RELASI SMTS 1101 / 3SKS

______________________________________________

RELASI

SMTS 1101 / 3SKS

LOGIKA MATEMATIKA

Disusun Oleh :

______________________________________________

DAFTAR ISI

Cover pokok bahasan ... 116

Daftar isi ... 117

Judul Pokok Bahasan ... 118

5.1. Pengantar ... 118 5.2. Kompetensi ... 118 5.3. Uraian Materi ... 118 5.3.1 Pengertian Relasi ... 119 5.3.2 Relasi Invers ... ... 122 5.3.3 Penyajian Relasi ... 123 5.3.4. Relasi ekivalensi ... 127 5.3.5 Kelas Ekivalensi ... 130

5.3.6 Relasi sebagai Himpunan ... 131

5.3.7 Pergandaan Relasi ... 132

Rangkuman ... 133

Soal dan Penyelesaian ... 135

______________________________________________

R E L A S I

5.1. Pengantar.

Materi pokok ini merupakan kelanjutan dari materi sebelumnya, yaitu tentang hubungan antara anggota-anggota dari himpunan dengan himpunan lainnya yang disebut relasi binair. Topik yang diberikan meliputi konsep dasar dari relasi, relasi invers, macam-macam relasi, partisi, klas-klas ekivalensi, dan pergandaan suatu relasi.

5.2. Kompetensi:

Setelah mempelajari materi pokok bahasan disini, mahasiswa diharapkan: a. Mampu menggunakan konsep-konsep dasar suatu relasi secara benar.

b. Mampu melakukan hitungan-hitungan yang berkaitan dengan operasi-operasi relasi, mengkaji suatu relasi dan membuat sketsa suatu relasi.

c. Terampil dalam mengerjakan soal-soal kuis / latihan.

5.3. Uraian Materi

Sebelum membahas tentang relasi, kita ingatkan kembali tentang pergandaan himpunan yang didefinisikan sebagai: A x B=

{

( x,y)/ x∈ ∧ ∈A y B .

}

Jadi himpunan A x B mempunyai anggota semua pasangan terurut (x,y) dengan x sebagai urutan pertama dan y urutan yang kedua. Jika (x,y)

∈

A x B maka p(x,y) merupakan fungsi pernyataan yang bernilai benar saja atau salah saja, tetapi tidak keduanya. Dan p(x,y) ini juga merupakan kalimat tebuka dengan dua perubah. Contoh(5.1):

Misalnya himpuna A = { pria }, himpunan B = { wanita } dan p(x,y) = “x suami y” Maka p(Yohanes, Aminah) merupakan pasangan pria dan wanita yang mempunyai nilai kebenaran berdasarkan kenyataan yang ada (realitas).

______________________________________________

5.3.1. Pengertian Relasi

Berdasarkan pengertian uraian di atas dan dari contoh (5.1) maka jika

p(a,b) bernilai benar dikatakan bahwa “a berelasi dengan b” dan dinyatakan sebagai a R b. Sebaliknya jika p(a,b) bernilai tidak benar (salah) dikatakan bahwa “a tidak berelasi dengan b” dan dinyatakan sebagai a R b Dengan demikian suatu relasi R membutuhkan adanya suatu fungsi pernyataan p(a,b) yang mendefinisikan suatu relasi dari A ke B.

Ada penulis yang menyebut fungsi pernyataan p(x,y) sebagai relasi.

Definisi (5.1):

Jika A dan B adalah dua himpunan sembarang, maka suatu relasi R dari A ke B adalah sembarang subset dari A x B, termasuk himpunan kosong. yaitu

⊆ ×

R

A B

. Relasi R ini dinyatakan sebagai :

R = { (a,b) / a berelasi dengan b }

= { (a b) / a R b }

Relasi R dari himpunan A ke himpunan B juga dikatakan sebagai Relasi binair yaitu suatu cara untuk menentukan pasangan (a,b) dalam A x B, sehingga dikatakan “a berelasi dengan b” ditulis a R b atau (a,b) ∈ R . Jika dikatakan “a tidak berelasi dengan b” ditulis a R b atau (a,b) ∉ R. Relasi dari himpunan A ke himpunan A (ke dirinya sendiri) disebut relasi pada A atau a R a

Relasi R dikatakan “determinatif” pada A jika untuk setiap a dan b berada dalam A. Misalkan A = himpunan bilangan-bilangan alam, maka relasi “kelipatan” adalah relasi yang determinatif. Sedangkan relasi “mencintai” adalah tidak determinatif, sebab pernyataan “9 mencintai 3” tidak bernilai benar atau bernilai salah. Dalam hal ini yang dibicarakan adalah relasi-relasi yang determinatif saja.

Suatu relasi juga didefinisikan antara anggota-anggota diberlainan himpunan. Misalkan R suatu relasi dari A ke B. Jadi R adalah himpunan

______________________________________________

pasangan elemen-elemen (a,b) dimana a ∈ A dan b ∈ B, dan R merupakan himpunan bagian dari A x B.

Domain (daerah asal) dari relasi R adalah himpunan dari semua elemen-elemen pertama dalam pasangan-pasangan terurut didalam R, yaitu:

D = { a / a ∈ A, (a, b) ∈ R }

Jangkauan/range dari relasi R terdiri atas semua elemen-elemen kedua yang muncul dalam pasangan-pasangan terurut dalam R, yaitu

E = { b / b ∈ B, (a, b) ∈ R }

Jadi domain suatu relasi dari A ke B ditulis D , merupakan himpunan bagian dari A yaitu

D

⊆

A

dan jangkauan dari R ditulis E adalah himpunan bagian dari B, yaitu.

E

⊆

B

Contoh (5.2):

Diketahui: A = {1, 2, 3, 4}, B = {a, b, c} .

Maka R = {(2, a), (3, c), (4, a)} adalah suatu relasi.

Perhatikan bahwa

R

⊆ ×

A B

Domain dari R = D = {2, 3, 4} Jangkauan dari R = E = {a, c}

Contoh (5.3):

Misalkan relasi R dalam bilangan-bilangan riil didefinisikan oleh kalimat terbuka “4x2 + 9y2 = 36”. Relasi R ditunjukkan pada diagram koordinat R# x R# dibawah ini:

R# adalah himpunan semua bilangan-bilangan riil. Domain dari R adalah selang tertutup [-3, 3] dan jangkauan dari R adalah selang tertutup [-2, 2]

1 2 3 4

a

b

c

A

B

4 -2 -4 2 2 4 -2 -4

______________________________________________

Contoh (5.4):

Untuk setiap pasangan dua himpunan A dan himpunan B, selalu berlaku A ⊆ B atau A ⊄ B atau sebaliknya.

Contoh (5.5):

Perkawinan merupakan suatu relasi dari himpunan Pria (=P) ke himpunan wanita (=W) dalam semesta himpunan orang-orang. Jika ada seorang pria P maka berlaku bahwa P telah menikah dengan W atau P tidak menikah dengan W. Contoh (5.6):

Kalimat “x lebih kecil dari y” ditulis x < y adalah suatu relasi pada himpunan bilangan-bilangan riil. Jika diberikan pasangan terurut (x,y) maka selalu berlaku x < y atau x < y atau juga sebaliknya.

Contoh (5.7):

Misalkan R suatu relasi dari A = {1, 2, 3} ke B = {a, b} dengan R = {(1, a), (1, b), (3,a)}, maka 1Ra, Rb, Ra2/ 3 dan 3Rb/

Relasi R dapat ditunjukkan dengan diagram koordinat A x B berikut ini :

Contoh (5.8):

Ambil himpunan A = {1, 2, 3} seperti di atas. Relasi R pada A adalah himpunan semua pasangan dalam A x A. Disini R = A x A

A x B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}

R

⊆

A x B

R = {(1, a), (1, b), (3, a)}

B b a 1 2 3 A

______________________________________________

Relasi Identitas

Relasi identitas pada himpunan A ditulis IA atau ∆A adalah himpunan

pasangan-pasangan (a, a) dengan a

∈

A, ditulis IA = {(a, a) /a ∈ A}. Relasi identitas

ini juga disebut relasi diagonal, sebab anggota-anggota dari relasinya merupakan diagonal dari diagram koordinatnya.

Contoh (5.9):

Relasi Kosong

Relasi kosong dari himpuanan A ditulis

∅

, adalah himpunan kosong dari

A x A . Dimaksud relasi

∅

disini adalah himpunan kosong dari A x A. Contoh (5.10):

A =

∅

maka A x A =

∅

R suatu relasi dari A ke A adalah R ⊆ A x A R =

∅

5.3.2. Relasi Invers

Misalkan R suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B. Invers dari R ditulis R−1 adalah suatu relasi dari himpunan B ke himpunan A, sedemikian hingga tiap pasangan terurut pada R−1 jika urutan anggota-anggotanya dibalik merupakan anggota dari R. Jadi R−1= {(b,a) / (a,b) ∈ R}

A 2 1 1 2 3 A 3 Misalkan A = {1, 2, 3} A x A = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)} IA = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}

______________________________________________

Contoh(5.11):

Relasi R pada A = {1, 2, 3} didefinisikan sebagai R = {(1, 2), (1, 3), (2, 3)}, maka R−1= {(2, 1), (3, 1), (3, 2)}.

5.3.3.

Penyajian Relasi

Suatu relasi dapat disajikan dalam berbagai cara diantaranya melalui grafik pada bidang XOY, melalui matriks, dan melalui graf.

(a). Penyajian dalam bentuk grafik

Misal R suatu relasi dari A ke B. Himpunan A digambarkan pada sumbu mendatar X dan himpunan B digambarkan pada sumbu tegak y yang memotong sumbu x di titik 0. Setiap pasangan terurut di A x B dinyatakan oleh satu titik pada bidang XOY. Dengan demikian R adalah himpunan titik-titik (a,b) pada bidang XOY dimana (a,b)

∈

R

Contoh(5.12):

Relasi R dari A = {a, b, c, d, e} ke B = {1, 2, 4} didefinisikan sebagai berikut: R = {(a,1),(a,4),(b,2),(c,2),(c,4),(d,1)}.

Gambarkan grafik dari R ! Jawab:

Grafik R dinyatakan oleh titik-titik hitam pada grafik di atas

4 3 2 1

0 a b c d e

A

B

______________________________________________

Contoh(5.13):

Relasi

R

₁,

R

₂ dan

R

₃ pada himpunan bilangan-bilangan riel R diberikan oleh:

R

₁

=

{(x,y) / x

2

+

y

2

≤

25

, y

≥

0

}

2 2 2

1

1

R

=

{(x,y)/(x

+

)

+

y

≤

}

2 2 3

16

R

=

{(x, y) / x

+

y

≥

}

Jawab:

a). Grafik

R

₁ adalah daerah yang di arsir b). Grafik

R

₂ , daerah yang di arsir

c). Grafik

R

₃ adalah daerah yang di arsir di bawah ini x y -5

5

-2

-1

0

x y -4 0 4 y x

______________________________________________

(b). Penyajian dalam bentuk matriks

Misalkan R suatu relasi pada A. Jika A merupakan himpunan hingga, maka R dapat disajikan dalam bentuk matriks. Matriks M yang menyatakan relasi R dapat dibentuk sebagai berikut:

Misalkan

m

_ij elemen baris ke-i dan kolom ke-j dari M yang didefinisikan:

1

0

ij

,bila iR j

m

,bila i R j



= 



; untuk setiap i dan j

∈

A

Contoh(5.14):

Relasi R pada A = {a, b, c, d, e, f} didefinisikan sebagai berikut: R = {(a,b),(a,c),(b,c),(c,a),(d,b),(e,e)}

Nyatakan R dalam bentuk matriks. Jawab:

Dalam setiap pasangan terurut, komponen pertama kita tuliskan sebagai baris dan komponen kedua sebagai kolom dari suatu matriks. Berdasarkan definisi R diatas kita dapat menyatakan tabel dalam bentuk matriks sebagai berikut:

Komponen Kedua a b c d e f K o m p o n e n P e rt a m a a 0 1 1 0 0 0 b 0 0 1 0 0 0 c 1 0 0 0 0 0 d 0 1 0 0 0 0 e 0 0 0 0 1 0 f 0 0 0 0 0 0 Keterangan:

• Karena (a,b),(a,c),(b,c),(c,a),(d,b),(e,e)

∈

R maka kita beri nilai “1”

• Untuk pasangan yang lainnya kita beri nilai “0”. Misalnya (a,a)

∉

R atau

aRa

______________________________________________

Contoh(5.15):

Tentukan relasi R pada I ={1, 2, 3, 4} yang dinyatakan oleh matriks M berikut:

1

0

1

1

0

1

1

0

0

0

0

1

1

0

0

1

M













=













Jawab: Karena

m

₁₁

=

m

₁₃

=

m

₁₄

=

m

₂₂

=

m

₂₃

=

m

₃₄

=

m

₄₁

=

m

₄₄

=

1

, dan elemen-elemen lainnya bernilai 0.

Maka untuk

R

⊆ ×

I I

adalah

R = {(1,1),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(3,4),(4,1),(4,4)}

(c). Penyajian dalam bentuk graf.

Misalkan A himpunan sembarang yang berhingga. Suatu relasi R yang didefinisikan pada A dapat dinyatakan dalam bentuk graf. Graf G yang menyatakan relasi R diperoleh dengan menggambarkan:

• setiap elemen dari A sebagai titik

• apabila i dan j memenuhi

i R j

atau (i,j)

∈

R, maka diberi tanda anak panah dari arah i ke j

Contoh(5.16):

Buatlah graf yang menyatakan relasi R seperti pada contoh (5.14). Jawab:

Dari contoh (5.14) A = {a, b, c, d, e, f} R = {(a,b),(a,c),(b,c),(c,a),(d,b),(e,e)}

______________________________________________

Titik-titik a, b, c, d, e, f digambarkan pada bidang kertas, sembarang. Titik f tidak berelasi dengan titik manapun, oleh karena itu tidak ada anak panah yang masuk maupun keluar.

Contoh(5.17):

Buatlah graf yang menyatakan relasi R seperti pada contoh (5.15). Jawab:

Dari contoh (5.15) relasi R = {(1,1),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(3,4),(4,1),(4,4)} Graf G yang sesuai dengan R adalah:

5.3.4. Relasi Ekirvalensi

Suatu relasi R dikatakan “ekivalensi” jika ia memiliki tiga sifat sekaligus, yaitu sifat refleksif, sifat simetris dan sifat transitif. Jadi relasi R ekivalensi jika dan

e d a c f b 1 4 2 3

______________________________________________

hanya jika R memenuhi sifat refleksif , R memenuhi sifat Simetris, dan R memenuhi sifat transitif.

(a). Suatu relasi R pada himpunan A disebut “refleksif” jika dan hanya jika untuk setiap a dalam A berlakulah aRa. Dan relasi R disebut “tidak refleksif” jika dan hanya jika ada a dalam A sedemikian hingga a R a . Sedangkan R dikatakan “ir-refleksif” jika dan hanya jika untuk setiap a dalam A berlaku aRa. Dapat diringkas dengan simbol logika sebagai berikut:

R refleksif

↔

( a

∀ ∈

A) aR a

R tidak refleksif

↔

( a

∃ ∈

A)

a R a .

R ir-refleksif

↔

( a

∀ ∈

A)

a R a

(b). Suatu relasi R pada himpunan A disebut “simetris” jika dan hanya jika untuk setiap a dan b dalam A maka berlaku aRb → bRa. Dan relasi R disebut “ tidak simetris” jika dan hanya jika ada a dan b dalam A sehingga berlaku

aRb

∧ /

bRa

Relasi R dikatakan“a-simetris” jika dan hanya jika setiap a dan b dalam A sehingga berlaku aRb → a R b . Sedangkan R dikatakan “anti-simetris” jika untuk setiap a dan b dalam A berlaku

a

R

b

∧

b

R

a

→

a =b

. Ditulis dengan simbol logika sebagai:

R Simetri

↔

( a, b

∀

∈

A) aRb

→

bRa

R tidak simetri

↔

(∃a, b ∈ A)

a R b

∧

b R a

R a-simetri

↔

( a, b

∀

∈

A)

a R b

→

b R a

R anti-simetri

↔

(∀a, b ∈ A) aRb ∧ bRa → a = b

(c). Suatu relasi R pada himpunan A disebut “transitif” jika dan hanya jika untuk setiap tiga anggota a, b, c dalam A sehingga

aRb dan bRc maka berlaku aRc

. Relasi R pada himpunan A disebut “tidak transitif” jika dan hanya jika untuk ada a, b, c dalam A sedemikian hingga

aRb dan bRc dan aRc

/

. Dan relasi R pada himpunan A disebut “in-transitif” jika dan hanya jika untuk setiap a, b, c dalam A sedemikian hingga

aRb dan bRc maka berlaku aRc

/

. Dapat dinyatakan dengan simbol logika sebagai:

______________________________________________

R transitif

↔

( a,b,c

∀

∈

A) aRb

∧

bRc

→

aRc

R tidak transitif

↔

( a, b, c

∃

∈

A) aRb

∧

bRc

∧ /

aRc

R in - transitif

↔

( a,b,c

∀

∈

A) aRb

∧

bRc

→ /

aRc

Contoh (5.18:

Misalkan R adalah suatu relasi dalam bilangan-bilangan riil yang didefinisikan oleh kalimat terbuka “lebih kecil atau sama dengan” ditulis x ≤ y, maka:

1. relasi R adalah refleksif, sebab untuk setiap bilangan riil a, a ≤ a.

2. relasi R adalah tidak simetris sebab untuk setiap bilangan riil a dan b,

a≤ dan b ab ≤/

3. relasi R adalah transitif sebab untuk setiap bilangan a, b dan c, a≤ dan b b≤ maka a cc ≤

Contoh (5.19):

Misalkan R suatu relasi dalam bilangan-bilangan yang didefinisikan sebagi “x

lebih kecil dari pada y” ditulis x < y, maka

1. R tidak reflektif, sebab untuk setiap bilangan riil a, a</ . a

2. R tidak simetris, sebab untuk setiap bilangan riil a, a< dan . b ab </

3. R transitif. Sebab untuk setiap 3 bilangan riil a, b, dan c berlaku a< dan b b< maka a cc <

Contoh (5.20):

Misalkan M = {1, 2, 3, 4} merupakan himpunan semesta dan suatu relasi R pada M didefinisikan sebagai R = {(1,3), (4,2), (2,4), (2,3), (3,1)}.

Maka

R tidak reflektif, sebab untuk setiap a∈ , (a,a) RM ∉ .

Misalnya untuk 1∈ , (1,1) RM ∉ ; untuk 2 M∈ , (2,2) R∉ dan lainya

______________________________________________

Misalnya untuk 2,3∈M, (2,3)∈ ∧R (3,2)∉ , R

2. R transitif. Sebab untuk setiap 1,2,3∈M, (1,3)∈ ∧R (3,1)∈ ∧R (1,1)∉ R

Contoh (5.21):

Misalkan M = {a, b, c} dan relasi R pada M didefinisikan sebagai R = {(a, b), (c, b), (b, a), (a, c)} maka

1. R tidak reflektif, sebab misalnya x mewakili elemen-elemen a,b dan c dalam

M, maka stiap x∈M, (x, x)∉ R

2. R tidak simetris, sebab untuk b,c∈M, (c,b)∈ ∧R (b,c)∉ , R

3. R transitif. Sebab untuk a,b,c∈M, (a,b)∈ ∧R (b,a)∈ ∧R (a,a)∉ juga R (c,b)∈ ∧R (b,a)∈ ∧R (c,a)∉ R

Contoh (5.22):

Misal, M adalah himpunan garis-garis pada bidang datar. Relasi R didefinisikan sebagai relasi “kesejajaran” garis-garis pada M. Maka R adalah relasi ekivalensi.

Contoh (5.23):

Misal, M adalah segitiga-segitiga yang sebagun pada bidang datar. Dan relasi R didefinisikan sebagai relasi “kesebangunan” segitiga pada M. Maka R adalah relasi ekivalensi

.

5.3.5. Kelas Ekivalensi

Misalkan R merupakan suatu relasi ekivalensi pada himpunan A, maka untuk setiap a ∈ A berlaku Ma = [a] = { x / (a,x) ∈ R }. Jadi Ma adalah himpunan

semua unsur dari A yang berelasi dengan a dan kemudian disebut dengan “kelas ekivalensi” dari himpunan A. Koleksi semua kelas ekivalensi dari A disebut Kuosien

______________________________________________

A/R = {Ma / a ∈ A}

Kuosien himpunan A/R adalah suatu partisi pada A, sebab : (i) ∀a a ∈ A → a ∈ Ma

(ii) Ma = Mb jika dan hanya jika (a, b) ∈ R

(iii) Jika Ma≠ Mb, maka Ma dan Mb saling lepas.

Contoh (5.24)

Misalkan Z himpunan bilangan bulat, dan

R5 adalah suatau relasi ekivalensi pada Z yang didefinisikan oleh x ≡ y (mod 5), dibaca “x kongruen dengan y modulo 5”, artinya x – y terbagi oleh 5. Maka

R5 suatu relasi ekivalensi dalam Z. Ada 5 kelas ekivalensi dalam Z/R5, yaitu :

A0 = { ….., -10, -5, 0, 5, 10, ……}

A1 = {…..., -9, -4, 1, 6, 11, ……. }

A2 = {…..., -8, -3, 2, 7, 12, ……. }

A3 = { ….., -7, -2, 3, 8, 13, ……. }

A4 = { ….., -6, -1, 4, 9, 14, ……. }

5.3.6. Relasi Sebagai Himpunan

Jika R dan S suatu relasi relasi pada A, maka R

⊆

A

×

A dan S

⊆

A

×

A.

Karena R dan S merupakan himpunan bagian dari A

×

A, sehingga banyak

kemungkinan yang harus diketahui hubungan kedua relasi tersebut. Diantaranya :

R

⊆

S

,

R

⊂

S

, atau sebaliknya,

R

∪

S

,

R

∩

S

, dan

R

c

Contoh(5.25):

Misalkan himpunan A = {a, b}. Maka A

×

A = {(a, a),(a, b),(b, a),(b, b)}.

Didefinisikan relasi relasi R = {(a, b)} dan S = {(a, a), (b, b)}.

Perhatikan bahwa kelas-kelas ekivalensi tersebut saling lepas dan Z = A1∪ A2∪ A3∪ A4∪ A5

______________________________________________

Maka

R ⊂ S, R ⊄ S = ∅ ,

R

∪

S

= (a, b), (a, a), (b, b) dan c

S

= {(a, b), (b, a)}

5.3.7. Pergandaan Relasi

Diketahui R dan S relasi relasi pada A. Pergandaan dua relasi R dan S pada A, ditulis dengan RS, didefinisikan sebagai :

( , )

a b

∈

RS

jika dan hanya jika

(

∃ ∈

c

A

)

dengan

( , )

a c

∈ ∧

R

( , )

c b

∈

S

Pada umumnya pergandaan relasi tidak bersifat komutatif yaitu RS

≠

SR, tetapi mempunyai sifat assosiatif, yaitu (RS)T = R(ST).

Akan ditunjukan sebagai berikut:

Ambil sembarang relasi-relasi R dan S pada A, maka (a). RS

≠

SR , sebab

( , )

a b

∈

RS

jika dan hanya jika

(

∃ ∈

c

A

)

dengan

( , )

a c

∈ ∧

R

( , )

c b

∈

S

( , )

a b

∈

SR

jika dan hanya jika

(

∃ ∈

c

A

)

dengan

( , )

a c

∈ ∧

S

( , )

c b

∈

R

(b). (RS)T = R(ST) , sebab

( , )

a b

∈

(

RS T

)

jika dan hanya jika

(

∃ ∈

c

A

) ( , )

a c

∈

RS

∧

( , )

c b

∈

T

( , )

a b

∈

(

RS T

)

↔ ∃ ∈

(

c

A

)

∧ ∃ ∈

(

d A

)

dengan

( , )

a d

∈ ∧

R

( , )

d c

∈ ∧

S

( , )

c b

∈

T

(

d A

)

↔ ∃ ∈

dengan

( , )

a d

∈ ∧

R

( , )

d b

∈

ST

( , )

a b

R ST

(

)

↔

∈

; Jadi (RS)T = R(ST)

______________________________________________

Ringkasan

1. Jika A dan B adalah dua himpunan sembarang, maka suatu relasi R dari A ke B dinyatakan sebagai :

R = { (a,b) / a berelasi dengan b }

= { (a b) / a R b }

2. Relasi R dari himpunan A ke himpunan B dikatakan sebagai Relasi binair yaitu suatu cara untuk menentukan pasangan (a,b) dalam A x B, sehingga dikatakan “a berelasi dengan b” ditulis a R b atau (a,b) ∈ R . Jika dikatakan “a tidak berelasi dengan b” ditulis a R b atau (a,b) ∉ R.

3. Suatu relasi juga didefinisikan antara anggota-anggota diberlainan himpunan. Misalkan R suatu relasi dari A ke B. Maka R adalah himpunan pasagan-pasangan elemen-elemen (a,b) dimana a ∈ A dan b ∈ B, dan R merupakan himpunan bagian dari A x B. yaitu

R

⊆ ×

A B

4. Domain (daerah asal) dari relasi R adalah himpunan dari semua elemen-elemen pertama dalam pasangan-pasangan terurut didalam R, yaitu:

D = { a / a ∈ A, (a, b) ∈ R } dan

D

⊆

A

5. Jangkauan dari relasi R terdiri atas semua elemen-elemen kedua yang muncul dalam pasangan-pasangan terurut dalam R, yaitu

E = { b / b ∈ B, (a, b) ∈ R } dan

E

⊆

B

6. Relasi identitas pada himpunan A ditulis IA atau ∆A adalah himpunan

pasangan-pasangan (a, a) dengan a

∈

A, ditulis IA = {(a, a) /a ∈ A}.

7. Relasi kosong dari himpuanan A ditulis

∅

adalah himpunan kosong dari A x A. Dimaksud relasi

∅

disini adalah himpunan kosong dari A x A.

8. Invers dari relasi R ditulis R−1 adalah suatu relasi dari himpunan B ke himpunan

A, sedemikian hingga tiap pasangan terurut pada R−1 jika urutan anggota-anggotanya dibalik merupakan anggota dari R. Jadi R−1= {(b,a) / (a,b) ∈ R}

______________________________________________

9. Suatu relasi dapat disajikan dalam berbagai cara diantaranya:

(a). Penyajian dalam bentuk grafik: Misal R suatu relasi dari A ke B. Himpunan A digambarkan pada sumbu mendatar X dan himpunan B digambarkan pada sumbu tegak y yang memotong sumbu x di titik 0. Setiap pasangan terurut di A x B dinyatakan oleh satu titik pada bidang XOY.

Dengan demikian R adalah himpunan titik-titik (a,b) pada bidang XOY dimana (a,b)

∈

R

(b). Penyajian dalam bentuk matriks: Misalkan R suatu relasi pada A. Jika A merupakan himpunan hingga, maka R dapat disajikan dalam bentuk matriks. Matriks M yang menyatakan relasi R dapat dibentuk misalkan

m

_ij elemen baris ke-i dan kolom ke-j dari M yang didefinisikan:

1

0

ij

,bila iR j

m

,bila i R j



= 



; untuk setiap i dan j

∈

A

(c). Penyajian dalam bentuk graf: misalkan A himpunan sembarang yang berhingga. Suatu relasi R yang didefinisikan pada A dapat dinyatakan dalam bentuk graf. Graf G yang menyatakan relasi R diperoleh dengan menggambarkan:(1). setiap elemen dari A sebagai titik. (2). apabila i dan j memenuhi

i R j

atau (i,j)

∈

R, maka diberi tanda anak panah dari arah i ke j 10. Suatu relasi R dikatakan “ekivalensi” jika ia memiliki tiga sifat sekaligus, yaitu

sifat refleksif, sifat simetris dan sifat transitif. (1). R refleksif

↔

( a

∀ ∈

A) aR a

(2). R Simetri

↔

( a, b

∀

∈

A) aRb

→

bRa

(3). R transitif

↔

( a,b,c A) aRb

∀

∧

bRc

→

aRc

11. Misalkan R merupakan suatu relasi ekivalensi pada himpunan A, Kelas Ekivalensi dari himpunan A adalah himpunan semua unsur dari A yang berelasi dengan a dinyatakan sebagai Ma = [a] = { x / (a,x) ∈ R }. Koleksi semua kelas

ekivalensi dari A disebut Kuosien dari A oleh R ditulis A/R = {Ma / a ∈ A}

12. Pergandaan dua relasi R dan S pada A, ditulis dengan RS, didefinisikan sebagai:

( , )

a b

∈

RS

jika dan hanya jika

(

∃ ∈

c

A

)

dengan

( , )

a c

∈ ∧

R

( , )

c b

∈

S

______________________________________________

SOAL-SOAL DAN PENYELESAIAN

1. Misalkan A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} , B = {4, 5, 6, 7, 8, 9} dan relasi R dari A ke B diberikan oleh R = {(1,5),(4,5),(1,4),(4,6),(3,7),(7,6)}

Carilah: Domain, range (jangkauan) dan R−1 Jawab:

Domain dari R = D= {a / a

∈

A dan (a,b)

∈

R, b

∈

B} = {1, 3, 4, 7}

Range dari R = E = {b / b

∈

B dan (a,b)

∈

R, a

∈

A} = {4, 5, 6, 7}

1

−

R = {(b,a) / (a,b)

∈

R}

= {(5,1),(5,4),(4,1),(6,4),(7,3),(6,7)}

2. Misalkan R suatu relasi pada himpunan bilangan asli N yang didefinisikan oleh R = {(x,y)/ x,y

∈

N, x+3y = 12}. Tentukan:

(a) Tulis R dalam bentuk himpunan pasangan terurut. (b) Carilah domain, range dan invers dari R

Jawab:

a). R sebagai himpunan pasangan terurut

R = {(2,3),(6,2),(9,1)} b). Domain dari R = D = {3, 6, 9} Range dari R = E = { 1, 2, 3} 1 − R = {(b,a) / (a,b)

∈

R} = {(3,3),(2,6),(1,9)}

3. Suatu relasi R dari himpunan A = {1, 2, 3, 4} ke himpunan B = {1, 3, 5}, yang didefinisikan oleh “x lebih kecil dari y”

(c) Tulis R sebagai himpunan pasangan terurut. (d) Gambarkan R pada diagram koordinat A x B (e) Tentukan relasi invers

R

−1

______________________________________________

(a) x R y dibaca x lebih kecil y ditulis x < y.

R = {(x, y) / x < y} = {(1,3), (1,5), (2,3), (2,5), (3,5), (4,5)}

(b) Diagram koordinat A x B dari relasi R sebagai berikut :

(c)

R = {(y, x) / (x, y)

−1

∈

R)

= {(3, 1) (5, 1) (3, 2) (5, 2) (5, 3) (5, 4)}

4. Suatu relasi R yang didefinisikan sebagai “x pembagi y” dari himpunan C = {2, 3, 4, 5} ke himpunan D = {3, 6, 7, 10}

(a) Tentukan R sebagai himpunan pasangan terurut (b) Gambar R pada diagram koordinat C x D

(c) Tentukan relasi invers

R

−1 Jawab :

(a) R = {(2, 6), (2, 10), (3, 3), (3, 6), (5, 10)} (b) Diagram koordinat R sebagai berikut :

R merupakan himpunan titik-titik yang

tampak pada diagram koordinat A x B.

D 3 5 6 7 10 1 2 3 4 5 C 2 3 4 5 1 2 3 1 4 B A

(c).

_{R = {(6, 2), (10, 2), (3, 3),}

−1

(6, 3), (10, 5)}

______________________________________________

5. Misalkan M = {a, b, c, d} dan suatu relasi R pada M yang memuat titik-titik yang

tampak pada diagram koordinat berikut ini.

Jawab :

(a) Dari (a, b), (b, b) dan (d, b) diperoleh unsur-unsur pada M yang berelasi dengan b yaitu {a, b, d}

(b) Dari (d, a) dan (d, b), diperoleh unsur-unsur di M yang memenuhi {x / (x, b)

∈ R} yaitu {a,b}

(c) Karena R = {(a, b), (b, a), (b, b), (b, d), (c, c), (d, a), (d, b)} maka

R

−1 = {(b, a), (a, b), (b, b), (d, b), (c, c), (a, d), (b, d)}

6. Misalkan R suatu relasi yang didefinisikan sebagai relasi “ ≤ “ pada himpunan N = {1, 2, 3, …..}. Yaitu (a, b) ∈ R jika dan hanya jika a ≤ b. Tentukan apakah R : (a) refleksif, (b) simetris, (c) transitif, ataukah (d) ekivalensi.

Jawab :

(a) R refleksif, sebab (∀a∈N) a ≤ a

(b) R tidak simetris, sebab (∃a, b∈N) 3 ≤ 5, tetapi

5

≤/

3

(c) R transitif, sebab (∀a, b, c∈N ) a ≤ b ∧ b ≤ c → a ≤ c.

(d) R tidak ekivalensi sebab R tidak simetris. R akan ekivalensi jika R

bersifat refleksif, simetris dan sekaligus transitif.

(a) Tentukan semua unsur di M yang berelasi dengan b, atau {x /{x, b) ∈ R} (b) Tentukan semua unsur di M sehingga d

merupakan relasinya, atau {x / (d, x) ∈ R} (c) Tentukan relasi invers

R

−1

M a b c d a b c d M

______________________________________________

7. Mislkan R adalah relasi pada himpunan

A

=

{ , ,

2 8 32 4

, }

dimana _x

R

_y

menyatakan bahwa “x membagi y” untuk setiap x,y

∈

A. a. Tulis R sebagai pasangan terurut

b. Buatlah relasi R dalam bentuk matriks

c. Selidiki apakah R mempunyai sifat refleksif, simetris dan transitif. d. Buatlah graf untuk R

Jawab:

a.

R

=

{( , ),( , ),( ,

2 2

2 8

2 32

),( , ),( , ),( ,

2 4

8 8

8 32

),(

32 32

,

),( , ),( , ),( ,

4 4

4 8

4 32

)}

b. R dalam bentuk matriks

M 2 8 32 4

2 1 1 1 1

8 0 1 1 0

32 0 0 1 0

4 0 1 1 1

c. (i) Karena semua elemen-elemen diagonalnya 1, maka R bersifat refleksif. yaitu (2,2)

∈

R

, (8,8)

∈

R

,(32,32)

∈

R

, dan (4,4)

∈

R

(ii) Dari matriks diatas tampak bahwa R mempunyai sifat Transitif, sebab untuk setiap i,j,k = 1, 2, 3, 4, berlaku

m

_ij

=

1

dan

m

_jk

=

1

maka

m

_ik

=

1

(iii) Matriks M diatas tidak simetris, karena

m

_ij

≠

m

_ji. Jadi R tidak

______________________________________________

d.

8. Misalkan W = {1, 2, 3, 4}. Perhatikan relasi-relasi R1 , R2 , dan R3 pada W

berikut ini :

R1 = {(1, 2), (4, 3), (2, 2), (2, 1), (3, 1)}

R2 = {(2, 2), (2, 3), (3, 2)}

R3 = {(1, 3)}

Tentukan relasi mana yang (a) Simetris, (b) Transitif.

Jawab:

(a) Simetris:

R dikatakan simetris

↔

(∀a, b ∈ W ) (a, b) ∈ R → (b, a) ∈ R

R1 tidak simetris, sebab (∃ 3, 4 ∈ W) (4,3) ∈ R1, tetapi (3,4) ∉ R1.

R2 Simetris, sebab (∀2,3∈W) (2,3)∈R2→ (3, 2) ∈R2 (2, 2)∈R2 → (2,2) ∈R2 R3 tidak simetris, sebab (∀ 1, 3 ∈ W ) (1, 3) ∈ R3 .∧. (3, 1) ∉ R3

(b) Transitif:

R dikatakan transitif jika dan hanya jika (∀ a, b, c ∈ W ) (a, b)∈ R ∧ (b, c) ∈R → (a, c)∈ R

R1 tidak transitif, sebab (∃ 1, 3, 4 ∈ W ) (4, 3)∈ R1 ∧ (3, 1) ∈R1 →

(4, 1)∉ R1

R2 tidak transitif, sebab (∃ 2, 3 ∈ W ) (3, 2) ∈ R2 ∧ (2, 3) ∈ R2 →

(3, 3) ∉ R2

R3 tidak transitif, sebab R3 hanya mempunyai satu unsur yaitu (1, 3) ∈ R3

2

4

32

______________________________________________

9. Suatu relasi R = {(1,1), (2, 3), (3, 2)} pada X = {1, 2, 3}. Tentukan apakah R

mempunyai sifat (a) refleksif (b) Simetris, ataukah (c) transitif.

Jawab:

(a) R tidak refeksif, sebab 2 ∈ X, tetapi (2, 2) ∈ R (b) R Simetris, sebab R-1 = {(1, 1), (3, 2), (2, 3)} = R

(c) R tidak transitif, sebab (3, 2) ∈ R dan (2, 3) ∈ R , tetapi (3,) ∉ R

10. Misalkan R adalah suatu relasi dari himpunan E = {2, 3, 4, 5} ke himpunan F = {3, 6, 7, 10} yang didefinisikan oleh kalimat terbuka "y habis dibagi oleh x". (a) Tuliskan R sebagai himpunan pasangan-pasangan terurut, yaitu carilah

himpunan jawab dari R.

(b) Buatlah sketsa dari R pada diagrain koordinat E x F.

Jawab:

(a) Pandang keenam belas elemen dalam E x F dan pilihlah pasangan-pasangan terurut dimana elemen keduanya habis dibagi oleh elemen pertamanya; maka R = {(2, 6), (2, 10), (3, 3), (3, 6), (5, 10)

11. Diketahui M = {a, b, c, d} dan relasi R pada M didefinisikan sebagai himpunan titik-titik yang diperlihatkan pada diagram koordinat M x M dibawah ini.

(a) Nyatakan apakah masing-masing berikut ini benar atau salah: (a) c R b, (b) d

R

a, (c) a

R

c, (d) b

R

b 6 7 10 2 3 4 3 5 E

(b). Sketsa dari R pada diagram

koordinat E x F diperlihatkan

pada tabel berikut

______________________________________________

(b) Carilah {x / (x,b)∈R}, yaitu semua elemen-elemen dalam M yang berelasi

dengan b.

(c) Carilah {x | (d, x)

∈

R}, yaitu semua elemen-elemen dalam M yang berelasi dengan d.

Jawab:

(1) Perhatikan bahwa x R y benar jika dan hanya jika (x, y) termasuk dalam R. (a) Salah, karena (c, b)

∉

R. (c) Benar, karena (a, c)

∉

R

(b) Salah, karena (d, a)

∈

R. (d) Salah, karena (b, b)

∈

R.

(2) Garis horizontal yang melalui b memuat semua titik dari R di mana b muncul sebagai elemen kedua; ia memuat pasangan-pasangan terurut (a,

b), (b, b) dan (d, b) dari R.

Oleh karena itu {x | (x, b)

∈

R} = {a, b, d}

(3) Garis vertikal yang melalui d memuat semua titik dari R dengan d muncul sebagai elemen pertama; yaitu titik-titik (d, a) dan (d, b) dari R. Jadi {x | (d,

x)

∈

R} = {a, b}.

12. Masing-masing kalimat terbuka berikut ini mendefinisikan suatu relasi dalam bilangan-bilangan riil. Buatlah sketsa dari masing-masing relasi pada suatu diagram koordinat dari R# x R# .

(1) y = x2 (4) y ≥ sin x (2) y ≤ x2 (5) y ≥ x3 (3) y < 3 – x (6) y > x3 Jawab: b c d a b c a d

M

M

______________________________________________

Untuk membuat sketsa suatu relasi pada bilangan-bilangan riil yang didefinisikan oleh kalimat terbuka berbentuk

(a) y = f(x)

(b) y > f(x)

(c) y ≥ f(x) (d) y < f(x) (e) (e) y ≤ f(x)

Pertama-tama gambarkan kurva y = f(x). Maka relasinya, akan terdiri atas titik-titik.

(a) pada y = f(x)

(b) di atas y = f(x) (c) di atas dan pada y = f(x) (d) di bawah y = f(x)

(e) di bawah dan pada y = f(x)

(f) Jadi gambar-gambar berikut ini adalah sketsa-sketsa dari relasi-relasi di atas:

(1) y = x2 (2) y ≤ x2 (3) y < x2 - x 5 5 - 5 - 5 (4) y ≥ sin x 1 - 1 (5) y ≥ x3 (6) y > x3 x3

______________________________________________

Perhatikan bahwa, kurva y = f(x) digambarkan dengan garis terputus-putus jika titik-titik pada y = f(x) tidak termasuk dalam relasi.

13. Masing-masing kalimat terbuka berikut ini mendefinisikan suatu relasi dalam bilangan-bilangan riil. Buat sketsa masing-masing relasi pada di koordinat R x R

Jawab:

Untuk membuat sketsa suatu relasi dalam bilangan-bilangan riil yang didefinisikan oleh kalimat terbuka berbentuk f (x, y) < 0 (atau ≤, >, ≥), maka gambarkan f (x, y) = 0. Kurva f (x, y) = 0, akan membagi bidang dalam berbagai daerah-daerah. Relasi ini akan terdiri dari semua titik-titik dalam satu atau mungkin lebih daerah-daerah.

Ujilah satu atau lebih titik-titik dalam tiap-tiap daerah untuk menentukan apakah semua titik dalam daerah itu termasuk dalam relasi atau tidak.

Sketsa dari masing-masing relasi di atas hasilnya adalah sebagai berikut

1

x

2

+ y

2

– 16 < 0

-4 -4 4 4

2

x

2

- 4y

2

– 9

≤

0

-3 3

4

x

2

- 4y

2

< 9

-3

3

x

2

+ y

2

≥

16

-4 -4 4 4

______________________________________________

14. Pandang relasi R = {(1, 5), (4, 5), (1, 4), (4, 6), (3, 7), (7, 6)}. Carilah (1) Domain

dari R, (2) Jangkauan dari R, (3) invers dari R.

Jawab :

(1) Domain dari R terdiri atas himpunan dari elemen-elernen pertama dalam R; oleh karena itu domain dari R adalah {1, 4, 3, 7}

(2) Jangkauan dari R terdiri dari himpunan dari elemen-elemen kedua dalam

R; oleh karena itu domain dari R adalah {5, 4, 6, 7}

(3) Invers dari R terdiri dari pasangan elemen dalam R dengan urutannya di balik.

Jadi

R

−1 = {(5, 1), (5, 4), (4, 1), (6, 4), (7, 3), (6, 7)}

15. Misalkan T = {l, 2, 3, 4, 5} dan R suatu relasi dalam T merupakan himpunan titik-titik yang diperlihatkan dalam diagram koordinat T x T berikut ini:

(1)

Carilah domain dari R

(2)

Tentukan jangkauan dari R

(3)

Cari invers dari R.

(4)

Buatlah sketsa

R

−1 pada diagram koordinat T x T.

Jawab:

(2) Elemen x ∈T berada dalam jangkauan R jika dan hanya jika garis

horizontal yang melalui x memuat sebuah titik dari R. Jadi jangkauan dari

R adalah himpunan {1, 2, 4}, karena garis horizontal yang melalui

tiap-2 3 4 1 2 3 1 4 5 5 T T

(1) Elemen x

∈

T berada dalam domain

R jika dan hanya jika garis vertikal

yang melalui x memuat sebuah titik

dari R. Jadi domain dari R adalah

himpunan

{2,4,5};

karena

garis

vertikal yang melalui tiap-tiap elemen

ini dan hanyalah elemen-elemen ini

yang mengandung titik-titik dalam R.

______________________________________________

tiap elemen ini, dan hanyalah elemen-elemen ini yang memuat sekurang-kurangnya satu titik dari R. Karena R = {(2, 1), (2, 4), (4, 2), (4, 4), (5, 2)} (3)

R

−1 = {(1, 2), (4, 2), (2, 4), (4, 4), (2, 5)}

(4)

R

−1diperlihatkan pada diagram koordinat T x T sebagai berikut:

16. Misalkan R = {(x, y} | x ∈ R#, y ∈ R#, 4x2 + gy2 = 36}. Sketsa dari R pada diagram koordinat R# x R# adalah sebagai berikut:

Jawab:

(1) Domain dari R adalah selang [-3, 3] karena garis vertikal yang melalui tiap-tiap bilangan ini dan hanyalah bilangan-bilangan ini, yang memuat sekurang-kurangnya satu titik dari R.

(2) Jangkauan dari R adalah selang [-2, 2], karena garis horizontal yang melalui tiap-tiap elemen dan hanyalah elemen-elemen ini, yang memuat sekurang-kurangnya satu titik dari R.

2 -2 -3 3 2 3 4 1 2 3 1 4 5 5 T T

Carilah:

(1) Domain dari R,

(2) jangkauan dari R,

(3)

R

−1

______________________________________________

(3) Menurut definisi invers dari R diperoleh

R

−1dengan mempertukarkan x dan

y dalam kalimat terbuka yang mendefinisikan R; yaitu: 1

−

R

= {(x, y)  x ∈R#, y ∈ R#, 9x2+ 4y2 = 36}

17. Apakah ada hubungan antara domain-jangkauan dari suatu relasi R , dan domain-jangkauan dari

R

−1 ?

Jawab:

Karena

R

−1 terdiri dari pasangan-pasangan yang sama seperti dalam R kecuali dalam urutan terbalik maka tiap-tiap elemen pertama dalam R akan menjadi elemen kedua dalam

R

−1dan tiap-tiap elemen kedua dalam R akan menjadi elemen pertama dalam

R

−1. Maka domain R adalah jangkauan

R

−1 dan

jangkauan dari R adalah domain

R

−1.

18. Misalkan R adalah relasi dalam bilangan-bilangan asli N = {1, 2,3,…} yang didefinisikan oleh kalimat terbuka “2x + y = 10”, yaitu R = {(x, y)  x∈N, y∈N,

2x + y = 10}; Carilah : (1) domain dari R, (2) jangkauan dari R, (3)

R

−1 Jawab:

Pertama perhatikan bahwa himpunan jawaban dari 2x + y = 10 adalah

R = {(1, 8), (2, 6), (3, 4), (4, 2)} meskipun terdapat tak-berhingga

elemen-elemen dalam N.

(1) Domain dari R yang terdiri dari elemen-elemen pertama dari R adalah {l, 2, 3, 4}.

(2) Jangkauan dari R yang terdiri dari elemen-elemen kedua dari R adalah {8, 6, 4, 2).

(3)

R

−1 diperoleh dengan mempertukarkan x dan y dalam kalimat terbuka

yang mendefinisikan R; jadi

R

−1= {(x, y) | x ∈ N, y ∈ N, x + 2y = 10}

Juga karena

R

−1 terdiri dari pasangan-pasangan yang sama dalam R kecuali dalam urutan terbalik, maka R-1 dapat didefinisikan sebagai:

1 −

______________________________________________

19. Misalkan W = {1, 2, 3, 4} dan relasi R = {(1, 1), (1, 3), (2, 2), (3, 1), (4, 4)}.

Apakah R refleksif ?

Jawab:

R tidak refleksif karena 3 ∈ W dan (3,3)

∉

R.

20. Misalkan E = {1, 2, 3}. Pandang relasi-relasi berikut dalam E.

R1 = {(1, 2),(3, 2),(2, 2),(2, 3)} R4 = {(l, 2)} R2 = {(1, 2),(2, 3),(1, 3)} R5 = E x E R3 = {(l, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3)}

Nyatakan apakah masing-masing relasi berikut adalah refleksif atau tidak.

Jawab:

Jika suatu relasi dalam E adalah refleksif maka (1, 1), (2, 2) dan (3, 3) harus termasuk relasi R.

Dengan demikian R3 dan R5 bersifat refleksif.

21. Misalkan V = {1, 2, 3, 4) dan relasi R pada V yang didefinisikan sebagai R = {(1,2), (3, 4), (2, 1), (3, 3)}. Apakah R simetris?

Jawab:

R tidaklah simetris, karena 3∈V, 4∈V, (3,4)∈R dan (4, 3)

∉

R.

22. Misalkan E = {1, 2, 3}. Pandang relasi-relasi berikut dalam E:

R1 = {(l, 1), (2, 1), (2,2), (3,2), (2,3)} R2 = {(l, 1)}

R3 = {(l, 2)} R4 = {(l, 1), (3, 2), (2, 3)}

R5 = E x E

Nyatakan apakah relasi-relasi ini simetris atau tidak?

Jawab:

(1) R1 tidaklah simetris karena (2, 1)∈R1 tetapi (1, 2)

∉

R1

(2) R2 simetris.

(3) R3 tidaklah simetris karena (1, 2) ∈ R3 tetapi (2, 1) ∈ R3

______________________________________________

(5) R5 Simetris

23. Bilamana suatu relasi R dalam himpunan A tidak anti-simetris?

Jawab:

R tidaklah anti-simetris jika terdapat elemen-elemen a ∈ A, b ∈ A, a ≠ b

sehingga (a, b) ∈ R dan (b, a) ∈ R.

24. Misalkan W = {1, 2, 3, 4} dan R = {(1, 2), (3, 4), (2, 2), (3, 3), (2, 1)}. Apakah R anti-simetris?

Jawab:

R tidaklah anti-simeteris karena 1∈ W, 2 ∈ W, 1 ≠ 2, (1, 2) ∈ R dan (2, 1) ∈ R.

25. Misalkan E = {1, 2, 3}. Pandang relasi-relasi berikut dalam E :

R1 = {(1,1), (2,1), (2,2), (3,2), (2,3)}

R2 = {(l, 1)}

R3 = {(l, 2)}

R4 = {(1,1), (2,3), (3,2)}

R5 = E x E

Nyatakan apakah masing-masing relasi ini anti-simetris atau tidak.

Jawab:

(1) R1 tidaklah anti-simetris karena (3,2) ∈R, dan (2,3) ∈R1 .

(2) R2 anti-simetris

(3) R3 anti-simetris.

(4) R4 tidaklah anti-simetris karena (2.3) ∈ R4 dan (3, 2) ∈R4

(5) R5 tidak anti-simetris berdasarkan alasan yang sama sebagaimana

untuk R4

26. Misalkan E = {1, 2,3}. Berikan sebuah contoh dari suatu relasi R dalam E di mana R tidaklah simetris dan anti-simetris.

______________________________________________

Jawab:

Relasi R = {(1,2),(2,1),(2,3)} tidak simetris karena (2,3) ∈ R tetapi (3,2)

∉

R. R juga tidak anti-simetris karena (1, 2) ∈R dan (2, 1)∈R.

27. Misalkan himpunan W = {1, 2, 3, 4} dan relasi R = {(l, 2), (4, 3), (2, 2), (2, 1), (3, 1)}. Apakah R transitif ?

Jawab:

R tidaklah transitif karena (4, 3) ∈R , (3, 1) ∈R tetapi (4, 1)

∉

R.

28. Misalkan W = {1, 2, 3, 4} dan R = {(2, 2), (2, 3), (1, 4), (3, 2)}. Apakah R transitif?

Jawab:

R tidaklah transitif karena (3,2)∈R, (2,3)∈R tetapi. (3,3)

∉

R.

29. Misalkan E = { 1, 2, 3}. Pandang relasi-relasi berikut dalam E :

R1 = {(1, 2), (2, 2)} R4 = {(1, 1)}

R2 = {(1, 2), (2, 3), (1, 3), (2, 1), (1, 1)} R5 = E x E

R3 = {(1,2)}

Nyatakan apakah relasi-relasi ini transitif atau tidak.

Jawab:

Masing-masing relasi ini transitif kecuali R2 , R2 tidak transitif karena

(2,1) ∈R2, (1,2) ∈R2 , tetapi (2,2)

∉

R2

30.Masing-masing kalimat terbuka berikut mendefinisikan suatu relasi R data bilangan-bilangan asli N. Nyatakan apakah masing-masingnya adalah suatu relasi refleksif atau tidak

(1) lebih kecil atau sama dengan y (2) “y habis dibagi oleh x

(3) " z + y = 10"

______________________________________________

Jawab:

(1) Karena a ≤ a untuk setiap a ∈ N maka (a, a) ∈ R. Oleh karena itu R adalah

refieksif.

(2) Karena setiap bilangan habis dibagi oleh dirinya sendiri maka relasi ini refleksif.

(3) Karena 3 + 3 ≠ 10 maka 3 tidaklah berhubungan dengan dirinya sendiri. Oleh karena itu R tidaklah refleksif.

(4) Pembagi terbesar untuk 5 dan 5 adalah 5; jadi (6, 5) ∈f R. Oleh karena itu R tidaklah retleksif.

31. Masing-masing kalimat terbuka berikut mendefinisikan suatu relasi R dalam bilangan-bilangan asli A. Nyatakan apakah masing-masingnya adalah relasi simetris atau tidak.

(1) “x lebih kecil daripada atau sama dengan y” (2) “x habis dibagi oleh y”

(3) “x + y = 10” (4) "x + 2y = 10”

Jawab:

(1) Karena 3 ≤ 5 tetapi 5 ≤ 3, maka (3,5)∈R dan (5,3)

∉

R.

Jadi R tidaklah simetris.

(2) Karena 4 habis dibagi oleh 2 tetapi 2 tidak habis dibagi oleh 4, maka (2,4)∈R dan (4,2)

∉

R. Oleh karena itu R tidaklah simetris.

(3) Jika a + b = 10 maka b + a = 10; atau dengan perkataan lain, jika (a, b)∈R

maka (b, a) ∈R. Oleh karena itu R adalah simetris.

(4) Perhatikan bahwa (2, 4)∈R , tetapi (4, 2)

∉

R , yakni 2 + 2(4) = 10 tetapi 4

+ 2(2) ≠10. Jadi R tidaklah simetris.

32. Buktikan: Misalkan R dan S adalah relasi-relasi simetris dalam himpunan A; maka R ∩ S adalah suatu relasi simetris dalam A.

______________________________________________

Pertama perhatikan bahwa R dan S adalah subhimpunan dari A x A; oleh karena itu R ∩ S adalah juga subhimpunan dari A x A dan dengan demikian adalah suatu relasi dalam A.

Misalkan (a, b) termasuk R ∩ S. Maka (a, b)∈R. dan (a, b)∈S. Karena R dan S adalah simetris, maka (b, a) juga termasuk R dan (b, a) juga termasuk S ;

oleh karena itu (b, a) ∈R ∩ S.

Dengan memperlihatkan bahwa jika (a, b)∈R ∩ S maka (b, a)∈R ∩ S. oleh karena itu R ∩ S adalah simetris.

33. Masing-masing kalimat terbuka berikut mendefinisikan suatu relasi R dalam bilangan-bilangan asli N. Nyatakan apakah masing-masing relasi ini anti-simetris atau tidak.

(1) "x lebih kecil daripada atau sama dengan y " (2) "x lebih kecil daripada y”

(3) "x + 2y = 10"

(4) "x habis dibagi oleh y"

Jawab:

(1) Karena a ≤ b dan b ≤ a menyatakan bahwa a = b, maka R anti-simetris.

(2) Jika a ≠ b, maka a < b atau b < a; oleh karena itu R anti-simetris.

(3) Himpunan jawab adalah R = {(2,4), (4,3), (6,2), (8,1)}. Perhatikan bahwa R

∩

_R

−1 _{= ∅, yang mana adalah subhimpunan dari "garis diagonal" N x N.} Oleh karena itu R anti-simetris.

(4) Karena b habis dibagi oleh a dan a habis dibagi oleh b menyatakan bahwa

a = b, maka R anti-simetris.

34. Masing-masing kalimat terbuka berikut mendefinisikan suatu relasi R dalam bilangan-bilangan asli N. Nyatakan apakah masing-masing relasi ini transitif atau tidak.

(1) "x lebih kecil daripada atau sama dengan y” (2) "y habis dibagi oleh x”

______________________________________________

(3) “x + y = 10”

(4) “x + 2y = 5”

Jawab:

(1) Karena a ≤ b dan b ≤ c menyatakan bahwa a ≤ c, maka relasi ini transitif.

(2) Jika y habis dibagi oleh x dan z habis dibagi oleh y, maka z habis dibagi oleh x, yaitu;

(x, y) ∈R , (y, z) ∈R menyatakan bahwa (x, z) ∈R.

Oleh karena itu R transitif

(3) Perhatikan bahwa 2 + 8 = 10, 8 + 2 = 10 dan 2 +2 ≠10; Yaitu, (2,8) ∈R , (8,2) ∈R tetapi (2,2)

∉

R

Oleh karena itu R tidak transitif.

(4) R tidak transitif, karena (3, 1)∈R , (1, 2)∈R tetapi (3,2)

∉

R; Yaitu,

3 + 2(l) = 5, 1 + 2(2) = 5 tetapi 3 + 2(2) ≠ 5

35. Buktikan jika suatu relasi R transitif, maka relasi invers

R

−1juga transitif

Jawab:

Misalkan (a,b) dan (b,c) termasuk

R

−1; maka (c,b)∈R dan (b,a)∈R. Karena

transitif maka (c,a) juga termasuk R; oleh karena itu (a,c)∈

R

−1.

Kita telah memperlihatkan bahwa jika (a,b)∈

R

−1, (b,c)∈

R

−1maka (a,c)∈ 1

R

− ; oleh karena itu

R

−1transitif.

36. Misalkan R adalah relasi dalam bilangan-bilangan asli N yang didefinisikan oleh kalimat terbuka "(x - y) dapat dibagi oleh 5"; yaitu misalkan

R = {(x, y) | x ∈N, y ∈N, (x - y) dapat dibagi oleh 5}

Buktikan bahwa R suatu relasi ekivalen.

Jawab:

Misalkan a∈N; maka (a - a) = 0 dapat dibagi oleh 5, dan oleh karena itu (a, a)∈R. Jadi R refleksif.

______________________________________________

Misalkan (a, b)∈R ; maka (a - b) dapat dibagi oleh 5, dan oleh karena itu (b - a) = -(a - b) juga dapat dibagi oleh 5. Jadi (b, a) termasuk R. Karena jika (a, b)∈R maka (b, a)∈R . Jadi R simetris,

Misalkan (a, b)∈R dan (b, c)∈R; maka (a - b) dan (b - c) masing-masing dapat

dibagi oleh 5. Oleh karena itu (a - c) - (a - b) + (b - c) juga dapat dibagi oleh 5, yang berarti (a, c) termasuk R. Karena jika, (a, b) ∈ R dan (b, c) ∈R maka (a,

c) ∈R . Jadi R adalah transitif.

Karena R refleksif, simetris dan transitif maka menurut definisi R suatu relasi ekivalen.

37. Misalkan R dan S adalah relasi-relasi dalam himpunan A. Buktikan kedua pernyataan berikut:

(1) Jika R dan S simetris maka R ∪ S simetris.

(2) Jika R refleksif dan S sebarang relasi maka R ∪ S refleksif. Jawab:

(1) Jika (a, b) ∈ R ∪ S , maka (a, b) termasuk R atau S, yang mana adalah

simetris. Oleh karena itu (b,a) juga termasuk R atau S. Maka (b, a) ∈R ∪ S dan dengan demikian R ∪ S simetris.

(2) R refleksif jika dan hanya jika R memuat "garis diagonal" D dari A x A. Tetapi D ⊂ R dan R ⊂ R ∪ S maka D ⊂ R ∪ S. Dengan demikian R ∪ S refleksif.

38. Misalkan R dan S adalah relasi-relasi dalam himpunan A. Perlihatkan bahwa masing-masing pernyataan berikut salah dengan memberikan contoh berlawanannya yaitu suatu contoh di mana pernyataan ini tidak benar.

(1) Jika R anti-simetris dan S anti-simetris maka R ∪ S anti-simetris,

(2) Jika R transitif dan S transitif maka R ∪ S transitif. Jawab:

(1)

R = {(l, 2)} dan S = {(2, 1)} masing-masingnya anti-simetris ; tetapi R ∪ S =

______________________________________________

(2)

R = {(1, 2)} dan S = {(2, 3)} masing-masingnya transitif; tetapi R ∪ S = {(1,

2), (2, 3)} tidak transitif.

39. Misalkan dua relasi R dan S yang didefinisikan sebagai R = {(x, y)|x∈R#, y

∈R#, y ≥ x2), dan S = {(x,y) | x ∈R#, y ∈ R#, y ≤ x + 2)

Perhatikan bahwa R dan S kedua-duanya adalah relasi dalam bilangan-bilangan riil.

(1) Buatlah sketsa relasi R ∩ S pada diagram koordinat R# x R#

(2) Carilah domain R ∩ S.

(3) Carilah jangkauan R ∩ S. Jawab:

(1) Buatlah sketsa R pada diagram koordinat R# x R#, berikan R arsiran

dengan garis-garis miring yang condong ke kanan (////); dan pada diagram koordinat yang sama, buatlah sketsa S dengan garis-garis miring yang condong ke kiri (\\\\), seperti diperlihatkan dalam Gambar 1. Maka daerah bergaris silang adalah R ∩ S. Jadi R ∩ S adalah yang diperlihatkan dalam

Gambar 2.

(2) Domain dari R ∩ S adalah [-1, 2], karena sebuah garis vertikal yang melalui

tiap-tiap titik dalam selang ini dan hanyalah titik-titik ini, akan memuat sebuah titik dari R ∩ S.

(3) Jangkauan dari R ∩ S adalah [0, 4], karena sebuah garis horizontal yang melalui tiap-tiap titik dalam selang ini dan hanyalah titik-titik ini, akan memuat sekurang-kurangnya satu titik dari R ∩ S.

R dan S yang disketsa

Gambar 1

(2, 4) (-1,1)

Gambar 2

(2, 4) (-1,1)

______________________________________________

40. Buktikan jika S, T, dan para

R

_i ( untuk semua i berjalan pada himpunan index I

) adalah relasi relasi pada A, maka berlaku (a)

(ST)

−1

=

T

−1

S

−1

(b)

(

I

_i

R )

_i −1

=

I

_i

R

_i−1 (c)

(

U

_i

R )

_i −1

=

U

_i

R

_i−1

Jawab:

Menggunakan definisi relasi sehingga diperoleh: (a).

(a, b)

∈

(ST)

−1

jika dan hanya jika (b, a)

∈

ST

( c

A) dengan (b, c) S

(c, a)

T

↔

∃ ∈

∈ ∧

∈

1 1

( c

A) dengan (c, b) S

−

(a, c)

T

−

↔

∃ ∈

∈

∧

∈

1 1

( c

A) dengan (a, c)

T

−

(c, b)

S

−

↔

∃ ∈

∈

∧

∈

1 1

(a, b)

T S

− −

↔

∈

Jadi

(ST)

−1

=

T

−1

S

−1

(b). Ambil index set

I

=

α β γ

,

, ,...

1

i i i i

(a, b)

∈

(

I

R )

−

jika dan hanya jika (b, a)

∈

I

R

(b, a) R

_α

(b, a)

R

_β

(b, a)

R

γ

...

↔

∈

∧

∈

∧

∈

∧

1 1 1

(a, b) R

−α

(a, b)

R

− β

(a, b)

R

−

γ

...

↔

∈

∧

∈

∧

∈

∧

1 i i

(a, b)

R

−

↔

∈

I

Jadi

(

I

_i

R )

_i −1

=

I

_i

R

_i−1 (c). Ambil index set

I

=

α β γ

,

, ,...

1 i i

(a,b)

∈

(

U

R )

− jika dan hanya jika

(b,a)

∈

U

_i

R

_i

↔

(b,a) R

∈

_α

∨

(b,a) R

∈

_β

∨

(b,a) R

∈

γ

∨

...

↔

(a,b) R

∈

−1_α

∨

(a,b) R

∈

−1_β

∨

(a,b) R

∈

−1

γ

∨

...

______________________________________________

↔

(a,b)

∈

U

_i

R

−1_i

Jadi

(

U

_i

R )

_i −1

=

U

_i

R

_i−1

SOAL SOAL LATIHAN

1. Misalkan R relasi pada A = {2, 3, 4, 5} di definisikan oleh “x dan y” relatif prima” yaitu pembagi bersama dari x dan y hanyalah bilangan “satu”

(a) Tuliskan R sebagai himpunan pasangan terurut. (b) Gambarkan R pada diagram koordinat A x A (c) Tentukan

R

−1.

2. Misalkan N = {1, 2, 3, …..} dan R relasi di N yang didefinisikan sebagai x + 2y = 8, yakni R = {(x, y) / x, y ∈ N, x + 2y = 8}

(a) Tulis R sebagai himpunan pasangan terurut. (b) Tentukan

R

−1.

3. Misalkan W = {1, 2, 3, 4}. Perhatikan relasi-relasi dalam W berikut ini :

R1 = {(1,1), (1,2)} R2 = {(1,1), (2,3), (4,1)} R3 = {(1,2), (2,4)} R4 = {(1,1), (2,2), (3,3)} R5 = W x W R6 = ∅

Selidiki apakah masing-masing relasi diatas bersifat (a) refleksif (b) simetris (c) transitif

4. Misalkan R relasi tegak lurus pada himpunan garis pada bidang. Tentukan apakah R : (i) refleksif (ii) Simetris (iii) transitif atau (iv) ekivalensi.

5. Misalkan W = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Tentukan apakah masing-masing berikut ini merupakan partisi pada W atau bukan:

______________________________________________

(a) [{1,3,5}, {2,4}, {3,6}] (c). [{1,5}, {2}, {4}, {1,5}, {3,6}]

(b) [{1,5}, {2}, {3,6}] (d). [ {1,2,3,4,5,6}] 6. Tentukan semua partisi dari A = {1,2,3}

7. Misalkan R adalah relasi dalam B = {2, 3, 4, 5, 6} yang didefinisikan oleh kalimat terbuka "| x - y | dapat dibagi oleh 3” Tuliskan R sebagai himpunan dari pasangan-pasangan terurut.

8. Misalkan C = {1, 2, 3, 4, 5}, dan relasi R dalam C adalah himpunan titik-titik yang diperlihatkan dalam diagram koordinat C x C berikut.

(a) Nyatakan apakah masing-masing pernyataan benar atau salah: (a) 1 R 4, (b) 2 R 5, (c) 3

R

1, (d) 5

R

3.

(b) Tuliskan masing-masing subhimpunan C berikut dalam bentuk pendaftaran:

{x | 3 R x} {x | (4, x)

∈

R}

{x | (x, 2)

∉

R}

{x | x R 5)

(c) Carilah domain dari R, (d) Tentukan jangkauan R, (e) Definisikan

R

−1

9. Diketahui R = {(x, y) | x

∈

R# , y

∈

R#, x2+ 4y2 ≤ 16}. (a) Buatlah sketsa R pada diagram koordinat R# x R#.

2 3 4 1 2 3 1 4 5 5 C C