1
1. Besaran dan analisis dime nsi
1.1 Pe ndahuluan me kanika Ne wton
Mekanika Newton adalah studi konsep gerak benda dan gaya. Mekanika merupakan salah satu ilmu tertua dan sangat menarik untuk dipelajari. Mekanika digunakan di semua ukuran benda, mikroskopik dan makroskopik, seperti gerak elektron dalam atom dan gerak planet dalam ruang angkasa. Mekanika dapat dibagi menjadi tiga bagian: kinematika, dinamika dan statika. Kinematika mempelajari gerak benda tanpa meninjau gaya sebagai penyebab gerak benda. Kinematika membahas hubungan posisi, kecepatan, percepatan dan waktu. Dinamika mempelajari gerak benda dengan meninjau gaya sebagai penyebab gerak. Statika mempelajari benda diam dalam pengaruh gaya.
Mekanika telah dimulai sejak zaman purbakala. Mekanika newton didasarkan oleh kebutuhan untuk menjelaskan gerak benda-benda di bumi berhubungan dengan eksperimen gerak benda jatuh bebas oleh Galileo Galilei (1642-1564), dan gerak benda-benda langit berhubungan dengan hasil observasi gerak planet-planet oleh Nicolas Copernicus (1543-1473), Tyco Brache (1546-1601) dan Johannes Kepler (1571-1630). Mekanika Newton dirumuskan oleh Sir Isaac Newton (1642-1727) pada tahun 1687 dalam buku Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. Newton merumuskan hukum gerak Newton untuk menjelaskan gerak benda-benda di bumi dan hukum gravitasi Newton untuk menjelaskan gerak planet-planet. Newton sebagai salah satu ilmuwan besar yang memiliki peranan penting dalam perkembangan sains dan teknologi saat ini.
1.2 Besaran
Besaran adalah segala sesuatu yang dapat diukur, memiliki nilai dan satuan standar. Berdasarkan satuan, besaran dibedakan menjadi dua bagian, yaitu besaran pokok dan besaran turunan. Besaran pokok adalah besaran yang satuannya telah didefenisikan terlebih dahulu. Pada tahun 1971 dalam pertemuan Bereau of weightand measure di Prancis disepakati tujuh besaran pokok seperti pada Tabel 1.1 dan dua besaran tambahan, yaitu sudut datar satuannya radian (rad) dan sudut ruang satuannya steradian (sr). Radian digunakan sebagai satuan sudut. Steradian digunakan untuk menyatakan intensitas cahaya dalam ruang. Dua besaran tambahan ini tidak memiliki dimensi. Besaran turunan adalah besaran yang satuannya disusun oleh satuan besaran pokok. Contoh besaran turunan adalah kecepatan, percepatan, luas, volume, gaya, momen gaya, momentum, impuls, tekanan, daya, kerja , dan frekuensi.
Tabel 1.1 : Daftar besar an pok ok
Besaran pokok Satuan Simbol Satuan Dime nsi
Panjang meter m [L]
Massa kilogram kg [M]
Waktu sekon (detik) s (det) [T]
Kuat arus listrik ampere A [I]
Suhu kelvin K [θ]
Intensitas cahaya candela Cd [J]
Jumlah zat mol N [N]
1.3 Satuan
Satuan adalah ukuran yang menjadi acuan standar dari nilai sebuah besaran. Besaran tanpa satuan tidak memiliki arti. Karena itu, kita harus menuliskan satuan pada setiap besaran fisika. Ada beberapa besaran fisika yang tidak memiliki satuan seperti koefisien gesek, koefisien restitusi dan indeks bias.
1.3.1 Siste m satuan
[image:1.596.155.473.507.618.2]2 Sistem ini menggunakan satuan panjang adalah meter, satuan massa adalah kilogram , dan satuan waktu adalah sekon.
2. Sistem cgs atau sistem gaussian
Sistem ini menggunakan satuan panjang adalah centimeter, satuan massa adalah gram , dan satuan waktu adalah sekon.
3. Sistem British
Sistem satuan ini digunakan di Inggris, Amerika Serikat dan beberapa negara di Eropa. Satuan panjang adalah kaki (foot), satuan massa adalah slug, satuan waktu adalah sekon. Contoh konversi satuan British adalah 1 foot (1 kaki) = 0,3048 m dan 1 slug = 14,59 kg.
4. Sistem Satuan Internasional
Sistem Satuan Internasional (SI) digunakan setelah pertemuan Bereau of weight and measure di Prancis. Sistem ini adalah bentuk pengembangan dari sistem metrik. Sistem SI menggunakan satuan besaran pokok dalam Tabel 1.1.
Defenisi satuan besaran pokok untuk besaran panjang, massa dan waktu.
a. Satu sekon adalah interval waktu dari 9.192.631.770 kali waktu getar atom Cesium-133.
b. Satu meter adalah jarak yang ditempuh oleh cahaya di ruang hampa dalam waktu 1/299.792.458 sekon.
c. Satu kilogram adalah massa sebuah silinder platinum-iridium yang disimpan di Serves Prancis. Tabel 1.2 menunjukkan awalan dari satuan SI. Kita akan menggunakan awalan satuan untuk menyatakan hasil pengukuran yang memiliki orde sangat besar dan sangat kecil.
[image:2.596.219.407.400.693.2]
Tabel 1.2 : Awal an satuan S I
Faktor Awalan Simbol
1024 yotta- Y
1021 zetta- Z
1018 exa E
1015 peta- P
1012 tera- T
109 giga- G
106 mega- M
103 kilo- k
102 hekto- h
101 deka- da
10-1 desi- d
10-2 centi- c
10-3 milli- m
10-6 mikro- μ
10-9 nano- n
10-12 piko- p
10-15 femto- f
10-18 atto- a
10-21 zepto- z
10-24 okto- y
1.3.2 Konve rsi satuan
3 1 jam
1 3600detik dan
3600detik 1 1 jam
Faktor 1 jam/3600 detik dan 3600 detik/1 jam disebut faktor konversi. Untuk mengubah suatu satuan ke bentuk satuan yang lain, kita harus mengalikannya dengan faktor konversinya.
Sebaiknya anda memilih salah satu sistem satuan sebelum memulai melakukan perhitungan. Perbandingan satuan yang sama akan saling menghilangkan satu sama lain. Sebagai contoh, sebuah benda bergerak dengan kecepatan konstan 54 km/jam selama 20 menit. Pertama, kita mengubah satuan waktu dalam jam.
1 jam 1 20 menit = (20 menit ) jam
60 menit 3
Jarak yang ditempuh oleh benda adalah km 1
54 jam=18km
jam 3 s vt
Kita juga dapat mengubah satuan SI ke dalam satuan British menggunakan faktor konversinya.
Contoh 1.1 :
Ubahlah sistem satuan di bawah ini ke dalam sistem SI! a. 1 dyne = 1 gr. cm/s2
b. 1 slug / kaki3
Pe mbahasan:
a. 5 5
2 2 2
gr cm gr cm 1kg 1m kg m
1 1 10 10 N
1000gr 100cm
s s s
b. 1 slug = 14,59 kg, 1 kaki = 0, 3048 m atau 1 kaki3 = 0,02832 m3 3
5
3 3 3 2 3
slug slug 14,59 kg 1kaki kg m kg
1 1 10 515, 2
1slug
kaki kaki 0,02832 m s m
Contoh 1.2 :
Sebuah bak mandi berbentuk kubus panjang rusuk 10 kaki. Air mengalir ke dalam bak mandi melalui kran dengan kelajuan 0,1 liter/detik. Jika mula-mula bak mandi kosong, hitunglah waktu yang dibutuhkan untuk mengisi bak mandi sampai penuh!
Pe mbahasan:
Panjang rusuk bak mandi adalah 10 kaki
10 kaki
0,3048m 3,048m 1kakis
.
Volume bak mandi adalah V s3
3,048m
328,31683m328316,83dm3 28316,83L. Ingat bahwa 1 dm3 = 1 L. Waktu yang dibutuhkan untuk mengisi bak mandi sampai penuh:s
28316,83 L 0,1 2832 s = 47,2menit L
t
1.4 Analisis dime nsi
Dimensi sebuah besaran menunjukkan cara suatu besaran itu tersusun dari besaran-besaran pokok. Lihat kembali Tabel 1.1, lambang [ ] menunjukkan simbol dimensi besaran. Besaran panjang memiliki dimensi L, massa memiliki dimensi M, dan waktu memiliki dimensi T. Kita dapat menentukan dimensi besaran-besaran turunan dari satuan besaran-besaran pokok penyusunnya. Satuan
km km 1000 m 1 jam m
36 = (36 ) 10
jam jam km 3600s s
3600detik
0,5 jam = (0,5 jam) 1800detik jam
4 kecepatan adalah m/s, maka dimensi kecepatan adalah L/T =LT-1. Dimensi besaran diperoleh dengan menguraikan satuannya ke dalam satuan SI. Satuan gaya adalah Newton atau setara dengan kg.m/s2, maka dimensi gaya adalah 2
MLT .
Contoh 1.3 :
Tentukanlah dimensi besaran fisika di bawah ini, a. percepatan
b. momentum c. tekanan
d. konstanta gravitasi.
Pe mbahasan:
a. Satuan percepatan (a) adalahm/s2. Jadi, [a] = LT-2.
b. Momentum adalah perkalian massa dan kecepatan, pmv. Satuan momentum adalah kg.m/s. Jadi, [p] = MLT-1.
c. Tekanan adalah gaya persatuan luas, P=F/A. Satuan tekanan adalah N/m2 = kg.m-1.s-2. Jadi, [P] = ML-1T-2.
d. Rumus gaya gravitasi adalah F = Gm1m2/r 2
. Konstantan gravitasi dinyatakan oleh G = F r2/m1m2 . Satuan konstanta gravitasi G adalah Nm2/kg2 = m3/s2kg. Jadi, [G] = M-1 L3T-2.
Tabe l 1.3 : Daftar dime nsi besaran-besaran mekanika
Besaran Rumus Satuan MKS Dime nsi
Luas
A
p l
m2 2L
Volume V p l t m3 3
L
Massa jenis
m V -3kg m ML3
Kecepatan vdx dt m/s 1
LT
Percepatan 2
ad x dt m/s
2
2
LT
Gaya Fma -2
kg m s N MLT2
Momentum linear pmv -1
kg m s MLT1
Impuls I F t p -1
kg m s =N s MLT1
Energi kinetik 1 2
2
Ek mv 2 -2
kg m s J ML T2 2
Energi potensial gravitasi Epmgh 2 -2
kg m s J ML T2 2
Energi potensial pegas 1 2 2
Ep kx kg m s 2 -2J 2 2
ML T
Usaha W F x EK 2 -2
kg m s J ML T2 2
Daya P W t 2 -3
kg m s J s ML T2 3
Tekanan pF A 2 -1 -2
N m = kg m s ML T2 3
Frekuensi f 1T s-1 = hertz= Hz 1
T
Kecepatan angular 2f rad s -1 1
T
Percepatan angular
0 t
rad s -2 2
T
Momen inersia partikel I mr2 2
kg m ML2
Momen gaya (Torsi) IrFsin 2 2
kg m s N m ML T2 2
Momentum sudut LImvr 2 1
kg m s ML T2 1
[image:4.596.103.523.332.735.2]5 a. Mengetahui kesetaraan dua buah besaran
Dua buah besaran setara jika dua besaran tersebut memiliki dimensi yang sama. Contoh dua buah besaran yang setara adalah usaha dan energi kinetik. Analisis dimensi sebagai alat untuk menentukan kebenaran hasil perhitungan. Jawaban harus memiliki dimensi yang setara atau sama dengan besaran yang ditanyakan dalam soal. Sangat penting untuk memeriksa dimensi jawaban akhir setelah selesai mengerjakan soal. Jika dimensi jawaban berbeda, maka sebaiknya anda mengulang mengerjakan soal tersebut dengan lebih teliti.
.
Contoh 1.5 :
Seorang siswa menyelesaikan soal-soal fisika mendapatkan jawaban akhir :
i. 1
1 2
sin 2
m y
t
m m g
ii.
2
m g p
F
t y t
dimana waktu (t), gaya (F), massa (m), jarak (y), percepatan gravitasi (g), momentum (p). Tentukan jawaban yang benar secara dimensi!
Pe mbahasan:
Jawaban bagian (i) benar karena dimensi waktu (t) sama dengan dimensi jawaban akhir. Jawaban bagian (ii) salah karena dimensi gaya (F) sama dengan dimensi jawaban akhir.
b. Memeriksa kebenaranpersamaan gerak
Kita hanya dapat melakukan penjumlahan atau pengurangan dua besaran yang memiliki dimensi yang sama. Setiap persamaan gerak harus memenuhi syarat kesamaan dimensi, artinya dimensi setiap suku dalam persamaan gerak harus sama. Jadi, setiap persamaan gerak harus konsisten dalam satuannya. Jika dimensi setiap suku persamaan ada yang berbeda maka persamaan tersebut salah. Sebuah persamaan posisi benda dinyatakan oleh x = v0t+ ½ at
2
, dimensi x sama dengan v0t dan ½ at 2
,yaitu [L] . Karena dimensi setiap suku persamaan ini sama maka persamaan posisi benda x = v0t+ ½
at2 benar secara dimensi.
Contoh 1.4 :
Perhatikan tiga persamaan berikut ini : i. xvt22at
ii. 1 2
2
ma x mv Fx
iii. 2 1 2
2 2
E p m kx
di mana posisi x, kecepatan v, percepatan a , waktu t, massa m, momentum p, konstanta pegas k dan energi mekanik E. Tentukanlah persamaan-persamaan yang benar secara dimensi.
Pe mbahasan:
Tinjau persamaan (i) :
2 2 x vt at
Dimensi ruas kiri adalah L
Dimensi ruas kanan adalah LT1T2LT2 T LTLT1. Dimensi setiap suku ada yang berbeda, maka persamaan (i) salah. Tinjau persamaan (ii) :
2 1 2
ma x mv Fx
6 Dimensi setiap suku sama, maka persamaan (ii) benar.
Tinjau persamaan (iii) :
2 1 2
2 2
E p m kx
Dimensi ruas kiri adalah 2 2
ML T
Dimensi ruas kanan adalah
MLT1
2M1MT2L2ML T2 2ML T2 2. Dimensi setiap suku persamaan adalah sama, maka persamaan (iii) benar. c. Membentuk sebuah persamaan fisika.Kita dapat mengetahui ketergantungan sebuah besaran fisis terhadap besaran lainnya menggunakan alat bantu analisis dimensi. Selanjutnya, kita akan mengetahui perbandingan antara besaran-besaran tersebut. Sebuah persamaan /rumus benar hanya jika dimensi ruas kanan sama dengan dimensi ruas kiri.
Contoh 1.6 :
Sebuah benda bermassa m bergerak melingkar beraturan dengan kecepatan linear v dan jari-jari lintasan r. Tentukan gaya sentripetal Fs yang dialami oleh benda bergantung pada besaran m,v dan r ! Pe mbahasan:
Kita dapat menuliskan :
x y z s
F k m v r
dimana k adalah konstanta tidak berdimensi. Nilai x, y dan z diperoleh menggunakan analisis dimensi.
Satuan gaya adalah kg.m/s2 : 2
s
F MLT . Satuan massa adalah kg :
m M.Satuan kecepatan adalah m/s : 1
v LT .
Satuan jari-jari lintasan adalah m :
r L.Gunakan syarat bahwa dimensi ruas kiri sama dengan dimensi ruas kanan. Kita peroleh hubungan:
2 x 1 y z
MLT M LT L
2 x y z y
MLT M L T
Kita peroleh tiga buah persamaan :
1, 1
x y z dan y 2.
Jadi, x1,y2 dan z 1. Gaya sentripetal yang dialami oleh benda adalah 2
s
v F k m
r
Secara teoritik dapat dibuktikan bahwa nilai k = 1. Besar gaya sentripetal yang dialami oleh benda bergerak melingkar adalah Fs mv2
r
. Gaya sentripetal berbanding lurus dengan massa, berbanding lurus dengan kuadrat kecepatan dan berbanding terbalik dengan jari-jari lintasan.
1.5 Pe ndekatan limit khusus
7 kasus khusus juga akan memudahkan kita dalam menginterpretasikan makna fisis jawaban akhir. Pendekatan limit khusus sering dilakukan dengan pendekatan deret, misalnya deret binomial Newton, deret Taylor, dan deret Maclaurin.
a. Deret binomial Newton
Untuk setiap bilangan riil n dan |x| < 1 berlaku
2 ( 1) 2 3
( 1)
(1 ) 1
2! 3!
n n n n n n
x nx x x
(1.1)
Contoh 1.7 :
2 ( 2)( 3) 2 ( 2) 3 4 3 2 3
(1 ) 1 ( 2) 1 2 3 4
2! 3!
x x x x x x x
3
1 1 1 1
1
2 2 2 2 2 2 3 2 3
2 1 ( )( ) ( )( )( ) 1 1 1
(1 ) 1 1
2 2! 3! 2 8 16
x x x x x x x
Hasil pendekatan khusus ketika x <<1 :
(1
x
)
n1
nx
(1
x
)
21 2
x
12 1
2
(1
x
)
1
x
b. Deret Taylor
Deret Taylor merupakan representasi fungsi matematika sebagai jumlahan tak hingga dari suku-suku yang nilainya dihitung dari turunan fungsi tersebut di suatu titik.
Bentuk umum deret Taylor :
2 3
( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
2! 3!
f a f a
f x f a f a x a x a x a (1.2) Bila deret tersebut terpusat di titik nol a = 0 , deret tersebut dinamakan sebagai deret Maclaurin :
2 3
(0) (0)
( ) (0) (0)
2! 3!
f f
f x f f x x x (1.3)
Contoh 1.9 :
Carilah deret Maclaurin untuk fungsi-fungsi di bawah ini. a. f(x) = 1x
b. f(x) = sin x
Pe mbahasan:
a. ( ) 1 (0) (0) (0) 2 (0) 3
2! 3!
f f
f x x f f x x x
1 2
3 2
5 2
1 1
2 2
1 1
4 4
3 3
8 8
( ) 1 (0) 1
( ) 1 (0)
( ) 1 (0)
( ) 1 (0)
f x x f
f x x f
f x x f
f x x f
Jadi ,
2 3
1 1 1
( ) 1 1
2 8 16
8
b. ( ) sin (0) (0) (0) 2 (0) 3
2! 3!
f f
f x x f f x x x
(4) (4)
( ) sin (0) 0
( ) cos (0) 1
( ) sin (0) 0
( ) cos (0) 1
( ) sin (0) 0
f x x f
f x x f
f x x f
f x x f
f x x f
Jadi,
3 5 7
( ) sin
3! 5! 7!
x x x
f x x x
Beberapa Deret Maclaurin yang penting : 1.
3 5 7
sin
3! 5! 7!
x x x
x x
2.
2 4 6
cos 1
2! 4! 6!
x x x
x
3.
3 2 5
tan | |
3 15 2
x x
x x x
4. 1 1 2 3 4
1x x x x x 5.
2 3 4
ln(1 )
2! 3! 4!
x x x
x x
6.
2 3 4
1
2! 3! 4!
x x x x
e x
Jika x << 1,
2
1
1
sin cos 1 tan
2
(1 ) 1 ln(1 ) x 1
x x x x x x
x x x x e x
Contoh 1.10:
Sebuah benda dilemparkan vertikal ke atas dengan kecepatan awal v0. Benda mengalami gaya gesek sebanding dengan kecepatan benda, f = - kmv. Kecepatan benda setiap waktu dinyatakan oleh persamaan
0
( ) g kv g kt
v t e
k k
a. Tunjukkan bahwa waktu yang dibutuhkan benda untuk mencapai titik tertinggi adalah 0
1 ln 1
m
kv t
k g
b. Tunjukkan bahwa jika tidak ada gaya gesek k→0, waktu yang diperlukan benda untuk mencapai titik tertinggi adalah tmv0 g.
Pe mbahasan:
a. Kecepatan benda sama dengan nol pada tutuk tertinggi, v t( )m 0.
0 k tm 0
kv g g
e
k k
9 0
m
k t g
e
kv g
0 1 ln 1
m
kv t
k g
b. Kita gunakan ekspansi untuk z kecil (z<<1) berlaku bahwa
1 2 1 3ln 1
2 2
z z z z
Misalkan bahwa z kv0
g
, maka
2 2
0 0 0
1 1 1
2 3
m
kv kv kv
t
k g g g
2
0 1 0 1 0
2 3 2
m
v kv kv
t
g g g
Untuk k→0, kita peroleh 0
m
v t
g
1.6 Soal dan pe mbahasan
1. Lintasan sebuah partikel dinyatakan oleh persamaan: x A BtCt2, dimana x menyatakan posisi partikel (dalam m), t dalam sekon, serta A, B, C adalah konstanta. Tentukanlah satuan A, B dan C.
2. Percepatan sebuah partikel dinyatakan oleh persamaan : exp 1
m v
a
Tentukanlah dimensi dasar (M,L,T )untuk konstanta α dan dan nyatakan juga dalam satuan SI! 3. Periksalah kebenaran persamaan-persamaan fisika di bawah ini! Simbol yang digunakan dalam
setiap persamaan mengikuti aturan berikut : F (gaya), x (perpindahan), v (kecepatan), a (percepatan), t (waktu), tekanan (P), massa (m), percepatan gravitasi (g), massa (m)!
a. 1 2
2 konstan
P v gh
b. 1 2
2
p F
m m
x t
c. v 2Fx m
d. 2 2
0 2
v v ax
4. Sebuah pendulum sederhana memiliki massa m dan panjang tali l. Percepatan gravitasi bumi adalah g. Tentukanlah rumus periode pendulum dalam besaran l, m dan g.
5. Frekuensi osilasi senar bergantung pada panjang senar L, tegangan senar T dan kerapatan massa linear μ (massa persatuan panjang). Tentukan rumus frekuensi dalam besaran L, T dan μ!
10
x x z
D D u
F k C v A a. Tentukan nilai x,y dan z !
b. Tentukanlah kecepatan terminal bola vT. Asumsikan massa jenis bola b dan percepatan gravitasi g.
c. Hitunglah kecepatan terminal bola dalam vT jika jari-jari bola dijadikan dua kali semula.
7. Gradien tekanan dalam pipa silinder (p= ∆P/∆l) dapat dinyatakan dalam besaran viskositas cairan
η, radius penampang silinder r, dan volume cairan tiap detik (Q= V/t) yang mengalir melalui pipa silinder. Tunjukkan bahwa
4
Q p k
r
dimana k adalah konstanta tanpa dimensi. Satuan viskositas adalah kg/(det.m).
7. Sebuah benda bermassa m jatuh bebas dari ketinggian h di atas permukaan tanah. Percepatan gravitasi bumi dialami oleh benda konstan g. Waktu yang dibutuhkan bola untuk mencapai tanah sejak dilepaskan diberikan oleh
tCh m g
dimana C adalag konstanta. Tentukan nilai α, , dan !
8. Sebuah planet bergerak mengintari matahari dalam suatu orbit lingkaran. Periode revolusi planet T, bergantung pada jari-jari orbit R, massa matahari M dan tetapan gravitasi umum G.
a. Tentukanlah ketergantungan T dalam besaran R, M dan G !
b. Jika jari-jari orbit planet membesar menjadi dua kali semula dan massa Matahari berkurang menjadi setengah kali semula. Hitung periode planet sekarang dinyatakan dalam periode awal T!
r
∆l
