KARAKTERISASI IDEAL MAKSIMAL FUZZY NEAR-RING
Saman AbdurrahmanProgram Studi Matematika FMIPA Unlam
Jl. A. Yani KM 36 Banjarbaru Kalimantan Selatan, samunlam@gmail.com
ABSTRAK
Dalam tulisan ini dibahas konsep ideal maksimal fuzzy near-ring, yang meliputi hubungan antara ideal maksimal fuzzy near-ring dan ideal prima fuzzy near-ring.
Kata kunci: Near-ring fuzzy, ideal maksimal fuzzy, ideal prima fuzzy.
ABSTRACT
In the paper discuss concept fuzzy maximal ideal of near-ring, which includes the relationship between fuzzy maximal ideal of ring and fuzzy prime fuzzy ideal of near-ring.
Keywords: Fuzzy near-ring, fuzzy maximum ideal, fuzzy prime ideal
PENDAHULUAN
Near-ring yang dikontruksi oleh Pilz (1983), Clay (1992) dan Kandasamy (2002), merupakan salah satu perluasan dari ring, dimana beberapa aksioma yang ada pada ring tidak harus diberlakukan pada near-ring. Operasi pertama pada near-ring sebarang tidak harus abelian, terhadap operasi kedua membentuk semigrup, dan terhadap operasi pertama dan kedua, cukup dipenuhi salah satu sifat distributif kiri atau kanan.
Seiring dengan perkembangan zaman, penelitian pada near-ring tidak hanya berkisar pada strukturnya tetapi mulai memadukan dengan teori lain, diantaranya dengan himpunan fuzzy yang
diperkenalkan oleh Zadeh pada tahun 1965.
Abou-Zaid (1991) melakukan fuzzyfikasi pada struktur near-ring, sehingga melahirkan definisi near-ring fuzzy, subnear-ring fuzzy, ideal fuzzy ring, dan ideal prima fuzzy near-ring. Jun dan Ozturk (2001) melakukan penelitian pada ideal maksimal fuzzy gamma near-ring, Young dan Hee (2002) melakukan penelitian pada ideal prima fuzzy near-ring, dan Satyanarayana dan Kuncham (2005) melakukan penelitian pada ideal prima fuzzy gamma near-ring. Mengingat penelitian sebelumnya sudah membicarakan ideal prima fuzzy dan ideal maksimal fuzzy pada near-ring,
dari ideal maksimal fuzzy, yang meliputi hubungan dengan ideal prima fuzzy pada near-ring.
Metode Penelitian
Penelitian ini dilakukan berdasarkan studi literatur berupa buku-buku dan jurnal-jurnal ilmiah, khususnya yang berkaitan dengan ring, near-ring fuzzy, ideal fuzzy near-near-ring, ideal malsimal fuzzy near-ring dan ideal prima fuzzy near-ring.
Pada tahap awal dipelajari konsep-konsep dasar tentang near-ring, subnear-ring, ideal near-ring, ideal maksimal near-ring dan ideal prima near-ring. Konsep-konsep dasar ini yang nantinya akan banyak membantu untuk memahami konstruksi near-ring fuzzy, subnear-ring fuzzy, ideal near-ring fuzzy, ideal maksimal fuzzy near-ring dan ideal prima fuzzy near-ring.
Setelah memahami konstruksi near-ring fuzzy, subnear-ring fuzzy, ideal near-ring fuzzy, ideal maksimal fuzzy ring dan ideal prima fuzzy near-ring, dibuktikan beberapa lemma dan teorema yang terkait sehingga diperoleh “hubungan antara ideal di himpunan klasik dan himpunan fuzzynya”.
Selanjutnya ditentukan asumsi-asumsi sehingga terbentuk sifat baru, yang mendukung pada pembahasan
hubungan antara ideal maksimal fuzzy near-ring dan ideal prima fuzzy near-ring
Langkah terakhir, dengan menggunakan lemma-lemma dan teorema-teorema yang saling terkait, maka diperoleh hubungan antara ideal maksimal fuzzy near-ring dan ideal prima fuzzy near-ring, yang hasilnya dituangkan dalam bentuk teorema.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Definisi 1. (Pilz 1983) Himpunan tidak
kosong dengan dua operasi biner + dan disebut near ring, jika memenuhi:
1. ( , +) adalah grup (tidak harus grup abelian),
2. ( , .) adalah semigrup,
3. untuk setiap x,y,z berlaku salah satu sifat distributif kanan atau kiri (i). distributif kanan :
(ii). distributif kiri :
Selanjutnya yang dimaksud near-ring adalah near-near-ring kiri, kecuali ada keterangan lebih lanjut, dan xy dapat juga ditulis xy.
Definisi 2. (Clay 1992) Diberikan
near-ring . Subgrup H dari disebut subnear-ring dari (ditulis dengan H ), jika memenuhi HH H.
Pada near-ring, grupnya tidak harus abelian terhadap operasi +, maka dalam mendefinisikan ideal di near-ring subgrupnya harus merupakan subrup normal.
Definisi 3. (Satyanarayana 2013)
Diberikan ( , +, .) adalah near-ring. Subgrup normal dari disebut ideal dari , jika
1. RI I
2. (r + i)s – rsI untuk setiap r,sR dan iI.
Subgrup normal I dari , memenuhi kondisi (1) disebut ideal kiri dari , dan memenuhi kondisi (2) disebut ideal kanan dari .
Definisi 4. (Mordeson, 2005) Diberikan
X adalah himpunan tidak kosong. Suatu pemetaan disebut subset fuzzy di X jika . Selanjutnya himpunan semua subset fuzzy di X dinotasikan dengan (X).
Definisi 5. (Mordeson, 2005) Jika
, (X), maka untuk setiap xX: 1. jika dan hanya jika (x) (x), 2. jika dan hanya jika (x) (x),
Definisi 6. (Mordeson, 2005) Diberikan
(X) dan t[0,1]. Level subset dari dinotasikan dengan t yang didefinisikan
dengan,
t {xR | (x) t}.
Lemma 7. (Mordeson, 2005) Jika
, (X), maka
1. maka a a untuk setiap
a[0,1]
2. a b maka b a untuk setiap
a,b[0,1]
3. jika dan hanya jika a a
untuk setiap a[0,1]
Definisi 8. (Abou-Zaid, 1991) Diberikan
near-ring dan . Subset fuzzy disebut subnear-ring fuzzy di jika untuk setiap berlaku:
1. min{ , }, dan 2. min{ , }.
Selanjutnya, disebut ideal fuzzy di jika adalah subnear-ring fuzzy di dan untuk setiap berlaku:
3. ,
4. , dan
5. .
Suatu disebut ideal kiri fuzzy di jika memenuhi kondisi (1), (2), (3) dan (4), sedangkan disebut ideal kanan fuzzy di jika memenuhi kondisi (1), (2), (3) dan (5).
Definisi 9. (Williams. P, 2008)
Diberikan ideal fuzzy di near-ring . Ideal fuzzy disebut normal, jika ada sedemikian hingga 1. Selanjutnya himpunan semua ideal
normal fuzzy dari dinotasikan dengan
N( ).
Lemma 10. (Abdurrahman, 2012)
Diberikan near-ring . Jika adalah subnear-ring fuzzy di , maka , dan untuk setiap
.
Teorema 11. Diberikan near-ring . Jika adalah ideal fuzzy di , maka | adalah ideal di .
Teorema 12. Diberikan dan adalah
ideal fuzzy di near-ring . Jika dan
, maka .
Teorema 13. Diberikan near-ring . Jika , N( ) dan , maka . Lemma 14. Diberikan near-ring . Jika
A ideal di , maka A ideal normal fuzzy
di dan A.
Bukti:
Misalkan A ideal di dan A fungsi
karakteristik dari A. Mengingat A adalah ideal di , maka A sehingga A 1 dan menurut [Abdurrahman
2012, Teorema 4.1.9], A adalah ideal
fuzzy di yang mengakibatkan A ideal
normal fuzzy di . Selanjutnya,
{ R | A A }
{ | A 1}
{ R | A } A. ■
Setelah diberikan beberapa sifat dari ideal normal fuzzy di near-ring , berikut diberikan sifat dari fungsi karakteristik dari suatu ideal di .
Lemma 15. Diberikan near-ring . Jika
A dan B ideal di , maka A B jika dan hanya jika A B.
Bukti:
( ) Misalkan A dan B adalah fungsi
karakteristik dari ideal A dan B di dengan A B. Akan dibuktikan A B,
yaitu A B untuk setiap R.
Untuk membuktikan A B, akan dilihat
dari tiga kondisi berikut:
1. jika A, maka B sehingga A B 1,
2. jika A dan B, maka A 0 1 B , dan
3. jika , maka A B 0
Berdasarkan (1), (2), dan (3) maka A B untuk setiap .
( ) Misalkan A dan B adalah ideal di dan A B. Akan dibuktikan A B.
Diambil sebarang A, maka A 1.
Mengingat A B dan B [0,1], maka
1 A B untuk setiap ,
sehingga B 1 yang mengakibatkan
B, dengan kata lain A B. ■
Lemma 16. Diberikan near-ring . Jika
yang didefinisikan dengan, + 1 untuk setiap , maka ideal normal fuzzy di dan .
Bukti:
Misalkan ideal fuzzy di dan dimana + 1 untuk setiap . Mengingat ideal fuzzy di dan definisi , maka untuk setiap , berlaku:
1) + 1 min{ , } + 1 min{ + 1 , + 1 } min{ , }. 2) + 1 min{ , } + 1 min{ + 1 , + 1 } min{ , }. 2) + 1 + 1 . 3) + 1 + 1 . 4) + 1 + 1 . 5) + 1 1. 6) , [0,1] dan 1, maka ≤ 1, untuk setiap . Mengingat 1 dan (x) + 1 , maka (x) yang mengakibatkan . Jadi, adalah ideal normal fuzzy di dan . ■
Lemma 17. Diberikan ideal fuzzy di
near-ring . Jika 0 untuk suatu , maka 0.
Lemma 18. Ideal fuzzy di near-ring
adalah normal jika dan hanya jika .
Akibat 19. Jika adalah ideal fuzzy di
, maka ( ) .
Akibat 20. Jika ideal normal fuzzy di
near-ring , maka ( ) .
Definisi 21. (Williams. P, 2008)
Diberikan near-ring . Ideal fuzzy di disebut maksimal, jika memenuhi kondisi:
(1) tidak konstan,
(2) adalah elemen maksimal di ( N( ), ).
Contoh 22. Diberikan adalah near-ring, dengan operasi pergandaan pada didefinisikan, untuk setiap . Jika 2 adalah ideal maksimal di dan ( ) yang didefinisikan dengan,
(x)
untuk setiap z , maka ideal maksimal fuzzy di
Setelah diberikan definisi ideal maksimal fuzzy di near-ring , berikut diberikan sifat dari elemen maksimal di
N( ).
Lemma 23. Jika N( ) dengan
elemen maksimal yang tidak konstan di ( N( ), ), maka nilai keanggotaan dari
adalah 0 dan 1.
Bukti:
Misalkan N( ) dengan elemen
maksimal yang tidak konstan di ( N( ),
). Akan dibuktikan nilai keanggotaan dari adalah 0 dan 1.
Mengingat N( ), maka .
Misalkan untuk suatu . Klaim 0.
Andaikan , maka 0 1. Didefinisikan subset fuzzy , dengan (x) untuk setiap
. Akan ditunjukkan well-defined. Misalkan dengan .
Mengingat adalah pemetaan, maka sehingga
+ +
Jadi , dengan kata lain well-defined.
Selanjutnya, akan dibuktikan adalah ideal fuzzy di .
Diambil sebarang , maka
a) min{ } min{(x), (y)}, b) min{ } min{(x), (y)}, c) , d) , e) .
Jadi, adalah ideal fuzzy di . Akibatnya menurut Lemma 16, N( ) sehingga 1.
Berdasarkan analisa di atas, maka + 1 untuk setiap + 1 + 1 dan 1 . Akibatnya .
Jadi, tidak konstan dan .
Mengingat , maka bukan elemen maksimal di ( N( ), ). Ini kontradiksi
), sehingga pengandaian salah, seharusnya untuk suatu . Jadi, nilai keanggotaan dari adalah 0 dan 1. ■
Selanjutnya diberikan beberapa sifat dari ideal maksimal fuzzy di near-ring , yang berhubungan dengan fungsi karakteristik dan .
Teorema 24. Jika adalah ideal
maksimal fuzzy di near-ring , maka (1) nilai kenggotaan adalah 0 dan 1, (2) adalah normal,
(3) R ,
(4) adalah maksimal di .
Bukti:
(1) Mengingat adalah ideal maksimal fuzzy di maka menurut Definisi 111, tidak konstan. Karena tidak konstan dan + 1 untuk setiap , maka tidak konstan, sehingga menurut Definisi 111 dan Lemma 113, adalah elemen maksimal tidak konstan di ( N( ), ) dan nilai keanggotaan dari
adalah 0 dan 1.
(2) Dari (1), diambil (a) 0 untuk suatu a , sehingga menurut Lemma 17, (a) 0. Di lain pihak,
0 (a) (a) + 1 0 + 1 1 1. Jadi, adalah normal.
(3) Misalkan R adalah fungsi
karakteristik dari . Dari (2) diperoleh, adalah normal, maka menurut Lemma 18 dan Definisi 21, dan elemen maksimal di ( N( ), ), sehingga menurut (1)
nilai keanggotaan dari adalah 0 dan 1. Di lain pihak,
{x | } {x | 1}. Berdasarkan analisa di atas, maka
(x)
Jadi, adalah fungsi karakteristik dari yang mengakibatkan R .
(4) Menurut Teorema 11, adalah ideal di . Misalkan A adalah ideal fuzzy di dan A adalah fungsi karakteristik
dari A sedemikian hingga A. Akibatnya menurut Lemma 14, (3) dan Lemma 15, maka A N( ) dan
R A, R dan R A.
Mengingat ,A N( ), R A
dan adalah elemen maksimal di ( N( ), ), maka A atau A
, dimana , (x) 1 untuk setiap . Selanjutnya, jika A, maka yang
mengakibatkan A atau jika A , maka yang
mengakibatkan A , sehingg adalah ideal maksimal dari . ■ Berikutnya diberikan sifat dari ideal maksimal di near-ring , yang berhubungan dengan ideal maksimal fuzzy dari .
Teorema 25. Diberikan M ideal dari
near-ring dan ( ) yang didefinisikan dengan,
(x)
untuk setiap . Jika M maksimal dari , maka ideal maksimal fuzzy dari .
Berikut diberikan sifat dari ideal maksimal di near-ring , yang berhubungan dengan fungsi karakteristinya.
Akibat 26. Ideal M adalah maksimal di
near-ring jika dan hanya jika fungsi karakteriatik dari M adalah ideal maksimal fuzzy di .
Setelah diberikan definisi dan sifat ideal maksimal fuzzy di near-ring , selanjutnya diberikan sifat yang menunjukkan hubungan antara ideal maksimal fuzzy dan ideal prima fuzzy dari , yang merupakan akhir dari pembahasan tulisan ini.
Lemma 27. Diberikan near-ring . Jika
adalah ideal maksimal fuzzy di , maka adalah ideal prima fuzzy di atau .
Bukti:
Mengingat ideal maksimal fuzzy di , maka menurut Teorema 26, R dan adalah ideal maksimal di , sehingga menurut [Pilz. G, 1983, Lemma 71], adalah ideal prima di atau . Selanjutnya, jika adalah ideal prima di
dan R , maka menurut [Abdurrahman 2011, Akibat 4.14], adalah ideal prima fuzzy di atau jika dan , maka menurut Lemma 15, . ■
Kesimpulan
Beberapa hasil penting atau sifat-sifat yang dapat dijadikan sebuah kesimpulan dari tulisan ini adalah sebagai berikut:
1) Jika adalah ideal maksimal fuzzy di near-ring , maka nilai kenggotaan dari adalah 0 dan 1, adalah normal, R dan adalah maksimal di .
2) Ideal M adalah maksimal di near-ring jika dan hanya jika M adalah ideal
maksimal fuzzy di .
3) Jika adalah ideal maksimal fuzzy di near-ring , maka adalah ideal prima fuzzy di atau .
PUSTAKA
Abdurrahman. S, Thresye, Hijriati. N, 2013, Ideals prima fuzzy
near-ring, Jurnal Matematika Murni dan Terapan Epsilon, vol. 07, no. 01, hal 21 – 32.
Abdurrahman. S, Thresye, Hijriati. N, 2012, Ideals fuzzy near-ring, Jurnal Matematika Murni dan Terapan Epsilon, vol. 6, no. 2, hal 13 – 19.
Abou-Zaid. S, 1991, On fuzzy subnear-rings and ideals, Fuzzy Sets and Systems, vol. 44, pp. 139-146. Clay. J.R, 1992, Nearrings, geneses and
applications, Oxford, New York. Jun. Y.B, Sapanci. M. and zt rk. M.A,
1998, Fuzzy ideal in gamma near-ring, Tr. J. of Math, vol. 22, no. __, pp. 449-459.
Kandasamy. W.B.V, 2002, Smarandache near-rings, American Research Press Rehoboth.
Mordeson, J.N, Bhutani. K.R. and Rosenfeld. A, 2005, Fuzzy group theory, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg.
Pilz. G, 1983, Near-ring, the theory and applications 2nd ed., North-Holland Mathematict Studies, vol. 23, North-Holland, Amsterdam. Satyanarayana, Bh and Prasad. KS. 2005,
Fuzzy prime ideal of gamma near-ring, Soochow Journal of Mathematics, vol. 31, no. 1, pp. 121-129.
Satyanarayana, Bh and Prasad. KS. 2013, Near-ring, Fuzzy Ideals, and Graph Theory, Taylor and Francis Group, LLC.
Williams. P, 2008, Fuzzy ideals in near-subtraction semigroups, International journal of Computational and Mathematical Sciences, vol. 2, no. 1, pp. 39-46.
