Materi 2: Peluang dan Aturan Bayes

(1)

1

Peluang & At uran Bayes

MA 2081 STATISTIKA DASAR 06 SEPTEMBER2012

(2)

2

Eksperimen

Ciri-ciri eksperimen acak (Statistik):

• Dapat dulangi baik oleh si pengamat sendiri

Ciri-ciri eksperimen acak (Statistik):

• Dapat dulangi baik oleh si pengamat sendiriDapat dulangi baik oleh si pengamat sendiri

maupun orang lain.

• Proporsi keberhasilan dapat diketahui dari

Dapat dulangi baik oleh si pengamat sendiri maupun orang lain.

• Proporsi keberhasilan dapat diketahui darip p

hasil-hasil sebelumnya.

• Bisa diukur (diamati).

p p

hasil-hasil sebelumnya.

• Bisa diukur (diamati).

• Hasilnya tidak bisa ditebak karena adanya

galat/error.

• Hasilnya tidak bisa ditebak karena adanya

(3)

3

Ruang Sampel

Ruang sampel

g

p

S

,

yaitu himpunan

y

p

dari

semua kemungkinan

hasil dari suatu

percobaan acak (statistik)

(4)

4

Ruang Sampel Diskrit

A. Diskrit: banyaknya (

number

) anggota pada

S

tsb dapat dihitung/dicacah (

countable

)

S

tsb dapat dihitung/dicacah (

countable

). Hasil pencacahannya mungkin saja

berhingga atau tidak berhingga.

Contoh 1.

S

pada (percobaan) pemeriksanp (p ) p produksi sepatu boot di pabrik AAA. Setiap

pasang sepatu dipilih (secara acak), diperiksa, lalu digolongkan sebagai pasangan sepatu g g g p g p

(5)

Ruang Sampel Kontinu

5

g

p

B K ti t d i S t b d l h b i

B. Kontinu: anggota dari S tsb adalah bagian dari suatu interval.

Contoh 2. S pada percobaan pengukuran tinggi pasang maksimum setiap hari di suatu selat (satuan m) misalnya S = {

x

: 2 suatu selat (satuan m), misalnya S {

x

: 2 <

x

< 4}.

(6)

6

Kejadian (Event)

j

(

)

• Himpunan bagian

(subset) dari suatu

ruang sampel S

ruang sampel S .

• Notasi untuk even (kejadian) umumnya

huruf kapital misal A B dan lain-lain

(7)

7

Ruang Sampel dan Kejadian

• Ruang sampel, dinotasikanRuang sampel, dinotasikan

S

Ruang Sampel Diskrit

S

= {

,

, ... ,

}

Ruang Sampel Kontinu

E t (k j di )

S

{ , , ... , }

 Event (kejadian)

E

= {

}

7

(8)

Populasi dan sampel

8

Populasi dan sampel

• Pada Contoh 1: Semua pasang sepatu boot

yang ada di pabrik AAA disebut populasi,

sedangkan beberapa pasang sepatu boot

di

bil di b t

l R

yang diambil disebut sampel. Ruang

sampel pada contoh ini adalah semua

keadaan pasang sepatu boot yang mungkin,

p

g p

y g

g ,

yaitu {rusak, tidak rusak} dan termasuk jenis

diskrit, karena banyaknya elemen pada

S

ini

dapat dihitung yaitu ada 2 buah

n

(S) = 2

(9)

Contoh 3 Menentukan Ruang Sampel &

Kejadian

9

Kejadian

• Dua lokasi eksplorasi memulai aktifitas pengeboran.

Sukses atau tidaknya pengeboran untuk tiap lokasi dilihat apabila ditemukannya minyak setelah satu bulan di lokasi yang bersangkutan. Tentukan ruang y g g g sampelnya dan berilah contoh kejadian/eventnya.

J b R l d l h S

 Jawab: Ruang sampelnya adalah S =

{SS,ST,TS,TT}, dimana S = Sukses; T = Tidak sukses (nominal) ( )

 Contoh kejadian, mis kejadian E₁ dimana dua aktifitas

(10)

Contoh 4

10

• Dilakukan survey dan pencatatan

tingkat curah hujan setiap hari

yang terjadi di suatu daerah

pegunungan

pegunungan.



Jawab: Misalkan X : tingkat curah hujan

g

j

(mm), ruang sampel S = { x | 0



_x



_{600, x}



_{R} dan}

E

₂

_{adalah kejadian tingkat curah}

hujan lebih dari 200 mm maka

hujan lebih dari 200 mm, maka

E

₂

= {x | 200 < x



_{600, x}



_R}

Perhatikan bahwa

E

₂



_S

(11)

G b

11

Gabungan

U i d i ti

E

d

E

dit li

E E

• Union dua peristiwa

E

₁ dan

E

₂ ditulis

E

₁

E

₂,

adalah himpunan semua elemen yang ada di dalam

E

atau di dalam

E

(termasuk di di dalam

E

₁ atau di dalam

E

₂ (termasuk di dalam keduanya jika ada).

 Contoh. Perhatikan Contoh 3.

Misal E₁ adalah kejadian salah satu lokasi

b h il k i k d E d l h

berhasil menemukan minyak, dan E₂ adalah

kejadian tidak ada lokasi yang berhasil. Maka

E₁  E₂ _{= {}ST TS TT_}

(12)

12

Irisan

• Irisan dua peristiwa

E

₁ dan

E

₂, ditulis

E

₁

∩E

₂, adalah himpunan semua elemen yang ada di dalam

E

₁ dan di dalam

E

₂.

Misalkan E₁: himpunan tinggi pasang

maksimum lebih dari 2,65 m, dan E₂: himpunan

(13)

13

Komplemen

• Komplemen suatu peristiwa

E

₁, ditulis

E

₁c,

adalah himpunan semua elemen yang tidak adalah himpunan semua elemen yang tidak di dalam

E

₁.

E

c_{= {0 ≤ x ≤ 200} yaitu himpunan tingkat}

(14)

14

Peluang Suatu Kejadian

g

j

• Prinsip dasar : frekuensi relatif

• Jika suatu ruang sampel mempunyai

n

(S )

elemen, dan suatu event

E

mempunyai

n

(

E

) elemen maka probabilitas

E

adalah:

elemen, maka probabilitas

E

adalah:

( )E ( ) ( )

( ) n E P E

n S

(15)

C

h

15

Contoh 5

• Seorang pengusaha sukses merencanakan untuk berlibur keliling

Indonesia 1 bulan penuh (terhitung tanggal 1 sampai tanggal terakhir bulan ybs) tahun 2010. Perusahaannya mewajibkan setiap anggotanya membuat surat izin tertulis dengan menyertakan lama waktu izin (dalam h i) K t t t h t b t b k j 7 h i d l 1 i

hari). Kantor tempat pengusaha tersebut bekerja 7 hari dalam 1 minggu. Berapa peluang bahwa pengusaha sukses tersebut mengajukan izin 31 hari?

Jawab: n(S) = 12 (banyak bulan dalam 1 thn). Misal E : kejadian bulan dengan 31 hari maka n(E) = 7 yaitu E =

( )E 7

kejadian bulan dengan 31 hari, maka n(E) = 7 yaitu E = {Jan, Mar, Mei, Jul, Agt, Okt, Des}

(16)

16

Aksioma Peluang

1. 0 ≤ P(E) ≤ 1.

2 P(S) = 1

2. P(S) = 1.

3. Jika E₁ dan E₂ adalah dua kejadian yang saling lepas maka berlaku:

lepas,maka berlaku:

P(E₁E₂ ) = P(E₁) + P(E₂₎

4 Jika E E E adalah kejadian yang saling lepas 4. Jika E₁, E₂,…,E_n adalah kejadian yang saling lepas

mutual, maka berlaku :

(17)

Peluang Bersyarat

17

• Peluang bersyarat (

conditional probability

)

dikatakan bersyarat karena eventnya sudah

y

dibatasi.



Jika event pembatas itu

A

dan event yang



Jika event pembatas itu

A

dan event yang

(18)

Peluang Bersyarat

18

g

y

• Dalam

P

(

B

|

A

), event

A

adalah kejadian yang

terjadi terlebih dahulu atau yang diamati

lebih dulu, baru kemudian

B.



Jika

A

dan

B

adalah dua kejadian yang saling

bebas maka

bebas, maka

(19)

C t h

6

19

Contoh

6

Warna pasir Jenis pasir

Halus Kasar

Hitam 2 3

Abu-abu 2 4

Terang (putih,

kuning) 1 2

P(Halus Hitam) 2 5 2 P(Halus| Hitam) = :

P(Hitam) 14 14 5



 

(20)

20

Kejadian Saling Bebas dan Saling Lepas

• Dua kejadian

E

dan

F

dikatakan saling

bebas (independent) jika berlaku:

• Dua kejadian

E

dan

F

dikatakan saling

bebas (independent) jika berlaku: bebas (independent) jika berlaku: bebas (independent) jika berlaku:

(

)

( ) ( )

P EF

(

)



P E P F

( ). ( )

P EF



P E P F

 Dua kejadian

E

dan

F

dikatakan saling  Dua kejadian

E

dan

F

dikatakan saling  Dua kejadian

E

dan

F

dikatakan saling

lepas jika berlaku:

 Dua kejadian

E

dan

F

dikatakan saling lepas jika berlaku:

(

)

0

(21)

Contoh

7--21

Contoh 7

S

• Sebuah kartu dipilih secara acak dari serangkai

kartu bridge yang berjumlah 52 kartu. Jika E adalah kejadian terpilih kartu As dan F adalah kejadian

(22)

--Contoh 7

karena hanya terdapat satu As yang bergambar hati.

( )

4 / 52

P E





karena terdapat 4 As dalam kartu bridge

( ) 13 / 52

(23)

Peluang Bersyarat

23

Banyak kej adian

A

B₅ B₁

A  B5

A  B

B₄ A  B2

5

A  B1

A  B3

A  B4

(24)

Peluang Bersyarat

k k d

24

(25)

A

tu

ra

n

B

a

y

e

s

(26)

Cont oh 8

26

Suatu perusahaan besar menggunakan tiga hotel sebagai Suatu perusahaan besar menggunakan tiga hotel sebagai tempat menginap para langganannya. Dari pengalaman yang lalu diketahui bahwa 20% langganannya di

tempatkan di Hotel I 50% di Hotel B dan 30% di Hotel S tempatkan di Hotel I, 50% di Hotel B, dan 30% di Hotel S. Bila 5% di Hotel I kamar mandi tidak berfungsi dengan baik, 4% di Hotel B, dan 8% di Hotel S, berapa peluang bahwa,

a. Seseorang langganan mendapat kamar yang kamar mandinya tidak baik.y

(27)

S

o

lu

si

(28)

R f

i

28

Ref erensi

 _{Dekking F.M., et.al.,}_g _{A Modern Introduction to Probability and}_y

Statistics, London : Springer, 2005.

 Devore, J.L. and Peck, R., Statistics – The Exploration and Analysis of Data USA: Duxbury Press 1997

Analysis of Data, USA: Duxbury Press, 1997.

 Walpole, Ronald E. dan Myers, Raymond H., Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan, Edisi 4, Bandung:

P bit ITB 1995 Penerbit ITB, 1995.

 _{Walpole, Ronald E., et.al,}_{Statistitic for Scientist and Engineering}_,

8th Ed., 2007.

 _{Wild, C.J. and Seber, G.A.F.,}_{Chance Encounters – A first Course}

in Data Analysis and Inference, USA: John Wiley&Sons,Inc., 2000.