PENGOPTIMUMAN MASALAH PENJADWALAN
EMPAT HARI KERJA DALAM SEMINGGU SECARA SIKLIS
BERBASIS DUAL
ARIYANTO PAMUNGKAS
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Pengoptimuman Masalah Penjadwalan Empat Hari Kerja dalam Seminggu Secara Siklis Berbasis Dual adalah benar karya saya dengan arahan dari dosen pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya saya kepada Institut Pertanian Bogor.
Empat Hari Kerja dalam Seminggu Secara Siklis Berbasis Dual. Dibimbing oleh AMRIL AMAN dan FARIDA HANUM.
Setiap perusahaan memiliki permasalahan penjadwalan yang disesuaikan dengan kondisi perusahaannya. Pola penjadwalan empat hari kerja dan tiga hari libur berturut-turut dalam seminggu dapat menjadi penjadwalan alternatif untuk beberapa perusahaan. Karya ilmiah ini akan menyelesaikan masalah penjadwalan tersebut dengan menggunakan algoritme yang disusun berdasarkan solusi masalah dual dari suatu pemrograman linear. Algoritme tersebut menghasilkan penjadwalan dengan total pekerja dan biaya yang minimum.
Kata kunci: dual, empat hari kerja, pengoptimuman, penjadwalan.
ABSTRACT
ARIYANTO PAMUNGKAS. On the Dual-Based Optimization of Cyclic Four-Day Workweek Scheduling. Supervised by AMRIL AMAN and FARIDA HANUM.
Every company has scheduling problems that be adapted to the condition of company. Four workdays and three consecutive day-offs per week can be considered as an alternate scheduling for some companies. This work addresses the scheduling problem using the algorithm that be arranged according to the dual-based solution of linear programming. The algorithm generates the scheduling that minimizes the workforce size and the total of labor cost.
PENGOPTIMUMAN MASALAH PENJADWALAN
EMPAT HARI KERJA DALAM SEMINGGU SECARA SIKLIS
BERBASIS DUAL
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR 2016
ARIYANTO PAMUNGKAS
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains
pada
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas segala karunia-Nya dan atas doa serta dukungan kedua orang tua sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Disadari bahwa laporan akhir ini tidak akan tersusun tanpa bantuan berbagai pihak. Oleh sebab itu, disampaikan ucapan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada Bapak Dr Ir Amril Aman, MSc dan Ibu Dra Farida Hanum, MSi selaku pembimbing serta Bapak Dr Toni Bakhtiar, MSc selaku dosen penguji. Di samping itu, penghargaan penulis sampaikan kepada seluruh staf administrasi dan dosen pengajar serta teman-teman mahasiswa Matematika IPB yang telah membantu membuka wawasan untuk menggali informasi lebih mendalam dalam proses pembelajaran.
Laporan akhir ini diharapkan dapat memberikan kontribusi pemikiran bagi semua pihak yang berkepentingan. Oleh karena itu, saran dan kritik membangun akan diterima untuk perbaikan dan penyempurnaan di masa mendatang. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada ayah, ibu, serta seluruh keluarga, atas segala doa dan kasih sayangnya.
DAFTAR TABEL x
DAFTAR GAMBAR x
DAFTAR LAMPIRAN x
PENDAHULUAN 1
Latar Belakang 1
Tujuan Penelitian 1
TINJAUAN PUSTAKA 2
Pemrograman Linear Integer 2
Daerah Fisibel 2
Dualitas 2
HASIL DAN PEMBAHASAN 3
Model Penjadwalan 3
Pemrograman Linear Masalah (4,7) 4
Penentuan Total Pekerja Minimum 6
Penempatan Pekerja pada Pola-Pola Penjadwalan Masalah (4,7) 10
Alur Penggunaan Algoritme 16
SIMPULAN DAN SARAN 20
Simpulan 20
Saran 20
DAFTAR PUSTAKA 20
DAFTAR TABEL
1 Pola penjadwalan dan banyaknya pekerja masalah (4,7) 3
2 Banyak pekerja harian masalah (4,7) 4
3 Hasil penyelesaian model dengan LINGO 11.0 5
4 Hasil perolehan Solusi III 8
5 Hasil perolehan Solusi IV 9
6 Biaya pekerja di setiap pola penjadwalan masalah (4,7) 10 7 Nilai , , dan untuk semua kemungkinan nilai � 13
8 Nilai dan untuk semua kemungkinan nilai � 14
9 Nilai dan untuk semua kemungkinan nilai � 15
10 Solusi yang mungkin pada Contoh 1 17
11 Hasil penjadwalan Contoh 1 18
12 Solusi yang mungkin pada Contoh 2 19
13 Hasil Penjadwalan Contoh 2 20
14 Hasil penelusuran kombinasi pasangan nilai I, II, III, dan IV 26 15 Hasil penelusuran kombinasi pasangan nilai V dan VI 27 16 Hasil penelusuran kombinasi pasangan nilai I dan II 28 17 Hasil penelusuran kombinasi pasangan nilai III dan IV 29
DAFTAR GAMBAR
1 Hasil komputasi program LINGO 11.0 untuk masalah (4,7) 22 2 Solver statussoftware LINGO 11.0 untuk masalah (4,7) 23
DAFTAR LAMPIRAN
1 Sintaks dan hasil komputasi program LINGO 11.0 untuk masalah (4,7) 22 2 Pembuktian bahwa Solusi I lebih baik atau sama dengan solusi yang
diperoleh dengan cara memberi nilai /� pada sembarang � variabel dual 24 3 Pencarian Solusi III dan Solusi IV 25 4 Substitusi Solusi I, Solusi II, Solusi III, dan Solusi IV ke fungsi
objektif dual masalah (4,7) 30 5 Penentuan persamaan untuk memperoleh banyaknya pekerja di setiap
pola penjadwalan masalah (4,7) 33 6 Hasil substitusi semua kemungkinan solusi ke fungsi objektif dual pada
Contoh 1 dan Contoh 2 40
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Penjadwalan yang optimal akan menekan anggaran perusahaan dengan meminimumkan banyak tenaga kerja, sehingga biaya yang dikeluarkan untuk membayar gaji pekerja dapat diminimumkan. Oleh karena itu, penjadwalan harus dioptimalkan agar dapat meminimumkan biaya yang dikeluarkan.
Setiap perusahaan memiliki cara yang beragam dalam menyelesaikan masalah penjadwalan pekerjanya. Umumnya masalah penjadwalan pekerja dapat diklasifikasikan menjadi tiga jenis, yaitu days-off, shift, dan tour scheduling. Secara garis besar days-off scheduling adalah penjadwalan hari kerja dan libur pekerja, shift scheduling adalah penjadwalan yang berfokus pada interval waktu kerja dan libur pekerja, sedangkan kombinasi antara days-off dan shiftscheduling yang membentuk pola penjadwalan tertentu merupakan masalah penjadwalan yang disebut tour scheduling (Baker 1976). Karya ilmiah ini membahas pengoptimuman masalah penjadwalan days-off scheduling dengan merujuk pada artikel Alfares (2000). Karya ilmiah ini terinspirasi dari karya ilmiah yang berjudul Optimasi berbasis dual masalah penjadwalan tiga hari kerja dalam seminggu secara siklis (Hadi 2014).
Permasalahan umum dalam days-off scheduling adalah mencari pola hari kerja yang optimal, yaitu pola penjadwalan hari kerja dan libur. Pola-pola tersebut harus memenuhi banyak pekerja yang dibutuhkan setiap harinya. Selain itu, masalah penjadwalan days-off scheduling juga harus mempertimbangkan lebih lanjut apabila adanya kendala perbedaan biaya pekerja pada masing-masing pola penjadwalan. Penyelesaian masalah penjadwalan days-off scheduling umumnya menggunakan metode integer programming (IP) (Alfares 2000). Terkait dengan suatu masalah pemrograman linear, terdapat masalah pengoptimuman linear lain yang berpadanan. Kedua masalah ini dikenal dengan masalah primal dan masalah dual dari suatu pemrograman linear (Luenberger dan Ye 2007). Karya ilmiah ini akan membahas cara alternatif untuk menyelesaikan masalah penjadwalan days-off scheduling, yaitu dengan menggunakan algoritme yang disusun berdasarkan solusi masalah dual dari suatu pemrograman linear. Algoritme tersebut menghasilkan penjadwalan dengan total pekerja dan biaya yang minimum. Selain itu, algoritme tersebut memiliki komputasi yang sederhana tanpa iterasi (Alfares 2000). Oleh karena itu, karya ilmiah ini akan menggunakan algoritme berbasis dual yang merujuk pada artikel Alfares (2000) untuk menyelesaikan masalah penjadwalan days-off scheduling.
Tujuan Penelitian
TINJAUAN PUSTAKA
Untuk memahami masalah dalam karya ilmiah ini diperlukan beberapa pengertian sebagai berikut.
Pemrograman Linear Integer
Pemrograman integer atau integer programming (IP) adalah suatu model pemrograman linear dengan variabel yang digunakan berupa bilangan bulat (integer). Jika semua variabel harus berupa integer, masalah tersebut dinamakan pure integer programming. Jika hanya sebagian yang harus berupa integer, disebut mixed integer programming. Adapun IP dengan semua variabelnya harus bernilai 0 atau 1 disebut 0-1 IP.
Daerah Fisibel
Daerah fisibel dalam pemrograman linear adalah himpunan titik yang memenuhi semua kendala dalam pemrograman linear dan tanda pembatasnya (Winston 2004).
Dualitas
Terkait dengan suatu masalah pengoptimuman linear, terdapat masalah pengoptimuman linear lain yang berpadanan. Kedua masalah ini dikenal dengan masalah primal dan masalah dual dari suatu pengoptimuman linear.
Bentuk standar dari masalah primal untuk masalah pencarian nilai minimum (Luenberger dan Ye 2007), adalah sebagai berikut:
minimumkan � terhadap
,
dan masalah dual untuk masalah primal di atas adalah sebagai berikut: maksimumkan �
terhadap � �
, dengan
× = koefisien fungsi tujuan masalah primal × = variabel keputusan masalah primal
× = matriks kendala pemrograman linear
× = konstanta ruas kanan kendala masalah primal × = variabel keputusan masalah dual.
Teorema yang menghubungkan antara solusi dual dan primal adalah sebagai berikut:
Jika masalah primal memiliki solusi optimal berupa ∗, ∗, … , ∗ dan masalah dual memiliki solusi optimal berupa ∗, ∗, … , ∗ maka:
∑ ∗
= = ∑ = ∗ (Chvátal 1983).
1 Koefisien fungsi tujuan pada primal menjadi konstanta ruas kanan pada dual. Sebaliknya, konstanta ruas kanan pada primal menjadi koefisien fungsi tujuan pada dual.
2 Tanda ketidaksamaan pada pembatas menjadi terbalik, jika pada primal berubah menjadi pada dual.
3 Fungsi tujuan berubah bentuk, minimisasi pada primal akan berubah menjadi maksimisasi pada dual.
4 Setiap kolom kendala pada primal berhubungan dengan baris kendala pada dual. Sebaliknya, setiap baris kendala pada primal akan menjadi kolom kendala pada dual.
5 Dual dari dual adalah primal.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Model Penjadwalan
Karya ilmiah ini akan mengkaji tentang masalah penjadwalan empat hari kerja dalam tujuh hari yang disebut dengan masalah (4,7). Keterangan notasi yang
� = banyaknya pekerja yang dibutuhkan pada hari i =banyaknya pekerja yang libur pada hari i. Variabel keputusan
= banyaknya pekerja yang bekerja pada pola penjadwalan ke-j.
Misalkan hari 1= Senin, 2= Selasa, 3= Rabu, 4= Kamis, 5= Jumat, 6= Sabtu, 7= Minggu, maka pola penjadwalan dan banyak pekerja masalah (4,7) dapat dilihat di Tabel 1. Adapun banyak pekerja harian masalah (4,7) dapat dilihat di Tabel 2. Tabel 1 Pola penjadwalan dan banyaknya pekerja masalah (4,7)
Tabel 2 Banyak pekerja harian masalah (4,7)
Hari Banyak pekerja
ke- Dipekerjakan Dibutuhkan Libur
1 + + + � + + = pemrograman linear dual serta melalui hubungan primal-dual. Masalah primal dari masalah (4,7) adalah sebagai berikut:
Fungsi Objektif
Fungsi objektif dari masalah (4,7) adalah meminimumkan banyaknya total pekerja selama seminggu (�), yaitu:
min � =∑ = . (1)
Kendala
Kendala-kendala pada masalah (4,7) adalah sebagai berikut:
1 Banyaknya pekerja yang bekerja pada hari ke-i harus lebih besar atau sama dengan banyaknya pekerja yang dibutuhkan pada hari ke-i � . Berdasarkan informasi yang diberikan pada Tabel 2, maka pertidaksamaan kendala masalah (4,7) adalah sebagai berikut:
2 Banyaknya pekerja yang bekerja dengan pola penjadwalan ke- j harus taknegatif,
Sebagai ilustrasi diberikan contoh IP masalah (4,7). Contoh 1
Misalkan � = , � = , � = , � = , � = , � = , � = .
Dengan bantuan software LINGO 11.0 (Lampiran 1), solusi masalah (4,7) adalah seperti pada Tabel 3.
Tabel 3 Hasil penyelesaian model dengan LINGO 11.0 Pola
ke-
Hari kerja Hari libur Banyak pekerja
1 Kamis-Jumat-Sabtu-Minggu Senin-Selasa-Rabu 0 2 Senin-Jumat-Sabtu-Minggu Selasa-Rabu-Kamis 0 3 Senin-Selasa-Sabtu-Minggu Rabu-Kamis-Jumat 5.5 4 Senin-Selasa-Rabu-Minggu Kamis-Jumat-Sabtu 0 5 Senin-Selasa-Rabu-Kamis Jumat-Sabtu-Minggu 8.5 6 Selasa-Rabu-Kamis-Jumat Senin- Sabtu-Minggu 0 7 Rabu-Kamis-Jumat-Sabtu Senin-Selasa- Minggu 9.5
� 23.5
Contoh tersebut memberikan gambaran bahwa jika masalah (4,7) diselesaikan secara langsung maka diperoleh solusi yang tidak integer. Padahal terdapat solusi integer yang memenuhi masalah (4,7), yaitu = , = , = , = , =
, = , = . Penyelesaian masalah (4,7) tersebut akan dicoba diselesaikan dengan metode dual. Sebuah algoritme akan disusun berdasarkan solusi masalah dual dari pemrograman linear tersebut. Algoritme tersebut memiliki komputasi yang sederhana dalam penggunaannya, yaitu dengan melakukan teknik substitusi ke dalam formula sederhana tanpa iterasi (Alfares 2000). Oleh karena itu, metode dual akan digunakan untuk menyelesaikan masalah (4,7) dalam karya ilmiah ini.
Masalah primal dari masalah (4,7) dapat dirangkum dan dituliskan sebagai berikut:
Variabel Keputusan
= variabel dualyang berpadanan dengan kendala ke i pada masalah primal.
Fungsi Objektif
Berdasarkan hubungan primal-dual, maka fungsi objektif dual dapat dituliskan sebagai berikut:
max � = ∑= � . (4)
Kendala
1 Berdasarkan hubungan primal-dual, maka kendala dual dapat dituliskan sebagai berikut:
2 Setiap nilai variabel dual harus taknegatif,
Contohnya: Misalkan � = , dimungkinkan memberi nilai ⁄ untuk lebih dari 2 variabel dual, yaitu = = = ⁄ . Nilai tersebut memenuhi sistem pertidaksamaan linear masalah (4,7) sebagai berikut:
+ + + menjadi
Contoh tersebut memberikan gambaran bahwa dimungkinkan memberi nilai �
⁄ untuk lebih dari � variabel dual untuk memperoleh solusi masalah (4,7). Kemungkinan solusi-solusi tersebut ialah sebagai berikut.
2 Solusi II
Sistem pertidaksamaan linear kendala dual masalah (4,7) merupakan sistem pertidaksamaan linear dengan tujuh peubah dan tujuh pertidaksamaan. Namun, setiap pertidaksamaan linearnya hanya memiliki empat peubah. Jadi, masih dapat diperoleh solusi dengan memberi nilai setiap variabel dual dengan ⁄ ( = ⁄ , ∀ =
, , … , . Dalam kasus ini � = ∑= �. 3 Solusi III
Tabel 4 Hasil perolehan Solusi III
Berdasarkan Tabel 4, dapat disimpulkan bahwa nilai Solusi III membentuk pola I dan pola II pada urutannya. Pola I dan pola II yaitu, = + = + = ⁄ dan = + = + = ⁄ . Setiap solusi tersebut akan disubstitusikan ke fungsi objektif dual (Lampiran 4). Hasil substitusi ke fungsi objektif dual dalam kasus ini ialah � = �� = max{ , … , }, = ⁄ � + �+ + �+ = , … , untuk kasus yang mengikuti pola I dan � = �� = max { , … , }, = ⁄ � +
�+ + �+ = , … , untuk kasus yang mengikuti pola II. Masalah (4,7) bersifat
siklis, yaitu dalam seminggu hanya ada tujuh hari dan berulang setiap minggunya, maka untuk subscript dari �+ , �+ , dan �+ berlaku kelipatan 7. Misalkan jika =
, maka �+ = � , �+ = � , dan �+ = � . Karena bersifat siklis, maka dapat dituliskan � = �, � = � , dan � = �.
4 Solusi IV
linear. Berdasarkan sistem pertidaksamaan (5), pemilihan tiga variabel dual bernilai ⁄ pada salah satu pertidaksamaan linear sebagai nilai awal mengakibatkan semua nilai variabel dual yang lain dapat diperoleh. Penelusuran empat kombinasi pemilihan tiga variabel bernilai ⁄ sebagai nilai awal pada ketujuh pertidaksamaan (5), dilakukan untuk menghasilkan Solusi IV (Lampiran 3). Berdasarkan hasil penelusuran tersebut, Solusi IV yang diperoleh dapat dirangkum dan dituliskan dalam Tabel 5.
Tabel 5 Hasil perolehan Solusi IV
� Variabel yang bernilai ⁄
Setiap solusi tersebut akan disubstitusikan ke fungsi objektif dual (Lampiran 4). Hasil substitusi ke fungsi objektif dual dalam kasus ini ialah � = �� =
max{ , … , }, = ⁄ � + �+ + �+ + �+ + �+ = , … , . Masalah
(4,7) bersifat siklis, yaitu dalam seminggu hanya ada tujuh hari dan berulang setiap minggunya, maka untuk subscript dari �+ , �+ , �+ , dan �+ berlaku kelipatan 7. Misalkan jika = , maka �+ = � , �+ = � , �+ = � , dan �+ = � . Karena bersifat siklis, maka dapat dituliskan � = � , � = � , � = �, dan � = � .
Setiap pertidaksamaan (5) memiliki empat variabel, sehingga tidak ada kombinasi pasangan empat variabel bernilai lebih kecil dari ⁄ yang dapat menghasilkan ruas kiri pertidaksamaan (5) bernilai satu. Dapat disimpulkan bahwa selain Solusi I, Solusi II, Solusi III, dan Solusi IV tidak ada solusi lain yang dapat menghasilkan nilai maksimum pada fungsi objektif dual masalah (4,7).
Setiap Solusi I, Solusi II, Solusi III, dan Solusi IV akan disubstitusikan ke fungsi objektif dual masalah (4,7). Hasil substitusi Solusi I, Solusi II, Solusi III, dan Solusi IV ke fungsi objektif dual masalah (4,7) akan dipilih nilai yang terbesar sebagai nilai minimum total pekerja masalah (4,7), sehingga � = �. Banyaknya minimum total pekerja merupakan besaran yang harus berupa bilangan bulat. Apabila memperoleh hasil bukan bilangan bulat, akan dilakukan proses pembulatan menjadi bilangan bulat terdekat yang lebih besar dari nilai minimum total pekerja yang diperoleh. Berikut ini adalah perumusan masalah (4,7) untuk menentukan minimum total pekerja, dapat dirangkum menjadi:
Penempatan Pekerja pada Pola-Pola Penjadwalan Masalah (4,7)
Setelah diperoleh nilai minimum total pekerja, maka langkah selanjutnya adalah mencari pola penjadwalan yang meminimumkan biaya. Sejatinya untuk memperoleh minimum biaya pekerja adalah dengan melakukan pengoptimuman masalah penjadwalan untuk meminimumkan banyaknya total pekerja. Namun, jika terdapat perbedaan biaya pada hari tertentu, pengoptimuman lebih lanjut akan dilakukan agar pola penjadwalan pekerjanya dapat meminimumkan biaya. Misalkan biaya untuk setiap pekerja pada hari biasa (Senin-Jumat) sebesar dan biaya pekerja pada akhir pekan (Sabtu dan Minggu) adalah ( + ), sehingga biaya untuk tiap pola pekerja adalah sebagai berikut:
Tabel 6 Biaya pekerja di setiap pola penjadwalan masalah (4,7)
Pola ke- Hari Kerja Variabel biaya
Pengoptimuman masalah penjadwalan yang meminimumkan biaya akan dilakukan dengan mempertimbangkan kebutuhan pekerja setiap harinya. Prioritas alokasi pekerja diberikan pada pola penjadwalan mulai dari yang termurah untuk memperoleh pola penjadwalan yang meminimumkan biaya. Kuota pada pola penjadwalan yang termurah dipastikan terisi penuh. Jika kuota pada pola penjadwalan yang termurah sudah terisi penuh, kemudian beranjak pada pola penjadwalan yang termurah setelahnya. Hal tersebut dilakukan hingga seluruh pekerja memperoleh jadwal bekerjanya masing-masing dan kebutuhan pekerja setiap harinya terpenuhi. Berikut ini akan ditentukan pola penjadwalan pekerja yang meminimumkan biaya akibat adanya perbedaan biaya di setiap jenis pola penjadwalan. Namun, tetap memenuhi kebutuhan pekerja setiap harinya.
1 Saat � = � ��
Persamaan yang berlaku pada masalah (4,7) digunakan untuk menentukan banyaknya pekerja di setiap pola penjadwalan masalah (4,7) (Lampiran 5). Persamaan untuk memperoleh banyaknya pekerja di setiap pola penjadwalan masalah (4,7) dalam kasus ini adalah sebagai berikut:
= min { , , }
= min { , − , − , � − }
= min { , − , − − , � − − − }
= min { , − , − − , � − − − − }
= min { − , − , − − , � − − − − − }
= � − − − − − − .
2 Saat � = ∑= �
Persamaan yang berlaku pada masalah (4,7) digunakan untuk menentukan banyaknya pekerja di setiap pola penjadwalan masalah (4,7) (Lampiran 5). Persamaan untuk memperoleh banyaknya pekerja di setiap pola penjadwalan masalah (4,7) dalam kasus ini adalah sebagai berikut:
= � − − mendapatkan prioritas dalam pemenuhan kuotanya karena telah diperoleh persamaan yang unik untuk menentukan nilai , , … , .
3 Saat � = ��
Persamaan untuk menentukan nilai , , … , diperoleh dengan menggunakan persamaan yang berlaku pada masalah (4,7) (Lampiran 5). Misalkan � = �� = , persamaan untuk memperoleh banyaknya pekerja di setiap pola penjadwalan masalah (4,7) dalam kasus ini adalah sebagai berikut:
=
4 Saat � = ��
Persamaan untuk menentukan banyaknya pekerja di setiap pola penjadwalan masalah (4,7) dapat diperoleh dengan menggunakan persamaan yang berlaku pada masalah (4,7) (Lampiran 5). Misalkan � = �� = , persamaan untuk memperoleh banyaknya pekerja di setiap pola penjadwalan masalah (4,7) dalam kasus ini adalah sebagai berikut:
=
=
= =
+ + = � − − .
Berdasarkan beberapa persamaan tersebut, dapat disimpulkan bahwa semua nilai unik diperoleh kecuali , , dan . Penentuan nilai , , dan dapat dilakukan pengoptimuman lebih lanjut. Agar meminimumkan biaya, sisa nilai yang tersedia � − − diberikan dan diprioritaskan untuk pola penjadwalan yang termurah di antara , , dan . Kuota pada pola penjadwalan yang termurah dipastikan terisi penuh. Jika kuota pada pola penjadwalan yang termurah sudah terisi penuh, kemudian beranjak pada pola penjadwalan yang termurah setelahnya. Cara yang sama dengan cara penyelesaian saat � = �� = digunakan untuk semua kemungkinan kasus saat � = �� . Solusi secara spesifik dan lengkap diberikan dalam Tabel 7, Tabel 8, dan Tabel 9.
5 Saat � = ��
Persamaan yang berlaku pada masalah (4,7) digunakan untuk menentukan banyaknya pekerja di setiap pola penjadwalan masalah (4,7) (Lampiran 5). Misalkan � = �� = , persamaan untuk memperoleh banyaknya pekerja di setiap pola penjadwalan masalah (4,7) dalam kasus ini adalah sebagai berikut:
=
=
=
+ + + = � − .
Berdasarkan beberapa persamaan tersebut, dapat disimpulkan bahwa persamaan untuk menentukan nilai , , , dan tidak unik diperoleh. Penentuan nilai , , , dan dapat dilakukan pengoptimuman lebih lanjut. Agar meminimumkan biaya, sisa nilai yang tersedia � − diberikan dan diprioritaskan untuk pola penjadwalan yang termurah di antara , , , dan . Kuota pada pola penjadwalan yang termurah dipastikan terisi penuh. Jika kuota pada pola penjadwalan yang termurah sudah terisi penuh, kemudian beranjak pada pola penjadwalan yang termurah setelahnya. Cara yang sama dengan cara penyelesaian saat � = �� = digunakan untuk semua kemungkinan kasus saat � =
Tabel 8 Nilai dan untuk semua kemungkinan nilai � �
� �� min{ , − , − − , � − − } min { , , }
∑ �
� − − � − −
−
− −
� − − −
� − −
−
− −
− −
min{ − , − , − − } min{ , − , − }
− − min{ , − , − }
min{ , − , − }
min{ , − , − }
− min{ , − }
min{ , − }
min{ , − }
− min{ , − }
Tabel 9 Nilai dan untuk semua kemungkinan nilai � �
� �� min{ , − , − , � − } min{ , − , − −
, � − − − }
∑ �
� − − � − −
− −
−
−
− −
� − − −
� − −
−
min{ − , − , − − }
min{ − , − , − − } − −
min{ , − , − } min{ − , − , − − }
min{ , − , − }
min{ , − } −
− min{ , − }
min{ , − } −
min{ , − }
Alur Penggunaan Algoritme
1 Minimum total pekerja ditentukan dengan menggunakan persamaan (7).
Contoh 1
Misalkan � = , � = , � = , � = , � = , � = , � = . Tabel 10 Solusi yang mungkin pada Contoh 1
i 1 2 3 4 5 6 7 Total
Nilai �� = = . bukan bilangan bulat, maka harus dibulatkan dengan menambahkan salah satu � di antara � , � , dan � , yaitu � = dengan � −
�� = , sehingga nilai � = dan � = .
= , = , = , = , = , = , = .
= =
Tabel 11 Hasil penjadwalan Contoh 1
Contoh 2
Misalkan � = , � = , � = , � = , � = , � = , � = . Tabel 12 Solusi yang mungkin pada Contoh 2
i 1 2 3 4 5 6 7 Total
Berdasarkan hasil substitusi Solusi I, Solusi II, Solusi III, dan Solusi IV, maka dapat diperoleh nilai � �� = � = ; ∑ �⁄ = . ; �� = = . ; �� =
= =
Tabel 13 Hasil Penjadwalan Contoh 2
Pekerja ke Senina Selasa Rabu Kamis Jumat Sabtu Minggu
Masalah (4,7) dapat diselesaikan dengan algoritme berbasis dual secara manual. Hasil akhirnya berupa minimum total pekerja dan pola penjadwalan yang meminimumkan biaya, sehingga algoritme tersebut sangat bermanfaat untuk perusahaan yang beroperasi setiap hari.
Saran
Penelitian selanjutnya dapat melakukan pembahasan tentang pengoptimuman berbasis dual masalah penjadwalan lima hari kerja dalam seminggu secara siklis.
DAFTAR PUSTAKA
Alfares HK. 2000. Dual-based optimization of cyclic four-day workweek scheduling. IMA Journal of Mathematics Applied in Business and Industry. 11: 269-283. DOI: 10.1093/imaman/11.4.269.
Baker KR. 1976. Workforce allocation in cyclical scheduling problem: a survey. Operational Research Quarterly. 27: 155-167. doi: 10.1057/jors.1976.30. Chvátal V. 1983. Linear Programming. New York (US): WH Freeman & Company. Hadi N. 2014. Optimasi berbasis dual masalah penjadwalan tiga hari kerja dalam
Luenberger DG, Ye Y. 2007. Linear and Nonlinear Programming 3thed. California (US): Springer.
Lampiran 1 Sintaks dan hasil komputasi program LINGO 11.0 untuk masalah (4,7) x2+x3+x4+x5>=11;
x3+x4+x5+x6>=14; x4+x5+x6+x7>=9; x1+x5+x6+x7>=18; x1+x2+x6+x7>=8; x1+x2+x3+x7>=15; x1+x2+x3+x4>=5;
min=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7;
Hasil yang diperoleh sebagai berikut:
Lampiran 2 Pembuktian bahwa Solusi I lebih baik atau sama dengan solusi yang diperoleh dengan cara memberi nilai ⁄� pada sembarang � variabel dual
Misalkan diberikan nilai ⁄� pada � sembarang variabel dual � = , … , . Solusi tersebut menghasilkan nilai fungsi objektif dual dengan persamaan � = ∑ � �⁄ . Berikut ini akan dibuktikan bahwa nilai fungsi objektif dual yang berasal dari persamaan � = � �� akan lebih besar atau sama dengan nilai fungsi objektif dual yang berasal dari persamaan � = ∑ � �⁄ .
� × � = � × � ��
� × � = � �� + � ��… + � �� (dijumlahkan sebanyak � .
Nilai � �� = max {� , … , � }, sehingga � �� �, � �� � , � �� � , � �� �, � �� � , � �� � , dan � �� � . Hal tersebut mengakibatkan:
� �� + � ��… + � �� � + ⋯ + � = ∑ �
� × � �� ∑ �
� �� ∑ � �⁄ ∎
Lampiran 3 Pencarian Solusi III dan Solusi IV
Pencarian Solusi III dengan Menentukan Dua Variabel Dual Bernilai ⁄ sebagai Nilai Awal
Kombinasi pasangan nilai I pada pertidaksamaan (5.1)
Misalkan pada pertidaksamaan (5.1), dipilih = = . Hasil substitusi nilai-nilai tersebut sebagai berikut:
+ + + menjadi + + + .
Berdasarkan hasil substitusi tersebut diperoleh nilai + = , karena , , maka = = . Adapun dari pertidaksamaan (5.6) dan (5.7) diperoleh :
+ + + menjadi + + +
+ + + menjadi + + + .
Berdasarkan hasil substitusi tersebut diperoleh nilai + = , karena , maka = = . Adapun dari pertidaksamaan (5.2) diperoleh:
+ + + menjadi + + + .
Berdasarkan hasil substitusi tersebut diperoleh nilai , maka nilai terbesar adalah . Agar menghasilkan solusi yang memaksimumkan hasil substitusinya ke fungsi objektif dual maka dapat ditentukan nilai = . Adapun dari pertidaksamaan (5.3), (5.4), dan (5.5) diperoleh:
+ + + menjadi + + +
+ + + menjadi + + +
+ + + menjadi + + + .
Berdasarkan hasil penelusuran kombinasi pasangan nilai I sebagai nilai awal pada pertidaksamaan (5.1) diperoleh nilai = = = dan = = =
Tabel 14 Hasil penelusuran kombinasi pasangan nilai I, II, III, dan IV
Kombinasi Pertidaksamaan Nilai awal Nilai variabel dual lain yang diperoleh
Tabel 15 Hasil penelusuran kombinasi pasangan nilai V dan VI
Kombinasi Pertidaksamaan Nilai awal Nilai variabel dual lain yang diperoleh
V
Pencarian Solusi IV dengan Menentukan Tiga Variabel Dual Bernilai ⁄ sebagai Nilai Awal
Kombinasi pasangan nilai I pada pertidaksamaan (5.1)
Misalkan pada pertidaksamaan (5.1), dipilih = = = . Hasil substitusi nilai-nilai tersebut sebagai berikut:
+ + + menjadi + + + = .
Berdasarkan hasil substitusi tersebut diperoleh nilai , maka nilai terbesar adalah . Agar menghasilkan solusi yang memaksimumkan hasil substitusinya ke fungsi objektif dual maka dapat ditentukan nilai = . Adapun dari pertidaksamaan (5.4), (5.5), dan (5.6) diperoleh:
+ + + menjadi + + +
+ + + menjadi + + +
+ + + menjadi + + + .
Berdasarkan hasil penelusuran kombinasi pasangan nilai I sebagai nilai awal pada pertidaksamaan (5.1) diperoleh pasangan nilai = = = = = dan = = . Cara yang sama dengan cara penelusuran kombinasi pasangan nilai I sebagai nilai awal pada pertidaksamaan (5.1) digunakan untuk penelusuran semua kombinasi pasangan nilai pada pertidaksamaan linear (5.1), (5.2), (5.3), (5.4), (5.5), (5.6), dan (5.7). Hasil penelusuran secara lengkap ditulis dalam Tabel 15. Tabel 16 Hasil penelusuran kombinasi pasangan nilai I dan II
Kombinasi Pertidaksamaan Nilai awal Nilai variabel dual lain yang diperoleh
Tabel 17 Hasil penelusuran kombinasi pasangan nilai III dan IV
Kombinasi Pertidaksamaan Nilai awal Nilai variabel dual lain yang diperoleh
III
(5.1) = = = = = = =
(5.2) = = = = = = =
(5.3) = = = = = = =
(5.4) = = = = = = =
(5.5) = = = = = = =
(5.6) = = = = = = =
(5.7) = = = = = = =
IV
(5.1) = = = = = = =
(5.2) = = = = = = =
(5.3) = = = = = = =
(5.4) = = = = = = =
(5.5) = = = = = = =
(5.6) = = = = = = =
Lampiran 4 Substitusi Solusi I, Solusi II, Solusi III, dan Solusi IV ke fungsi objektif dual masalah (4,7)
1 Hasil substitusi Solusi III ke fungsi objektif dual masalah (4,7)
Berdasarkan Tabel 4, = + = + = ( = , , … , ), adalah Solusi III yang akan disubstitusikan ke fungsi objektif dual masalah (4,7). Hasil substitusi tersebut dinotasikan dengan ( = , , … , ). substitusi Solusi III dengan pola I ke fungsi objektif dual masalah (4,7). Nilai tersebut akan dipilih sebagai calon nilai minimum total pekerja yang berasal dari Solusi III.
Berdasarkan Tabel 4, = + = + = ( = , , … , ), adalah Solusi III yang akan disubstitusikan ke fungsi objektif dual masalah (4,7). Hasil substitusi tersebut dinotasikan dengan ( = , , … , ).
Misalkan dipilih = = = & = = = = maka:
= ∑= �
substitusi Solusi III dengan pola II ke fungsi objektif dual masalah (4,7). Nilai tersebut akan dipilih sebagai calon nilai minimum total pekerja yang berasal dari Solusi III. 2 Hasil substitusi Solusi IV ke fungsi objektif dual masalah (4,7)
Misalkan dipilih = = = = = & = = maka:
= ∑ = �
= � + � + � + � + � .
Misalkan dipilih = = = = = & = = maka:
= ∑ = �
= � + � + � + � + � .
Misalkan dipilih = = = = = & = = maka:
= ∑ = �
= � + � + � + � + � .
Misalkan dipilih = = = = = & = = maka:
= ∑ = �
= � + � + � + � + � .
Misalkan dipilih = = = = = & = = maka:
= ∑ = �
= � + � + � + � + � .
Lampiran 5 Penentuan persamaan untuk memperoleh banyaknya pekerja di setiap pola penjadwalan masalah (4,7)
a. Menentukan banyaknya pekerja di setiap pola penjadwalan masalah (4,7) saat
� = � ��
Berikut ini, dalam penentuan banyaknya pekerja akan diberikan prioritas alokasi nilai untuk pola penjadwalan tertentu. Tingkat prioritas tersebut diberikan berdasarkan Tabel 6. Adapun prioritas yang diberikan mulai dari biaya yang termurah hingga termahal.
Pola penjadwalan merupakan pola penjadwalan dengan biaya termurah dalam masalah (4,7), sehingga diberikan prioritas alokasi nilai untuk terlebih dahulu dipenuhi kuotanya. Berdasarkan informasi pada Tabel 2, maka persamaan berikut ini akan digunakan untuk menentukan nilai .
+ + = (saat =
+ + = (saat =
+ + = (saat = .
Setiap nilai ruas kanan persamaan tersebut merupakan nilai parameter yang harus dipenuhi oleh hasil penjumlahan ruas kirinya. Misalkan di setiap persamaan tersebut, seluruh alokasi nilai ruas kiri yang tersedia diberikan untuk . Namun, agar tetap memenuhi persamaan banyaknya pekerja yang libur saat = , saat = dan saat = , maka , dan . Dapat ditentukan nilai terbesar dari
yang mungkin adalah = min { , , }.
Biaya pola penjadwalan sama dengan biaya pola penjadwalan . Setelah nilai diperoleh, selanjutnya nilai dapat diberikan prioritas alokasi nilai untuk terlebih dahulu dipenuhi kuotanya. Berdasarkan informasi pada Tabel 2 dan fungsi objektif primal masalah (4,7), maka persamaan berikut ini akan digunakan untuk
Nilai telah ditentukan sehingga persamaan-persamaan yang akan digunakan berubah menjadi: tersedia diberikan untuk . Namun, agar tetap memenuhi persamaan banyaknya pekerja yang libur saat = , saat = , saat = dan persamaan total pekerja,
maka − , − , dan � − . Dapat ditentukan
Berdasarkan informasi pada Tabel 2 dan fungsi objektif primal masalah (4,7), maka persamaan berikut ini akan digunakan untuk menentukan nilai .
+ + = (saat =
+ + = (saat =
+ + = (saat =
� = � �� = + + + + + + .
Nilai dan telah ditentukan sehingga persamaan-persamaan yang akan digunakan berubah menjadi: tersedia diberikan untuk . Namun, agar tetap memenuhi persamaan banyaknya pekerja yang libur saat = , saat = , saat = dan persamaan total pekerja,
maka − , − − , dan � − − . Dapat
ditentukan nilai terbesar dari yang mungkin adalah = min { , − , −
− , � − − }.
Biaya pola penjadwalan yang termurah selanjutnya adalah . Setelah nilai , , dan diperoleh, nilai dapat diberikan prioritas alokasi nilai untuk terlebih dahulu dipenuhi kuotanya. Berdasarkan informasi pada Tabel 2 dan fungsi objektif primal masalah (4,7), maka persamaan berikut ini akan digunakan untuk menentukan nilai . tersedia diberikan untuk . Namun, agar tetap memenuhi persamaan banyaknya pekerja yang libur saat = , saat = , saat = dan persamaan total pekerja,
maka − , , − − dan � − − − .
Dapat ditentukan nilai terbesar dari yang mungkin adalah = min { , −
, − − , � − − − }.
Setelah nilai , , , dan diperoleh, selanjutnya nilai dapat diberikan prioritas alokasi nilai untuk terlebih dahulu dipenuhi kuotanya. Berdasarkan informasi pada Tabel 2 dan fungsi objektif primal masalah (4,7), maka persamaan berikut ini akan digunakan untuk menentukan nilai .
+ + = (saat =
+ + = (saat =
� = � �� = + + + + + + .
Nilai , , , dan telah ditentukan sehingga persamaan-persamaan yang akan digunakan berubah menjadi: tersedia diberikan untuk . Namun, agar tetap memenuhi persamaan banyaknya pekerja yang libur saat = , saat = , saat = dan persamaan total pekerja,
maka , − , − − dan � − − − −
. Dapat ditentukan nilai terbesar dari yang mungkin adalah = min { , −
, − − , � − − − − }.
Setelah nilai , , , , dan diperoleh, selanjutnya nilai dapat diberikan prioritas alokasi nilai untuk terlebih dahulu dipenuhi kuotanya. Berdasarkan informasi pada Tabel 2 dan fungsi objektif primal masalah (4,7), maka persamaan berikut ini akan digunakan untuk menentukan nilai .
+ + = (saat = tersedia diberikan untuk . Namun, agar tetap memenuhi persamaan banyaknya pekerja yang libur saat = , saat = , saat = dan persamaan total pekerja,
maka − , − , − − dan � − − −
− − . Dapat ditentukan nilai terbesar dari yang mungkin adalah =
min { − , − , − − , � − − − − − }.
Setelah nilai , , , , , dan diperoleh, hanya nilai yang belum diperoleh. Nilai-nilai yang telah diperoleh disubstitusikan ke persamaan fungsi objektif primal masalah (4,7), sehingga = � − − − − − − . b. Menentukan banyaknya pekerja di setiap pola penjadwalan masalah (4,7) saat
� = ∑ �⁄
Persamaan fungsi objektif primal masalah (4,7) dan Tabel 2 akan digunakan untuk menentukan nilai , , , , , , dan . Berikut ini penyelesaianya:
= � − − − − − −
c. Menentukan banyaknya pekerja di setiap pola penjadwalan masalah (4,7) saat
� = ��
= × + + + + + + −
= × � − .
Kemudian dipilih nilai = ,maka: = × �
� = .
+ = � − − − −
d. Menentukan banyaknya pekerja di setiap pola penjadwalan masalah (4,7) saat
� = ��
Berdasarkan hasil substitusi Solusi III ke fungsi objektif dual masalah (4,7) dan Tabel 2, yaitu hubungan antara � dan . Misalkan � = �� = , maka:
= � − � − + +
e. Menentukan banyaknya pekerja di setiap pola penjadwalan masalah (4,7) saat
� = ��
Berdasarkan hasil substitusi Solusi III ke fungsi objektif dual masalah (4,7) dan Tabel 2, yaitu hubungan antara � dan . Misalkan � = �� = , maka:
Lampiran 6 Hasil substitusi semua kemungkinan solusi ke fungsi objektif dual pada Contoh 1 dan Contoh 2
a. Hasil substitusi solusi pada Contoh 1
Berdasarkan Tabel 10 maka substitusi Solusi I ke fungsi objektif dual adalah sebagai berikut:
� = max{� , … , � } = max{ , , , , , , } = .
= � + � + � + � + � = + + + +
b. Hasil substitusi solusi pada Contoh 2
Berdasarkan Tabel 12 maka substitusi Solusi I ke fungsi objektif dual adalah sebagai berikut:
� = max{� , … , � } = max{ , , , , , , } = .
= � + � + � = + +
� = �� = max{ , , , , , , } = .
Berdasarkan Tabel 12 maka substitusi Solusi IV ke fungsi objektif dual adalah sebagai berikut:
= � + � + � + � + � = + + + +
= � + � + � + � + � = + + + +
= � + � + � + � + � = + + + +
= � + � + � + � + � = + + + +
= � + � + � + � + � = + + + + +
= � + � + � + � + � = + + + +
= � + � + � + � + � = + + + +
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Tangerang pada tanggal 19 Juni 1993 dari ayah dan ibu yang bernama Sunarya dan Maryani. Penulis adalah putra keempat dari lima bersaudara. Tahun 2011, penulis lulus dari SMA Negeri 33 Jakarta dan pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk Institut PertanianBogor (IPB) melalui jalur Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN) Undangan dan diterima di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
