MODIFIKASI MODEL EKSPONENSIAL DALAM
PENYUSUNAN TABEL HAYAT LENGKAP
NURFITRIANA OKTAVIANI SUPRIATININGTIAS
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Modifikasi Model Eksponensial dalam Penyusunan Tabel Hayat Lengkap adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor.
Bogor, Juni 2013
Nurfitriana Okataviani S.
ABSTRAK
NURFITRIANA OKTAVIANI SUPRIATININGTIAS. Modifikasi Model Eksponensial dalam Penyusunan Tabel Hayat Lengkap. Dibimbing oleh HADI SUMARNO dan ALI KUSNANTO.
Data kematian penduduk suatu negara biasanya disajikan dalam bentuk tabel hayat. Menurut interval umur, tabel hayat dibagi menjadi dua, yaitu tabel hayat ringkas dan tabel hayat lengkap. Tabel hayat ringkas sering digunakan oleh negara dengan data kematian penduduk yang tidak lengkap. Dalam bidang asuransi tabel hayat digunakan untuk menentukan besar premi yang akan dibayar oleh pemegang asuransi. Pada karya ilmiah ini dicari suatu model kontinu untuk tabel hayat lengkap berdasarkan model hayat ringkas. Dengan membandingkan koefisien determinasi dari metode Kostaki (2000), model eksponensial (Rachmadani 2006), dan model kontinu yang didapatkan maka dapat disimpulkan tabel hayat terbaik dihasilkan oleh metode Kostaki.
Kata kunci : tabel hayat, tabel hayat ringkas, tabel hayat lengkap, metode Kostaki, model kontinu.
ABSTRACT
NURFITRIANA OKTAVIANI SUPRIATININGTIAS. Modifying Exponential Model in the Preparation of a Complete Life Table. Supervised by HADI SUMARNO and ALI KUSNANTO.
Population mortality data of a country is usually given in life tables. Based on the age interval, life tables are divided into two, Abridged life tables and complete life tables. The abridged life table is often used by state with incomplete population mortality data. In life insurance, life tables are used to determining the amount of premium to be paid by the insurance holder. This paper creates the continuous model for the complete life table based on the abridged life table. By comparing the coefficient of determination of the Kostaki method (2000), exponential model (Rachmadani 2006), and continuous models, this work concludes that the best life table is produced by the Kostaki method.
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
MODIFIKASI MODEL EKSPONENSIAL DALAM
PENYUSUNAN TABEL HAYAT LENGKAP
NURFITRIANA OKTAVIANI SUPRIATININGTIAS
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR
Judul Skripsi : Modifikasi Model Eksponensial dalam Penyusunan Tabel Hayat Lengkap
Nama : Nurfitriana Oktaviani Supriatiningtias NIM : G54070061
Disetujui oleh
Dr Ir Hadi Sumarno, MS Pembimbing I
Drs Ali Kusnanto, MSi Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Berlian Setiawaty, MS Ketua Departemen
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat serta hidayah-Nya sehingga karya ilmiah yang berjudul Modifikasi Model Eksponensial dalam Penyusunan Tabel Hayat Lengkap berhasil diselesaikan.
Terima kasih penulis ucapkan kepada :
1 Dr Ir Hadi Sumarno, MS dan Drs Ali Kusnanto, MSi selaku komisi pembimbing yang telah memberikan bimbingan dan motivasi dengan penuh kesabaran kepada penulis,
2 Dr Ir Endar H. Nugrahani, MS selaku penguji luar komisi yang telah memberikan saran dan kritiknya,
3 Dr Berlian Setiawaty, MS selaku Ketua Departemen Matematika,
4 Bank CIMB NIAGA yang telah memberikan beasiswa kepada penulis selama menempuh studinya di Institut Pertanian Bogor,
5 Ayah, Ibu, mas Isal, mas Iyang, mas Aris, dan almarhum mas Joang serta seluruh keluarga atas segala pengorbanan dan dukungannya selama penulis menyelesaikan studi,
6 Mohammad Khamanda Syahpura yang selalu mendukung dan mendampingi, 7 Nike Arya Sari, Mufti Fathul Barri, Andri Febrian, Feri Nur Oktaviani, Bergas
Cahyo Baskoro, Mohammad Riza Febriano, Faisal Amin Nasution, dan teman-teman LAWALATA-IPB yang lain,
8 Suwaibatul Aslamiyah dan teman-teman dari departemen Matematika IPB yang lain,
9 dan semua pihak terkait yang telah membantu dalam proses penyusunan karya ilmiah ini.
Bogor, Juni 2013
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL vi
DAFTAR GAMBAR vi
DAFTAR LAMPIRAN vi
PENDAHULUAN 1
Latar Belakang 1
Perumusan Masalah 2
Tujuan Penelitian 2
Manfaat Penelitian 2
TINJAUAN PUSTAKA 2
METODOLOGI 5
Data 5
Langkah-Langkah Penelitian 5
HASIL DAN PEMBAHASAN 5
Life Table dan Contoh Penggunaannya dalam Premi Asuransi 5 Penyusunan Tabel Hayat dengan Menggunakan Metode Kostaki 8 Penyusunan Tabel Hayat dengan Menggunakan Model Eksponensial 12
Fitting Model Kontinu 13
SIMPULAN 17
DAFTAR PUSTAKA 18
LAMPIRAN 19
DAFTAR GAMBAR
1 Kurva lxtabel hayat ringkas Amerika Serikat 1905 8 2 Kurva lxpada tabel hayat lengkap Amerika Serikat 1905 9 3 Kurva lx Amerika Serikat 1905 metode Kostaki 11 4 Kurva perbandingan lx Amerika Serikat 1905 sebenarnya dengan lx
metode Kostaki 11
5 Kurva lxAmerika Serikat 1905 model eksponensial 13 6 Kurva perbandingan lx Amerika Serikat 1905 sebenarnya dengan lx
model eksponensial 13
7 Kurva lxAmerika Serikat 1905 model pertama 16
8 Kurva lxAmerika Serikat 1905 model kedua 16
9 Kurva perbandingan lx Amerika Serikat 1905 sebenarnya dengan lx
model pertama dan model kedua 17
DAFTAR LAMPIRAN
1 Tabel Mortalitas CSO 1941 pada tingkat suku bunga 10% 19 2 Tabel hayat lengkap Amerika Serikat tahun 1900 22 3 Tabel hayat ringkas Amerika Serikat tahun 1905 25 4 Tabel hayat lengkap Amerika Serikat tahun 1905 26 5 Tabel Mortalitas CSO dengan tingkat suku bunga 10% berdasarkan
tabel hayat lengkap Amerika Serikat 1905 29
6 Tabel perhitungan konstanta Kostaki 32
7 Tabel hayat lengkap Amerika Serikat tahun 1905 dengan menggunakan
Metode Kostaki 33
8 Tabel hayat lengkap Amerika Serikat tahun 1905 dengan menggunakan
model eksponensial 36
9 Tabel hayat lengkap Amerika Serikat tahun 1905 dengan menggunakan
model pertama 39
10 Tabel hayat lengkap Amerika Serikat taun 1905 dengan menggunakan
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Demografi adalah kajian mengenai kependudukan yang menyangkut berbagai faktor seperti jumlah, struktur usia, kepadatan, kelahiran, kematian, pertumbuhan, serta variabel sosial dan ekonomi. Komponen utama dari demografi yang berpengaruh terhadap struktur dan jumlah penduduk adalah kelahiran (fertilitas), kematian (mortalitas), dan perpindahan penduduk (migrasi) (Siegel dan Swanson 2004). Mortalitas adalah angka kematian yang terjadi pada kurun waktu dan tempat tertentu yang dikaitkan oleh keadaan tertentu (BPS, 2009). Data mortalitas suatu negara biasanya disajikan dalam bentuk life table atau tabel hayat, yang terdiri dari beberapa komponen seperti jumlah penduduk yang meninggal dunia pada umur tertentu, peluang seseorang meninggal dunia sebelum mencapai pada umur tertentu dan angka harapan hidup seseorang menurut umur. Tabel hayat adalah suatu tabel yang menggambarkan riwayat kematian penduduk menurut kelompok umur tertentu yang perlahan-lahan berkurang jumlahnya akibat kematian. Tabel hayat sederhana pertama kali diperkenalkan oleh John Graunt pada pertengahan abad 17 yang telah melakukan observasi dengan menggunakan data kematian London. Tabel hayat modern pertama kali diperkenalkan oleh Edmund Halley pada tahun 1963 berdasarkan data registrasi kelahiran dan kematian di kota Breslau pada tahun 1687-1691 dengan asumsi bahwa populasi stasioner, yang selanjutnya dikembangkan oleh Milne pada tahun 1815 (Siegel dan Swanson 2004).
Ditinjau dari interval umur, tabel hayat ada dua jenis yaitu abridged life table (tabel hayat ringkas) dan complete life table (tabel hayat lengkap). Tabel hayat ringkas adalah tabel hayat dengan umur penduduk dikelompokkan menurut jenjang tertentu biasanya dalam interval lima atau sepuluh tahun, sedangkan tabel hayat lengkap adalah tabel hayat dengan umur penduduk disusun secara lengkap dalam satu tahunan (Siegel dan Swanson 2004).
Tabel hayat ringkas sangat praktis. Oleh karena itu, tabel hayat ringkas sering digunakan oleh negara dengan data kematian penduduk tidak lengkap. Padahal suatu saat tabel hayat lengkap sangat diperlukan dalam bidang demografi dalam memprediksi jumlah penduduk di masa mendatang, bidang asuransi untuk menentukan besar premi yang harus dibayar oleh pemegang asuransi, dan bidang kesehatan dalam menentukan peluang seseorang dapat bertahan hidup dalam jangka waktu tertentu. Begitu juga dalam bidang pendidikan misalnya kita dapat memperkirakan jumlah penduduk usia sekolah, jumlah murid, jumlah guru, gedung-gedung sekolah dan pendidikan pada masa yang akan datang. Oleh karena itu perlu disusun tabel hayat lengkap.
2
ini akan dicari model kontinu yang sesuai dengan tabel hayat lengkap berdasarkan model hayat ringkas.
Perumusan Masalah
Pada kenyataannya kita sering menghadapi masalah mengenai pendataan. Misalkan, pada tabel hayat ringkas (lima tahunan) kita tidak dapat menentukan peluang seseorang yang berusia 30 tahun akan meninggal dunia di usia 31 tahun. Oleh karena itu diperlukan tabel hayat lengkap yang dapat memberikan informasi lebih lengkap tentang keadaan jumlah penduduk dalam interval usia satu tahun.
Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah:
1 mengkaji metode interpolasi abridged life table (tabel hayat ringkas) untuk mengubah tabel hayat ringkas menjadi tabel hayat lengkap,
2 menyusun tabel hayat lengkap menggunakan model kontinu,
3 menentukan model tabel hayat lengkap terbaik dengan membandingkan koefisien determinasinya.
Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini antara lain:
1 sebagai salah satu komponen dalam perhitungan proyeksi penduduk, 2 sebagai dasar penentuan premi di bidang asuransi jiwa,
3 mengetahui kemajuan yang diperoleh dari upaya pemeliharaan kesehatan masyarakat,
4 untuk keperluan analisis mortalitas.
TINJAUAN PUSTAKA
Demografi adalah studi statistik dan matematik dari ukuran, komposisi, dan distribusi spasial dari populasi manusia, dan perubahan dari waktu ke waktu yang dipengaruhi oleh lima proses, yaitu kelahiran (fertilitas), kematian (mortalitas), perkawinan, migrasi, dan mobilitas sosial (Bogue 1969). Mortalitas atau kematian adalah hilangnya semua tanda-tanda kehidupan secara permanen yang dapat terjadi setiap saat setelah kelahiran hidup (Wirosuhardjo et al. 1985). Data mortalitas disajikan dalam bentuk tabel hayat (life table), yaitu tabel yang menggambarkan riwayat kematian penduduk menurut kelompok umur tertentu yang perlahan-lahan berkurang jumlahnya akibat kematian (Siegel dan Swanson 2004).
3 = umur
= banyaknya orang yang bertahan hidup hingga mencapai umur tepat x
= banyaknya orang yang meninggal antara umur hingga = peluang bertahan hidup dari umur x hingga
= peluang seseorang berumur meninggal sebelum mencapai = banyaknya tahun hidup yang dijalani antara umur dan oleh
penduduk berumur
= total waktu yang dijalani penduduk berumur x sampai akhir hayatnya = rata-rata tahun hidup yang akan dijalani oleh seseorang yang telah
berhasil mencapai umur tersebut dalam situasi kematian yang berlaku di lingkungan masyarakatnya atau biasa disebut angka harapan hidup umur
x (Schoen dan Romo 2005).
Selain komponen-komponen tabel hayat di atas, ada beberapa notasi lain yang perlu diketahui antara lain:
= banyaknya orang yang meninggal antara umur x dan x+n
= peluang bertahan hidup dari umur x hingga x+t
= peluang seseorang berumur x meninggal sebelum mencapai x+n
= tingkat kematian bagi penduduk berumur x
= banyaknya tahun hidup yang dijalani antara umur x dan x+n oleh
( menyatakan usia maksimal seseorang pada tabel hayat)
(Brown 1997). Interpolasi adalah mecari sebuah kurva yang melalui titik-titik diskret secara tepat berhingga (Mathews 1995). Dengan menggunakan metode interpolasi, Kostaki (2000) menyampaikan suatu metode penyusunan tabel hayat lengkap berdasarkan tabel hayat ringkas, dimana nilai nqx pada tabel hayat ringkas dihubungkan dengan peluang kematian tabel hayat lengkap yang dianggap sebagai tabel hayat standar ̃ . Asumsi metode ini adalah bahwa pada setiap interval umur [ ), laju kematian dari tabel hayat ringkas merupakan perkalian suatu konstanta K dengan laju kematian dari tabel hayat standar ̃ pada interval umur yang sama, yakni:
4
Oleh karena itu, konstanta K untuk setiap interval umur [ ) dapat dihitung menggunakan:
∏ ̃
(2)
dengan:
nqx = peluang seseorang tepat berumur meninggal sebelum mencapai umur pada tabel hayat lengkap
̃ = peluang seseorang tepat berumur meninggal sebelum mencapai umur pada tabel hayat ringkas
(Kostaki 2000). Peluang kematian tabel hayat lengkap dapat dihitung dengan menggunakan rumus:
̃ (3)
dengan:
̃ = peluang seseorang tepat berumur x meninggal, dan
0K0 untuk 4K1 untuk x ϵ [1,4]
9K5 untuk x ϵ [5,9] 14K10 untuk x ϵ [10,14]
⋮ ⋮ ⋮
119K115 untuk x ϵ [115,119]
(Kostaki 2000). Untuk mengetahui galat atau error yang diperoleh berdasarkan metode tertentu terhadap metode sebenarnya perlu dilakukan uji kesesuaian data, misalnya dengan menggunakan koefisien determinasi, yaitu :
∑ ∑ ̂ ̅
5
METODOLOGI
Data
Data yang digunakan adalah data sekunder tabel hayat ringkas dan tabel hayat lengkap Amerika Serikat tahun 1900 dan 1905 yang diunduh dari web Berkeley Mortality Database (BMD 2011a, 2011b).
Langkah-Langkah Penelitian
Langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah:
1 mempelajari metode interpolasi tabel hayat yaitu menyusun tabel hayat lengkap berdasarkan tabel hayat ringkas,
2 menyusun tabel hayat lengkap dengan menggunakan metode Kostaki (2000), 3 menyusun tabel hayat lengkap dengan menggunakan model eksponensial yang
dikemukakan oleh Rachmadani dalam karya ilmiahnya (2006), 4 melakukan fitting model kontinu yang sesuai dengan tabel hayat, 5 menyusun tabel hayat lengkap dengan menggunakan model kontinu,
6 membandingkan metode dan model terbaik dalam menyusun model kontinu.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Life Table dan Contoh Penggunaannya dalam Premi Asuransi
Tabel hayat sederhana pertama kali diperkenalkan oleh John Graunt pada pertengahan abad 17 yang telah melakukan observasi dengan menggunakan data kematian London. Tabel hayat adalah catatan kematian yang diamati pada masa lalu untuk menggambarkan nilai kemungkinan kematian dan kehidupan. Sebuah tabel hayat dikonstruksi secara matematis untuk memberikan deskripsi secara lengkap mengenai angka kematian dan harapan hidup serta menunjukkan pola kematian (mortalitas) dari sekumpulan orang yang dilahirkan pada waktu yang sama berdasarkan usia yang telah dicapainya. Komponen-komponen tabel hayat adalah
Tabel hayat merupakan komponen yang sangat diperlukan dalam model ilmu asuransi. Faktanya, beberapa sarjana mulai memperkenalkan ilmu asuransi sejak tahun 1693. Pada tahun tersebut, Edmund Halley menerbitkan sebuah paper
6
Pada bagian ini akan dibahas contoh penggunaan tabel hayat pada penentuan premi asuransi. Namun tabel hayat tidak dapat langsung digunakan begitu saja. Tabel hayat harus diubah dulu menjadi tabel mortalitas CSO (Commissioners Standard Ordinary). Tabel CSO adalah Tabel aktuaria yang digunakan untuk menghitung nilai non-forfeiture (non-penyitaan) minimum polis asuransi jiwa biasa (Investopedia 2013). Tabel mortalitas CSO mencerminkan probabilitas bahwa orang-orang di berbagai kelompok umur akan mati pada tahun tertentu. Komponen-komponen lambang komutasi pada tabel mortalitas CSO antara lain Contoh tabel CSO bisa dilihat pada Lampiran 1. Penggunaan tingkat bunga 10% ini sesuai dengan rata-rata tingkat bunga deposito saat ini (Fatmawati 2009).
Kali ini akan dilihat pada contoh kasus anuitas hidup. Anuitas hidup adalah serangkaian pembayaran yang dilakukan selama seseorang tertentu masih hidup. Jadi pembayaran hanya dilakukan bila saat pembayaran, orang tersebut masih hidup. Ada bermacam-macam anuitas hidup, tergantung atas lamanya pembayaran berlangsung, apakah pembayaran dilakukan permulaan ataupun akhir tahun, ataupun apakah pembayaran ditunda selama jangka waktu tertentu. Anuitas awal adalah suatu rangkaian pembayaran sebesar satu satuan yang dilakukan pada awal tahun. Sedangkan anuitas akhir adalah suatu rangkaian pembayaran sebesar satu satuan yang dilakukan tiap akhir tahun.
Berikut beberapa notasi dan rumus yang akan digunakan:
=
= nilai sekarang pada usia 0 dari pembayaran sebesar 1 untuk masing-masing orang yang hidup dan berusia ,
= jumlah nilai sekarang pada usia 0 yang dibutuhkan orang berusia untuk setiap orang yang hidup dari usia sampai tak hingga (atau dapat dikatakan sampai akhir tabel mortalitas),
= nilai sekarang pada usia 0 dari pembayaran sebesar 1 untuk masing-masing orang yang akan meninggal di usia ,
= jumlah nilai sekarang pada usia 0 yang dibutuhkan orang berusia untuk setiap orang yang meninggal dari usia sampai tak hingga, = nilai sekarang dari pembayaran sebesar 1 yang dilakukan 1 tahun
kemudian,
= tingkat suku bunga.
7 hayat lengkap Amerika Serikat tahun 1905 disajikan pada Lampiran 5.
Contoh kasus:
Nilai dari diperoleh dari hubungan berikut: =
=
8
Penyusunan Tabel Hayat dengan Menggunakan Metode Kostaki
Berdasarkan tabel hayat ringkas Amerika Serikat tahun 1905 (Lampiran 3), dapat diketahui jumlah penduduk yang bertahan hidup menurut umur tertentu pada interval umur lima tahunan, peluang penduduk umur tertentu akan meninggal dunia, angka harapan hidup penduduk umur tertentu. Kurva pada tabel hayat ringkas Amerika Serikat 1905 dapat dilihat pada Gambar 1.
Berdasarkan pengamatan pada Gambar 1 terlihat bahwa kurva pada tabel hayat ringkas Amerika Serikat tahun 1905 cenderung monoton turun. Ini menunjukan bahwa jumlah penduduk pada tabel hayat ringkas Amerika Serikat 1905 terus berkurang akibat adanya kematian.
Gambar 1 Kurva lxtabel hayat ringkas Amerika Serikat 1905
Permasalahan pada tabel hayat ringkas adalah tidak dapat menentukan peluang seseorang yang berumur 65 tahun dapat bertahan hidup hingga usia 68 tahun. Oleh karena itu, diperlukan tabel hayat lengkap yang dapat memberikan informasi lebih lengkap tentang jumlah penduduk yang bertahan hidup untuk interval umur satu tahun. Selain itu dari contoh penggunaan tabel hayat pada sub bab sebelumnya juga menunjukkan bahwa yang diperlukan dalam perhitungan premi asuransi adalah suatu tabel hayat lengkap. Karena untuk menyusun suatu tabel mortalitas CSO diperlukan tabel hayat yang lengkap bukan ringkas.
Kurva pada tabel hayat lengkap Amerika Serikat 1905 dapat dilihat pada Gambar 2.
0 20000 40000 60000 80000 100000 120000
9
Gambar 2 Kurva lxpada tabel hayat lengkap Amerika Serikat 1905
Selanjutnya data pada tabel hayat lengkap Amerika Serikat 1905 (Lampiran 4) akan digunakan sebagai alat untuk membandingkan tabel hayat yang disusun dengan menggunakan metode interpolasi dimana di sini menggunakan metode Kostaki (2000). Kemudian dari perbandingan tersebut dapat dilihat kesesuaian datanya sehingga bisa kita analisis galatnya.
Untuk penyusunan tabel hayat lengkap dengan menggunakan metode Kostaki melalui beberapa tahapan antara lain:
a Menentukan kostanta K untuk setiap interval umur dengan menggunakan rumus:
∏ ̃
dimana adalah nilai pada tabel hayat ringkas Amerika Serikat tahun 1905 dan ̃ diperoleh dari tabel hayat lengkap Amerika Serikat tahun 1900 (lihat Lampiran 2).
b Menghitung peluang kematian pada tabel hayat lengkap menggunakan rumus:
̃
dimana ̃ adalah nilai pada tabel hayat lengkap Amerika Serikat tahun 1900.
Dari dua tahapan di atas maka untuk penyusunan tabel hayat lengkap Amerika Serikat tahun 1905 dibutuhkan nilai pada tabel hayat lengkap Amerika Serikat tahun 1900 dan nilai pada tabel hayat ringkas Amerika Serikat tahun 1905. Contoh perhitungan dalam penyusunan tabel hayat untuk dan , antara lain:
a Menentukan kostanta
Dari tabel hayat ringkas Amerika Serikat 1905 diketahui nilai . Maka:
0 20000 40000 60000 80000 100000 120000
10
sehingga konstanta dapat dihitung menjadi:
= ̃
∏ ̃
=
=
b Menghitung nilai Kostaki
= ̃
=
=
c Penyusunan tabel hayat Kostaki
nilai-11 Hasil perhitungan konstanta nKx diberikan pada Lampiran 6. Sedangkan tabel hayat lengkap Amerika Serikat 1905 yang dihasilkan dengan menggunakan metode Kostaki diberikan pada Lampiran 7. Kurva lx pada tabel hayat lengkap Amerika Serikat 1905 yang diperoleh dengan metode Kostaki dapat dilihat pada Gambar 3.
Gambar 3 Kurva lx Amerika Serikat 1905 metode Kostaki
Metode yang digunakan untuk menguji kesesuaian model adalah dengan cara menghitung koefisien determinasi . Nilai koefisien determinasi yang tinggi menunjukkan bahwa model tersebut sesuai.
Gambar 4 Kurva perbandingan lxAmerika Serikat 1905 sebenarnya dengan lx metode Kostaki
Berdasarkan Gambar 4 terlihat bahwa kurva lxtabel hayat lengkap Amerika Serikat 1905 dengan metode Kostaki mengikuti pola lx tabel hayat lengkap
0 20000 40000 60000 80000 100000 120000
0 20 40 60 80 100 120 140
0 20000 40000 60000 80000 100000 120000
0 20 40 60 80 100 120 140
12
Amerika Serikat 1905 sebenarnya yang ditandai dengan besarnya nilai R2 yang mendekati 1 yaitu 0,99997.
Penyusunan Tabel Hayat dengan Menggunakan Model Eksponensial
Rachmadani (2006) telah mengemukakan model dalam penelitiannya untuk menyusun suatu tabel hayat dengan menggunakan pendekatan kontinu yaitu dengan menganalisis data tentang laju kematian ( ). Model yang diperoleh adalah:
dimana adalah banyaknya kelahiran yaitu 100000 .
Untuk menyusun suatu tabel hayat maka yang perlu kita cari selain nilai adalah nilai . Sebagai contoh kita akan mencari nilai-nilai
13 Berdasarkan Gambar 6 terlihat bahwa kurva lxtabel hayat lengkap Amerika Serikat 1905 yang dihasilkan dengan model eksponensial juga cukup mengikuti pola lx tabel hayat lengkap Amerika Serikat 1905 sebenarnya yang ditandai dengan besarnya nilai R2 yang mendekati 1 yaitu 0,652.
Gambar 5 Kurva lxAmerika Serikat 1905 model eksponensial
Gambar 6 Kurva perbandingan lx Amerika Serikat 1905 sebenarnya dengan lx model eksponensial
Fitting Model Kontinu
Dalam kepentingan proyeksi penduduk apabila tingkat kematian berubah dari waktu ke waktu, maka perhitungan tabel hayat menjadi sangat rumit sehingga diperlukan tabel hayat yang bersifat kontinu. Pada bagian ini akan dicoba untuk
0 20000 40000 60000 80000 100000 120000
0 20 40 60 80 100 120 140
0 20000 40000 60000 80000 100000 120000
0 20 40 60 80 100 120 140
14
mencari kurva yang sesuai dengan tabel hayat dengan menggunakan kurva ( ).l x
Dari nilai lx yang terdapat pada tabel hayat ringkas Amerika Serikat 1905, maka akan dibuat suatu kurva yang menghubungkan antara jumlah orang yang bertahan hidup dengan umur.
Dari kurva pada Gambar 1 akan dibuat suatu fungsi yang dapat mewakili kurva tersebut. Dilihat dari bentuk kurvanya maka fungsi tersebut akan terbagi atas 2 selang yaitu dan dengan masing-masing selang diwakili oleh suatu fungsi. Berdasarkan bentuk kurvanya pula, fungsi yang akan digunakan adalah fungsi eksponen dan fungsi kuadratik.
Untuk selang akan dicoba dengan menggunakan fungsi kuadratik dan eksponen. Sedangkan untuk selang hanya akan dicoba dengan menggunakan fungsi eksponen saja sebagaimana merujuk pada model eksponensial yang dikemukakan oleh Rachmadani dalam karya ilmiahnya (2006). Karena model yang akan kita cari adalah model kontinu maka kita harus melihat pula dari syarat kekontinuannya. Suatu fungsi akan dikatakan kontinu apabila memenuhi syarat sebagai berikut:
dikatakan kontinu di titik apabila: 1 ada yaitu
2
3 .
Dengan melihat syarat kekontinuan dan terturunkan suatu fungsi serta mengacu pada Gambar 3 maka kita dapat mengambil beberapa titik sebagai dasar dalam pembuatan model, yaitu:
1 Untuk model pertama (fungsi eksponen dan fungsi eksponen)
Untuk model pertama pada selang , kita memakai titik dan sebagai dasar pembuatan model. Sedangkan untuk selang , kita memakai titik . Kalau dilihat model eksponen ini untuk kedua selang sangatlah mirip dengan model eksponensial hanya saja berbeda pada konstatanya saja. Ini dikarenakan memang untuk pembuatan model pertama ini sangat berpatokan pada model eksponensial. Dengan bantuan software maka didapatkan fungsi sebagai berikut:
{
15 {
2 Untuk model kedua (fungsi kuadratik dan fungsi eksponen)
Untuk model kedua pada selang , kita memakai titik
dan sebagai dasar pembuatan model. Sedangkan untuk selang
, kita memakai titik . Untuk model eksponen yang kita pakai pada model kedua kita samakan dengan model pertama. Sehingga kita hanya perlu mencari model pada selang saja. Dengan bantuan
software maka didapatkan fungsi sebagai berikut:
{
Sekarang kita akan mencoba untuk mengecek kekontinuan model pertama. Sebagaimana disebutkan di atas tentang syarat kekontinuan suatu fungsi, maka kita akan mengecek fungsi apakah kontinu di titik karena titik perpotongan fungsi berada di titik . dikatakan kontinu di titik apabila:
1 ada yaitu
2
3 .
dimana:
{
16
Gambar 7 Kurva lxAmerika Serikat 1905 model pertama
Gambar 8 Kurva lxAmerika Serikat 1905 model kedua
Perbandngan koefisien determinasi dari nilai yang dihasilkan dengan metode Kostaki, model eksponensial, model pertama, dan model kedua disajikan dalam tabel 1.
Tabel 1 Perbandingan koefisien determinasi nilai yang dihasilkan dengan metode Kostaki, model eksponensial, model pertama, dan model kedua
Metode Kostaki Model
eksponensial Model pertama Model kedua
0,9997 0,652 0,946 0,945
0 20000 40000 60000 80000 100000 120000
0 20 40 60 80 100 120 140
0 20000 40000 60000 80000 100000 120000
17
Gambar 9 Kurva perbandingan lx Amerika Serikat 1905 sebenarnya dengan lx model pertama dan model kedua
Berdasarkan Gambar 9 terlihat bahwa kurva lxtabel hayat lengkap Amerika Serikat 1905 yang dihasilkan dengan model pertama dan model kedua juga mengikuti pola lx tabel hayat lengkap Amerika Serikat 1905 sebenarnya yang ditandai dengan besarnya nilai R2 yang mendekati 1 yaitu 0,946 untuk model pertama dan 0,945 juga untuk model kedua.
SIMPULAN
1 Tabel hayat lengkap dapat disusun berdasarkan tabel hayat ringkas dengan menggunakan metode Kostaki.
2 Berdasarkan tabel hayat ringkas dapat dibuat suatu tabel hayat kontinu dengan menggunakan model eksponensial sebagai berikut:
a Model pertama (fungsi eksponen dan fungsi eksponen)
{ b Model kedua (fungsi kuadratik dan fungsi eksponen)
{
3 Berdasarkan koefisien determinasi yang diperoleh, tabel hayat yang paling baik dalam penelitian ini dihasilkan oleh metode Kostaki.
0 20000 40000 60000 80000 100000 120000
0 20 40 60 80 100 120 140
18
DAFTAR PUSTAKA
Agresti A, Finley B. 1986. Statistical Methods for the Social Sciences. California (USA) : D. Ellen Publishing Company.
[BMD] Berkeley Mortality Database. 2011a. Data for the United States [internet]. [diunduh 2011 Oktober 18]. Tersedia pada: http://demog. berkeley.edu/ ~bmd/ States/ ssa/ life.tables/ utper.lt.1x1.
[BMD] Berkeley Mortality Database. 2011b. Data for the United States [Internet]. [diunduh 2011 Oktober 18] : Tersedia pada: http://demog.berkeley.edu/ ~bmd/ States/ ssa/ life.tables/ utper.lt.5x1.
Bogue DJ. 1969. Principles of Demography. New York (USA): John Wiley & Sons.
[BPS] Badan Pusat Statistik. 2009. Profil Kesehatan Indonesia. 2008. Jakarta (ID): BPS.
Brown RL. 1997. Introduction to the Mathemathics of Demography. Connecticut (USA) : ACTEC Publications, inc.
Fatmawati H. 2009. Pengaruh Perubahan Tingkat Mortalita terhadap Asumsi Aktuaria pada Asuransi Jiwa [Skripsi]. Yogyakarta (ID): Universitas Negeri Yogyakarta.
Investopedia. 2013. Commissioners Standard Ordinary Mortality Table [Internet]. [diacu 2013 Maret 23]. Tersedia pada: http://www.investopedia.com/ terms/ c/ commissioners-standard-ordinary-mortality-table-cso.asp.
Kostaki A. 2000. Degrouping mortality data for the elderly. Mathematical Population Studies, 9 (1): 83-95. DOI: 10.1080/08898480009525465.
Mathews JH. 1995. Numerical Methods for Mathematics, Science, and Engineering. Second edition. California (USA): Prentice Hall International. Rachamadani N. 2006. Penyusunan Tabel Hayat [Skripsi]. Bogor (ID): Institut
Pertanian Bogor.
Schoen R, Romo VC. 2005. Changing mortality and average cohort life expectancy. Demoghraphic Research 13: 117-142. DOI: 10.4054/ DemRes.2005.13.5.
Siegel JS, Swanson DA. 2004. The Methods and Materials of Demography. Second edition. California (USA): Elsevier Inc.
Wirosuhardjo K, Munir R, Kusumosuwidho S, Kartoyo A, Kusuma SM. 1985.
Kamus Istilah Demografi. Jakarta (ID): Pusat Pembinaan dan Pengembangan Bahasa.
19 Lampiran 1 Tabel Mortalitas CSO 1941 pada tingkat suku bunga 10%
21
81 157799 22502 142,60 70,03 277,54 9,0786 44,8007
82 135297 20857 154,16 54,59 207,51 7,6500 35,7221
83 114440 19062 166,57 41,97 152,93 6,3560 28,0721
84 95378 17157 179,88 31,80 110,95 5,2007 21,7161
85 78221 15185 194,13 23,71 79,15 4,1845 16,5154
86 63036 13198 209,37 17,37 55,44 3,3063 12,3309
87 49838 11245 225,63 12,49 38,07 2,5610 9,0246
88 38593 9378 243,00 8,79 25,58 1,9416 6,4636
89 29215 7638 261,44 6,05 16,79 1,4376 4,5220
90 21577 6063 280,99 4,06 10,74 1,0374 3,0844
91 15514 4681 301,73 2,65 6,68 0,7281 2,0470
92 10833 3506 323,64 1,69 4,03 0,4958 1,3189
93 7327 2540 346,66 1,04 2,34 0,3265 0,8231
94 4787 1776 371,00 0,62 1,31 0,2076 0,4965
95 3011 1193 396,21 0,35 0,69 0,1267 0,2890
96 1818 813 447,19 0,19 0,34 0,0785 0,1622
97 1005 551 548,26 0,10 0,15 0,0484 0,0837
98 454 329 724,67 0,04 0,05 0,0263 0,0353
99 125 125 1.000,00 0,01 0,01 0,0091 0,0091
22
Lampiran 2 Tabel hayat lengkap Amerika Serikat tahun 1900
24
25 Lampiran 3 Tabel hayat ringkas Amerika Serikat tahun 1905
0 100000 11575 0,11575 91965 5030494 50,30
1 88425 5198 0,05879 340420 4938529 55,85
5 83226 1606 0,01930 411370 4598109 55,25
10 81620 1149 0,01408 405369 4186738 51,30
15 80471 1689 0,02100 398437 3781369 46,99
20 78781 2392 0,03037 388088 3382931 42,94
25 76389 2541 0,03326 375697 2994843 39,21
30 73848 2954 0,04001 361981 2619146 35,47
35 70893 3161 0,04459 346649 2257164 31,84
40 67732 3478 0,05136 330171 1910514 28,21
45 64254 4127 0,06424 311165 1580344 24,60
50 60126 4688 0,07798 289290 1269180 21,11
55 55438 6055 0,10923 262700 979889 17,68
60 49382 7670 0,15532 228261 717189 14,52
65 41712 8779 0,21048 187116 488927 11,72
70 32933 9866 0,29959 140211 301810 9,16
75 23066 9563 0,41458 90992 161599 7,01
80 13503 7521 0,55700 47498 70608 5,23
85 9802 4195 0,70127 18108 23109 3,86
90 1787 1495 0,83660 4400 5000 2,80
95 292 270 0,92466 566 600 2,06
100 22 22 0,97727 34 34 1,55
105 0 0 1,00000 0 0 1,00
110 0 0 0,00000 0 0 0,00
115 0 0 0,00000 0 0 0,00
26
Lampiran 4 Tabel hayat lengkap Amerika Serikat tahun 1905
28
29 Lampiran 5 Tabel Mortalitas CSO dengan tingkat suku bunga 10% berdasarkan
tabel hayat lengkap Amerika Serikat 1905
0 100000 11575 115,7500 100000,00 915676,94 10522,73 16754,82
31
81 11771 1634 138,8157 5,22 21,15 0,66 3,30
82 10136 1518 149,7632 4,09 15,92 0,56 2,64
83 8618 1387 160,9422 3,16 11,83 0,46 2,08
84 7230 1248 172,6141 2,41 8,67 0,38 1,62
85 5982 1107 185,0552 1,81 6,26 0,31 1,24
86 4874 968 198,6048 1,34 4,45 0,24 0,94
87 3906 833 213,2616 0,98 3,10 0,19 0,70
88 3073 704 229,0921 0,70 2,13 0,15 0,51
89 2369 582 245,6733 0,49 1,43 0,11 0,36
90 1787 471 263,5702 0,34 0,94 0,08 0,25
91 1315 372 282,8897 0,23 0,60 0,06 0,17
92 943 285 302,2269 0,15 0,37 0,04 0,11
93 657 212 322,6788 0,09 0,23 0,03 0,07
94 445 153 343,8202 0,06 0,13 0,02 0,04
95 292 106 363,0137 0,03 0,08 0,01 0,03
96 186 71 381,7204 0,02 0,04 0,01 0,02
97 115 46 400,0000 0,01 0,02 0,00 0,01
98 68 28 411,7647 0,01 0,01 0,00 0,00
99 40 18 450,0000 0,00 0,01 0,00 0,00
100 22 10 454,5455 0,00 0,00 0,00 0,00
101 12 6 500,0000 0,00 0,00 0,00 0,00
102 6 3 500,0000 0,00 0,00 0,00 0,00
103 3 1 333,3333 0,00 0,00 0,00 0,00
104 1 1 1000,0000 0,00 0,00 0,00 0,00
105 0 0 0,0000 0,00 0,00 0,00 0,00
106 0 0 0,0000 0,00 0,00 0,00 0,00
107 0 0 0,0000 0,00 0,00 0,00 0,00
108 0 0 0,0000 0,00 0,00 0,00 0,00
109 0 0 0,0000 0,00 0,00 0,00 0,00
110 0 0 0,0000 0,00 0,00 0,00 0,00
111 0 0 0,0000 0,00 0,00 0,00 0,00
112 0 0 0,0000 0,00 0,00 0,00 0,00
113 0 0 0,0000 0,00 0,00 0,00 0,00
114 0 0 0,0000 0,00 0,00 0,00 0,00
115 0 0 0,0000 0,00 0,00 0,00 0,00
116 0 0 0,0000 0,00 0,00 0,00 0,00
117 0 0 0,0000 0,00 0,00 0,00 0,00
118 0 0 0,0000 0,00 0,00 0,00 0,00
32
Lampiran 6 Tabel perhitungan konstanta Kostaki
0 0,86321
1 0,75156
5 0,84322
10 0,99187
15 0,90989
20 0,87405
25 0,87202
30 0,92943
35 1,15377
40 0,96841
45 1,00716
50 1,01619
55 0,98605
60 1,04235
65 1,00160
70 0,99056
75 1,26895
80 0,96725
85 1,00538
90 1,01911
95 1,03757
100 1,20685
105 1,00000
110 0,00000
33 Lampiran 7 Tabel hayat lengkap Amerika Serikat tahun 1905 dengan
35
81 11569 1616 0,13970 10761 56851 4,91
82 9952 1502 0,15091 9202 46090 4,63
83 8451 1363 0,16127 7769 36889 4,37
84 7088 1212 0,17103 6482 29119 4,11
85 5876 1103 0,18766 5324 22638 3,85
86 4773 951 0,19935 4297 17314 3,63
87 3821 813 0,21276 3415 13017 3,41
88 3008 685 0,22772 2666 9602 3,19
89 2323 568 0,24452 2039 6936 2,99
90 1755 466 0,26543 1522 4897 2,79
91 1289 367 0,28434 1106 3374 2,62
92 923 281 0,30418 782 2268 2,46
93 642 207 0,32308 538 1486 2,31
94 435 148 0,34009 361 948 2,18
95 287 104 0,36301 235 587 2,05
96 183 69 0,38027 148 352 1,93
97 113 46 0,40333 90 204 1,80
98 68 28 0,41731 53 114 1,68
99 39 18 0,45107 30 60 1,53
100 22 11 0,49770 16 30 1,38
101 11 6 0,56679 8 14 1,26
102 5 2 0,52626 3 6 1,25
103 2 1 0,64033 2 2 1,08
104 1 0 0,38696 1 1 1,11
105 0 0 1,00000 0 0 0,50
106 0 0 0,00000 0 0 0,00
107 0 0 0,00000 0 0 0,00
108 0 0 0,00000 0 0 0,00
109 0 0 0,00000 0 0 0,00
110 0 0 0,00000 0 0 0,00
111 0 0 0,00000 0 0 0,00
112 0 0 0,00000 0 0 0,00
113 0 0 0,00000 0 0 0,00
114 0 0 0,00000 0 0 0,00
115 0 0 0,00000 0 0 0,00
116 0 0 0,00000 0 0 0,00
117 0 0 0,00000 0 0 0,00
118 0 0 0,00000 0 0 0,00
36
38
81 38233 1906 0,04984 37280 454009 11,87
82 36327 1903 0,05238 35376 416729 11,47
83 34424 1895 0,05505 33477 381353 11,08
84 32530 1882 0,05784 31589 347876 10,69
85 30648 1863 0,06077 29717 316287 10,32
86 28785 1838 0,06385 27866 286571 9,96
87 26947 1808 0,06708 26044 258704 9,60
88 25140 1771 0,07046 24254 232660 9,25
89 23369 1729 0,07401 22504 208406 8,92
90 21639 1682 0,07772 20798 185902 8,59
91 19957 1629 0,08162 19143 165104 8,27
92 18328 1571 0,08570 17543 145961 7,96
93 16758 1508 0,08998 16004 128418 7,66
94 15250 1440 0,09446 14530 112414 7,37
95 13809 1369 0,09915 13125 97885 7,09
96 12440 1294 0,10405 11793 84760 6,81
97 11146 1217 0,10919 10537 72967 6,55
98 9929 1137 0,11456 9360 62429 6,29
99 8791 1057 0,12018 8263 53069 6,04
100 7735 975 0,12606 7247 44806 5,79
101 6760 894 0,13220 6313 37559 5,56
102 5866 813 0,13861 5460 31246 5,33
103 5053 734 0,14531 4686 25787 5,10
104 4319 658 0,15230 3990 21101 4,89
105 3661 584 0,15960 3369 17111 4,67
106 3077 514 0,16721 2820 13742 4,47
107 2562 449 0,17514 2338 10922 4,26
108 2114 388 0,18341 1920 8584 4,06
109 1726 331 0,19202 1560 6665 3,86
110 1394 280 0,20099 1254 5105 3,66
111 1114 234 0,21031 997 3850 3,46
112 880 194 0,22001 783 2853 3,24
113 686 158 0,23009 607 2070 3,02
114 528 127 0,24055 465 1463 2,77
115 401 101 0,25140 351 998 2,49
116 300 79 0,26266 261 647 2,15
117 221 61 0,27432 191 386 1,74
118 161 46 0,28639 138 195 1,21
39 Lampiran 9 Tabel hayat lengkap Amerika Serikat tahun 1905 dengan
41
81 5653 760 0,13441 5273 31374 5,55
82 4893 688 0,14066 4549 26101 5,33
83 4205 619 0,14718 3895 21552 5,13
84 3586 552 0,15397 3310 17656 4,92
85 3034 489 0,16104 2790 14346 4,73
86 2545 429 0,16841 2331 11557 4,54
87 2117 373 0,17608 1930 9226 4,36
88 1744 321 0,18405 1583 7296 4,18
89 1423 274 0,19234 1286 5712 4,01
90 1149 231 0,20096 1034 4426 3,85
91 918 193 0,20991 822 3392 3,69
92 726 159 0,21921 646 2570 3,54
93 566 130 0,22885 502 1924 3,40
94 437 104 0,23885 385 1423 3,26
95 333 83 0,24921 291 1038 3,12
96 250 65 0,25994 217 747 2,99
97 185 50 0,27104 160 530 2,87
98 135 38 0,28253 116 370 2,75
99 97 28 0,29439 82 254 2,63
100 68 21 0,30664 58 172 2,52
101 47 15 0,31927 40 114 2,41
102 32 11 0,33230 27 74 2,31
103 21 7 0,34570 18 48 2,22
104 14 5 0,35949 12 30 2,12
105 9 3 0,37366 7 18 2,03
106 6 2 0,38821 5 11 1,95
107 3 1 0,40312 3 6 1,86
108 2 1 0,41839 2 4 1,79
109 1 1 0,43401 1 2 1,71
110 1 0 0,44996 1 1 1,64
111 0 0 0,46622 0 1 1,57
112 0 0 0,48279 0 0 1,50
113 0 0 0,49964 0 0 1,44
114 0 0 0,51674 0 0 1,37
115 0 0 0,53407 0 0 1,30
116 0 0 0,55160 0 0 1,22
117 0 0 0,56930 0 0 1,11
118 0 0 0,58714 0 0 0,91
42
44
81 5653 760 0,13441 5273 31374 5,55
82 4893 688 0,14066 4549 26101 5,33
83 4205 619 0,14718 3895 21552 5,13
84 3586 552 0,15397 3310 17656 4,92
85 3034 489 0,16104 2790 14346 4,73
86 2545 429 0,16841 2331 11557 4,54
87 2117 373 0,17608 1930 9226 4,36
88 1744 321 0,18405 1583 7296 4,18
89 1423 274 0,19234 1286 5712 4,01
90 1149 231 0,20096 1034 4426 3,85
91 918 193 0,20991 822 3392 3,69
92 726 159 0,21921 646 2570 3,54
93 566 130 0,22885 502 1924 3,40
94 437 104 0,23885 385 1423 3,26
95 333 83 0,24921 291 1038 3,12
96 250 65 0,25994 217 747 2,99
97 185 50 0,27104 160 530 2,87
98 135 38 0,28253 116 370 2,75
99 97 28 0,29439 82 254 2,63
100 68 21 0,30664 58 172 2,52
101 47 15 0,31927 40 114 2,41
102 32 11 0,33230 27 74 2,31
103 21 7 0,34570 18 48 2,22
104 14 5 0,35949 12 30 2,12
105 9 3 0,37366 7 18 2,03
106 6 2 0,38821 5 11 1,95
107 3 1 0,40312 3 6 1,86
108 2 1 0,41839 2 4 1,79
109 1 1 0,43401 1 2 1,71
110 1 0 0,44996 1 1 1,64
111 0 0 0,46622 0 1 1,57
112 0 0 0,48279 0 0 1,50
113 0 0 0,49964 0 0 1,44
114 0 0 0,51674 0 0 1,37
115 0 0 0,53407 0 0 1,30
116 0 0 0,55160 0 0 1,22
117 0 0 0,56930 0 0 1,11
118 0 0 0,58714 0 0 0,91
45
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 23 Oktober 1989 sebagai anak kelima dari lima bersaudara dari pasangan Bahrudin dan Zuhratul Hilaliyah. Pendidikan formal yang ditempuh penulis yaitu di SDN Karang Jati 02 lulus pada tahun 2001, SMPN 1 Adiwerna lulus pada tahun 2004, SMAN 1 Slawi lulus pada tahun 2007, dan pada tahun yang sama penulis diterima di Institut Pertanian Bogor melalui jalur USMI. Tahun pertama penulis memasuki Tingkat Persiapan Bersama (TPB) pada tahun 2008 penulis mulai masuk Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
