 3 yaitu dapat diketahui persentase dari lima kelompok persentase AMH antara lain kelompok pertama (presentase AMH kurang dari 82.5%) memiliki persentase sebesar 5%, kelompok kedua (persentase AMH yang berada diantara 82.5%-87.5%) memiliki persentase sebesar 8%, kelompok ketiga (persentase AMH yang berada diantara 87.6%-92.5%) memiliki persentase sebesar 18%, kelompok keempat (persentase AMH yang berada diantara 92.6%-97.5%) memiliki persentase sebesar 34%, dan kelompok kelima (persentase AMH lebih dari 97.5%) memiliki persentase sebesar 35%. Jika diperhatikan, persentase AMH dari tahun ke tahun terus meningkat walaupun tidak begitu signifikan. Hal ini dapat dilihat pada Tabel 1 yang menunjukkan nilai rata-rata di tiap tahunnya yaitu sebesar 92.24%, 92.42%, 92.73%, 92.99%, dan 93.26%. Namun, keragaman persentase AMH di Indonesia menurun di tiap tahunnya yaitu masing-masing sebesar 9.66%, 9.63%, 9.50%, 9.39%, dan 9.26%.
Tabel 1 Statistik persentase AMH pada tahun 2008-2012
Statistik Tahun 2008
Tahun 2009
Tahun 2010
Tahun 2011
Tahun 2012
Minimal (%) 31.00 31.07 31.10 31.13 31.15
Maksimal (%) 99.93 99.94 99.94 99.95 99.95
Rata-rata (%) 92.24 92.42 92.73 92.99 93.26
Simpangan baku (%) 9.66 9.63 9.50 9.39 9.26
Selain itu dari Tabel 1 dapat diketahui bahwa dari tahun 2008-2012 daerah yang selalu memiliki persentase AMH terendah adalah Kabupaten Asmat yang ada di Provinsi Papua yaitu masing-masing tiap tahunnya sebesar 31%, 31.07%, 31.10%, 31.13%, dan 31.15%. Sedangkan, daerah yang selalu memiliki persentase AMH tertinggi adalah Kabupaten Murung Raya yang ada di Provinsi Kalimantan
<82.5 5%
82.5 - 87.5 8%
87.6 - 92.5 18%
92.6 - 97.5 34% >97.5
11
Tengah yang masing-masing tiap tahunnya sebesar 99.93%, 99.94%, 99.94%, 99.95%, dan 99,95%. Dari data yang diperoleh dapat diketahui persentase AMH yang tinggi sebagian besar terdapat di kota/kabupaten wilayah Indonesia bagian barat, sebaliknya kota/kabupaten di wilayah Indonesia bagian timur memiliki persentase AMH yang kecil. Hal ini menunjukkan bahwa persentase AMH belum merata di seluruh wilayah di Indonesia.
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 -0.1 70
60
50
40
30
20
10
0
ACF variabel AMH
Fr
e
q
u
e
n
c
y
Gambar 4 Frekuensi nilai autokorelasi peubah AMH
Nilai autokorelasi yang diperoleh digunakan untuk mengetahui hubungan persentase AMH pada periode saat ini (Yt) dengan persentase AMH pada periode sebelumnya (Yt-1). Untuk itu dari Gambar 4 dapat diketahui frekuensi beberapa kelompok nilai autokorelasi dari 441 kota/kabupaten di Indonesia, yaitu sebagian besar wilayah memiliki nilai autokorelasi positif, dengan nilai rata-rata sebesar 0.313. Selain itu diketahui nilai autokorelasi sebesar 0.4 memiliki frekuensi yang paling tinggi dibandingkan yang lainnya, sehingga sebaran nilainya cenderung kearah kanan. Hal ini berarti hubungan persentase AMH pada periode saat ini (Yt) dengan persentase AMH pada periode sebelumnya (Yt-1) berbanding lurus atau semakin tinggi persentase AMH pada periode sebelumnya (Yt-1) maka akan meningkatkan persentase AMH pada periode saat ini (Yt).
Anggaran Pendapatan dan Belanja Daerah (APBD)
12
kedinasan,untuk membiayai penyelenggaraan pendidikan yang menjadi tanggung jawab pemerintah.
Persentase anggaran pendidikan kota/kabupaten di Indonesia dapat dilihat pada Gambar 5. Dapat diketahui bahwa persentase anggaran pendidikan kota/kabupaten di Indonesia dari tahun 2008 sampai dengan tahun 2012 secara umum terus meningkat. Hal ini dapat dilihat dari menurunnya persentase anggaran pendidikan yang memiliki nilai kurang dari 22.5%, yaitu masing-masing tiap tahunnya sebesar 38.8%, 29.3%, 27.9%, 18.6%, dan 18.8%. Sebaliknya secara umum persentase meningkat pada anggaran pendidikan yang memiliki nilai lebih dari 47.5% , yaitu masing-masing tiap tahunnya sebesar 2.9%, 11.3%, 9.3%, 26.1%, dan 21.3%.
>47.5 2.9%
22.5-47.5 58.3%
<22.5 38.8%
>47.5 11.3%
22.5-47.5 59.4%
<22.5 29.3%
(a) Tahun 2008 (b) Tahun 2009
>47.5 9.3%
22.5-47.5 62.8%
<22.5 27.9%
>47.5 26.1%
22.5-47.5 55.3%
<22.5 18.6%
(c) Tahun 2010 (d) Tahun 2011
>47.5 21.3%
22.5-47.5 59.9%
<22.5 18.8%
(e) Tahun 2012
Gambar 5 Persentase dari tiga kelompok persentase anggaran pendidikan
13
Berbeda dengan peubah AMH yang diketahui memiliki rata-rata yang terus meningkat di tiap tahunnya, peubah persentase anggaran pendidikan cenderung tidak konsisten. Hal ini dapat dilihat pada Tabel 2 rata-rata di tiap tahunnya, yaitu pada tahun 2008 memiliki rata-rata sebesar 28.11%, meningkat menjadi 31.16% di tahun 2009, kemudian mengalami sedikit penurunan di tahun 2010 sebesar 31.09%, dan mengalami peningkatan kembali di tahun 2011 sebesar 36.44%, lalu mengalami penurunan lagi di tahun 2012 sebesar 35.41%. Begitu juga dengan nilai keragaman setiap tahunnya yaitu masing-masing sebesar 9.76%, 10.98%, 10.43%, 12%, dan 11.40%.
Tabel 2 Statistik dari peubah persentase anggaran pendidikan pendidikan pada
periode tahun 2008-2012
Statistik Tahun
2008
Tahun 2009
Tahun 2010
Tahun 2011
Tahun 2012
Minimal (%) 4.91 4.65 6.37 6.52 5.79
Maksimal (%) 53.87 59.08 57.53 64.23 66.30
Rata-rata (%) 28.11 31.16 31.09 36.44 35.41
Simpangan baku (%) 9.76 10.98 10.43 12.00 11.40
Demikian juga, dengan daerah yang memiliki persentase anggaran pendidikan terendah dan tertinggi berbeda di tiap tahunnya. Seperti pada tahun 2008, daerah yang memiliki persentase APBD bidang pendidikan terendah dan tertinggi yaitu Kabupaten Mamberamo Raya (4.91%) di Provinsi Papua dan Kota Mobagu (53.87%) di Provinsi Sulawesi Utara. Di tahun 2009, daerah yang memiliki persentase APBD bidang pendidikan terendah dan tertinggi yaitu Kabupaten Mamberamo Raya (4.65%) di Provinsi Papua dan Kabupaten Klaten (59.08%) di Provinsi Jawa Tengah. Di tahun 2010, daerah yang memiliki persentase APBD bidang pendidikan terendah dan tertinggi yaitu Kabupaten Maluku Tenggara Barat (6.37%) di Provinsi Maluku dan Kabupaten Klaten (57.53%) di Provinsi Jawa Tengah. Di tahun 2011, daerah yang memiliki persentase APBD bidang pendidikan terendah dan tertinggi yaitu Kabupaten Tabalong (6.52%) di Provinsi Kalimantan Selatan dan Kabupaten Klaten (64.23%) di Provinsi Jawa Tengah. Di tahun 2012, daerah yang memiliki persentase APBD bidang pendidikan terendah dan tertinggi yaitu Kabupaten Jayawijaya (5.79%) di Provinsi Papua dan Kabupaten Lampung Utara (65.99%) di Provinsi Lampung.
0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 40
30
20
10
0
ACF APBD
Fr
e
q
u
e
n
c
y
14
Dari Gambar 6 diketahui bahwa nilai autokorelasi dari kota/kabupaten di Indonesia cenderung mengumpul di kanan (positif). Akan tetapi tidak sedikit kota/kabupaten yang memiliki nilai autokorelasi berada di sebelah kiri (negatif). Hal ini dapat dilihat dari nilai autokorelasi yang berada diantara nilai -0.789 sampai dengan 0.488. Jika dilihat lebih detail terdapat 14 kota/kabupaten yang memiliki nilai autokorelasi ≥ -0.6. Namun, jika ditinjau dari rata-rata nilai autokorelasi peubah anggaran pendidikan yang diamati pada tahun 2008-2012, persentase anggaran pendidikan memiliki rata-rata nilai autokorelasi sebesar
0.258. Hal ini berarti ada sebagian wilayah yang memiliki hubungan persentase anggaran pendidikan periode saat ini (APBDt) dengan persentase anggaran pendidikan periode sebelumnya (APBDt-1) yang berbanding lurus dan sebagian lainnya berbanding terbalik. Untuk itu, dapat diketahui hubungan persentase anggaran pendidikan periode saat ini (APBDt) dengan persentase anggaran pendidikan periode sebelumnya (APBDt-1) masih terdapat perbedaan di tiap wilayah di Indonesia.
Hubungan AMH dan Anggaran Pendidikan
Menurut Peraturan Pemerintah Nomor 58 Tahun 2005, realisasi APBD memberikan dampak bagi peningkatan kesejahteraan masyarakat dan kualitas pembangunan manusia. APBD merupakan instrumen kebijakan yang utama bagi pemerintah daerah karena menduduki posisi sentral dalam pengembangan kapabilitas dan efektivitas pemerintah daerah. Dengan kata lain, APBD merupakan pedoman pemerintah dalam menjalankan program pemerintah untuk mengembangkan suatu daerah. APBD dengan IPM memiliki hubungan sebab akibat. Semakin tinggi realisasi pengeluaran APBD maka akan meningkatkan kemampuan pemerintah daerah untuk mengembangkan suatu wilayah sehingga dapat menaikkan angka IPM. Oleh karena AMH adalah salah satu komponen pembentuk IPM dalam bidang pendidikan, maka ingin diketahui hubungan AMH dengan anggaran pendidikan daerah.
Tabel 3 Nilai korelasi AMH dan anggaran pendidikan periode tahun 2008-2012
APBD 08 APBD 09 APBD 10 APBD 11 APBD 12
AMH 08 0.083 0.108 0.113 0.083 0.106
AMH 09 0.083 0.109 0.116 0.087 0.109
AMH 10 0.087 0.111 0.118 0.090 0.112
AMH 11 0.095 0.119 0.125 0.098 0.120
AMH 12 0.098 0.121 0.127 0.100 0.122
15
Pendugaan Parameter Model Waktu Kontinu
Dalam pemodelan waktu kontinu dibutuhkan suatu nilai awal yang diperoleh dari hasil dugaan parameter EDM pada Δti = 1, yang kemudian digunakan untuk menduga parameter model waktu kontinu untuk berbagai Δti. Nilai awal atau hasil dugaan parameter EDM untuk beda kala Δti = 1 dapat dilihat pada Tabel 4 dan hasil pendugaan parameter model waktu kontinu untuk berbagai
Δti dapat dilihat pada Tabel 5.
Tabel 4 Hasil pendugaan parameter EDM untuk Δti = 1
Parameter EDM SE P-value
Autoregressive
Aamam 0.899(-0.101**) 0.012 0.000*
Aapap 0.988(-0.012**) 0.001 0.000*
Cross-Lagged
Aamap 0.021 (0.021**) 0.014 0.116
Aapam 0.003(0.003**) 0.001 0.003*
Latent Intercepts
bam 3.045 1.277 0.017*
bap 1.269 0.113 0.000*
Residuals
var (wam) 29.189 0.983 0.000*
var (wap) 0.229 0.008 0.000*
covar (wapam) 0.095 0.062 0.122
Initial Measurement
M(amt0) 28.114 0.459 0.000*
M(apt0) 92.242 0.464 0.000*
var(am t0) 95.058 6.402 0.000*
var(ap t0) 93.010 6.402 0.000*
cov(am t0,ap t0) 7.837 4.493 0.081
*signifikan pada taraf nyata 5% **nilai standarisasi matriks drift (A*)
Dari Tabel 4, dapat diketahui bahwa nilai dari hasil pendugaan parameter
autoregressive peubah AMH (Aamam) dan anggaran pendidikan (Aapap) signifikan pada taraf nyata 5%, dengan nilai dugaan parameter masing-masing sebesar 0.899 dan 0.988. Hal ini berarti ada hubungan antara peubah AMH periode saat ini (AMHt) dengan AMH pada periode sebelumnya (AMHt-1). Begitu juga dengan peubah anggaran pendidikan periode saat ini (APBDt) dengan anggaran pendidikan pada periode sebelumnya (APBDt-1). Begitu juga dengan hasil pendugaan parameter cross-lagged antara peubah anggaran pendidikan periode saat ini dengan peubah AMH pada periode sebelumnya (Aapam) signifikan pada taraf nyata 5%, dengan nilai dugaan parameter sebesar 0.003. Akan tetapi berbeda untuk hubungan cross-lagged antara peubah AMH periode saat ini dengan peubah anggaran pendidikan pada periode sebelumnya (Aamap) yang tidak signifikan pada taraf nyata 5% dengan nilai dugaan parameter sebesar 0.021.
16
Tabel 4, dapat diketahui nilai standarisasi dari matriks drift untuk nilai
autoregressive masing-masing sebesar -0.155 dan -0.026, sedangkan nilai cross-lagged sebesar 0.018 dan 0.002. Kemudian nilai awal yang digunakan untuk menduga model waktu kontinu adalah nilai dari matriks drift (autoregressive dan
cross-lagged) yang sudah distandarisasi, latent intercepts, residual, dan initial measurement yang diperoleh dari hasil pendugaan EDM.
Tabel 5 Hasil pendugaan parameter model waktu kontinu untuk berbagaiΔti
Parameter waktu kontinu SE
Autoregressive
Aamam -0.106 0.012
Aapap -0.012 0.001
Cross-Lagged
Aamap 0.022 0.014
Aapam 0.003 0.001
Latent Intercepts
bam 3.194 1.362
bap 1.272 0.115
Residuals
var (wam) 32.400 1.162
var (wap) 0.049 0.067
covar (wapam) 0.232 0.008
Initial Measurement
M(amt0) 28.114 0.464
M(apt0) 92.242 0.459
var(am t0) 95.057 6.388
var(ap t0) 93.009 4.178
cov(am t0,ap t0) 7.836 6.250
Hasil pendugaan parameter model waktu kontinu yang dapat dilihat pada Tabel 5 menunjukkan bahwa nilai dugaan parameter autoregressive dan cross-lagged yang diperoleh hampir mendekati nilai awal yang digunakan. Nilai dugaan parameter autoregressive AMH dan anggaran pendidikan yang diperoleh masing-masing sebesar -0.106 dan -0.012 dengan nilai SE sebesar 0.012 dan 0.001. Kemudian nilai dugaan parameter cross-lagged yaitu masing-masing sebesar 0.022 dan 0.003 dengan nilai SE sebesar 0.014 dan 0.001.
Selanjutnya dari Tabel 6 dapat diketahui hasil pendugaan parameter untuk beda kala satu tahunan, dua tahunan, dan enam bulanan. Jika dilihat dari nilai parameter pada berbagai Δti, nilai parameter autoregressive menurun ketika nilai
Δti yang digunakan untuk prediksi lebih besar dari nilai Δti pada periode waktu diskret. Seperti pada kasus ini diperoleh nilai Δti = 1 (beda kala satu tahunan) sebesar 0.899 dan 0.988, kemudian nilai nya menurun ketika dilakukan prediksi pada Δti = 2 (beda kala dua tahunan) yaitu sebesar 0.809 dan 0.976. Namun sebaliknya, nilai autoregressive meningkat ketika nilai Δtiyang digunakan untuk prediksi lebih kecil dari nilai Δti pada periode waktu diskret, yaitu diperoleh nilai
17
Tabel 6 Hasil prediksi model waktu kontinu untuk berbagai ti
Parameter Δti =1* Δti =2** Δti =0.5***
Autoregressive
Aamam 0.899 0.809 0.948
Aapap 0.988 0.976 0.994
Cross-Lagged
Aamap 0.022 0.045 0.011
Aapam 0.003 0.006 0.001
*Hasil pendugaan beda lag satu tahunan ** Hasil pendugaan beda lag dua tahunan *** Hasil pendugaan beda lag enam bulanan
Namun, pada nilai hasil dugaan parameter cross-lagged terjadi sebaliknya, yaitu nilai dugaan parameter cross-lagged meningkat ketika nilai Δti yang digunakan untuk prediksi lebih besar dari nilai Δti pada periode waktu diskret, dan menurun ketika Δti yang digunakan untuk prediksi lebih kecil dari nilai Δti pada periode waktu diskret. Hal ini dapat dilihat dari nilai cross-lagged yang diperoleh pada Δti = 1 (beda kala satu tahunan) sebesar 0.022 dan 0.003, kemudian meningkat pada Δti = 2 (beda kala dua tahunan) sebesar 0.045 dan 0.006, dan menurun pada Δti = 0.5 (beda kala enam bulanan) sebesar 0.011 dan 0.001.
Konsistensi Hasil Dugaan Parameter Model Waktu Kontinu pada Data Waktu tak teratur
Selanjutnya uji konsistensi parameter model waktu kontinu pada data waktu tak teratur dilakukan dengan cara membandingkan nilai hasil dugaan parameter model waktu kontinu yang diperoleh pada data waktu tak teratur dengan hasil dugaan parameter yang diperoleh pada data lengkap. Tingkat kepercayaan yang digunakan dalam penelitian ini sebesar 95%, yang digunakan dalam menentukan batas atas (BA) dan batas bawah (BB) dari nilai parameter model waktu kontinu data waktu teratur. Untuk itu, hasil dugaan parameter dari data waktu tak teratur dapat dikatakan konsisten jika nilai hasil dugaan parameter yang diperoleh berada diantara BA dan BB yang telah ditentukan.
Tabel 7 Hasil analisis konsistensi parameter model waktu kontinu untuk data
waktu tak teratur pada Δti = 1 Parameter
Data Waktu Teratur
Tingkat Kepercayaan
Batas Bawah
(BB)
Batas Atas (BA)
Data waktu tak teratur(%)*
5% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70%
Aamam 0.899
99% 0.872 0.927 100 100 100 85 56 33 27 27 95% 0.878 0.921 100 100 97 57 30 13 15 16 90% 0.882 0.917 100 100 86 29 18 8 9 12
Aapap 0.988
99% 0.985 0.991 100 100 100 99 92 93 65 41 95% 0.986 0.990 100 100 99 95 83 78 44 23 90% 0.986 0.990 100 100 99 95 83 78 44 23
Aamap 0.022
99% -0.014 0.059 100 100 100 100 100 100 99 91 95% -0.005 0.051 100 100 100 100 100 99 95 85 90% -0.001 0.046 100 100 100 100 100 96 92 79
Aapam 0.003
18
Pada penelitian ini, terdapat 100 hasil dugaan parameter A (matriks drift)
model waktu kontinu pada masing-masing data waktu tak teratur yang akan dibandingkan dengan hasil dugaan parameter A (matriks drift) model waktu kontinu pada data lengkap. Hasil uji konsistensi A (matriks drift) hasil dugaan parameter model waktu kontinu pada data waktu tak teratur dengan Δti = 1 dapat dilihat pada Tabel 7.
Dari Tabel 7, dapat diketahui bahwa pada Δti = 1 nilai dugaan parameter
autoregressive peubah persentase AMH (Aamam) sebesar 0.899, dengan tingkat kepercayaan sebesar 95% diperoleh nilai BB sebesar 0.878 dan BA sebesar 0.921. Setelah itu, dapat diketahui besarnya persentase hasil dugaan parameter
autoregressive dari masing-masing data waktu tak teratur yang berada diantara BB dan BA yaitu sebesar 100%, 100%, 97%, 57%, 30%, 13%, 15%, dan 16%. Oleh karena itu dapat disimpulkan bahwa dari dugaan parameter autoregressive
peubah persentase AMH (Aamam) untuk Δti = 1 dapat dikatakan konsisten sampai pada data waktu tak teratur 20%, karena pada data waktu tak teratur 30% sudah cukup banyak nilai dugaan parameter yang berada diluar BB dan BA yaiitu sebanyak 43%.
Selanjutnya nilai dugaan parameter autoregressive peubah persentase anggaran pendidikan (Aapap) pada Δti = 1 diketahui sebesar 0.988, dengan tingkat kepercayaan sebesar 95% diperoleh nilai BB sebesar 0.986 dan BA sebesar 0.990. Dengan demikian diketahui besarnya persentase hasil dugaan parameter
autoregressive peubah anggaran pendidikan (Aapap) dari masing-masing data waktu tak teratur yang berada diantara BB dan BA yaitu sebesar 100%, 100%, 99%, 95%, 83%, 78%, 44%, dan 23%. Untuk itu, hasil dugaan parameter
autoregressive peubah anggaran pendidikan (Aapap) untuk Δti = 1 dapat dikatakan konsisten sampai pada data waktu tak teratur 50%.
Kemudian untuk parameter cross-lagged, hubungan antara AMH periode saat ini dengan anggaran pendidikan periode sebelumnya (Aamap) pada Δti = 1, diketahui memiliki nilai dugaan parameter sebesar 0.022, dengan tingkat kepercayaan sebesar 95% diperoleh nilai BB sebesar -0.005 dan BA sebesar 0.051. Untuk itu dapat diketahui besarnya persentase hasil dugaan parameter
cross-lagged (Aamap) dari masing-masing data waktu tak teratur yang berada diantara BB dan BA yaitu sebesar 100%, 100%, 100%, 100%, 100%, 99%, 95%, dan 85%. Hal ini berarti hasil dugaan parameter cross-lagged (Aamap) pada Δti = 1 dapat dikatakan konsisten sampai pada data waktu tak teratur 70%.
Selain itu, hubungan cross-lagged antara anggaran pendidikan periode saat ini dengan AMH periode sebelumnya (Aapam) pada Δti = 1 diketahui memiliki nilai dugaan sebesar 0.003, dengan tingkat kepercayaan 95% diperoleh nilai BB sebesar 0.001 dan BA sebesar 0.005. Untuk itu, dapat diketahui besarnya persentase hasil dugaan parameter cross-lagged (Aapam) dari masing-masing data waktu tak teratur yang berada diantara BB dan BA yaitu sebesar 100%, 100%, 97%, 99%, 97%, 77%, 73%, dan 56%. Hal ini berarti hasil dugaan parameter
cross-lagged (Aapam) untuk Δti = 1 dapat dikatakan konsisten sampai pada data waktu tak teratur 70%.
19
diperoleh BB dan BA masing-masing sebesar 0.772 dan 0.848. Dan untuk parameter autoregressive anggaran pendidikan (Aapap) diperoleh hasil dugaan parameter data lengkap sebesar 0.976, dengan tingkat kepercayaan sebesar 95% diperoleh BB dan BA masing-masing sebesar 0.972 dan 0.980. Kemudian untuk parameter cross-lagged, hubungan persentase AMH saat ini dengan persentase anggaran pendidikan periode sebelumnya (Aamap) diperoleh hasil dugaan parameter data lengkap sebesar 0.045, dengan tingkat kepercayaan sebesar 95% diperoleh BB dan BA masing-masing sebesar -0.011 dan 0.104. Selanjutnya untuk parameter cross-lagged, hubungan persentase anggaran pendidikan saat ini dengan persentase AMH periode sebelumnya (Aapam) diperoleh hasil dugaan parameter data lengkap sebesar 0.006, dengan tingkat kepercayaan sebesar 95% diperoleh BB dan BA masing-masing sebesar 0.002 dan 0.009.
Demikian juga untuk uji konsistensi hasil dugaan parameter data waktu tak teratur pada Δti = 0.5 dapat diketahui bahwa parameter autoregressive AMH (Aamam) memiliki hasil dugaan parameter data lengkap sebesar 0.948, dengan tingkat kepercayaan sebesar 95% diperoleh BB dan BA masing-masing sebesar 0.937 dan 0.959. Untuk parameter autoregressive anggaran pendidikan (Aapap) diperoleh hasil dugaan parameter data lengkap sebesar 0.994, dengan tingkat kepercayaan 95% diperoleh BB dan BA masing-masing sebesar 0.993 dan 0.995. Kemudian untuk parameter cross-lagged, hubungan persentase AMH saat ini dengan persentase anggaran pendidikan periode sebelumnya (Aamap) diperoleh hasil dugaan parameter data lengkap sebesar 0.011, dengan tingkat kepercayaan sebesar 95% diperoleh BB dan BA masing-masing sebesar -0.003 dan 0.025. Selanjutnya untuk parameter cross-lagged, hubungan persentase anggaran pendidikan saat ini dengan persentase AMH periode sebelumnya (Aapam) diperoleh hasil dugaan parameter data lengkap sebesar 0.001, dengan tingkat kepercayaan sebesar 5% diperoleh BB dan BA masing-masing sebesar 0.000 dan 0.002.
Walaupun diketahui bahwa hasil dugaan parameter model waktu kontinu pada Δti = 2 dan Δti = 0.5 berbeda dengan nilai pada Δti = 1. Namun dari hasil analisis diperoleh hasil uji konsistensi pada Δti = 2 dan Δti = 0.5 hampir sama dengan Δti = 1, yaitu nilai dugaan parameter A (matriks drift) masing-masing dapat dikatakan telah konsisten sampai pada data waktu tak teratur 20%, 50%, 70%, dan 70%. Oleh karena itu, dengan mempertimbangkan keseluruhan parameter pada model waktu kontinu maka dapat disimpulkan bahwa dengan tingkat kepercayaan sebesar 95% hasil dugaan parameter model waktu kontinu dapat dikatakan konsisten hanya sampai pada data waktu tak teratur 20%.
5 SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Hasil dugaan parameter EDM untuk Δti = 1 pada hubungan AMH dengan anggaran pendidikan, menunjukkan bahwa hasil dugaan parameter autoregressive
20
dan 0.988. Begitu juga dengan hasil dugaan parameter cross-lagged antara peubah anggaran pendidikan periode saat ini dengan peubah AMH pada periode sebelumnya (Aapam) signifikan pada taraf nyata 5% dengan nilai masing-masing sebesar 0.003. Namun dugaan parameter cross-lagged antara peubah AMH periode saat ini dengan peubah anggaran pendidikan pada periode sebelumnya (Aamap) tidak signifikan pada taraf nyata 5% dengan nilai 0.021. Selanjutnya, diperoleh hasil dugaan parameter model waktu kontinu untuk berbagai Δti, baik itu pada parameter autoregressive sebesar -0.168 dan -0.026, serta pada parameter
cross-lagged sebesar 0.002 dan 0.020.
Kemudian dilakukan pendugaa parameter baik itu pada selang waktu Δti= 1, Δti= 2, dan Δti= 0.5. Dari hasil pendugaan parameter pada berbagai Δti diketahui bahwa pada selang waktu yang lebih besar (Δti = 2) diperoleh nilai pendugaan parameter model waktu kontinu lebih kecil dibandingkan dengan selang waktu pada periode waktu diskret. Sebaliknya pada selang waktu yang lebih kecil (Δti = 0.5) diperoleh nilai pendugaan parameter model waktu kontinu yang lebih besar dibandingkan dengan selang waktu periode waktu diskret. Dengan demikian, setelah dilakukan pengujian konsistensi hasil dugaan parameter model waktu kontinu pada data waktu tak teratur untuk berbagai Δti, dapat diketahui bahwa dengan tingkat kepercayaan sebesar 95%, hasil dugaan parameter model waktu kontinu dapat dikatakan telah konsisten hanya dengan menggunakan data waktu tak teratur sebanyak 20%.
Saran
Pada penelitian ini digunakan Exact Discrete Model (EDM) dengan pendekatan model persamaan struktural dalam mengkaji konsistensi parameter model waktu kontinu pada data waktu tak teratur. Untuk itu pada penelitian selanjutnya dapat menggunakan pendekatan Approximate Discrete Model (ADM) untuk menguji konsistensi hasil dugaan parameter model waktu kontinu pada kasus yang sama. Selain itu, dalam penelitian ini hanya digunakan dua peubah dalam membentuk model waktu kontinu, sehingga diharapkan untuk penelitian selanjutnya dapat menggunakan lebih dari dua peubah baik itu menggunakan pendekatan EDM maupun ADM.
DAFTAR PUSTAKA
Arminger G.1986. Linear stochastic differential equations for panel data with unobserved variables, Sociological methodology, Jossey-Bass.Washington DC.
Baltagi BH. 2005. Econometric analysis of panel data 3th ed. England (GB): J Wiley.
21
Bollen KA.1989.Structural equation modelling with latent peubahs. New York: John Wiley & Son,Inc.
Hamerle A, Nagl W, Singer H.1991. Problems with the estimation of stochastic differential equations using structural equations models. Journal of Mathematical Sociology 16, 201–220.
Harvey AC, Stock JH.1985. The estimation of higher-order continuous-time autoregressive models. Econometric Theory 1:97-117.
Malinvaud E.1980. Statistical methods of econometrics. Amsterdam: North Holland.
Oud JHL, Delsing MJM H.2010. Continuous time modeling of panel data by means of SEM. In K. van Montfort, J. H. L. Oud, & A.Satorra (Eds.), Longitudinal research with latent variables (pp. 201– 244).10.1007/978-3-642-11760-2_7.
Oud JHL, Jansen RARG. 2000. Continuous time state space modeling of panel data by means of SEM. Psychometrika. 65:199-215.
Oud JHL.2002. Continuous time modeling of the cross-lagged panel design.
Kwantitatieve Methoden. 69:1-27.
Oud JHL, Singer H. 2008. Continuous time modeling of panel data: SEM versus filter techniques. Statistica Neerlandica. 62(1):4-28
Phillips AW.1959. The estimation of parameters in systems of stochastic differential equations.Biometrika 46:67-76.
Voelkle MC, Oud JHL, Davidov E, Schmidt P.2012. An SEM Approach to continuous time modeling of panel data: relating authoritarianism and anomia. Psychological Methods.10.1037/a0027543
Sims CA.1980. Macroeconomics and reality. Econometrics. Vol. 48,1-47
Biometrika 46: 67-76.
22
Lampiran 1 Data persentase Angka Melek Huruf (AMH) dan anggaran
pendidikan (APBD) periode tahun 2008-2012
No DAERAH 2008 2009 2010 2011 2012
APBD AMH APBD AMH APBD AMH APBD AMH APBD AMH
1 Kab. Aceh Barat 30.84 94.06 32.56 94.08 37.56 94.53 38.94 94.60 46.40 94.96 2 Kab. Aceh Besar 36.42 96.93 37.29 96.95 38.17 96.96 40.52 96.98 41.40 96.98 3 Kab. Aceh Selatan 26.95 96.42 33.41 96.47 35.67 96.53 36.27 96.55 29.77 96.55 4 Kab. Aceh Singkil 21.81 96.20 24.80 96.22 21.12 96.24 25.05 96.25 24.85 96.25 5 Kab. Aceh Tengah 29.41 98.08 32.04 98.13 35.77 98.60 34.86 98.65 39.14 98.65 6 Kab. Aceh Tenggara 26.72 96.94 34.69 97.10 33.83 97.95 32.52 97.97 29.86 97.97 7 Kab. Aceh Timur 21.57 97.35 25.50 97.51 23.61 98.21 33.41 98.25 32.08 98.27 8 Kab. Aceh Utara 23.18 96.04 25.44 96.42 30.97 97.81 35.70 97.83 31.82 97.83 9 Kab. Bireuen 33.36 98.34 40.80 98.37 44.56 98.47 46.23 98.51 43.56 98.51 10 Kab. Aceh Pidie 36.81 95.51 38.20 95.56 41.75 95.91 45.57 96.30 58.67 96.31 11 Kab. Simeuleu 10.28 98.30 22.55 98.58 22.16 98.66 31.98 98.85 31.88 99.29 12 Kota Banda Aceh 35.08 99.03 42.48 99.10 39.15 99.16 40.52 99.18 41.90 99.25 13 Kota Sabang 23.95 98.78 28.77 98.81 22.06 98.99 23.37 99.08 26.80 99.09 14 Kota Langsa 30.29 98.75 30.45 99.10 29.47 99.20 34.35 99.30 38.63 99.31 15 Kota Lhokseumawe 27.07 98.82 29.26 99.22 32.08 99.62 32.59 99.64 30.13 99.65 16 Kab. Gayo Lues 19.64 86.70 20.18 86.97 18.93 87.27 20.66 87.38 23.27 87.89 17 Kab. Aceh Barat Daya 27.98 96.22 27.72 96.25 34.18 96.34 29.45 96.47 27.59 96.47 18 Kab. Aceh Jaya 18.07 93.73 20.73 93.78 21.69 93.99 29.56 94.12 29.97 94.76 19 Kab. Nagan Raya 25.43 89.70 28.91 89.78 33.77 89.85 37.30 89.89 36.77 91.77 20 Kab. Aceh Tamiang 25.53 98.00 30.57 98.25 30.98 98.27 39.57 98.32 37.57 98.33 21 Kab. Bener Meriah 19.98 97.19 27.89 97.45 33.20 98.50 36.28 98.79 32.66 98.79 22 Kab. Subulussalam 19.98
