Pengantar :
Banyak kejadian dalam kehidupan sehari-hari yang
sulit
diketahui dengan pasti
, terutama kejadian yang akan
datang.
Meskipun kejadian-kejadian tersebut tidak pasti, tetapi
kita bisa melihat fakta-fakta yang ada untuk menuju
derajat kepastian atau derajat keyakinan
bahwa
sesuatu akan terjadi.
Derajat / tingkat kepastian atau keyakinan dari
munculnya hasil percobaan statistik disebut
Probabilitas (Peluang),
yang dinyatakan dengan
P
.
Konsep dan definisi dasar
Eksperimen/percobaan probabilitas
adalah segala kegiatan
dimana suatu hasil (
outcome
) diperoleh.
Ruang sampel
adalah himpunan seluruh kemungkinan
outcome dari suatu eksperimen/percobaan. Biasanya
dinyatakan dengan
S
. Banyaknya outcome dinyatakan
dengan
n(S)
.
Peristiwa/kejadian
adalah himpunan bagian dari outcome
Contoh :
Dilakukan
eksperimen,
yaitu diperiksa 3 buah sekring satu
persatu secara berurutan dan mencatat kondisi sekring tersebut
dengan memberi notasi B untuk sekring yang baik dan R untuk
sekring yang rusak.
Maka
ruang sampel
pada eksperimen probabilitas pemeriksaan
tersebut adalah S = {BBB, BBR, BRB, RBB, BRR, RBR, RRB, RRR}.
Jumlah outcome dalam ruang sampel S adalah n(S) = 2
3= 8.
Jika A menyatakan
peristiwa
diperoleh satu sekring yang rusak,
maka A = {BBR, BRB, RBB}. Jumlah outcome dalam ruang
peristiwa adalah n(A) = 3.
Definisi probabilitas
Bila kejadian A terjadi dalam
m
cara dari seluruh
n
cara
yang mungkin terjadi dan masing-masing
n
cara itu
mempunyai kesempatan yang sama untuk muncul,
maka probabilitas kejadian A, ditulis
P(A),
dapat
dituliskan :
n
m
S
n
A
n
A
P
)
(
)
(
Sifat-sifat probabilitas kejadian A :
0
P(A)
1
, artinya nilai probabilitas kejadian A
selalu terletak antara 0 dan 1
P(A) = 0
, artinya dalam hal kejadian A tidak
terjadi (himpunan kosong), maka probabilitas
kejadian A adalah 0. Dapat dikatakan bahwa
kejadian A
mustahil
untuk terjadi.
P(A) = 1
, artinya dalam hal kejadian A, maka
probabilitas kejadian A adalah 1. Dapat dikatakan
bahwa kejadian A
pasti
terjadi.
Contoh (1):
Sebuah koin dilemparkan 2 kali. Berapakah probabilitas bahwa
paling sedikit muncul satu muka?
Jawab :
Misal M = Muka , B = Belakang
Ruang sampel untuk percobaan ini adalah S = {MM, MB, BM, BB}
Kejadian A = muncul paling sedikit satu muka adalah A = {MM,
MB, BM}
Jadi, Probabilitas bahwa paling sedikit muncul satu muka adalah
4
3
)
(
)
(
)
(
S
n
A
n
A
Contoh (2):
Suatu campuran kembang gula berisi 6 mint, 4 coffee, dan 3 coklat.
Bila seseorang membuat suatu pemilihan acak dari salah satu
kembang gula ini, carilah probabilitas untuk mendapatkan : (a) mint,
dan (b) coffee atau coklat.
Jawab :
Misal, M = mint , C = coffee , T = coklat
(a). Probabilitas mendapatkan mint =
𝑃 𝑀 =
𝑛(𝑀)𝑛(𝑆)
=
6 13(b). Probabilitas mendapatkan coffee atau coklat =
Probabilitas kejadian majemuk (1):
Bila A dan B kejadian sembarang pada
ruang sampel S, maka probabilitas
gabungan kejadian A dan B adalah
kumpulan semua titik sampel yang ada
pada A atau B atau pada keduanya.
)
(
)
(
)
(
)
(
A
B
P
A
P
B
P
A
B
Bila A, B, dan C kejadian sembarang
pada ruang sampel S, maka probabilitas
gabungan kejadian A, B, dan C adalah :
10
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
C
B
A
P
C
B
P
C
A
P
B
A
P
C
P
B
P
A
P
C
B
A
P
Contoh :
Kemungkinan bahwa Ari lulus ujian Matematika adalah
23
dan kemungkinan ia lulus Bahasa Inggris adalah
49
. Bila
probabilitas lulus keduanya adalah
14
, berapakah
Jawab
Bila M adalah kejadian lulus matematika, dan B adalah
kejadian lulus bahasa inggris, maka :
Probabilitas Ari lulus salah satu pelajaran tersebut adalah :
P(M
B) = P(M) + P(B)
–
P(M
B)
=
23
+
49
–
1 4=
3136
Dua kejadian saling bebas (independen)
Dua kejadian dikatakan
saling bebas (independen)
jika
terjadinya kejadian yang satu
tidak mempengaruhi
kemungkinan terjadinya kejadian yang lain.
Ketika melempar koin dua kali, hasil dari lemparan pertama tidak
mempengaruhi hasil dari lemparan kedua
Ketika mengambil dua kartu dari satu set kartu permainan (52
kartu), kejadian 'mendapatkan raja (K)' pada kartu pertama dan
kejadian 'mendapatkan kartu hitam' pada kartu kedua adalah
Untuk dua kejadian saling bebas,
A
dan
B
, peluang untuk
keduanya terjadi,
P
(
A
dan
B
),
adalah hasil perkalian
antara peluang dari masing-masing kejadian.
𝑃 𝐴 𝑑𝑎𝑛 𝐵 = 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 𝑥 𝑃(𝐵)
Contoh
Misalnya, ketika melempar koin dua kali, peluang mendapat 'kepala' (K) pada lemparan pertama lalu mendapat 'ekor' (E) pada lemparan kedua adalah :
𝑃 𝐾 ∩ 𝐸 = 𝑃 𝐾 𝑥 𝑃(𝐸)
Kejadian saling lepas
Dua kejadian dikatakan saling lepas jika kedua kejadian tersebut tidak dapat terjadi secara bersamaan.
Ketika melempar sekeping koin, kejadian 'mendapat kepala' dan kejadian 'mendapat ekor' adalah saling lepas, sebab keduanya tidak mungkin
terjadi secara bersamaan.
Ketika melempar sebuah dadu bermata 6, kejadian 'mendapat 1' dan
kejadian 'mendapat 4' adalah saling lepas, sebab keduanya tidak mungkin terjadi secara bersamaan.
Tetapi kejadian 'mendapat 3' dan kejadian 'mendapat bilangan ganjil'
adalah tidak saling lepas, sebab keduanya bisa terjadi secara bersamaan. (yaitu ketika mendapatkan 3, yang juga berarti mendapat bilangan ganjil)
Dua kejadian saling lepas (
disjoint
events atau mutually exclusive):
Bila A dan B dua kejadian saling lepas, maka
berlaku :
)
(
)
(
)
(
A
B
P
A
P
B
P
)
(
)
(
)
(
)
(
A
B
C
P
A
P
B
P
C
P
Bila A, B, dan C tiga kejadian saling lepas,
Contoh
Ketika memilih bola secara acak dari keranjang yang berisi
3 bola biru, 2 bola hijau, dan 5 bola merah, peluang
mendapat bola biru
atau
merah adalah :
𝑃 𝐵𝑖𝑟𝑢 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑀𝑒𝑟𝑎ℎ = 𝑃 𝐵 ∪ 𝑀 = 𝑃 𝐵 + 𝑃(𝑀)
=
310
+
5 10=
810
Untuk kejadian yang
tidak saling lepas
peluang
terjadinya salah satu atau keduanya adalah :
)
(
)
(
)
(
)
(
A
B
P
A
P
B
P
A
B
Contoh :
Berapakah probabilitas mendapatkan total 7 atau 11 bila sepasang
dadu dilemparkan?
Jawab :
Bila A adalah kejadian diperoleh total 7, maka A = {(1,6), (6,1), (2,5),
(5,2), (3,4), (4,3)}
Bila B adalah kejadian diperoleh total 11, maka B = {(5,6), (6,5)}
Sehingga probabilitas mendapatkan total 7 atau 11 adalah :
P(A
B) = P(A) + P(B)
–
P(A
B)
= 6/36 + 2/36
–
0
= 8/36
Dua kejadian saling komplementer:
Bila A dan A’ dua kejadian dalam S yang saling
komplementer, maka berlaku :
)
(
1
)
'
(
A
P
A
Contoh:
Pada pelemparan dua dadu, jika A adalah kejadian munculnya muka dadu sama,
hitunglah probabilitas munculnya muka dua dadu yang tidak sama.
Jawab :
Misal A = kejadian munculnya muka dua dadu yang sama
= {(1,1), (2,2) , (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)} maka P(A) = 6/36
Sehingga,
Probabilitas munculnya muka dua dadu yang tidak sama = P(A’) adalah:
P(A’) = 1 – P(A) = 1 – 6/36 = 30/36
Probabilitas bersyarat (conditional probability):
Adalah probabilitas suatu kejadian B terjadi dengan
syarat kejadian A lebih dulu terjadi atau akan terjadi
atau diketahui terjadi.
Ditunjukkan dengan P(B
A) yang dibaca “probabilitas
dimana B terjadi karena A terjadi”
0
)
(
),
|
(
B
A
jika
P
A
Contoh (1):
Misalkan dipunyai kotak berisi 20 sekering, 5 diantaranya rusak. Bila 2 sekering diambil dari kotak satu demi satu secara acak tanpa
mengembalikan yang pertama ke dalam kotak. Berapakah peluang kedua sekering itu rusak?
24
Jawab :
Misalkan A = kejadian sekering pertama rusak B = kejadian sekering kedua rusak
Maka peluang kedua sekering itu rusak = P(A B) P(A B) = P(A). P(BA)
= 5 20 .
4 19 = 1
Contoh (2):
Berdasarkan hasil 100 angket yang dilakukan untuk mengetahui respon
konsumen terhadap pasta gigi rasa jeruk (J) dan pasta gigi rasa
strawbery (S), diperoleh informasi sebagai berikut : 20 pria menyukai
rasa jeruk, 30 wanita menyukai rasa jeruk, 40 pria menyukai rasa
strawbery, dan 10 wanita menyukai rasa strawbery.
Apabila kita bertemu dengan seorang pria, berapa probabilitas ia
menyukai pasta gigi rasa strawbery?
Apabila kita bertemu dengan seorang wanita, berapa probabilitas ia
menyukai pasta gigi rasa jeruk?
Apabila kita bertemu dengan seorang yang menyukai pasta gigi rasa
jeruk, berapa probabilitas ia adalah pria?
Jawab:
Misal
W = Wanita, dan P = Pria,
S = pasta gigi rasa Strawbery, dan J = pasta gigi rasa jeruk.
Maka,
Apabila kita bertemu dengan seorang pria, berapa
probabilitas ia menyukai pasta gigi rasa strawbery adalah
26
Responsen J S Jumlah
P 20 40 60
W 30 10 40
Jumlah 50 50 100
Jawab:
Misal
W = Wanita, dan p = Pria,
S = pasta gigi rasa Strawbery, dan J = pasta gigi rasa jeruk.
Apabila kita bertemu dengan seorang wanita, berapa probabilitas ia menyukai pasta gigi rasa jeruk adalah
Responsen J S Jumlah
p 20 40 60
W 30 10 40
Jumlah 50 50 100
75 . 0 30
100 30
) (
)
Jawab:
Misal
W = Wanita, dan p = Pria,
S = pasta gigi rasa Strawbery, dan J = pasta gigi rasa jeruk.
Maka,
Apabila kita bertemu dengan seorang yang menyukai pasta gigi rasa jeruk, berapa probabilitas ia adalah pria adalah
28
Responsen J S Jumlah
p 20 40 60
W 30 10 40
Jumlah 50 50 100
Jawab:
Misal
W = Wanita, dan P = Pria,
S = pasta gigi rasa Strawbery, dan J = pasta gigi rasa jeruk.
Maka,
Apabila kita bertemu dengan seorang yang menyukai pasta gigi rasa strawbery, berapa probabilitas ia adalah wanita adalah
Responsen J S Jumlah
P 20 40 60
W 30 10 40
Jumlah 50 50 100
Misalkan suatu kotak memuat 100 bola lampu, sebagian
berasal dari pabrik I dan sebagian lainnya berasal dari
pabrik II. Bola pada kotak ini sebagian rusak dan sebagian
lainnya bagus. Misalkan isi kotak tersebut disajikan dalam
tabel berikut :
Aturan Bayes :
Misalkan A1, A2, dan A3 adalah tiga
kejadian saling lepas dalam ruang sampel S.
B adalah kejadian sembarang lainnya dalam
S.
S
A1 A2 A3
Probabilitas kejadian B adalah :
32
P(B) = P(BA
1). P(A1) + P(BA2). P(A2) + P(BA3). P(A3)
=
3
1
)
(
).
(
i
i i
P
A
A
B
P
Secara umum, bila A1, A2, A3, …, An kejadian
saling lepas dalam ruang sampel S dan B
kejadian lain yang sembarang dalam S, maka
probabilitas kejadian bersyarat Ai
B
dirumuskan sebagai berikut :
n i i i i i i iA
P
A
B
P
A
P
A
B
P
B
P
A
B
P
B
A
P
1)
(
).
(
)
(
).
(
)
(
)
(
)
(
Contoh:
Misalkan ada tiga kotak masing-masing berisi 2 bola. Kotak 1 berisi 2
bola merah, kotak 2 berisi 1 bola merah dan 1 bola putih, dan kotak 3 berisi 2 bola putih. Dengan mata tertutup Anda diminta mengambil satu kotak secara acak dan kemudian mengambil 1 bola secara acak dari kotak yang terambil itu..
Berapakah peluang bola yang terambil berwarna merah?
Berapakah peluang bola tersebut terambil dari kotak 2?
Jawab
P(bola yang terambil berwarna merah) =
P(bola merah tersebut terambil dari kotak 2) =
)
3
(
).
3
(
)
2
(
).
2
(
)
1
(
).
1
(
)
(
M
P
P
M
P
P
M
P
P
M
P
5
.
0
6
3
6
1
2
0
.
3
1
2
1
.
3
1
2
2
.
3
1
Latihan
1. Bila A dan B dua kejadian yang saling terpisah P(A) = 0.3 dan P(B) = 0,5,
maka hitunglah
a. 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵
b. 𝑃 𝐴′
c. 𝑃(𝐴′ ∩ 𝐵)
2. Bila setiap tulisan sandi pada suatu katalog diawali dengan 3 huruf yang
berlainan disusul oleh 4 angka dari 0 sampai 9 (digit) yang berlainan, carilah peluang memilih secara acak satu barang yang bersandi awal huruf hidup dan angka terakhir genap.
3. Dari 100 siswa yang diwisuda, 54 belajar matematika, 69 belajar sejarah, 35 belajar matematika dan sejarah. Bila seorang siswa yang dipilih secara acak, hitunglah peluang : a) dia belajar matematika atau sejarah
b) dia tidak belajar keduanya
c) dia belajar sejarah tapi tidak matematika
4. Dalam permainan poker, suatu tangan berisi lima kartu, Berapa peluangnya satu tangan mengandung
a) 3 As
5. Bagi keluarga yang tinggal disuatu kota, peluang bahwa istri ikut kegiatan olah raga 0.21, peluang suami ikut kegiatan olah raga 0.28 dan peluang suami dan istri ikut olah raga 0.15.
Berapa peluangnya,
a) Paling sedikit salah seorang daripadanya ikut kegiatan olah raga b) Seorang istri ikut olah raga, bila diketahui suaminya olah raga c) Seorang suami ikut olah raga, bila diketahui istrinya olah raga
6. Peluang suatu industri akan membangun pabriknya di
Bekasi 0.7, Peluang membangun pabriknya di Bandung 0.4 dan peluang membangun di Bekasi atau di Bandung atau kedua duanya 0.8. Berapa peluang pabrik tersebut
dibangun
a) di kedua kota
b) tidak disalah satupun dari keduanya
7. Sebuah kotak berisi 6 bola hitam dan 4 bola hijau. Tiga
bola diambil secara berurutan, tiap bola dikembalikan ke kotak sebelum bola berikutnya diambil. Berapa
peluangnya bahwa
8. Peluang bahwa nyonya berada di rumah ketika penjual jamu datang adalah 0.6. Jika nyonya berada dirumah
peluangnya dia membeli jamu 0.4. cari peluangnya bahwa nyonya rumah berada dirumah dan membeli jamu ketika si penjual datang?
9. Peluang sebuah kendaraan berplat L lewat jagorawi 0.12; peluang kendaraan truk lewat jagorawi 0.28, peluang
truk itu berplat L 0.09. Berapa peluangnya a) Sebuah truk yang lewat Jagorawi berplat L
b) Sebuah kendraaan berplat L lewat jagorawi adalah sebuah truk ?
c) Sebuah kendaraan yang lewat jagorawi tidak berplat L atau bukan truk ?
10. Sebuah kota mempunyai dua truk pemadam kebakarn yang bekerja saling bebas. Peluang suatu mobil tertentu tersedia bila diperlukan adalah 0.96.
a) Berapa peluang keduanya tidak tersedia bila diperlukan
b) Berapa peluang suatu mobil tersedia bila diperlukan
12. Bila peluang seseorang akan melakukan kesalahan
dalam mengisi formulir SPT adalah 0.1, cari peluangnya bahwa
a) 4 orang yang tidak saling mengenal masing-masing melakukan kesalahan mengisi
b) Pak Ali dan Pak Budi keduanya melakukan kesalahan dan pak Cokro dan pak Dodi tidak
