Prawitasari, Elyine R. 2014
PROGRAM APLIKASI PENYELESAIAN MASALAH FUZZY TRANSSHIPMENT MENGGUNAKAN METODE MEHAR
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu BAB III
SOLUSI OPTIMAL MASALAH FUZZY TRANSSHIPMENT
3.1 METODE MEHAR
Pada tahun 2011, Kumar, et al. dalam jurnalnya yang berjudul “Fuzzy Linear
Programming Approach for Solving Fuzzy Transportation Problems with
Transshipment” memperkenalkan metode Mehar untuk menyelesaikan permasalahan transshipment dengan pola pengiriman sebagai berikut :
a. Dari sumber ke sumber lainnya b. Dari tujuan ke tujuan lainnya c. Dari tujuan ke sembarang sumber
Pada metode Mehar, biaya distribusi, jumlah komoditi yang tersedia, dan jumlah permintaan terhadap komoditi direpresentasikan oleh bilangan fuzzy trapesium. Metode Mehar sangat mudah dipahami dan diterapkan untuk mencari solusi optimal dari masalah fuzzy transshipment yang sesuai dengan kondisi sebenarnya karena berdasarkan pada konsep metode transportasi klasik. Keunggulan dari metode Mehar ini adalah selalu menghasilkan solusi optimal yang non negatif.
Misalkan permasalahan transshipment seperti yang disajikan pada Tabel 2.14. Berikut adalah algoritma dari metode Mehar untuk menyelesaikan permasalahan fuzzy transshipment ( Kumar et al., 2011 : 168 ) :
1. Hitung total ketersediaan ∑= ̃ dan total permintaan ∑ = ++ ̃ . Misalkan
∑= ̃ = , , , dan ∑ = ++ ̃ = ′, ′, ′, ′ . = banyaknnya
sumber dan = banyaknya tujuan.
a. Jika ∑= ̃ = ∑ = ++ ̃, maka permasalahan transshipment tersebut
sudah seimbang, lanjut ke langkah 2.
b. Jika ∑= ̃ ≠ ∑ = ++ ̃ , maka permasalahan transshipment tersebut
seimbang menjadi permasalahan transshipment yang seimbang dengan semua tujuan sebagai bilangan fuzzy trapesium nol.
Ongkos distribusi per unit produk dari semua sumber ke tujuan semu � + (kecuali dari sumber semu � + ) sebagai bilangan
fuzzy trapesium yang sangat besar, �, �, �, � .
ii) Jika ′, − ′− ′, − ′− ′, da� − ′− ′
maka tambahkan sebuah tujuan semu � + dengan permintaan fuzzy
− ′, − ′, − ′, − ′ pada tujuan semu � + dan tidak ada permintaan fuzzy (−) di sumber semu � + . Sumber semu � +
secara otomatis muncul karena tujuan semu � + telah ditambahkan
sebelumnya.
Asumsikan bahwa :
Ongkos distribusi per unit produk dari semua sumber ke tujuan semu � + sebagai bilangan fuzzy trapesium nol.
Ongkos distribusi per unit produk dari sumber semu � + (kecuali dari sumber semu � + ) ke semua tujuan sebagai
bilangan fuzzy trapesium yang sangat besar, �, �, �, � .
iii) Jika tidak memenuhi (i) atau (ii) maka tambahkan sumber semu � +
dan tujuan semu � + dengan ketersediaan fuzzy (maksimum {0,
}, maksimum {0, ’ − } + maksimum { , ’ − ’ − − } +
maksimum { , ’ − ’ − − }, maksimum {0, ’ − } +
maksimum { , ’ − ’ − − } + maksimum { , ’ − ’ −
− } + maksimum { , ’ − ’ − − }) pada sumber semu
� + dan tidak ada permintaan (−) pada sumber semu � + .
Permintaan fuzzy sebesar (maksimum {0, − ′}, maksimum {0,
− ′} + maksimum {0, − − ′ − ′ }, maksimum {0,
− ′} + maksimum { , − − ′ − ′ } + maksimum { , − − ′ − ′ }, maksimum {0, − ′} + maksimum { , − − ′ − ′ } + maksimum { , − − ′ − ′ } +
maksimum { , − − ′ − ′ }) di tujuan semu � + dan tidak
ada permintaan di tujuan semu � + . Tujuan semu � + dan sumber
semu � + secara otomatis muncul karena sumber semu � + dan
tujuan semu � + telah ditambahkan sebelumnya.
Asumsikan bahwa :
Ongkos distribusi per unit produk dari sumber semu � + ke semua tujuan dan dari semua sumber ke tujuan semu � +
sebagai bilangan fuzzy trapesium nol.
Ongkos distribusi per unit produk dari semua sumber ke tujuan semu � + (kecuali dari sumber semu � + ) dan dari sumber
semu � + (kecuali dari sumber semu � + ) ke semua tujuan
sebagai bilangan fuzzy trapesium yang sangat besar,
�, �, �, � .
2. Masalah transshipment yang seimbang memiliki + sumber dan +
tujuan, = atau + da� = atau + .
3. Tambahkan stok sementara �̃ = ∑= ̃ atau ∑ = ++ ̃ pada masing-
Tabel 3.1 Penambahan Stok pada Fuzzy Transshipment
4. Berdasarkan permasalahan transshipment pada Tabel 3.1, selesaikanlah permasalahan pemograman linier berikut :
Minimumkan ℜ(∑=+ ∑ =+ ̃ �̃ )
�̃ adalah bilangan fuzzy trapesium yang non negatif
Misalkan ∑=+ ∑ =+ ̃ �̃ = , , , , maka masalah
pemrograman linier fuzzy di atas dapat ditulis sebagai berikut :
∑ +
, , , adalah bilangan fuzzy trapesium yang non negatif.
6. Carilah solusi optimal , , , dengan cara menyelesaikan
pemograman linier crisp di poin 5.
7. Temukan solusi optimal fuzzy �̃ dengan mensubstitusi nilai dari
, , , ke �̃ = , , , .
8. Temukan total ongkos fuzzy minimum dengan mensubstitusikan nilai dari �̃
ke ∑=+ ∑ =+ ̃ �̃ .
3.2 STUDI KASUS MASALAH FUZZY TRANSSHIPMENT
3.2.1 Analisa Kasus
Dari jurnal yang berjudul “Fuzzy Linear Programming Approach for Solving Fuzzy Transportation Problem with Transshipment“, Kumar et al.
(2011 : 174) memberikan suatu permasalahan transshipment dengan dua buah
sumber dan dua buah tujuan. Ketersediaan fuzzy di sumber � dan � masing-masing adalah ̃ = (10,20,30,40) dan ̃ = (0,4,8,10). Permintaan fuzzy di
tujuan � dan � masing-masing adalah ̃ = (6,8,10,20) dan ̃ =
(10,16,18,20). Ongkos distribusi fuzzy untuk masalah transshipment tersebut adalah sebagai berikut :
Adapun pola pengiriman yang terjadi adalah sebagai berikut : a. Dari sumber ke sumber lainnya
b. Dari tujuan ke tujuan lainnya c. Dari tujuan ke sembarang sumber
tujuan yang lain terlebih dahulu. Artinya, daerah sumber dapat melakukan pengiriman ke daerah sumber lainnya dan daerah tujuan dapat melakukan pengiriman ke daerah tujuan lainnya. Biaya distribusi ke daerah transit disajikan pada Tabel 3.3.
Tabel 3.3 Ongkos Distribusi ke Daerah Transit
Sumber Tujuan Ongkos
� � (1,1,1,1)
� � (0,1,3,4)
Pendistribusian pun dapat terjadi dari tujuan ke sembarang sumber dan tidak ada perbedaan ongkos ditribusi dari tujuan ke sumber, artinya ongkos
distribusi dari � ke � sama dengan ongkos distribusi dari � ke �.
Permasalahan transshipment di atas digambarkan oleh tablo transshipment berikut :
Tabel 3.4 Model TransshipmentFuzzy
Tujuan
Sumber � � � �
Ketersediaan
̃
� (0,0,0,0) (1,1,1,1) (0,1,3,4) (2,3,5,6) (10,20,30,40)
� (1,1,1,1) (0,0,0,0) (1,3,5,7) (2,6,7,9) (0,4,8,12)
� (0,1,3,4) (1,3,5,7) (0,0,0,0) (0,1,3,4) -
� (2,3,5,6) (2,6,7,9) (0,1,3,4) (0,0,0,0) - Permintaan
̃ - - (6,8,10,20) (10,16,18,20)
Ketersediaan fuzzy di daerah sumber � = (10,20,30,40) merupakan
bilangan fuzzy trapesium dengan kurva sebagai berikut :
Kurva pada Gambar 3.1 merepresentasikan ketersediaan minimum di sumber
� adalah 10 unit dan maksimum 40 unit, sedangkan rata-rata jumlah komoditas yang selalu tersedia di � adalah antara 20-30 unit. Dengan
interpretasi yang sama, ketersediaan komoditas minimum di � adalah 0 unit, artinya tidak ada komoditas yang tersedia di � , dan maksimum 12 unit,
sedangkan rata-rata jumlah komoditas yang selalu tersedia di � antara 2-8
unit.
Permintaan fuzzy di daerah tujuan � = (6,8,10,20) merupakan bilangan fuzzy trapesium dengan kurva sebagai berikut :
Gambar 3.2 Kurva Permintaan Fuzzy
Kurva pada Gambar 3.2 merepresentasikan permintaan minimum di
tujuan � adalah 6 unit dan maksimum 20 unit, sedangkan rata-rata jumlah komoditas yang dibutuhkan oleh daerah tujuan � adalah antara 8-10 unit.
Dengan interpretasi yang sama, ketersediaan komoditas minimum di � adalah 10 unit dan maksimum 20 unit, sedangkan rata-rata jumlah komoditas
yang dibutuhkan oleh daerah tujuan � antara 16-18 unit.
Ongkos fuzzy untuk distribusi komoditas dari sumber � ke � =
Gambar 3.3 Kurva Permintaan Fuzzy
Kurva pada Gambar 3.3 merepresentasikan ongkos minimum untuk mengirim
per unit komoditas dari sumber � ke tujuan � adalah 0 satuan harga, artinya tidak ada biaya pengiriman yang harus dikeluarkan, dan maksimum 4 satuan harga, sedangkan rata-rata ongkos pengiriman yang harus dikeluarkan adaalah antara 1-3 satuan harga. Dengan interpretasi yang sama, ongkos minimum untuk mengirim per unit komoditas dari sumber � ke tujuan �
adalah 2 satuan harga dan maksimum 6 satuan harga, sedangkan rata-rata ongkos pengiriman yang harus dikeluarkan adaalah antara 2-3 satuan harga. Ongkos minimum untuk mengirim per unit komoditas dari sumber � ke
tujuan � adalah 1 satuan harga dan maksimum 7 satuan harga, sedangkan rata-rata ongkos pengiriman yang harus dikeluarkan adaalah antara 3-5 satuan harga. Ongkos minimum untuk mengirim per unit komoditas dari sumber �
ke tujuan � adalah 2 satuan harga dan maksimum 9 satuan harga, sedangkan
rata-rata ongkos pengiriman yang harus dikeluarkan adaalah antara 6-7 satuan harga. Ongkos minimum untuk mengirim per unit komoditas dari sumber � ke sumber � adalah 1 satuan harga. Ongkos minimum untuk mengirim per
unit komoditas dari sumber � ke tujuan � adalah 0 satuan harga, artinya
3.2.2 Penyelesaian
Permasalahan transshipment di atas akan diselesaikan menggunakan metode Mehar melalui langkah-langkah berikut :
Langkah 1
∑ ̃ ≠ ∑ ̃, maka masalah transshipment tersebut tidak seimbang.
= [ , + , + + , + + + ]
= [ , , , ]
∑= ̃ = ∑= ̃ ̃
= , , , , , ,
= + , + , + , +
= , , ,
∑ = ̃ = ∑ = ̃ ̃
= , , , , , ,
= + , + , + , +
= , , ,
∑ ̃ = , , , = ∑ ̃ .
Sekarang, model sudah seimbang. (Lihat Tabel 3.5)
Langkah 2
Menambahkan stok sementara.
�̃ = ∑ ̃ ( ∑ ̃ ) = , , ,
̃� = ̃ �̃ = , , , , , ,
= + , + , + , +
= , , ,
̃� = ̃ �̃ = , , , , , ,
= + , + , + , +
= , , ,
̃� = ̃ �̃ = , , , , , ,
= + , + , + , +
= , , ,
̃� = �̃ = , , ,
̃� = �̃ = , , ,
̃� = �̃ = , , ,
̃� = �̃ = , , ,
̃� = �̃ = , , ,
̃� = ̃ �̃= , , , , , ,
= + , + , + , +
= , , ,
̃� = ̃ �̃= , , , , , ,
= + , + , + , +
= , , ,
̃� = ̃ �̃= , , , , , ,
= + , + , + , +
= , , ,
Sehingga, model transshipment sekarang seperti terlihat pada Tabel 3.6.
Langkah 3
Bentuk pemrograman linier fuzzy dari model transshipment pada tabel 3.6 adalah sebagai berikut :
� ∶
, , , �̃ , , , �̃ , , , �̃ , , , �̃
�, �, �, � �̃ , , , �̃ , , , �̃ , , ,
�̃ , , , �̃ , , , �̃ �, �, �, � �̃
, , , �̃ , , , �̃ , , , �̃ , , , �̃
, , , �̃ �, �, �, � �̃ , , , �̃ , , ,
�̃ , , , �̃ , , , �̃ , , , �̃ �, �, �, �
�̃ , , , �̃ , , , �̃ , , , �̃ , , ,
�̃ , , , �̃ , , , �̃ , , , �̃ �, �, �, �
� ∶
Konversikan ke bentuk pemrograman linier crisp menggunakan fungsi ranking, sehingga permasalahan tersebut menjadi seperti berikut :
Prawitasari, Elyine R. 2014
PROGRAM APLIKASI PENYELESAIAN MASALAH FUZZY TRANSSHIPMENT MENGGUNAKAN METODE MEHAR
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
+ + + + + = + + + + + = + + + + + =
+ + + + + = + + + + + = + + + + + =
+ + + + + = + + + + + = + + + + + =
+ + + + + = + + + + + = + + + + + =
+ + + + + = + + + + + = + + + + + =
+ + + + + = + + + + + = + + + + + =
+ + + + + = + + + + + = + + + + + =
+ + + + + = + + + + + = + + + + + =
+ + + + + = + + + + + =
+ + + + + = + + + + + = − , − ,
+ + + + + = + + + + + = − , ∀ ,
+ + + + + = + + + + + =
+ + + + + = + + + + + =
+ + + + + = + + + + + =
+ + + + + = + + + + + =
+ + + + + = + + + + + =
+ + + + + = + + + + + =
Tabel 3.5 Model Transshipment Sudah Seimbang
Tujuan
Sumber � � � � � �
Ketersediaan
̃
� (0,0,0,0) (1,1,1,1) (0,1,3,4) (2,3,5,6) (M,M,M,M) (0,0,0,0) (10,20,30,40)
� (1,1,1,1) (0,0,0,0) (1,3,5,7) (2,6,7,9) (M,M,M,M) (0,0,0,0) (0,4,8,12)
� (0,1,3,4) (1,3,5,7) (0,0,0,0) (0,1,3,4) (M,M,M,M) (0,0,0,0) -
� (2,3,5,6) (2,6,7,9) (0,1,3,4) (0,0,0,0) (M,M,M,M) (0,0,0,0) -
� (0,0,0,0) (0,0,0,0) (0,0,0,0) (0,0,0,0) (0,0,0,0) (0,0,0,0) (6,6,6,6)
� (M,M,M,M) (M,M,M,M) (M,M,M,M) (M,M,M,M) (M,M,M,M) (0,0,0,0) -
Permintaan
̃ - - (6,8,10,20) (10,16,18,20) - (0,6,16,18)
Tabel 3.6 Model Transshipment Ditambah Stok Sementara
Tujuan
Sumber � � � � � �
Ketersediaan
̃
� (0,0,0,0) (1,1,1,1) (0,1,3,4) (2,3,5,6) (M,M,M,M) (0,0,0,0) (26,50,74,98)
� (1,1,1,1) (0,0,0,0) (1,3,5,7) (2,6,7,9) (M,M,M,M) (0,0,0,0) (16,34,52,70)
� (0,1,3,4) (1,3,5,7) (0,0,0,0) (0,1,3,4) (M,M,M,M) (0,0,0,0) (16,30,44,58)
� (2,3,5,6) (2,6,7,9) (0,1,3,4) (0,0,0,0) (M,M,M,M) (0,0,0,0) (16,30,44,58)
� (0,0,0,0) (0,0,0,0) (0,0,0,0) (0,0,0,0) (0,0,0,0) (0,0,0,0) (22,36,50,64)
� (M,M,M,M) (M,M,M,M) (M,M,M,M) (M,M,M,M) (M,M,M,M) (0,0,0,0) (16,30,44,58)
Permintaan
Langkah 4
Permasalahan di atas digambarkan pada Tabel 3.7
Masalah transshipment tersebut akan diselesaikan dengan menggunakan metode Least Cost. Pemilihan sel basis harus sangat
hati-hati karena cukup banyak ongkos distribusi yang bernilai 0. Oleh
karena itu, akan lebih baik bila mengutamakan sel diagonal (entri baris dan kolom sama, i= j). Hal tersebut dilakukan agar bisa mengeliminasi stok sementara yang ditambahkan sebelumnya. Misalkan yang pertama
dipilih adalah sel .
Alokasikan � = �i� k�t��s�diaa� , p���i�taa�
Tabel 3.7 Ongkos Distribusi Bilangan Fuzzy
akibatnya kolom 1 tidak terpilih lagi (Lihat Tabel 3.8). Lakukan hal yang serupa untuk seluruh sel diagonal (i= j). Hasilnya seperti yang terlihat pada Tabel 3.9.
Tabel 3.8 Penyelesaian Ongkos Distribusi Bilangan Fuzzy
Menggunakan Metode Least Cost, Peraga 1
Pada Tabel 3.9 terlihat bahwa = = = adalah ongkos
terkecil, pilih salah satu diantara ketiga sel tersebut untuk dijadikan variabel basis selanjutnya. Misal , maka � = �i� , = ,
k�t��s�diaa� = − = , p���i�taa� = − = . Selanjutnya kolom 3 tidak dapat dipilih kembali.
Tabel 3.9 Penyelesaian Ongkos Distribusi Bilangan Fuzzy
Menggunakan Metode Least Cost, Peraga 2
Ketersediaan
� � � � � � 10
� � � � � � 0
� 0 � 0 � 0 � � � 0 0
� � � � � � 0
� 0 � 0 � 0 � 0 0 � 0 6
� � � � � � � � � � 16
Permintaan 0 0 6 10 0 16
Selanjutnya dari Tabel 3.10 diketahui bahwa = adalah ongkos
terkecil, maka sel tersebut merupakan variabel basis selanjutnya.
� = �i� , = , k�t��s�diaa� = − = , p���i�taa� =
− = . Baris 5 tidak dapat dipilih kembali. Kini yang tersisa hanya
Tabel 3.10 PenyelesaianOngkos Distribusi Bilangan Fuzzy
Menggunakan Metode Least Cost, Peraga 3
Tabel 3.11 PenyelesaianOngkos Distribusi Bilangan Fuzzy
Menggunakan Metode Least Cost, Peraga 4
Selanjutnya adalah memeriksa apakah solusi fisibel awal yang diperoleh pada Tabel 3.11 memang sudah optimal atau belum mengunakan metode MODI. Langkah pertama, yaitu menentukan
multiplier dan dengan pedoman = untuk seluruh variabel
basis, sehingga = + . Variabel-variabel basisnya adalah
� , � , � � , � , � , � ,� dan � . Sisanya non basis.
Variabel basis terbanyak berada pada baris ke-1 dan kolom ke-4. Pilih salah satu, misalkan baris ke-1, sehingga didefinisikan sebagai 0. Nilai multiplier yang lain sebagai berikut :
= + menjadi variabel masuk. Nilai tersebut didapat melalui persamaan
= + − = (− + ) − = −
= + − = (− + ) − = −
Opportunity cost sel 34 bernilai positif, artinya kemungkinan solusi fisibel awal belum optimal sehingga perlu dilakukan realokasi dengan
menggunakan loop yang berawal dari sel 34. Diperoleh loop �+ →
�− → �+ → �−. Loop tersebut melibatkan sel 33 dengan tanda (-), itu
artinya jika realokasi dilakukan maka akan mengakibatkan stok di sel 33 kurang dari stok semu �̃ = yang ditambahkan sebelumnya. Selain
itu, realokasi juga akan mengakibatkan pemindahan beban sebanyak min(�−, �− = , = dari sel 33 ke sel 13. Hal ini tidak mungkin dilakukan karena stok bersifat semu atausebenarnya tidak ada. Karena tidak terdapat loop lain yang bisa dibuat dari sel 34 tanpa melibatkan sel
33, maka solusi fisibel yang diperoleh pada Tabel 3.11 sudah optimal.
Permasalahan tersebut ditransformasikan pada Tabel 3.12.
Tabel 3.12 Ongkos Distribusi Bilangan Fuzzy
Ketesediaan
� 50
� 34
0 � 0 30
� 30
0 0 0 0 0 0 36
� � � � � 30
Permintaan
30 30 38 46 30 36
Masalah transshipment tersebut diselesaikan menggunakan metode Least Cost dengan solusi fisibel awal seperti yang terlihat pada Tabel 3.13.
Tabel 3.13 Solusi Fisbel Awal Bilangan Fuzzy
Ketersediaan
� � � 50
� � � � � 34
� � 0 � � � � 0 30
� � � � � � 30
� 0 � 0 0 � 0 0 � 0 36
� � � � � � � � � � 30
Iterasi 1
Langkah pertama, yaitu menentukan multiplier dan . Dari Tabel
3.13 diperoleh 11 variabel basis, yaitu � , � , � , � , � , � , � ,
� , � ,� dan � . Sisanya non basis.
Karena variabel basis terbanyak berada pada baris ke-1 maka dimisalkan sebagai 0. Adapun Nilai multiplier yang diperoleh adalah sebagai berikut :
= , = , = − , = − , = − , =
= , = − , = , = , = , =
Opportunity cost pada seluruh variabel non basis adalah sebagai
berikut :
= − , = −�− , = , = , = −�− ,
= , =− , =− , = , =−�,
= − , = − , =− , = − , = −�+ ,
= − , =− , = − , = , =− ,
= −�, = −�+ , =−�− , =−�− , = −�−
Terdapat opportunity cost yang non negatif, yaitu sel 21, 23, 26, 34, dan 54. Opportunity cost terbesar ada pada sel 26, maka realokasi terjadi pada
loop yang berawal dari sel 34. Diperoleh loop �+ → �− → �+ → �− (Lihat Tabel 3.14).
Pada Tabel 3.14 Nilai � terkecil dari variabel bertanda (-) adalah
4 pada sel 26. Alokasikan sebanyak 4 unit pada loop tersebut. Sehingga,
� = + = � = + =
� = − = � = − =
Variabel basisnya kini adalah � = , � = , � = , � = ,
Tabel 3.14 Loop Iterasi 1 Least Cost, Bilangan Fuzzy
� + � � − 0
� � − � � �+
� � 0 � � � � 0 −
� � � � � �
−
� 0 � 0 0 � 0 0 � 0 −
� � � � � � � � � � 0
0 − 0
Iterasi 2
Variabel basis terbanyak dari hasil iterasi 1 berada pada baris ke-1, maka dimisalkan sebagai 0. Dari sini bisa diperoleh nilai multiplier yang lainnya (Lihat Tabel 3.15).
Tabel 3.15 Solusi Fisibel Iterasi 1 Least Cost, Bilangan Fuzzy
30 0 � � � 0
� 30 0 � � � � 4
� � 30 0 � � � � 0 −
� � � 30 0 � � � −
� 0 � 0 0 � 0 30 0 � 0 −
� � � � � � � � � � 30 0 0
Nilai opportunity cost dari variabel non basisnya sebagai berikut :
= − , =−�− , = − , =− , = − ,
= −�− , = − , = − , = , = −�,
=− , = − , = −9, =− , =−�+ ,
=− , = − , =− , = , = − ,
=−�, = −�, = −�− , =−�− , =−�−
Opportunity cost yang paling positif ada pada sel 54. Loop yang dapat dibuat adalah �+ → �− → �+ → �− . Realokasikan sebanyak
�i� �−, �− = �i� , = . Sehingga,
� = + = � = + =
� = − = � = − =
Variabel basisnya kini adalah � = , � = , � = , � = ,
� = , � = , � = , � = , � = ,� = dan � = .
Iterasi 3
Variabel basis terbanyak dari hasil iterasi 2 berada pada baris ke-1, maka dimisalkan sebagai 0. Dari sini bisa diperoleh nilai multiplier yang lainnya (Lihat Tabel 3.16).
Dengan menggunakan nilai multiplier yang ada pada Tabel 3.16 diperoleh nilai opportunity cost dari variabel non basis, yaitu sebagai berikut :
= − , =−�− , = − , =− , = − ,
= −�− , = − , = − , = , =−�− ,
=− , = − , = −9, =− , = −�,
=− , = − , =− , = , = − ,
Tabel 3.16 Solusi Fisibel Iterasi 2 Least Cost, Bilangan Fuzzy
ditambahkan sebelumnya. Selain itu, realokasi juga akan mengakibatkan pemindahan beban sebanyak min(�−, �− = , = dari sel 33 ke
sel 13. Hal ini tidak mungkin dilakukan karena stok yang dipindahkan tersebut bersifat semu atau sebenarnya tidak ada. Oleh karena tidak terdapat loop lain yang bisa dibuat dari sel 34 tanpa melibatkan sel 33, maka solusi fisibel yang diperoleh pada Tabel 3.16 sudah optimal.
+ + + + + =
Permasalahan di atas digambarkan pada Tabel 3.17. Tabel 3.17 Ongkos Distribusi Bilangan Fuzzy
Masalah transshipment tersebut diselesaikan menggunakan metode Least
Cost dengan solusi fisibel awal seperti yang terlihat pada Tabel 3.18.
Tabel 3.18 Solusi Fisbel Awal Bilangan Fuzzy
Ketersediaan
� � � 74
� � � � � 52
� � 0 � � � � 0 44
� � � � � � 44
� 0 � 0 0 � 0 0 � 0 50
� � � � � � � � � � 44
Permintaan 44 44 54 62 44 60
Iterasi 1
Menentukan multiplier dan . Dari Tabel 3.18 diperoleh 11 variabel
basis, yaitu � , � , � , � , � , � , � , � , � ,� dan � . Sisanya non basis.
Karena variabel basis terbanyak berada pada baris ke-1 maka
dimisalkan sebagai 0. Adapun Nilai multiplier yang diperoleh adalah sebagai berikut :
= , = , = − , = − , = − , =
= , = , = , = , = , =
Opportunity cost pada seluruh variabel non basis adalah sebagai
berikut :
= − , = −�− , = − , = − , =− ,
=−�− , =− , = − , = − , =−�,
= − , = − , = − , = − , = −�+ ,
= −�, = −�, =−�− , = −�− , = −�−
Terdapat opportunity cost yang non negatif, yaitu sel 54. Diperoleh loop
�+ → �− → �+ → �−. Realokasikan sebanyak �i� �−, �− =
�i� , = . Sehingga,
� = + = � = + =
� = − = � = − =
Variabel basisnya kini adalah � = , � = , � = , � = ,
� = , � = , � = , � = , � = , � = dan
� = .
Iterasi 2
Variabel basis terbanyak dari hasil iterasi 1 berada pada baris ke-1, maka dimisalkan sebagai 0. Dari sini bisa diperoleh nilai multiplier yang
lainnya (Lihat Tabel 3.19).
Tabel 3.19 Solusi Fisibel Iterasi 1 Least Cost, Bilangan Fuzzy
� � � 0
� � � � �
� � 0 � � � � 0 −
� � � � � �
−
� 0 � 0 � 0 0 0 � 0 −
� � � � � � � � � � 0
Nilai opportunity cost dari variabel non basisnya sebagai berikut :
Semua nilai opportunity cost bernilai non negatif, artinya solusi fisibel pada Tabel 3.19 sudah optimal.
Permasalahan di atas digambarkan pada Tabel 3.20.
3.21. Selanjutnya adalah memeriksa apakah solusi fisibel awal yang diperoleh pada Tabel 3.21 memang sudah optimal atau belum mengunakan metode MODI.
Tabel 3.20 Ongkos Distribusi Bilangan Fuzzy
Iterasi 1
Menentukan multiplier dan . Dari Tabel 3.21 diperoleh 11 variabel
basis, yaitu � , � , � , � , � , � , � , � , � ,� dan � .
Sisanya non basis.
Karena variabel basis terbanyak berada pada baris ke-1 maka
dimisalkan sebagai 0. Adapun Nilai multiplier yang diperoleh adalah sebagai berikut :
Tabel 3.22 Solusi Fisibel Iterasi 1 Least Cost, Bilangan Fuzzy
� 20 14 � � 6 0
� � � 9 � � 12 0
� � 0 � � � � 0 −
� � 9 � � � �
−
� 0 � 0 � 0 0 0 � 0 −
� � � � � � � � � � 0
0 0 1 1 0
Nilai opportunity cost dari variabel non basisnya sebagai berikut :
= − , = −�− , =− , = − , = − ,
=−�− , = − , =− , = − , =−�− ,
= − , = − , =− , = − , = −�,
=− , =− , =− , = − , = − ,
=−�, = −�, = −�− , =−�− , =−�− .
Semua nilai opportunity cost bernilai non negatif, artinya solusi fisibel pada Tabel 3.22 sudah optimal.
Selanjutnya adalah mengecek apakah variabel keputusan dari
masing-masing bilangan fuzzy , , , dan sudah memenuhi syarat :
− , − , −
Tabel 3.23 Seluruh Variabel Keputusan Pemrograman Linier Crisp
memenuhi syarat bahwa − haruslah bernilai non negatif. Oleh karena
itu perlu dilakukan pemindahan beban untuk menambah beban pada agar
dapat memenuhi − . Jadi, pada sekurang-kurangnya harus
diberi tambahan beban sebanyak 2 unit. Perlu dicari terlebih dahulu loop yang bisa memberikan beban tambahan ke . Loop tersebut dapat dilihat pada Tabel 3.24.
Semua nilai pemindahan beban dari loop pada Tabel 3.24 berharga positif. Itu artinya realokasi akan mengakibatkan kenaikan pada total ongkos distribusi. Oleh karena itu loop yang harus dipilih adalah loop dengan nilai pemindahan beban paling kecil agar kenaikan total ongkos distribusi seminimum mungkin. Jadi, loop yang terpilih adalah loop dengan variabel masuk � . Alokasikan sebanyak 2 unit ke dalam loop tersebut sehingga,
� = + = � = + =
Langkah 5
Substitusikan variabel keputusan crisp yang diperoleh ke variabel fuzzy
�̃ = , , ,
�̃ = , , , , �̃ = , , , , �̃ = , , , ,
�̃ = , , , , �̃ = , , , , �̃ = , , , ,
�̃ = , , , , �̃ = , , , , �̃ = , , , ,
�̃ = , , , , �̃ = , , , , �̃ = , , , .
Langkah 6
Menentukan total ongkos fuzzy minimum dengan mensubstitusikan nilai dari
�̃ ke ∑=+ ∑ =+ ̃ �̃ .
̃ �̃ = , , , , , , = , , ,
̃ �̃ = , , , , , , = , , ,
̃ �̃ = , , , , , , = , , ,
̃ �̃ = , , , , , , = , , ,
̃ �̃ = , , , , , , = , , ,
̃ �̃ = , , , , , , = , , ,
̃ �̃ = , , , , , , = , , ,
̃ �̃ = , , , , , , = , , ,
̃ �̃ = , , , , , , = , , ,
̃ �̃ = , , , , , , = , , ,
̃ �̃ = , , , , , , = , , ,
̃ �̃ = , , , , , , = , , ,
, , ,
Dari hasil yang diperoleh, maka pengiriman yang terjadi antara lain : a. Dari � ke � dikirim sebanyak �̃ = , , ,
Dengan total ongkos pengiriman fuzzy sebesar , , , . Dengan kata