CATATAN KULIAH Pertemuan XII: Optimasi dengan Kendala Persamaan dan Aplikasinya

CATATAN KULIAH

Pertemuan XII: Optimasi dengan Kendala Persamaan

dan Aplikasinya

A. Efek dari Satu Kendala

• Tujuan utama digunakannya sebuah kendala adalah memberi tanggung jawab kepada faktor-faktor pembatas (constrains) tertentu dalam masalah optimasi.

• Misalkan Fungsi Utilitas sederhana : U =x₁x₂+2x₁

Jika konsumen ingin membelanjakan 60 dollar, dan harga barang P1=4 dan P2=2, maka terdapat kendala anggaran

(budget constrain):

2 1 2

4

60= x + x

Kendala ini menyebabkan pilihan x1* dan x2* menjadi saling

tergantung.

Untuk melihat efek kendala ini, dapat dilakukan substitusi :

(

1

)

1 1 1 2 2 2 30 2 30 x x x U x x + − = − = Ambil derivatifnya : 0 4 32 dx du 1 1 = − = x Hasilnya adalah : 128 , 14 , 8 ₂ 1 = x = U = x

Uji derivatif orde kedua:

(max) 4 dx u d 2 1 2 − = B. Pencarian Nilai-nilai Stasioner

• Bagaiman jika kasusnya:

– Bentuk fungsional kendala kompleks – Terdapat banyak kendala

• Maka dapat digunakan Metode Pengali-Lagrange

– Inti dari metode pengali-Lagrange adalah mengubah persoalan titik ekstrem terkendala menjadi persoalan ekstrem bebas kendala.

• Kondisi Orde Pertama: Lλ = 0 menjamin kendala akan dipenuhi

• Lλ = 0 , mentransformasikan fungsi U terkendala dengan n

• Fungsi Lagrange : L = f(x, y) + λ[c - g(x, y)];

dengan f(x,y)=fungsi objektif ; g(x,y)=fungsi kendala ; dan λ=pengali Lagrange

• Contoh: Fungsi Utilitas U(x₁,x₂ )= x₁x₂+2x₁

Kendala anggaran : C=60– 4x₁ – 2x₂=0

Fungsi Lagrange: L=x₁x₂ +2x₁+λ

(

60– 4x₁ – 2x₂

)

• Metode pengali-Lagrange membuat pendekatan fungsi tanpa Kendala yang sudah dibahas sebelumnya dapat digunakan: Kondisi orde pertama untuk L, adalah:

Lλ = Lx1= Lx2 = 0

• Jika Kondisi Orde Pertama: Lλ = 0 dipenuhi, maka kendala akan

dipenuhi: Lλ =60 – 4x1 – 2x2 = 0 dan L = U • Selanjutnya didapat: 0 λ2 0 λ4 2 1 2 2 1 = − = = − + = x L x L x x

• Atur dalam bentuk matriks:

matriks bentuk 0 2 60 0 1 2 1 0 4 2 4 0 2 1 Ax d x x = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − λ

Kemudian pecahkan untuk λ, x1, x2 dengan Aturan Cramer

matrix Jacobian 2 2 1 2 2 2 1 1 1 1 2 1 λx λx x x x x x x x x x x L L L L L L L L L J λ λ λλ = 16 8 8 0 1 2 1 0 4 2 4 0 = + = − − − − = J 64 60 4 0 1 0 1 0 2 2 4 60 = + = − − − − = λ J

224 240 16 0 1 2 2 0 4 60 4 0 128 8 120 0 0 2 1 2 4 2 60 0 2 1 = + − = − − − − − = = + = − − − − − = x x J J

( )

814

( )

28 128 2 14 16 224 8 16 128 4 16 64 λ * 1 * 2 * 1 * * 2 * 1 * = + = + = = = = = = = x x x U x x

• Nilai Stasioner U* di atas perlu diuji lagi dengan Syarat Orde Kedua sebelum diketahui maksimum atau minimum atau bukan keduanya.

• Pendekatan Diferensial Total

Diferensial dari L=f(x,y) : dL = fxdx + fydy = 0

Diferensial dari g=g(x,y) : dg = gxdx + gydy = 0

dimana dx dan dy bergantung satu dengan yang lain Gradien dari kurva isokuan : dy/dx = -fx/ fy

Gradien dari kurva kendala : dy/dx = -gx/gy

Maka didapat persamaan : -gx /gy = -fx/ fy

Apakah pendekatan diferensial total menghasilkan kondisi orde pertama yang sama dengan metode pengali Lagrange?

Dari metode Pengali Lagrange didapat: fx/ gx = fy /gy = λ

Hal ini menghasilkan informasi yang tepat sama dengan hasil pendekatan diferensial total. Selanjutnya λ dapat

diintrepretasikan tersendiri. • Intrepetasi dari Pengali Lagrange

λ adalah ukuran sensitivitas dari L terhadap perubahan dari kendala c

λ, x dan y : bersifat endogen, dan c : bersifat eksogen • F(λ, x, y; c) = 0

Diferensial total dari fungsi implisit adalah: dL/dc = λ,

sehingga λ dapat diintrepetasikan sebagai ukuran pengaruh suatu perubahan di dalam kendala melalui parameter c terhadap perubahan nilai optimal dari fungsi objektifnya

C. Syarat Orde Kedua

• Pengali Lagrange λ tidak mempunyai efek pada nilai stasioner Z* karena kendala sama dengan nol, tetapi mengakibatkan Syarat Orde Kedua yang baru diperlukan untuk menguji nilai stasioner Z*

• Adanya kendala mengubah kondisi untuk maksimum relatif atau minimum relatif.

Ilustrasi:

I. Kasus tanpa kendala z=z( yx, )

[

]

_⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = + + + = + = dy dx z z z z dy dx z d matriks bentuk dalam dy z dxdy z dxdy z dx z z d Kedua Orde l Diferensia dy z dx z dz Pertama Orde l Diferensia yy yx xy xx yy yx xy xx y x 2 2 2 2 : : :

Maka uji Hessian untuk kasus tanpa kendala (Free Extremum Hessian tests) :

1. z adalah maksimum relatif

• jika d2_{z adalah definit negatif, yaitu jika :}

|H1| < 0, |H2| > 0, |H3| < 0, … 2. z adalah minimum relatif

• jika d2z adalah definit positif, yaitu jika : |H1| > 0, |H2| > 0, |H3| > 0, … II. Kasus dengan kendala

0 y x : 2 2 2 _{+ + + =} =ax hxy by kendala α β z

pecahkan kendala untuk y: y x

β

α − = substitusikan ke fungsi objektif:

2 2 ₂ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + = x β α b x β α hx ax z

(

2 _{2 βh} 2

)

2 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − = β x b a z β α α

0 h β 2 jika 0 2 _{− +} 2 _> > aβ α bα z Sedangkan _{a -aβ}2 _{2αβh -bα}2 0 + = = b h h H β α β α

Maka z definit positif Æ minimum relatif jika

0 a 0 < = b h h H β α β α

Maka uji Hessian Terbatas untuk kasus dengan kendala (Bordered Hessian tests) :

1. z adalah maksimum relatif

• jika d2_{z adalah definit negatif (dg = 0), yaitu jika :}

|H| > 0 2. z adalah minimum relatif

• jika d2_{z adalah definit positif (dg = 0), yaitu jika :}

|H| < 0 Uji Hessian Terbatas

Jika z = f(x,y) dengan kendala g(x,y) = k

Fungsi Langrangenya: L(x,y, λ) = f(x,y) – λ [g(x,y) – k] Untuk membuktikan apakah titik ekstrim yang ditemukan merupakan titik maksimum atau minimum, yang merupakan syarat cukup untuk titik ekstrim relatif, maka dicari MATRIKS HESSIAN TERBATAS (BORDERED HESSIAN MATRIX) sebagai berikut:

di mana: gx = turunan pertama kendala terhadap x.

gy = turunan pertama kendala terhadap y.

Lxx = turunan dari Lx terhadap x.

Lxy = turunan dari Lx terhadap y.

Lyy = turunan dari Ly terhadap y.

Lyx = turunan dari Ly terhadap x.

• Bila |H| > 0 maka fungsi tersebut mempunyai titik maksimum relatif. ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = yy yx y xy xx x y x L L g L L g g g H 0

• Bila |H| < 0 maka fungsi tersebut mempunyai titik minimum relatif.

Kasusn n-Variabel

Jika fungsi objektifnya mempunyai bentuk :

z=f(x1,x2,...,xn) dengan syarat g(x1,x2,...,xn)=c

Fungsi Langrangenya:

L(x1,x2,...,xn, λ) = f(x1,x2,...,xn) – λ [g(x1,x2,...,xn) – k]

MATRIKS HESSIAN TERBATAS (BORDERED HESSIAN MATRIX) sebagai berikut:

Maka uji Hessian Terbatas untuk kasus dengan kendala (Bordered Hessian tests) :

1. z adalah maksimum relatif

• jika d2_{z adalah definit negatif (dg = 0), yaitu jika :}

minor utama |H2| > 0, |H3| < 0, |H4| > 0 … 2. z adalah minimum relatif

• jika d2_{z adalah definit positif (dg = 0), yaitu jika :}

minor utama |H2| < 0, |H3| < 0, |H4| < 0 … Contoh:

• Fungsi Utilitas U(x₁,x₂ )= x₁x₂+2x₁

Kendala anggaran : C=60– 4x₁ – 2x₂=0Æ g(x₁, x₂ ) =4x₁+2x₂ =60

Fungsi Lagrange: L=x₁x₂ +2x₁+λ

(

60– 4x₁ – 2x₂

)

Dalam bagian sebelumnya telah didapatkan nilai stasioner contoh ini sbb:

( )

814

( )

28 128 2 14 16 224 8 16 128 4 16 64 λ * 1 * 2 * 1 * * 2 * 1 * = + = + = = = = = = = x x x U x x

Uji Hessian Terbatas :

Yang memastikan nilai U* sebagai suatu maksimum relatif.

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = nn n n n n n n L L L g L L L g L L L g g g g H " # # # # " " " 1 1 2 22 21 2 1 12 11 1 2 1 0 0 16 0 1 2 1 0 4 2 4 0 0 | | 22 21 2 12 11 1 2 1 > = = = L L g L L g g g H

Note: Seperti anda lihat elemen-elemen matriks Hessian hampir sama dengan matriks Jacobian, kecuali bagian g1 dan g2 berlawanan tanda

antara matriks Hessian dan matriks Jacobian. Walaupun begitu perhitungan Determinannya mempunyai nilai yang sama.

D. Aplikasi dari Optimasi dengan Kendala Persamaan • Memaksimumkan Utilitas dan Permintaan Konsumen

Misalkan terdapat pilihan dua barang saja, dimana keduanya mempunyai fungsi utilitas marginal postif (U_x,U_y >0) dan kontinu. Harga kedua barang ditentukan oleh pasar sehingga bersifat eksogen. Jika daya beli konsumen adalah B, maka persoalannya adalah pemaksimuman fungsi utilitas : U=U(x,y) dengan syarat: B yP xP_x+ _y = Fungsi Lagrangenya:

( )

x y

(

B xPx yPy

)

U Z = , +λ − − Syarat Orde Pertama:

0 λP 0 λP 0 = − = = − = = − − = y y y x x x y x U Z U Z yP xP B Z_λ

Diferensial Fungsi Implisitnya:

y yy yx y x xy xx x y x y x dP y d U x d U d P dP y d U x d U d P dB dP y dP x y d P x d P λ λ λ λ = + + − = + + − − + = − − _.

Dalam bentuk matriks:

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − 0 dP λ 0 0 0 dP λ 0 y x dB dP y dP x y d x d d U U P U U P P P _{x y} yy yx y xy xx x y x λ

Syarat Orde Pertama

Syarat orde pertama ekuivalen dengan persamaan berikut:

y x y x y y x x U U P P B U P U P U ₌ ∂ ∂ = = = , * λ

Kurva Utilitas indiferens

( )

0 , = + = = dy U dx U dU y x U U y x

Dengan implikasi y x x y U U marjinal utilitas rasio dr negatif U U dx dy ₌ − ₌

Untuk Garis anggaran, dapat ditulis sebagai:

x y y x y x y y x U U P P dx dy x P P P B y yP xP B − = − = − = + = ,

Bentuk yang baru ini dapat diinterpretasikan sbb: dalam memaksimumkan utilitas, konsumen harus mengalokasikan anggaran sehingga kemiringan/lereng garis anggaran sama dengan kemiringan kurva indiferens.

Syarat Orde Kedua

Jika Hessian Terbatas nya adalah positif maka:

max negatif definit : H 0 2 0 0 2 2 → > − + − = > − − − − = xx y xy y x yy x yy yx y xy xx x y x U P U P P U P U U P U U P P P H

Di sini nilai stasioner U* dipastikan maksimum. I. Kemiringan kurva indiferen telah dijamin oleh

y x x y U U marjinal utilitas rasio dr negatif U U dx dy = − = ,

Sedangkan kecembungan sempurna dijamin oleh ₂ 0 2 > dx y d Untuk mendapatkan 2₂ dx y d , dapat didiferensiasikan x y U U dx dy − = , sbb:

(

)

(

)

(

)

dx dy U U dx dy U dx dx U dx dU dx dy U U dx dy U dx dx U dx dU dx dU U dx dU U U U U dx d dx y d yy xy yy xy y xy xx xb xx x y x x y y y x + = + = + = + = − − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = ₂ 2 2 ₁

Sehingga di dapat:

(

) (

)

(

)

⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = + − + − = y x yy xy x y x xy xx y y yy xy x xy xx y y P P U U U P P U U U U dx y d dx dy U U U dx dy U U U U dx y d 2 2 2 2 2 2 1 1

(

y xx y x xy x yy

)

y y yy y x y xy y x y xx y y y x y x yy y x y x y xy y x y xy y x y xx y y U P U P P U P P U dx y d naan penyederha U P P U U P P U U U U dx y d P P U U U P P P P U U P P U U P P U U U U dx y d 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 , 2 1 subtitusi , 1 + − − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − − = = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − − − =

Kurvatur dari fungsi utilitas indiferens adalah :

positif, , 0 0 2 : dapat di Shg maksimum, U sehingga negatif) (definit positif , 0 0 2 0 0 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 > > = − − = > > − − = − − − − = > = − − = dx y d P U H P U U P U P U P P dx y d H U P U P U P P U U P U U P P P H P U dengan P U H P U U P U P U P P dx y d y y y y yy x xx y xy y x yy x xx y xy y x yy yx y xy xx x y x y y y y y y yy x xx y xy y x Interpretasi dari 2₂ >0 dx y d

adalah : Kurva Utilitas Indiferensnya Cembung sempurna pada titik singgungnya.

Latihan

1. Diketahui fungsi kepuasan (utility) seorang konsumen yang mengkonsumsi barang X dan Y adalah U = x2_{y, dan fungsi}

anggaran dari konsumen itu adalah pxx + pyy = I, dimana: x

dan y = jumlah barang X dan Y yang dikonsumsi (dalam unit). Px = harga barang x = $3.

Py = harga barang y = $6.

I = income konsumen = $18.

Berapa unit x dan y yang harus dikonsumsi konsumen itu agar kepuasannya maksimum? Berapa kepuasan maksimumnya?

B A C U1 U0 Kuantitas Q1 Kuantitas Q2 P0 P1 P1 P0 x y U U dx dy kemiringan indiferens Kurva − = y x P P dx dy kemiringan anggaran garis − =