Getaran Bebas-SDOF

(1)

(2)

Getaran (Vibration)

Dalam kehidupan sehari-hari terdapat banyak benda yang bergetar.

Garpu tala,

Senar gitar yang sering anda mainkan,

Sound system,

Ingat juga ketika anda tertawa terpingkal-pingkal tubuh anda juga bergetar

(3)

Getaran (Vibration)

Getaran adalah gerakan bolak-balik dalam suatu interval waktu tertentu.

Getaran dan gelombang merupakan dua hal yang saling

berkaitan. Baik itu gelombang air laut, gelombang gempa bumi, gelombang suara yang merambat di udara; semuanya bersumber pada getaran. Dengan kata lain, getaran adalah penyebab

(4)

Getaran Bebas (Free Vibration)

(5)

Persamaan gerak secara umum :

)

(t

p

ku

u

c

u

m











Kecepatan dan perpindahan saat t=0 :

0

,

(

0

)

0

(

u









Sehingga persamaan gerak dapat ditulis :

)

(

2

2 2

t

p

k

u

_n _n n

(6)

dimana

n n

cr

k

m

c



2



cr c

c





dan

k c

ωn adalah frekuensi alami sudut tak teredam (rad/s), ζ adalah faktor redaman

(7)

Getaran bebas system SDOF

Respon total :

)

(

)

(

)

(

t

u

t

u

t

u



_p



_c

Di dalam istilah matematika, penyelesaian umum dari persamaan diferensial terdiri dari penyelesaian sesungguhnya up(t) dan

penyelesaian komplemen/pelengkap u_c(t). u_p(t) = forced motion related p(t)

u_c(t) = natural motion

P(t) m

u

K

I

(8)

Getaran bebas system SDOF

Untuk getaran bebas

→

P(t)=0:

0





c

u

ku

u

m



0

2



2





u





_n





_n

Solusi umum, untuk menyelesaikan persamaan diatas :

t

s

e

C

u



Maka

….

(9)

Getaran bebas system SDOF

0

)

2

(

s

2





n

s





n

2

C

e

s

t



Supaya dapat valid untuk semua nilai t , maka :

0

2





n

s





Persamaan Karakteristik

(persamaan polynomial derajat n dalam besaran yang mempunyai n buah harga )

2

s

2

(10)

Getaran bebas system SDOF

SDOF Tak Teredam

(Undamped)

(11)

Persamaan gerakan untuk sistem "Undamped SDOF" adalah

0





ku

u

m



atau

u







_n2

u



0

dan persamaan karakteristik yang sesuai adalah

0

2





n

s



akar dari persamaan diatas adalah

1

-i

dimana

2 ,

1





i

n



(12)

Sehingga penyelesaian umum :

t i t

i _n _n

e

C

e

C

u



1 



2  

dengan memperkenalkan persamaan Euler



cos

i

sin

e



i





kita dapat menulis ulang persamaan dalam bentuk fungsi trigonometri, yaitu

t

A

t

A

(13)

dimana A₁ dan A₂ adalah konstanta real, ditentukan dari kondisi awal perpindahan dan kecepatan,

jadi

t

u

t

u

_n n n



sin

cos

0 0















adalah respon getaran bebasdari sistem "undamped SDOF".

Jika ů(0) = 0 , jadi

t

u



₀

cos



n

(14)

Dapat dilihat bahwa respon merupakan gerakan harmonik sederhana dengan amplitudo uo, dan periode dari "undamped natural"

t

u



₀

cos



_n

(s)

2

n n

T







dan sebuah frekuensi dari "undamped natural"

(Hz)

2

1





n n

n

(15)







 







n n

n

t

U

t

U

t

u











)

cos

cos(

)

(

t

u

t

u

t

u

_n n n



sin

cos

)

(

₀ 0















A

B

t

B

A

t

B

t

A

t

u



_n



_n





_n











cos

sin

tan

),

cos(

sin

cos

)

(16)

F(t)

W8x24

200 lb/ft

15 ft 25 ft

Model Struktur :

E = 30.106 _psi

I = 82,5 in4

W = 200 x 25 = 5000 lb

g = 386 in/s2

Contoh

(17)

F(t)

W8x24

200 lb/ft

15 ft

F(t)

Model SDOF

Model Matematis

F(t)

m

K

y

FBD

f

_s

m

F(t)

(18)

Penyelesaian :

 

t

F

fs

I





fs m F(t)

I

 

t

F

y

k

y

m

.





.



 









sps f s T s r ad m k in s lb g W m in lb L I E K n n n n 46 . 4 5000 386 . 10185 2 1 2 224 . 0 2 / 04 . 28 5000 386 . 10185 / . 953 . 12 386 5000 / 10185 12 . 15 5 , 82 . 2 10 . 30 . 12 2 12 2 3 6 3              









0

10185

953

.

(19)

t

u

t

u

t

u

_n n n



sin

cos

)

(

₀ 0















Persamaan Respons Getaran Bebas :

t

u

t

u

t

u

sin

28

.

04

.

28

04

.

28

cos

)

(

₀ 0



(20)

Latihan

[image:20.720.23.714.9.523.2]

Jika:

Simpangan awal

Kecepatan awal

Gambarkan Respons Struktur!!

(Masukan nila t=0 sampai t=5, dengan interval

waktu 0.2)

 

0



0

,

001

ft

y

 

0



0

,

1

ft/dt

y



t

u

t

u

t

u

_n n n



sin

cos

)

(

₀ 0















t

u

t

u

t

u

sin

28

.

04

(21)

-0.0015 -0.001 -0.0005 0 0.0005 0.001 0.0015

0 1 2 3 4 5 6

u(t)

(22)

(23)

(24)

(25)

0





c

u

ku

u

m



u





2



_n

u







_n2

u



0 Persamaan gerakan untuk sistem "Undamped SDOF" adalah

atau

dan persamaan karakteristik yang sesuai adalah

0

2





n

s





dimana akar-akarnya , s₁ dan s₂ diberikan oleh

1

2

2 ,

1







n





n





(26)

Besarnya faktor "damping" (  ) , dapat digunakan untuk membedakan 3 kasus, yaitu:

 underdamped (0 <  < 1)

 critically damped (  = 1 )

(27)



Kasus critically damped (



= 1 )

Ketikaζ=1 maka persamaan

1

2

2 ,

1







n





n





s

menjadi

n

s

₁_,₂







maka respon dari sistem redaman kritis adalah:

Solusinya menjadi:

t

n

e

t

C

t

u

(

)



(

₁



₂

)



t o

n o

o

n

e

t

u

t

(28)



Kasus overdamped (



> 1 )

1

2 2

,

1







n





n





s

(



> 1)

* 2

,

1







n





s

Persamaan diatas dapat ditulis

dimana

1

2

*









(29)

Kasus

Underdamped

( 0 <



< 1)

1

2 2

,

1







n





n





s

( 0 <



< 1)

d n

i

s

₁_,₂











Lebih mudah bila menulis persamaan diatas dalam bentuk

dimana _d adalah frekuensi alami " damped circular " yang diberikan oleh

2

1





d



n



yang sesuai dengan periode damped , T_d , yang diberikan oleh

d d

T





2

(30)

Dengan bantuan dari formula Euler, penyelesaian umum, u (t), dapat ditulis dalam bentuk

)

sin

cos

(

)

(

t

e

A

₁

t

A

₂

t

u



nt



_d





_d

dan juga, uo dan ůo digunakan untuk mengevaluasi A₁ dan A₂ , dengan hasil:



















 







cos

sin

)

(

t

e

u

₀

t

u

0

u

0

t

u

_d d n d t n











)

cos(

)

(

t



Ue





t





u

nt _d

A

B

t

B

A

t

B

t

A

t

u



_n



_n





_n











cos

sin

tan

),

cos(

sin

cos

)

(31)

[image:31.720.30.712.9.523.2]

Gambar diatas menunjukkan perbandingan antara respon-respon dari sistem-sistem SDOF mempunyai level-level yang berbeda dalam subcritical damping. Dalam tiap kasus, karena uo = 0 , respon yang didapat

 













(32)

Penyelesaian umum, u (t), dapat ditulis dalam bentuk

)

sinh

cosh

(

)

(

t

e

A

₁ *

t

A

₂ *

t

u



nt







dan juga, uo dan ůo digunakan untuk mengevaluasi A₁ dan A₂ , dengan hasil:



















 







cosh

sinh

)

(

t

e

u

₀ *

t

u

0 _*

u

0 *

t

u

nt n







(33)



















 







cosh

sinh

)

(

t

e

u

₀ *

t

u

0 _*

u

0 *

t

u

nt n











0 0.8 1.6

0 0.8 1.6 2.4 3.2

(34)

(35)

(36)

Eksperimen Penentuan dari

Frekuensi Alami Dasar dan

Faktor

Damping

dari sebuah

sistem SDOF

Faktor damping ,  , umumnya diukur, dan bila diinginkan, nilai efektif dari c dapat dihitung dari persamaan

Frekuensi alami undamped dari sebuah sistem SDOF

sederhana dapat ditentukan dari pengukuran statis. cr

c c



(37)

Contoh

Tentukan frekuensi alami dari sebuah sistem pegas sederhana dengan menggunakan pengukuran statis.

Penyelesaian :

k

L

o

k

w

u

st

fs=ku

st

(38)

n2 = k/m

keseimbangan berat dari massa yang tergantung pada pegas ditunjukkan pada









F

0

atau

0





f

s

W

dari persamaan gaya yang menyebabkan perpanjangan pada pegas

st

s

ku

f



2 1

3

4

persamaan 3 dan 4 digabungkan mendapat

st s

mg

ku

f



5

k Lo _k

w

ust

fs=kust

(39)

jadi, dari persamaan 1 dan 5

st n

u

g



2

(40)

(41)

Contoh

Frekuensi natural dari balok kantilever dengan massa

lumped (terpusat) bergerak dinamis. Massa bergerak

dengan amplitudo A = 1 in kemudian dilepaskan. Gerakan

yang terjadi ditunjukkan gambar di bawah yang

(42)

Penyelesaian :

Pada titik a, beban telah bergerak 1¼ putaran

Hz

putaran

125

.

3

4

.

0

25

.

1





s

f

_n

rad/s

6

.

19

)

125

.

3

)(

28

.

6

(

2



_n



n



f



s

f

T

n

0

.

32

(43)

(44)

Dalam metoda logarithmic decrement , amplitudo gerakan, U_P, pada permulaan dari putaran dan amplitudonya, U_Q, pada akhir.

Didapat persamaan

d nT

Q P

e

u

_



the logarithmic decrement  dijelaskan sebagai berikut :

d n Q

P

T

u













(45)

dimana T_d adalah periode natural damped , dijelaskan sebagai berikut :

2

1

2

















n d d

T

jadi, kita mendapatkan

2

1

2













n

T

d

Untuk damping kecil (  < 0.2 ) , perkiraannya :







2

dapat diterima, memungkinkan faktor damping untuk didapat dari persamaan :

(46)

Prosedur yang sama juga diterapkan pada metoda setengah amplitudo, dimana hasilnya merupakan perhitungan yang sederhana untuk faktor damping.

Metoda setengah amplitudo berdasarkan pada amplitudo dari envelope curve (kurva envelope).

t

n

Ue

t

u

ˆ

(

)







2

ˆ

P

R

u



Titik-titik tersebut adalah N periode damped yang terpisah, dimana N tidak harus sebuah bilangan bulat. Kemudian,

2

ˆ



nNTd

R P

e

u



(47)

Sehingga diperoleh persamaan

)

2

ln(

1

2







[image:47.720.5.711.19.502.2]



N

(48)

Tetapi, untuk nilai damping yang kecil, 2 _<<

1, menghasilkan:

)

2

ln(

2



N







atau

N

11

.

0







(49)

Contoh

Sebuah sistem bergetar terdiri dari berat W = 10 lb dan pegas

dengan kekakuan K = 20 lb/in. Akibat redaman viskous (liat)

sehingga terjadi amplitudo puncak 1,0 dan 0,85.

a). Frekuensi natural tak teredam (ωn)

b). Pengurangan logaritmis c). Rasio redaman(ζ)

d). Koefisien redaman(c)

e). Frekuensi natural redaman (ωn)

(50)

Penyelesaian :

a). Frekuensi natural tak teredam (ωn)

m K n 



2 in/sec 386 lb 10   g W m

K = 20 lb/in ,

sec rad 78 , 27 386 10 20   n

 4,42 sps

2 78 , 27

2  

    f atau

b). Pengurangan logaritmis

2 1

ln

y





y1 = 1,00

y2 = 0,85

165

,

0

85

,

0

,

1

ln





c). Rasio redaman(ζ)







2



0

,

026

(51)

d). Koefisien redaman(c)

cr

c





c



2

k



m



2

10



20

386

cr

c























₀

,

026

2

10

20

386

in

dt

lb





0

,

037

e). Frekuensi natural redaman (ωD)

,

1



2



D





rad/det

77

.

27

)

026

.

0

(

1

78

.

27



2



D

(52)

Contoh

(53)

Penyelesaian :

049

.

0

25

.

2

11

.

0





• Gambar sketsa dari the envelope curve ( terdapat pada gambar)

• Ambil titik P pada puncak dan ukur u_P; u_P = 0.44 in.

• Cari titik R , dimana amplitudo dari the envelope curve adalah u_P/2 = 0.22 in.

• Perkirakan jumlah putaran antara P dan R : N = 2.25 putaran

• Gunakan persamaan dibawah ini untuk memperkirakan  :

N

11

.

0





[image:53.720.46.698.63.520.2]