TRANSFORMASI-Z. Transformsi-Z Langsung Sifat-sifat Transformasi-Z Transformasi -Z Rasional Transformasi-Z Balik Transformasi-Z Satu Sisi

TRANSFORMASI-Z



Transformsi-Z Langsung



Sifat-sifat Transformasi-Z



Transformasi -Z Rasional



Transformasi-Z Balik

TRANSFORMASI-Z LANGSUNG



Definisi :

Contoh Soal 1

Tentukan transformasi Z dari beberapa sinyal diskrit di bawah ini



   



n n

z

)

n

(

x

)

z

(

X















2

,

5

,

7

,

0

,

1



)

n

(

x

).

d

1

,

0

,

7

,

5

,

2

,

1

,

0

)

n

(

x

).

c

1

,

0

,

7

,

5

,

2

,

1

)

n

(

x

).

b

1

,

0

,

7

,

5

,

2

,

1

)

n

(

x

).

a

4 3 2 1









Jawab:





5 3 2 1 1 1

z

z

7

z

5

z

2

1

)

z

(

X

1

,

0

,

7

,

5

,

2

,

1

)

n

(

x

).

a

   

_

_

_











3 1 1 2 2 2

z

z

7

5

z

2

z

)

z

(

X

1

,

0

,

7

,

5

,

2

,

1

)

n

(

x

).

b

 

_















6 4 3 2 1 3 3 7 5 2 ) ( 1 , 0 , 7 , 5 , 2 , 1 , 0 ) ( ).      _{   }   z z z z z z X n x c





3 1 1 4 4

z

z

7

5

z

2

)

z

(

X

1

,

0

,

7

,

5

,

2

)

n

(

x

).

d

 

_









Contoh Soal 2

Tentukan transformasi Z dari beberapa sinyal impuls di bawah ini

0

k

),

k

n

(

)

n

(

x

).

c

0

k

),

k

n

(

)

n

(

x

).

b

)

n

(

)

n

(

x

).

a

3 2 1





















Jawab:

1

z

)

n

(

)

z

(

X

).

a

n n 1









    k n n 2

(

z

)

(

n

k

)

z

z

X

).

b

    

_









k n n 3

(

z

)

(

n

k

)

z

z

X

).

c











   

Contoh Soal 3

Tentukan transformasi Z dari sinyal 2 u(n) 1 ) n ( x n        Jawab:

 

1

A

A

1

1

A

A

A

1

A

z

2

1

z

2

1

)

z

(

X

3 2 0 n n 0 n n 1 0 n n n





















































       



1 1 z 2 1 1 1 ) z ( X 2 1 z 1 z 2 1               1 n z 1 1 ) z ( X ) n ( u ) n ( x _       1 z 1 1 ) z ( X ) n ( u ) n ( x _    

SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI-Z



Linieritas

)

z

(

X

a

)

z

(

X

a

)

z

(

X

)

n

(

x

a

)

n

(

x

a

)

n

(

x

)

z

(

X

)

n

(

x

)

z

(

X

)

n

(

x

2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1















Contoh Soal 4

Tentukan transformasi Z dari sinyal _x(n) 



₃₍₂₎n  ₄₍₃₎n



_u(n)

Jawab:

1 1 2 1 n 2 n 1

z

3

1

4

z

2

1

3

)

z

(

X

4

)

z

(

X

3

)

z

(

X

)

n

(

u

)

3

(

)

n

(

x

)

n

(

u

)

2

(

)

n

(

x

 



_













Contoh Soal 5

Tentukan transformasi Z dari sinyal-sinyal di bawah ini :

) n ( u ) n sin( ) n ( x ). b ) n ( u ) n cos( ) n ( x ). a o o    

Jawab:

) n ( u e 2 1 ) n ( u e 2 1 ) n ( u ) n cos( ) n ( x ). a  _o  jon  jon 1 j 1 j z e 1 1 2 1 z e 1 1 2 1 ) z ( X o o       _   ) z e z e 1 ( ) 1 z e z e 1 ( 2 1 ) z e 1 )( z e 1 ( ) e 1 ( ) e 1 ( 2 1 ) z ( X _{j 1 j 2} 1 j 1 j 1 j 1 j j j o o o o o o o o                                   2 o 1 o 1 o z cos z 2 1 cos z 1 ) z ( X n cos ) n ( x _{ }          

) n ( u e j 2 1 ) n ( u e j 2 1 ) n ( u ) n sin( ) n ( x ). b  _o  jon  jon 1 j 1 j z e 1 1 j 2 1 z e 1 1 j 2 1 ) z ( X o o       _   ) z e z e 1 ( ) z e z e ( j 2 1 ) z e 1 )( z e 1 ( ) e 1 ( ) e 1 ( j 2 1 ) z ( X 2 j 1 j 1 j 1 j 1 j 1 j j j o o o o o o o o                                 2 o 1 o 1 o z cos z 2 1 sin z ) z ( X n sin ) n ( x _{ }         



Scaling in the Z-domain





















a

z

X

)

z

a

(

X

)

n

(

x

a

)

z

(

X

)

n

(

x

n ₁ 1 Contoh Soal 6

Tentukan transformasi Z dari sinyal-sinyal di bawah ini :

) sin( ) ( ). ) cos( ) ( ). x₁ n a n b x₂ n a n a  n _o  n _o Jawab: 2 2 o 1 o 1 1 z a cos az 2 1 cos az 1 ) z ( X _{ }        2 o 1 o 1 o z cos z 2 1 cos z 1 ) z ( X n cos ) n ( x _{ }           2 1 o 1 1 o 1 1 1 o n 1 ) z a ( cos ) z a ( 2 1 cos ) z a ( 1 ) z ( X n cos a ) n ( x _{   }            2 2 o 1 o 1 2 z a cos az 2 1 sin az ) z ( X _{ }      



Time Reversal

)

z

(

X

)

n

(

x

)

z

(

X

)

n

(

x







1 Contoh Soal 7

Tentukan transformasi Z dari sinyal x(n)  u(n)

Jawab: 1 z 1 1 ) z ( X ) n ( u ) n ( x _     z 1 1 ) z ( X ) n ( u ) n ( x      z 1 1 ) z ( 1 1 ) z ( X ) n ( u ) n ( x _{1 1}        _{ }



Diferensiasi dalam domain z

dz

)

z

(

dX

z

)

n

(

nx

)

z

(

X

)

n

(

x







Contoh Soal 8

Tentukan transformasi Z dari sinyal _x(n)  _nan_u(n)

Jawab: 1 1 n 1 az 1 1 ) z ( X ) n ( u a ) n ( x _     dz ) z ( dX z ) z ( X ) n ( u na ) n ( x  n    1



₁



2 2 1 1 az 1 az ) z ( az 1 1 dz d z dz ) z ( dX z ) z ( X                  



₁



2 1 n az 1 az ) n ( u na    



₁



2 1 z 1 z ) n ( nu    



Konvolusi antara dua sinyal

)

z

(

X

)

z

(

X

)

z

(

X

)

n

(

x

*

)

n

(

x

)

n

(

x

)

z

(

X

)

n

(

x

)

z

(

X

)

n

(

x

2 1 2 1 2 2 1 1











Contoh Soal 9

Tentukan konvolusi antara x₁(n) dan x₂(n) dengan :

Jawab:





        lainnya , 0 5 n 0 , 1 ) n ( x 1 , 2 , 1 ) n ( x_{1 2} 5 4 3 2 1 2 2 1 1(z) 1 2z z X (z) 1 z z z z z X                 ) z z z z z 1 )( z z 2 1 ( ) z ( X ) z ( X ) z ( X  _{1 2}   1  2  1  2  3  4  5 7 6 1 2 1(z)X (z) 1 z z z X ) z ( X        



1, 1,0,0,0,0, 1,1



) n ( x * ) n ( x ) n ( x  _{1 2}   

TRANSFORMASI Z RASIONAL



Pole dan Zero

Pole : harga-harga z = p_i yang menyebabkan X(z) =  Zero : harga-harga z = z_i yang menyebabkan X(z) = 0





                 _N 0 k k k M 0 k k k N N 1 1 o M M 1 1 o z a z b z a z a a z b z b b ) z ( D ) z ( N ) z ( X  



Fungsi Rasional

                                        o N 1 N o 1 N o M 1 M o 1 M N o M o o o a a z a a Z b b z b b z z a z b ) z ( D ) z ( N ) z ( X 0 b 0 a  



N(z) dan D(z) polinom

                                        o N 1 N o 1 N o M 1 M o 1 M N o M o o o a a z a a Z b b z b b z z a z b ) z ( D ) z ( N ) z ( X 0 b 0 a   ) ( ) )( ( ) ( ) )( ( ) ( ) ( ) ( 2 1 2 1 N M M N o o p z p z p z z z z z z z z a b z D z N z X           





  







_N 1 k k M 1 k k M N

)

p

z

(

)

z

z

(

z

G

)

z

(

X

Contoh Soal 10

Tentukan pole dan zero dari _{1 2}

1 z 5 , 0 z 5 , 1 1 z 5 , 1 2 ) z ( X _{ }     

Jawab:

) 5 , 0 z )( 1 z ( ) 75 , 0 z ( z 2 ) 5 , 0 z )( 1 z ( 75 , 0 z z 2 5 , 0 z 5 , 1 z 75 , 0 z z z 1 2 ) z ( X 1 2 2 2 1                75 , 0 z 0 z : Zero ₁  ₂  5 , 0 p 1 p : Pole ₁  ₂ 

Contoh Soal 11

Tentukan pole dan zero dari

2 1 1 z 5 , 0 z 1 z 1 ) z ( X _{ }     

Jawab:

5 , 0 z z ) 1 z ( z ) z ( X ₂     1 z 0 z : Zero ₁  ₂  5 , 0 j 5 , 0 p 5 , 0 j 5 , 0 p : Pole ₁   ₂   p₁  p₂* )] 5 , 0 j 5 , 0 ( z )][ 5 , 0 j 5 , 0 ( z [ ) 1 z ( z      



Fungsi Sistem dari Sistem LTI

)

z

(

X

)

z

(

Y

)

z

(

H

)

z

(

X

)

z

(

H

)

z

(

Y

)

n

(

x

*

)

n

(

h

)

n

(

y











)

z

(

H

)

n

(

h



Respon impuls

Fungsi sistem

Persamaan beda dari sistem LTI :

)

k

n

(

x

b

)

k

n

(

y

a

)

n

(

y

M 0 k k N 1 k k















  k M 0 k k k N 1 k k

Y

(

z

)

z

b

X

(

z

)

z

a

)

z

(

Y

   











k M 0 k k k N 1 k k

Y

(

z

)

z

b

X

(

z

)

z

a

)

z

(

Y

   











k M 0 k k k N 1 k k

z

]

X

(

z

)

b

z

a

1

)[

z

(

Y

   









)

z

(

H

z

a

1

z

b

)

z

(

X

)

z

(

Y

k N 1 k k k M 0 k k







   





)

z

(

H

z

a

1

z

b

)

z

(

X

)

z

(

Y

k N 1 k k k M 0 k k







   





Hal khusus I : a

_k

= 0, 1



k



N

k M M 0 k k M k M 0 k k

b

z

z

1

z

b

)

z

(

H

   









All-zero system

Hal khusus II : b

_k

= 0, 1



k



M

1

a

z

a

b

z

a

1

b

)

z

(

H

_o k N 0 k k o k N 1 k k o









   





_{All-pole system}

pole-zero system

Contoh Soal 12

Tentukan fungsi sistem dan respon impuls sistem LTI :

Jawab:

)

z

(

X

2

)

z

(

Y

z

2

1

)

z

(

Y



1



)

n

(

x

2

)

1

n

(

y

2

1

)

n

(

y







)

z

(

X

2

)

z

2

1

1

)(

z

(

Y



1



1 z 2 1 1 2 ) z ( H   

u

(

n

)

2

1

2

)

n

(

h

n















TRANSFORMASI -Z BALIK



Definisi transformasi balik



   



n n

z

)

n

(

x

)

z

(

X

X

(

z

)

z

dz

j

2

1

)

n

(

x



n1























  



C

luar

di

z

bila

,

0

C

dalam

di

z

bila

,

dz

)

z

(

f

d

)!

1

k

(

1

dz

)

z

z

(

)

z

(

f

j

2

1

o o z z 1 k 1 k C k o o

Ekspansi deret dalam z dan z

-1



   



n n n

z

c

)

z

(

X

Contoh Soal 13

Tentukan transformasi-z balik dari

 4 3 2 1 16 31 8 15 4 7 2 3 1 ) (z   z  z  z  z X

Jawab:

 4 3 2 1 16 31 8 15 4 7 2 3 1 ) (z   z  z  z  z X



   



n n

z

)

n

(

x

)

z

(

X

       , 16 31 , 8 15 , 4 7 , 2 3 , 1 ) n ( x



Ekspansi fraksi-parsial dan tabel transformasi-z

)

z

(

X

)

z

(

X

)

z

(

X

)

z

(

X





_{1 1}





_{2 2}









_{K K} Contoh Soal 14

Tentukan transformasi-z balik dari

Jawab:

)

n

(

x

)

n

(

x

)

n

(

x

)

n

(

x





_{1 1}





_{2 2}









_{K K} 2 1 z 5 , 0 z 5 , 1 1 1 ) z ( X _{ }    ) 5 , 0 z )( 1 z ( z 5 , 0 z 5 , 1 z z ) z ( X 2 2 2       ) 5 , 0 z ( A ) 1 z ( A 5 , 0 z 5 , 1 z z z ) z ( X _{1 2} 2       

) 5 , 0 z ( 1 ) 1 z ( 2 ) 5 , 0 z ( A ) 1 z ( A 5 , 0 z 5 , 1 z z z ) z ( X _{1 2} 2            ) z 5 , 0 1 ( 1 ) z 1 ( 2 ) z ( X _{1 1}     _x(n)  _[2  _(0,5)2_]u(n) ) 5 , 0 z )( 1 z ( ) 1 z ( A ) 5 , 0 z ( A ) 5 , 0 z ( A ) 1 z ( A 5 , 0 z 5 , 1 z z _{1 2 1 2} 2             5 , 0 z 5 , 1 z ) A A 5 , 0 ( z ) A A ( ) 5 , 0 z ( A ) 1 z ( A 5 , 0 z 5 , 1 z z 2 2 1 2 1 2 1 2             1 A 2 A 1 A 5 , 0 A 5 , 0 A₁  ₁  ₁   ₁   ₂   1 2 2 1 2 1 A 1 0,5A A 0 A 0,5A A       

Contoh Soal 15

Tentukan respon impuls dari suatu sistem LTI (Linear Time Invariant) yang dinyatakan oleh persamaan beda :

Jawab:

)

z

(

X

z

5

,

9

)

z

(

X

5

,

4

)

z

(

Y

z

2

)

z

(

Y

z

3

)

z

(

Y



1



2





1

)

z

5

,

9

5

,

4

)(

z

(

X

)

z

2

z

3

1

)(

z

(

Y



1



2





1 2 1 1

z

2

z

3

1

z

5

,

9

5

,

4

)

z

(

X

)

z

(

Y

)

z

(

H

_{ } 











)

1

n

(

x

5

,

9

)

n

(

x

5

,

4

)

2

n

(

y

)

1

n

(

y

3

)

n

(

y















2 1 1

z

2

z

3

1

z

5

,

9

5

,

4

)

z

(

H

_{ } 









2

z

3

z

5

,

9

z

5

,

4

z

)

z

(

H

2









2

z

5

,

0

1

z

5

2

z

A

1

z

A

z

)

z

(

H

_{1 2}

















1 1

z

)

2

(

1

5

,

0

z

)

1

(

1

5

)

z

(

H

_{ }













)

n

(

u

]

)

2

(

5

,

0

)

1

(

5

[

)

n

(

h





n





n

Contoh Soal 16

Tentukan output dari suatu sistem LTI (Linear Time Invariant) yang dinyatakan oleh persamaan beda :

Jawab:

)

z

(

X

z

5

,

9

)

z

(

X

5

,

4

)

z

(

Y

z

2

)

z

(

Y

z

3

)

z

(

Y



1



2





1

)

1

n

(

x

5

,

9

)

n

(

x

5

,

4

)

2

n

(

y

)

1

n

(

y

3

)

n

(

y















0

)

2

(

y

0

)

1

(

y









dan mendapat input x(n) = (-3)nu(n)

y

(

n

)



y

_zs

(

n

)

)

z

5

,

9

5

,

4

)(

z

(

X

)

z

2

z

3

1

)(

z

(

Y



1



2





1

1 1 n

z

3

1

1

z

)

3

(

1

1

)

z

(

X

)

n

(

u

)

3

(

)

n

(

x

_{ }

















)

z

(

X

)

z

5

,

9

5

,

4

(

)

z

2

z

3

1

)(

z

(

Y



1



2





1 1 1 2 1

z

3

1

1

)

z

5

,

9

5

,

4

(

)

z

2

z

3

1

)(

z

(

Y

   _











)

z

3

1

)(

z

2

z

3

1

(

)

z

5

,

9

5

,

4

(

)

z

(

Y

_{1 2 1} 1    











)

z

3

1

)(

z

2

z

3

1

(

z

)

z

5

,

9

5

,

4

(

z

z

)

z

(

Y

1 2 1 3 1 2    











)

3

z

)(

2

z

)(

1

z

(

)

z

5

,

9

z

5

,

4

(

)

3

z

)(

2

z

3

z

(

)

z

5

,

9

z

5

,

4

(

z

)

z

(

Y

2 2 2





















)

3

z

)(

2

z

)(

1

z

(

)

z

5

,

9

z

5

,

4

(

)

3

z

)(

2

z

3

z

(

)

z

5

,

9

z

5

,

4

(

z

)

z

(

Y

2 2 2





















)

3

z

(

A

)

2

z

(

A

)

1

z

(

A

)

3

z

)(

2

z

)(

1

z

(

)

z

5

,

9

z

5

,

4

(

2 _{1 2 3}





















)

3

z

)(

2

z

)(

1

z

(

)

2

z

3

z

(

A

)

3

z

4

z

(

A

)

6

z

5

z

(

A

z

)

z

(

Y

₁ 2 ₂ 2 ₃ 2

























0

A

2

A

3

A

6

5

,

9

A

3

A

4

A

5

5

,

4

A

A

A

3 2 1 3 2 1 3 2 1



















2

2

3

6

3

4

5

1

1

1

D





5 , 2 2 5 D 2 3 0 3 4 5 , 9 1 1 5 , 4 A₁      ₁ 2 2 D 2 0 6 3 5 , 9 5 1 5 , 4 1 A₂   

6

A

5

,

4

A

1

5

,

2





₃





₃





)

z

3

1

(

6

)

z

2

1

(

1

)

z

1

(

5

,

2

)

z

(

Y

)

3

z

(

6

)

2

z

(

1

)

1

z

(

5

,

2

z

)

z

(

Y

1 1 1   



_



_





















)

n

(

u

]

)

3

(

6

)

2

(

)

1

(

5

,

2

[

)

n

(

y

_zs







n





2





n



Pole-pole berbeda semua

N N k k 1 1

p

z

A

p

z

A

p

z

A

z

)

z

(

X





















N N k k 1 1 k k

p

z

A

)

p

z

(

A

p

z

A

)

p

z

(

z

)

z

(

X

)

p

z

(

























k p z k

A

z

)

z

(

X

)

p

z

(

k







Contoh Soal 17

Jawab:

Tentukan zero-state response dari suatu sistem LTI yang mendapat input x(n) = u(n) dan dinyatakan oleh persamaan beda :

)

2

n

(

x

8

)

1

n

(

x

28

)

n

(

x

5

)

2

n

(

y

8

)

1

n

(

y

6

)

n

(

y



















)

z

(

X

z

8

)

z

(

X

z

28

)

z

(

X

5

)

z

(

Y

z

8

)

z

(

Y

z

6

)

z

(

Y



1



2





1



2 1 2 1 2 1

z

1

1

z

8

z

6

1

)

z

8

z

28

5

(

)

z

(

Y

_{  }  













1

z

1

1

)

z

(

X

_





1

z

A

4

z

A

2

z

A

)

1

z

)(

8

z

6

z

(

)

8

z

28

z

5

(

z

)

z

(

Y

_{1 2 3} 2 2

























1 z A 4 z A 2 z A ) 1 z )( 4 z )( 2 z ( ) 8 z 28 z 5 ( z ) z ( Y 2 _{1 2 3}             14 6 84 ) 3 )( 2 ( 8 56 20 ) 1 z )( 4 z ( 8 z 28 z 5 z ) z ( Y ) 2 z ( A 2 z 2 1                  20 10 200 ) 5 )( 2 ( 8 112 80 ) 1 z )( 2 z ( 8 z 28 z 5 z ) z ( Y ) 4 z ( A 4 z 2 2                 1 15 15 ) 5 )( 3 ( 8 28 5 ) 4 z )( 2 z ( 8 z 28 z 5 z ) z ( Y ) 1 z ( A 1 z 2 3                1 z 1 4 z 20 2 z 14 z ) z ( Y         1 1 1 z 1 1 z 4 1 20 z 2 1 14 ) z ( Y _{  }        

)

n

(

u

]

1

)

4

(

20

)

2

(

14

[

)

n

(

y

_zs







n





n





Ada dua pole yang semua

N N k k 2 2 k k 1 1 1

p

z

A

p

z

A

)

p

z

(

A

p

z

A

z

)

z

(

X

























k p z 2 k k 1

z

)

z

(

X

)

p

z

(

A







k p z 2 k k 2

z

)

z

(

X

)

p

z

(

dz

d

A













 



Contoh Soal 18

Jawab:

Tentukan transformasi-Z balik dari :

2 1 1

)

z

1

)(

z

1

(

1

)

z

(

X

_{ }







)

1

z

(

A

)

1

z

(

A

1

z

A

)

1

z

)(

1

z

(

z

z

)

z

(

X

₃ 2 2 1 2 2



















4

1

)

1

z

(

z

z

)

z

(

X

)

1

z

(

A

1 z 2 2 1











 

4

3

)

1

z

(

z

2

z

)

1

z

(

)

z

)(

1

(

)

1

z

)(

z

2

(

)

1

z

(

z

dz

d

z

)

z

(

X

)

1

z

(

dz

d

A

1 z 2 2 2 2 2 2 3











































 





)

n

(

u

]

4

3

n

2

1

)

1

(

4

1

[

)

n

(

x





n





2

1

)

1

z

(

z

z

)

z

(

X

)

1

z

(

A

1 z 2 2 2















Pole kompleks

*

p

p

p

p

₁





₂



2 1 1 1 1 1 1

z

*

pp

z

*

p

pz

1

pz

*

A

*

A

z

*

Ap

A

z

*

p

1

*

A

pz

1

A

      

_

_

_















1 2 2 1 1 1

z

p

1

A

z

p

1

A

)

z

(

X

_{ }









*

A

A

A

A

₁





₂



2 2 1 1 1 1 o 2 1 1

z

a

z

a

1

z

b

b

z

*

pp

z

*)

p

p

(

1

z

)

p

*

A

*

Ap

(

*)

A

A

(

     





















)

A

Re(

2

*

A

A

b

)

A

Re(

2

)

A

Im(

j

)

A

Re(

)

A

Im(

j

)

A

Re(

*

A

A

o



















)

p

Re(

2

*)

p

p

(

a

)

p

Re(

2

)

p

Im(

j

)

p

Re(

)

p

Im(

j

)

p

Re(

*

p

p

1





















2 2 2 2 2

p

*

pp

a

p

)

p

(

Im

)

p

(

Re

)]

p

Im(

j

)

p

)][Re(

p

Im(

j

)

p

[Re(

*

pp



















)

p

Im(

)

A

Im(

2

)

p

Re(

)

A

Re(

2

)]

p

Im(

j

)

p

)][Re(

A

Im(

j

)

A

[Re(

)]

p

Im(

j

)

p

)][Re(

A

Im(

j

)

A

[Re(

p

*

A

*

Ap



















*) Ap Re( 2 ) p * A * Ap ( b ] p Im( ) A Re( ) A Im( ) p [Re( j )] p Im( ) A Im( ) p Re( ) A [Re( )] p Im( j ) p )][Re( A Im( j ) A [Re( * Ap 1            

Contoh Soal 19

Jawab:

Tentukan transformasi-Z balik dari :

2 1 1 z 5 , 0 z 1 z 1 ) z ( X _{ }      2 2 1 1 1 1 o 2 1 1 z a z a 1 z b b z 5 , 0 z 1 z 1 ) z ( X _{ }            

5

,

0

)

A

Re(

1

)

A

Re(

2

b

_o









5

,

0

)

p

Re(

1

)

p

Re(

2

a

₁













5

,

0

*)

Ap

Re(

1

*)

Ap

Re(

2

b

₁









5

,

0

)

p

(

Im

)

p

(

Re

5

,

0

p

a

₂



2





2



2



5

,

0

)

p

(

Im

25

,

0

)

p

(

Im

)

p

(

Re

2



2





2



5

,

0

)

A

Re(

5

,

0

)

p

Re(





5

,

0

j

5

,

0

p

5

,

0

)

p

Im(

25

,

0

)

p

(

Im

2













)

5

,

0

j

5

,

0

)](

A

Im(

j

5

,

0

[

*

Ap







25

,

0

j

5

,

0

A

25

,

0

)

A

Im(

5

,

0

)

A

Im(

5

,

0

25

,

0

*)

Ap

Re(















1 1 1 1

z

)

5

,

0

j

5

,

0

(

1

25

,

0

j

5

,

0

z

)

5

,

0

j

5

,

0

(

1

25

,

0

j

5

,

0

z

*

p

1

*

A

pz

1

A

)

z

(

X

   

























1 1

z

)

5

,

0

j

5

,

0

(

1

25

,

0

j

5

,

0

z

)

5

,

0

j

5

,

0

(

1

25

,

0

j

5

,

0

)

z

(

X

_{ }

















45 j 45 j

e

707

,

0

5

,

0

j

5

,

0

e

707

,

0

5

,

0

j

5

,

0











n

45

sin

)

707

,

0

(

5

,

0

n

45

cos

)

707

,

0

(

)

n

45

sin

j

n

45

)(cos

707

,

0

)(

25

,

0

(

j

)

n

45

sin

j

n

45

(cos

)

707

,

0

)(

5

,

0

(

)

n

45

sin

j

n

45

)(cos

707

,

0

)(

25

,

0

(

j

)

n

45

sin

j

n

45

(cos

)

707

,

0

)(

5

,

0

(

)

e

707

,

0

)(

25

,

0

j

5

,

0

(

)

e

707

,

0

)(

25

,

0

j

5

,

0

(

)

n

(

x

n n n n n n n 45 j n 45 j





























TRANSFORMASI-Z SATU SISI



Definisi :

Contoh Soal 20

Tentukan transformasi Z satu sisi dari beberapa sinyal diskrit di bawah ini



   

_

0 n n

z

)

n

(

x

)

z

(

X















2

,

5

,

7

,

0

,

1



)

n

(

x

).

d

1

,

0

,

7

,

5

,

2

,

1

,

0

)

n

(

x

).

c

1

,

0

,

7

,

5

,

2

,

1

)

n

(

x

).

b

1

,

0

,

7

,

5

,

2

,

1

)

n

(

x

).

a

4 3 2 1









Jawab:





5 3 2 1 1 1

z

z

7

z

5

z

2

1

)

z

(

X

1

,

0

,

7

,

5

,

2

,

1

)

n

(

x

).

a

    

_

_

_

_

_







3 1 2 2

z

z

7

5

)

z

(

X

1

,

0

,

7

,

5

,

2

,

1

)

n

(

x

).

b

  

_

_

_







7 4 3 2 1 3 3

z

z

7

z

5

z

2

z

)

z

(

X

1

,

0

,

7

,

5

,

2

,

1

,

0

)

n

(

x

).

c

     

_

_

_

_

_







3 1 4 4

z

z

7

5

)

z

(

X

1

,

0

,

7

,

5

,

2

)

n

(

x

).

d

  

_

_

_



Contoh Soal 21

Tentukan transformasi Z satu sisi dari beberapa sinyal impuls di bawah ini

0

k

),

k

n

(

)

n

(

x

).

c

0

k

),

k

n

(

)

n

(

x

).

b

)

n

(

)

n

(

x

).

a

7 6 5





















Jawab:

1

z

)

n

(

)

z

(

X

).

a

0 n n 5









    k 0 n n 6

(

z

)

(

n

k

)

z

z

X

).

b

    

_



_

_

_

0

z

)

k

n

(

)

z

(

X

).

c

0 n n 7











   



Time Delay

]

z

)

n

(

x

)

z

(

X

[

z

)

k

n

(

x

k 1 n n k



  

_

_





Contoh Soal 22

Tentukan transformasi Z satu sisi dari x₁(n) = x(n-2) dimana x(n) = an_{u(n )} 1 n

az

1

1

)

z

(

X

)

n

(

u

a

)

n

(

x

 _













2 1 1 1 2 2 2 2 1 n n 2 1

a

z

a

az

1

z

z

)

2

(

x

z

)

1

(

x

X

z

z

)

n

(

x

X

z

)

z

(

X

          































_

_





Jawab:



Time advance

]

z

)

n

(

x

)

z

(

X

[

z

)

k

n

(

x

1 k 0 n n k



   

_





Jawab:

1 n

az

1

1

)

z

(

X

)

n

(

u

a

)

n

(

x

 _













az

z

az

1

z

z

)

1

(

x

)

0

(

x

X

z

z

)

n

(

x

)

z

(

X

z

X

2 1 2 1 2 1 0 n n 2 2



























_



      



Contoh Soal 23

Tentukan transformasi Z satu sisi dari x₂(n) = x(n+2) dimana x(n) = an_{u(n )}

Contoh Soal 24

Tentukan output dari suatu sistem LTI (Linear Time Invariant) yang dinyatakan oleh persamaan beda :

Jawab:

0

]

z

)

2

(

y

z

)

1

(

y

)

z

(

Y

[

z

2

]

z

)

1

(

y

)

z

(

Y

[

z

3

)

z

(

Y

2 2 1



















    

)

1

n

(

x

5

,

9

)

n

(

x

5

,

4

)

2

n

(

y

)

1

n

(

y

3

)

n

(

y















5

,

7

)

2

(

y

5

,

8

)

1

(

y











dengan input x(n) = 0

y

(

n

)



y

_zi

(

n

)

2 1 1 2 1 1

z

2

z

3

1

5

,

10

z

17

z

2

z

3

1

)

5

,

7

(

2

z

)

5

,

8

(

2

)

5

,

8

(

3

)

z

(

Y

      

























)

2

(

y

2

z

)

1

(

y

2

)

1

(

y

3

]

z

2

z

3

1

)[

z

(

Y

0

]

z

)

2

(

y

z

)

1

(

y

)

z

(

Y

[

z

2

]

z

)

1

(

y

)

z

(

Y

[

z

3

)

z

(

Y

1 2 1 2 2 1





































        

)

2

z

)(

1

z

(

17

z

5

,

10

2

z

3

z

17

z

5

,

10

z

)

z

(

Y

2



















2

z

A

1

z

A

)

2

z

)(

1

z

(

17

z

5

,

10

2

z

3

z

17

z

5

,

10

z

)

z

(

Y

_{1 2} 2



























4

1

4

1

z

17

z

5

,

10

z

)

z

(

Y

)

2

z

(

A

5

,

6

1

5

,

6

2

z

17

z

5

,

10

z

)

z

(

Y

)

1

z

(

A

2 z 2 1 z 1

































      1 1

z

2

1

4

z

1

5

,

6

2

z

z

4

1

z

z

5

,

6

)

z

(

Y

 _{ }

















n n zi

(

n

)

6

,

5

(

1

)

4

(

2

)

y









Contoh Soal 25

Jawab:

Tentukan output dari suatu sistem LTI yang mendapat input x(n) = u(n) dan dinyatakan oleh persamaan beda :

3

)

2

(

y

4

)

1

(

y

)

2

n

(

x

8

)

1

n

(

x

28

)

n

(

x

5

)

2

n

(

y

8

)

1

n

(

y

6

)

n

(

y





























]

z

)

2

(

x

z

)

1

(

x

)

z

(

X

[

z

8

]

z

)

1

(

x

)

z

(

X

[

z

28

)

z

(

X

5

]

z

)

2

(

y

z

)

1

(

y

)

z

(

Y

[

z

8

]

z

)

1

(

y

)

z

(

Y

[

z

6

)

z

(

Y

2 2 1 2 2 1



































         

]

z

8

z

28

5

)[

z

(

X

24

z

32

24

]

z

8

z

6

1

)[

z

(

Y

2 1 1 2 1       

















]

z

8

z

28

5

)[

z

(

X

24

z

32

24

]

z

8

z

6

1

)[

z

(

Y

2 1 1 2 1       

































    _   1 2 1 1 2 1

z

1

z

8

z

28

5

z

32

]

z

8

z

6

1

)[

z

(

Y

)

z

1

)(

z

8

z

6

1

(

z

8

z

28

5

z

32

z

32

)

z

(

Y

_{1 2 1} 2 1 2 1        

















)

z

1

)(

z

8

z

6

1

(

z

24

z

4

5

)

z

(

Y

_{1 2 1} 2 1      













)

1

z

)(

8

z

6

z

(

24

z

4

z

5

z

)

z

(

Y

2 2















)

1

z

)(

4

z

)(

2

z

(

24

z

4

z

5

)

1

z

)(

8

z

6

z

(

24

z

4

z

5

z

)

z

(

Y

2 2 2



























4

z

A

2

z

A

1

z

A

)

1

z

)(

4

z

)(

2

z

(

24

z

4

z

5

2 _{1 2 3}























1

15

15

)

5

)(

3

(

24

4

5

)

4

z

)(

2

z

(

24

z

4

z

5

A

1 z 2 1



























2

6

12

)

3

)(

2

(

24

8

20

)

1

z

)(

4

z

(

24

z

4

z

5

A

2 z 2 2



























 

4

10

40

)

5

)(

2

(

24

16

80

)

1

z

)(

2

z

(

24

z

4

z

5

A

4 z 2 3

























 

4

z

4

2

z

2

1

z

1

z

Y















 1 1 1

z

4

1

4

z

2

1

2

z

1

1

Y

 _{  }















)

n

(

u

]

)

4

(

4

)

2

(

2

1

[

)

n

(

y









n





2

Latihan Soal:

Tentukan transformasi Z dari:

1. 𝑥 𝑛 = −1 𝑛𝑢 𝑛

2. 𝑥 𝑛 = 1

𝑛 𝑢 𝑛 − 1

Tentukan invers transformasi Z:

1. 𝑥 𝑧 = 1

(1−0,4𝑧−1)2 𝑧 > 0.4

2. 𝑥 𝑧 = 𝑧5−3