OBJECTIVES PENGANTAR-1

(1)

MINIMALISASI BIAYA

MENGGUNAKAN

GOLDEN SECTION

AND HOOK JEEVES METHODS

OBJECTIVES



Understand why and where optimization occurs

in engineering problem solving.



Understand the major elements of the general

optimization problem: (1) objective function, (2)

decision variables, and (3) constraints.



Be able to distinguish between linear and

nonlinear optimization, and between constrained

and unconstrained problems

PUSTAKA

 James B. Riggs, 1988, “An Introduction to Numerical

Methods for Chemical Engineers”, Texas: Texas Tech

University Press, Chapter 6

􀂄 Steven C. Chapra & Raymond P. Canale,

2003,“Numerical Methods for Engineers: With Software

and Programming Applications”, 4

th

edition, New York:

McGraw-Hill Company Inc,

Part Four

􀂄 etc.

Cost components

$ / year Pipe diamater (in)

1 1,25 1,5 2,5 Operating Costs 4697 660 312 164 56 Pipe capital costs 168 308 389 474 660 Pump capital

costs

401 192 150 150 150

Total 5266 1160 852 788 866

INTRODUCTORY EXAMPLE

Persoalan pemilihan diameter pipa untuk mengangkut fluida dari satu

proses ke proses yang lain.

Diameter pipa optimum, berdasarkan:

Biaya investasi, dan biaya operasi

Diameter pipa mana yang akan Anda pilih? 2

PENGANTAR-1



Definisi optimasi



Jenis optimasi: 1- maksimasi; 2- minimasi



Dua hal penting dalam studi optimasi:

1- fungsi objektif dan decision variables;

2- kendala (constraints)



Contoh-contoh persoalan optimasi dalam bidang

Engineering



Contoh-contoh constraints yang menyertai

persoalan optimasi

Definisi dan Jenis Optimasi

Optimasi merupakan suatu proses untuk mencari

kondisi yang optimum, dalam arti paling

menguntungkan.

Optimasi bisa berupa maksimasi atau minimasi.

Jika berkaitan dengan masalah keuntungan, maka

keadaan optimum adalah keadaan yang memberikan

keuntungan maksimum (maksimasi).

Jika berkaitan dengan masalah

pengeluaran/pengorbanan, maka keadaan optimum

adalah keadaan yang memberikan

pengeluaran/pengorbanan minimum (minimasi).

Fungsi Objektif

Secara umum,

fungsi yang akan dimaksimumkan

atau diminimumkan

disebut fungsi objektif

(objective function), sedangkan

harga-harga yang

berpengaruh dan bisa dipilih

disebut variabel

(perubah) atau decision variable.

Secara analitik, nilai maksimum atau minimum dari

suatu persamaan: y = f(x)

dapat diperoleh pada harga x yang memenuhi:

y’ = f’(x) = 0

Untuk fungsi yang sulit untuk diturunkan atau

mempunyai turunan yang sulit dicari akarnya,

proses optimasi dapat dilakukan secara numerik.

Contoh Persoalan Optimasi dalam Bidang Engineering



Design pump and heat transfer equipment for maximum

efficiency



Design waste water treatment system to meet water-quality

standards of least cost



Optimal planning and scheduling



Optimal pipeline network



Inventory control



Maintenance planning to minimize cost



etc.

Ilustrasi maksimasi (secara grafik):

Beberapa istilah: Maksimum lokal Maksimum global A unimodal function One hump or one valley

PENGANTAR-2

Catatan: Analog,

(2)

Maksimum dan minimum lokal dan global:

PENGANTAR-3

Perbedaan antara persoalan optimasi dengan pencarian/ penentuan akar persamaan:

PENGANTAR-4

Ilustrasi grafik optimasi dua variabel:

PENGANTAR-5

Tinjaulah sebuah fungsi dengan satu

variabel sbb.:

y = f(x)

Ingin dicari harga x yang memberikan harga y

maksimum (maksimasi) atau minimum

(minimasi). Dalam hal ini, x yang diperoleh

merupakan nilai x optimum fungsi.

Beberapa metode yang akan dibahas

􀂄 Metode golden section

􀂄 Metode Newton

􀂄 Metode interpolasi kuadrat

􀂄 dsb.

METODE GOLDEN SECTION

Golden section merupakan salah satu cara atau

metode optimasi numerik yang bisa dipakai untuk

fungsi yang bersifat unimodal. Kedua tipe

optimasi, yaitu maksimasi dan minimasi dapat

diselesaikan dengan cara ini.

Golden-section (search) method merupakan

metode optimasi satu variabel yang sederhana,

dan mempunyai pendekatan yang mirip dengan

metode bisection dalam penentuan akar

persamaan tak linier.

METODE

GOLDEN

SECTION

Tinjaulah fungsi f(x) yang

akan ditentukan maksimumnya,

pada rentang x = xl dan x = xu

(perhatikan gambar di samping).

, ide dasar metode ini adalah

memanfaatkan nilai yang lama

sebagai nilai yang baru.

Secara matematik:

METODE

GOLDEN SECTION

1 2 2 1 1 2 1 0

,

:

l

maka

l







1 2

l

R



R

atau

l

atau

l

1

1 :

1

2 1 1 2 2 1 1 2 1



_

_

_

_

_

Karena:

Ambil kebalikannya dan kemudian definisikan:

0

1 :

_R

2

_

_R

_

_

Sehingga

... 61803 , 0 2 1 5 :    R positifnya akar Nilai

(R biasa disebut sebagai Golden ration atau golden number)

ALGORITMA

(kasus maksimasi):

1. Mulai dari 2 nilai tebakan awal xl dan xu, yang mengapit titik maksimum. 2. Tentukan nilai x1 dan x2 di dalam rentang xl dan xu, sesuai dengan golden ratio (R)





d

x

d

x

X

d

u l u













2 1 1

2

1

5

ALGORITMA (kasus maksimasi):

3. Berdasarkan harga f(x) pada 2 titik tersebut (x1 dan x2), diharapkan ada sebagian interval yang dapat dieliminasi, sehingga salah satu titik lama bisa dipakai lagi pada evaluasi langkah berikutnya. Jadi hanya diperlukan 1 titik baru.

Ada 2 kasus:

(a) Jika: f(x1) > f(x2) Maka: domain x antara xl dan x2 dieliminasi x2 lama = xl baru

x1 lama = x2 baru xu lama = xu baru

x1 baru ditentukan (b) Jika: f(x2) > f(x1) Maka: domain x antara x1 dan xu dieliminasi x1 lama = xu baru

x2 lama = x1 baru xl lama = xl baru

(3)

METODE GOLDEN SECTION

Algoritma untuk kasus minimasi kebalikan dari algoritma untuk kasus maksimasi tersebut di atas.

Efektivitas evaluasi dengan metode golden section:

Misal diinginkan pengecilan interval sampai menjadi 0,001 dari semula, maka jumlah step yang diperlukan (N) adalah: (0,618)N = 0,001

N = 14,3 ≈ 15

Jumlah evaluasi = 2 + (N – 1) x 1 = 16

Silakan Pelajari Contoh Soal

EXAMPLE : DETERMINING MINIMATION FUNCTION

Y = 2X2 – 8X + 12 KNOWN

XA = LOWER LIMIT (BATAS BAWAH) = 0 XB = UPPER LIMIT (BATAS ATAS) = 4 TOL = 0.001 (SAMPLE) X=XA = 0 YA = (2*02) - (8*0) + 12 = 12 X=XB=4 YB = (2*42 )– (8*4) +12 =12 618 0 2 1 5 .    L  XP=XA + (1 – L) * (XB – XA)  = 0 + ( 1 – 0.618) * (4 – 0) =1,53  YP = (2 * 1,5322) – (8*1,53) +12 = 4,44  XQ=XA + L*(XB – XA)  = 0 + 0.618*(4 – 0) = 2,472  YQ= (2*2,4722) – (8*2,472) + 12 = 4,45  XPNEW=1,53 + (1 – L)*(2,472 – 1,53) = 1,8898  YPNEW=( 2*1,88982) – (8*1,8898) + 12 = 4,02  XQNEW=1,53 + 0,618*(2,472 – 1,53) = 1,915  YPNEW = (2*1,9152) – (8*1,915) +12 = 4,01  DST……

METODE NEWTON

Metode ini menggunakan pendekatan yang sama dengan metode Newton dalam penentuan akar persamaan tak linier, melalui pendefinisian fungsi: g(x) = f’(x) Karena pada kondisi optimum: f '(x*) = g (x*) = 0 (x* menyatakan nilai x optimum)

maka, nilai x* dapat diperoleh secara iteratif sebagai berikut:

)

(

"

)

(

'

1

xi

f

xi

f

x

i



i



Silakan Pelajari Contoh Soal Berikut

METODE INTERPOLASI KUADRAT

Metode ini dapat digunakan untuk melakukan optimasi secara numerik. Hal ini disebabkan oleh penggunaan polinomial orde-dua yang menghasilkan pendekatan cukup baik terhadap bentuk f(x) di dekat titik optimumnya. (Perhatikan gambar di samping…)

METODE INTERPOLASI KUADRAT

Jika mula-mula kita mempunyai tiga buah titik tebakan awal (yakni x0, x1, dan x2) yang mengapit titik optimumnya, maka sebuah parabola dapat di-fit-kan melalui ketiganya.

Diferensiasikan persamaan yang diperoleh, set hasilnya menjadi sama dengan nol, dan perkiraan x optimum dapat ditentukan (dalam hal ini sebagai x3) sbb.:

Penentuan x3 dilakukan secara iteratif, melalui strategi yang sama dengan metode golden section, hingga diperoleh penyelesaian yang konvergen.

) )( ( 2 ) )( ( 2 ) )( ( 2 ) )( ( ) )( ( ) )( ( 1 0 2 0 2 1 2 1 0 2 1 2 0 2 2 0 2 2 1 2 2 2 1 0 3 _f_x _x _x _f_x _x _x _f_x _x _x x x x f x x x f x x x f x           

OPTIMASI BANYAK VARIABEL

Misal diketahui sebuah fungsi dengan banyak variabel sbb:

y = f(x1, x2, x3, ….., xn)

Ingin dicari harga x1, x2, x3, ….., xn yang memberikan harga y maksimum (maksimasi) atau minimum (minimasi).

Pengelompokan metodenya secara garis besar: (1) non gradient methods, dan (2) gradient methods

Beberapa metode yang akan dibahas: 􀂄 Metode Hooke-Jeeves 􀂄 Metode langsung/ random search

􀂄 Metode steepest ascent (ascending)/ descent (descending)

METODE HOOKE-JEEVES

Prinsip metode Hooke-Jeeves:

(1) Eksplorasi nilai Δxi (2) Mengulangi langkah sukses

Optimasi dengan cara Hooke-Jeeves ditunjukkan dalam contoh berikut. Misal ingin dilakukan minimasi dari suatu fungsi:

y = (x1 – 4)2 + 0,5.(x2 – 9)2 + 3

Sebagai cek, dengan mudah dapat terlihat bahwa minimum terjadi pada x1 = 4, x2 = 9, dan harga ymin =3.

Dipakai cara Hooke-Jeeves dengan titik awal x1 = 1, x2 = 16, serta interval awal Δx1 = 1 dan Δx2 = 2.

Gagal 3,5 8 4 Gagal 7,5 12 4 Gagal 4,5 10 3 Gagal 4,5 10 5 Eksplorasi dengan Δ x1 = 1, Δ x2 =2 Gagal 4,5 8 5 Sukses 3,5 10 4 Sukses 8,5 12 3

Mengulangi langkah sukses

Sukses 19,5 14 2 Gagal 47,5 18 2 Sukses 31,5 16 2 Eksplorasi dengan Δ x1 = 1, Δ x2 =2 Basis 36,5 16 1 Komentar Y X2 X1 Hooke Jeeves -2

Hasil

Perhitungan

(4)

Hooke Jeeves -3

Hasil

Perhitungan

Gagal 3,02 8,8 4 Gagal 3,18 9,6 4 Gagal 3,06 9,2 3,8 Gagal 3,06 9,2 4,2 Eksplorasi dengan Δx1 = 0,2 ; x2 =0,4 Gagal 3,02 8,8 4 Sukses 3,02 9,2 4

Mengulangi langkah sukses Sukses 3,18 9,6 4 Gagal 4,96 10,4 4 Gagal 3,54 10 3,8 Gagal 3,54 10 4,2 Eksplorasi dengan Δ x1 = 0,2, x2 =0,4 Komentar Y X2 X1 Gagal 3,0008 8,96 4,00 Sukses 3,0008 9,04 4,00

Mengulangi langkah sukses Sukses 3,007 9,12 4,00 Gagal 3,039 9,28 4,00 Gagal 3,021 9,2 3,96 Gagal 3,021 9,2 4,04 Eksplorasi dengan Δ x1 = 0,04, Δ x2 =0,08 Komentar Y X2 X1

Hooke Jeeves -4

METODE LANGSUNG (RANDOM SEARCH)

Sesuai dengan namanya, metode ini secara berulang-ulang mengevaluasi nilai fungsi pada nilai-nilai variabel bebas tertentu (selected values) secara acak. Jika banyaknya sampel yang dicoba mencukupi, maka kondisi optimumnya akan teramati.

tidak efisien…!

Metode ini dapat diterapkan untuk fungsi yang discontinuous dan non-differentiable sekalipun.

Pendekatan ini pada umumnya akan menghasilkan titik

optimum global (bukan optimum lokal) Silahkan Pelajari Contoh

METODE STEEPEST ASCENT/DESCENT

􀂄 Merupakan jenis metode gradien yang paling sederhana. 􀂄 Terminologi:

steepest ascent 􀂄 untuk pencarian maksimum fungsi steepest descent 􀂄 untuk pencarian minimum fungsi

􀂄 Prinsip pencarian optimum:

Dilakukan serangkaian proses transformasi untuk mengubah sebuah fungsi dengan banyak variabel (multidimensional function) menjadi sebuah fungsi dengan variabel tunggal (one-dimensional function), berdasarkan gradien arah pencarian. Langkah pencarian optimum ini selanjutnya dilakukan secara berulang-ulang (iteratif).

PENCARIAN TITIK OPTIMUM

Sebagai ilustrasi, f(x,y) tinjaulah fungsi 2 variabel f(x,y) yang akan ditentukan titik maksimumnya. (lihat gambar di samping) Berdasarkan nilai awal x = x0 & y = y0, dapat ditentukan

nilai gradien (atau arah steepest ascent)-nya, yakni

sebesar h0.

Berdasarkan h0, nilai maksimum fungsi dapat ditentukan, yakni pada titik “1”. Demikian seterusnya, proses ini dilakukan berulang-ulang hingga diperoleh titik optimum sesungguhnya.

Secara Numerik:

Misal, untuk sebuah fungsi 2 variabel: f(x,y) yang akan dicari titik optimumnya, dengan nilai awal:

x = x0 dan y = y0

Pada langkah iterasi pertama, nilai x dan y yang baru dapat ditentukan dengan:

h y f y y and h x f x x 0 0 0 0 y , x 0 y , x 0        

merupakan turunan parsial fungsi f(x,y) terhadap x dan y

Dalam hal ini, vektor gradien fungsinya dinyatakan sbg:

Pada kasus ini, sebuah fungsi 2 variabel dalam x dan y, f(x,y), ditransformasikan menjadi sebuah fungsi satu variabel dalam h, g(h).

Nilai x dan y yang diperoleh pada langkah iterasi ini selanjutnya menjadi x0 dan y0 pada langkah iterasi berikutnya. Demikian seterusnya. y f and x f    

j

y

f

i

x

f













Silahkan Pelajari Contoh

Contoh Aplikasi:

LOKASI OPTIMUM PENGOLAH LIMBAH TERPADU

Sejumlah N pabrik dengan posisi koordinat masing-masing (xi,yi) menghasilkan limbah masing-masing sejumlah Qi. Akan dibangun suatu unit pengolah limbah terpadu untuk seluruh pabrik tersebut. Ongkos pengangkutan limbah dari pabrik ke unit pengolah limbah berbanding lurus dengan debit pangkat 0,6. Ingin ditentukan posisi (koordinat) unit pengolah limbah agar ongkos pengangkutan limbah minimum.

Analisis:

Misal: Lokasi pengolah limbah berada di titik P (xP, yP) Jarak pabrik (xi,yi) ke lokasi pengolah limbah:

Ongkos transport dari pabrik (xi, yi): 6 , 0

)

)(

(

arg

a

k

jarak

debit

H



2 2 ₍ ₎ ) (p i p i i x x y y d    2 2 6 , 0₍ ₎ ₍ ₎ .i p i p i i kQ x x y y C   

Ongkos transport total:

Dicari nilai xP dan yP yang memberikan nilai CT minimum. Misal:

(5)

OPTIMASI FUNGSI 2 VARIABEL SECARA ANALITIK (sebuah perbandingan) 􀂄 Tinjaulah sebuah fungsi 2 variabel: f(x,y) 􀂄 Kriteria optimumnya dapat dibagi menjadi 3 kategori: f(x,y) mempunyai minimum lokal:

jika det(H) > 0 dan f(x,y) mempunyai maksimum lokal: jika det(H) > 0 dan f(x,y) mempunyai titik belok (saddle point):

jika det(H) < 0 det(H) merupakan nilai determinan matriks Hessian yang dinyatakan sebagai