Hierarchy di Matematika, Kemampuan Belajar, dan Masyarakat
1. Hierarchy di Matematika Sebuah tema bab sebelumnya adalah asumsi bahwa matematika memiliki tetap unik hirarki struktur. Analog dari tesis ini meliputi asumsi yang pembelajaran matematika paling terorganisir dengan cara ini, bahwa kemampuan matematika adalah terstruktur dengan cara ini, dan masyarakat yang memiliki struktur yang lebih atau kurang hierarkis tetap, mana pendidikan harus mencerminkan. Ini adalah asumsi sosial yang mendalam dan pendidikan penting, penjamin bab untuk diri mereka sendiri.
Demikian hasil meta-matematika memaksa kita untuk mengakui bahwa matematika terdiri dari aneka ragam teori yang berbeda, yang ini tidak dapat direduksi menjadi sistem tunggal, dan bahwa tidak ada salah satu dari ini cukup untuk menangkap semua kebenaran bahkan dalam domain terbatas aplikasi. Oleh karena itu, pertanyaan tentang keberadaan matematika keseluruhan hirarki harus dijawab dalam negatif. Ini tidak dapat dibatalkan. Namun, dalam keadilan, kita juga harus mempertimbangkan pertanyaan yang lebih lemah. Melakukan informal yang besar dan komprehensif struktur matematika ada, bahkan jika itu gagal memenuhi kriteria ketat diperlukan untuk memberikan struktur yang jelas untuk matematika? Struktur seperti dapat ditemukan dalam Unsur Bourbaki (Kneebone, 1963). Bourbaki menyediakan akun sistematis matematika, dimulai dengan menetapkan teori, dan mengembangkan satu setelah lain utama teori murni, matematika struktural. Meskipun Bourbaki struktur tidak bisa dikatakan lengkap (dalam arti informal), untuk itu daun keluar aspek komputasi dan rekursif matematika, itu merupakan informal kodifikasi sebagian besar matematika. Apakah ini memberikan suatu afirmatif menjawab pertanyaan melemah banyak? Jika kita mengakui bahwa hal itu, maka peringatan berikut
harus diingat: Filosofi Pendidikan Matematika
dari atas, ekspresi wacana matematika informal yang memiliki makna implisit terkait dengan teori latar belakang dan konteks keseluruhan. Untuk aturan dan makna yang mengatur ekspresi tersebut tidak memiliki tepat resmi ketentuan, tetapi lebih bergantung pada aturan implisit penggunaan (Wittgenstein, 1953). Model semantik bahasa formal dan informal semakin menarik pada konteks ucapan (Barwise dan Perry, 1982). Apakah dinyatakan dalam formal atau bahasa informal, ekspresi matematika tidak dapat dianggap sebagai berdiri bebas, independen pembawa makna. Dengan demikian matematika tidak dapat diwakili hanya sebagai satu set 'molekul' proposisi, untuk ini tidak mewakili struktural hubungan antara proposisi, serta kehilangan contextdependent mereka makna. B. Pendidikan Implikasi Fakta bahwa disiplin matematika tidak memiliki hirarki yang unik struktur, dan tidak dapat direpresentasikan sebagai koleksi 'molekul' proposisi, memiliki implikasi pendidikan yang signifikan. Namun, pertama hubungan antara disiplin matematika, dan isi dari kurikulum matematika perlu dipertimbangkan. Hubungan antara matematika dan kurikulum Dua hubungan alternatif yang mungkin. (1) Kurikulum matematika harus perwakilan seleksi dari disiplin matematika, meskipun dipilih dan dirumuskan sehingga dapat diakses oleh peserta didik. (2) Kurikulum matematika adalah independen entitas, yang tidak perlu mewakili disiplin matematika. Paling teori kurikulum menolak kemungkinan kedua ini, berdebat kasus umum bahwa Kurikulum harus mencerminkan baik pengetahuan dan proses penyelidikan dari subjek disiplin (Stenhouse, 1975; Schwab, 1975, Hirst dan Peters, 1970). Suatu bentuk Kasus 2 yang amat satir oleh Benjamin (1971). Studi perubahan kurikulum telah mendokumentasikan bagaimana perkembangan matematika menimbulkan melalui tekanan yang diberikan oleh matematikawan perubahan dalam sekolah matematika kurikulum mencerminkan perkembangan (Cooper, 1985; Howson et al, 1981.). Secara umum, dalam pendidikan matematika diterima bahwa isi kurikulum harus mencerminkan sifat disiplin matematika. Penerimaan tersebut adalah baik implisit atau eksplisit, seperti dalam Thwaites (1979), Confrey (1981) dan Robitaille dan Dirks: Hirarki 237 pembangunan kurikulum matematika ... [hasil dari] beberapa Faktor yang beroperasi pada tubuh matematika untuk memilih dan merestrukturisasi konten yang dianggap paling sesuai untuk kurikulum sekolah. (Robitaille dan Dirks, 1982, halaman 3) Sebuah seminar internasional tentang masa depan pendidikan matematika eksplisit mempertimbangkan kemungkinan bahwa 'matematika nyata' tidak akan membentuk dasar dari matematika kurikulum untuk semua orang (mayoritas akan mempelajari hanya 'berguna ) matematika '. Namun, ini dibantah oleh tiga pilihan lain dipertimbangkan, termasuk pandangan yang paling diterima secara luas bahwa berbeda tapi perwakilan Kurikulum diperlukan (Howson dan Wilson, 1986). Dari lima ideologi dibedakan dalam buku ini, semua tetapi pelatih industri sangat mendukung kasus 1. Sebagai konsekuensi dari ini survei singkat, dapat dikatakan bahwa prinsip bahwa kurikulum matematika harus pilihan perwakilan
daridisiplin matematika merupakan konsensus dari para ahli.
Jika kurikulum matematika karena itu untuk mencerminkan disiplin matematika setia, tidak harus mewakili matematika sebagai memiliki hirarki, yang unik tetap struktur. Ada beberapa struktur dalam salah satu teori, dan tidak ada satu struktur atau hirarki pernah bisa dikatakan utama. Dengan demikian kurikulum matematika harus memungkinkan untuk cara yang berbeda dari penataan pengetahuan matematika. Selain itu, matematika kurikulum tidak harus menawarkan koleksi proposisi terpisah sebagai konstitutif matematika. Untuk komponen matematika adalah berbagai terstruktur dan saling berkaitan, dan hal ini harus tercermin dalam matematika kurikulum.
matematika atas dasar epistemologis. Untuk kurikulum matematika direpresentasikan sebagai sebuah hirarki yang unik dari empat belas 'topik' (target pencapaian) di sepuluh tingkat (Departemen Pendidikan dan Ilmu Pengetahuan, 1989). Selanjutnya, pada tingkat masing-masing, topik diwakili oleh sejumlah proposisi atau proses, dan penguasaan disiplin matematika dipahami sebagai akibat dari penguasaan tersebut berbeda komponen. Dengan demikian Kurikulum Nasional memberitahukan matematika, bertentangan dengan prinsip diterima kurikulum. Ini mewujudkan sebuah hirarki yang dibenarkan dalam hal sifat matematika, serta menggambarkan pengetahuan matematika sebagai seperangkat fakta diskrit dan keterampilan.
Sebuah pertahanan yang mungkin adalah bahwa kurikulum matematika mungkin gagal untuk mewakili disiplin matematika untuk memenuhi tujuan psikologis, seperti untuk mewakili hirarki psikologis matematika.
Filosofi Pendidikan Matematika
238
2. Hirarki dalam Belajar Matematika
A. The View bahwa Matematika Belajar adalah hirarkis
Hal ini sering mengklaim bahwa belajar matematika adalah hirarkis, yang berarti bahwa ada adalah barang-barang dari pengetahuan dan keterampilan yang merupakan prasyarat yang diperlukan untuk belajar dari selanjutnya item pengetahuan matematika. Pandangan tersebut diwujudkan dalam Piaget teori perkembangan intelektual. Piaget mendalilkan urutan empat tahap (Sensorimotor, pra-operasional, operasional konkret, operasional formal) yang membentuk hirarki pembangunan. Pelajar harus menguasai operasi pada satu tahap sebelum dia siap untuk berpikir dan beroperasi pada tingkat berikutnya. Namun aspek hirarki kaku Teori Piaget telah dikritik (Brown dan Desforges, 1979). Memang Piaget diciptakan istilah 'decalage' untuk menggambarkan hierarki-melangkahi kompetensi. Lain psikolog yang mengusulkan bahwa belajar adalah hirarkis adalah Gagne. Dia berpendapat bahwa topik hanya dapat dipelajari ketika hierarki prasyarat telah belajar.
[A] topic (yaitu, item pengetahuan) pada tingkat tertentu dalam hirarki dapat didukung oleh satu atau lebih topik pada tingkat yang lebih rendah berikutnya ... Setiap individu tidak akan dapat belajar topik tertentu jika ia telah gagal mencapai salah satu topik bawahan yang mendukungnya.
(Gagne, 1977, halaman 166-7)
Gagne menyatakan bahwa dalam pengujian empiris, tidak satu pun dari hierarki topik nya telah ada sebelumnya
Sudah lebih dari 3 persen dari kasus sebaliknya.
hirarki dalam matematika. Sebuah proyek Inggris yang berpengaruh, Konsep di Sekunder Matematika dan Ilmu Pengetahuan, mengusulkan sejumlah 'hierarki pemahaman' di beberapa bidang utama matematika sekolah (Hart, 1981). Penelitian ini menawarkan hingga delapan tingkat hirarki di setiap topik dipelajari.
Teori-teori dikutip dan pekerjaan empiris adalah pilihan kecil penelitian prihatin dengan mengidentifikasi hirarki dalam pembelajaran matematika. Seperti penelitian, mungkin ditambah dengan absolut-foundationist dilihat dari sifat matematika, telah menyebabkan kepercayaan bahwa pembelajaran matematika mengikuti hirarkis urutan. Misalnya, pandangan ini diartikulasikan dalam Laporan Cockcroft. Matematika adalah pelajaran yang sulit baik untuk mengajar dan belajar. Salah satu alasan mengapa demikian adalah bahwa matematika adalah subjek yang hirarkis ... kemampuan untuk lanjutkan ke pekerjaan baru sangat sering tergantung pada pemahaman yang memadai dari satu atau lebih lembar kerja, yang telah pergi sebelum. (Cockcroft, 1982, halaman 67, penekanan asli)
Pandangan hirarkis belajar matematika memiliki ekspresi tertinggi dalam Hirarki
239
Kurikulum Nasional dalam matematika, seperti yang telah kita lihat (Departemen Pendidikan dan Science, 1989). Ini adalah spesifikasi hirarkis tetap kurikulum matematika pada sepuluh tingkat, yang merupakan dasar hukum yang diperlukan untuk studi matematika dari semua anak (di sekolah negeri Inggris dan Welsh) dari usia 5 sampai 16 tahun.
B. Kritik dari View hirarkis Pembelajaran Matematika
Pandangan hirarkis belajar matematika bersandar pada dua asumsi. Pertama-tama, bahwa selama konsep pembelajaran dan keterampilan yang 'diperoleh'. Jadi sebelum beberapa tertentu pengalaman belajar peserta didik akan kekurangan konsep tertentu atau keterampilan, dan setelah pengalaman belajar yang tepat dan sukses pelajar akan memiliki, atau memiliki diperoleh, konsep atau keterampilan. Kedua, bahwa akuisisi matematika konsep atau keterampilan tentu tergantung pada kepemilikan dipelajari sebelumnya konsep dan keterampilan. Ini hubungan ketergantungan antara konsep dan keterampilan menyediakan struktur pada hirarki belajar. Jadi untuk belajar konsep tingkat n +1, yang pembelajar harus sudah memperoleh bagian yang tepat dari konsep-konsep tingkat n (tapi belum tentu semua tingkat itu). Akibatnya, menurut pandangan ini, matematika pengetahuan terorganisir secara unik menjadi beberapa tingkatan diskrit. Masing-masing dari kedua asumsi yang bermasalah, dan terbuka untuk kritik.
Hirarkis ketergantungan hubungan antara konsep
mengklaim bahwa konsep tingkat n +1, tergantung pada kepemilikan konsep tingkat n. Untuk membuat klaim ini harus mungkin untuk mengklaim bahwa seorang pelajar determinately memiliki, atau belum, konsep atau tingkat n atau n +1. Kritik lebih substantif adalah bahwa keunikan hierarki belajar tidak dikonfirmasi secara teoritis maupun empiris. Resnick dan Ford (1984) menyimpulkan mereka review penelitian pada belajar hirarki dengan peringatan bahwa mereka harus digunakan dengan hati-hati, dan mengutip komentar Gagne tentang 1968 sebagai sisa valid: 'belajar A hirarki ... tidak dapat mewakili rute unik atau paling efisien untuk setiap pelajar diberikan. " (Halaman 57).
Sejumlah studi yang membandingkan efek dari instruksi berikut yang berbeda urutan konsep-konsep dari hirarki yang diusulkan (Phillips dan Kane, 1973) atau pencocokan pengetahuan peserta didik individu untuk hirarki belajar dengan cara yang berbutir halus (Denvir dan Brown, 1986) menegaskan bahwa tidak ada hirarki yang terbaik menggambarkan urutan atau struktur akuisisi pengetahuan setiap peserta didik '. Meskipun banyak penulis melaporkan efektivitas hierarki belajar untuk instruksi sequencing (Bell et al, 1983.;
Filosofi Pendidikan Matematika 240
Horon dan Lynn, 1980), kenyataannya adalah bahwa strategi alternatif sama efektif seperti 'Muka penyelenggara', 'pertanyaan tambahan' dan 'prinsip akhir mendalam' sengaja menggagalkan asumsi hirarkis mereka memesan (Begle, 1979; Bell et al, 1983;. Dessart, 1981). Dengan demikian studi mengajar tersebut tidak memberitahu kita bagaimana pengetahuan pelajar 'terstruktur.
Pandangan umum dari para ilmuwan kognitif dan psikolog adalah bahwa organisasi (dan sifat) pengetahuan peserta didik yang istimewa, dan bahwa hal itu tidak bisa akan dimasukkan ke sebuah struktur tetap tunggal. Oleh karena itu peserta didik 'konsep atau konseptual struktur telah disebut 'konsep alternatif' atau 'kerangka alternatif' (Easley, 1984; Gilbert dan Watts, 1983; Pfundt dan Duit, 1988). Sementara seperti perbedaan pada skala mikro, pemahaman gagasan bahwa peserta didik 'di topik matematika yang berbeda dapat disamakan dalam hirarki matematika secara keseluruhan juga menolak (Ruthven, 1986, 1987;. Noss et al, 1989).
sepuluh, memiliki arti luas ini struktur konseptual, karena komponen anak perusahaan dapat dibedakan dalam setiap konsep.
Mengingat perbedaan ini, tiga keberatan utama dapat diajukan terhadap asumsi bahwa konsep diperoleh sekaligus, atau baik 'dimiliki' atau 'kurang' oleh seorang pelajar. Pertama-tama, mengingat bahwa konsep yang paling sebenarnya struktur konseptual komposit, itu adalah jelas bahwa konstruksi mereka harus menjadi proses pertumbuhan diperpanjang, bukannya semua atau keadaan tidak ada urusan. Dalam pandangan Interkoneksi yang kompleks antara konsep, akuisisi konsep dapat menjadi urusan hampir seumur hidup. Kedua, kepemilikan pembelajar konsep hanya dapat diwujudkan secara tidak langsung, melalui penggunaannya, karena struktur mental adalah entitas teoritis yang tidak dapat langsung diamati. Tapi penggunaan pelajar terhadap konsep tentu harus berada dalam beberapa konteks, sehingga konsep ini terkait dengan konteks penggunaan. Untuk abstrak 'esensi' dari Konsep dari konteks penggunaan, dan mengklaim bahwa 'esensi' merupakan konsep adalah dugaan. Saat ini berpikir dalam psikologi poin ke kontekstual terletak sifat kognisi (Brown et al, 1989;. Love, 1988; Solomon, 1989; Walkerdine, 1988). Memang, ada tubuh besar penelitian yang menunjukkan bahwa penggunaan pembelajar konsep matematika atau keterampilan dalam konteks yang berbeda sangat bervariasi (Carraher, Hirarki
241
1988; Evans, 1988a). Dengan demikian pemahaman peserta didik dari konsep tumbuh sesuai dengan berbagai konteks penggunaan yang dikuasai, sekali lagi merusak gagasan bahwa perusahaan
akuisisi adalah proses semua atau tidak.
Ketiga, gagasan bahwa konsep adalah unik specifiable obyektif yang ada entitas, terbuka untuk kedua kritik filosofis dan psikologis, seperti Bab 4 dan 5 memiliki ditampilkan. Hal ini diterima secara luas bahwa individu membangun pribadi yang unik makna (Novak, 1987). Untuk mengklaim bahwa individu yang berbeda baik memiliki sama Konsep, bukan untuk mengatakan bahwa beberapa entitas tujuan yang sama, meskipun abstrak, adalah 'milik' oleh mereka berdua. Ini akan reify entitas teoritis murni hipotetis. Demikian klaim hanyalah Facon de parler, yang berarti bahwa kinerja dua individu 'yang sebanding. Sejak memperoleh konsep adalah proses mempengaruhi suatu istimewa konstruksi pribadi, itu tidak lagi berlaku untuk mengklaim bahwa seorang pelajar determinately memiliki atau tidak memiliki konsep tertentu. Secara keseluruhan, kita melihat bahwa klaim bahwa pembelajaran matematika mengikuti unik hirarki belajar tidak bisa dipertahankan. Pembangunan individu konsep dan hubungan mereka bersifat pribadi dan istimewa, bahkan jika hasilnya dapat dibagi kompetensi. Vergnaud A dikatakan:
Konsekuensi untuk Kurikulum Nasional di Matematika
Diskusi ini memiliki konsekuensi untuk kerangka kurikulum hirarkis, dan karenanya untuk Kurikulum Nasional dalam matematika (Departemen Pendidikan dan Ilmu Pengetahuan, 1989). Yang paling penting, tidak ada pembenaran psikologis untuk memaksakan unik, tetap hirarki struktur pada kurikulum matematika untuk semua anak dari usia 5 sampai 16. Hasil empiris dilaporkan di atas sebagian besar menyangkut porsi kecil dari matematika kurikulum dan dibatasi usia dan rentang pencapaian. Bahkan di bawah ini menguntungkan pembatasan, dugaan bahwa hirarki tunggal akurat mewakili matematika secara psikologis harus ditolak. Di luar ini, kita telah melihat bahwa ada alasan teoritis yang kuat mengapa hirarki tetap tidak dapat menggambarkan belajar siswa. Ditambah dengan penolakan sebelumnya epistemologis, hasilnya adalah kuat kecaman dari kerangka pada prinsipnya, tanpa pengawasan rinci isinya. Hal ini juga diperhatikan bahwa hampir semua argumen yang digunakan dalam kritik ini dapat dialihkan ke area lain dari kurikulum, karena referensi rinci untuk isi kurikulum nasional belum dibuat.
Filosofi Pendidikan Matematika
242
Ketika isi rinci dari Kurikulum Nasional dalam matematika yang dibawa ke dalam diskusi, pembenaran yang mungkin dapat diantisipasi. Yaitu, bahwa meskipun kurikulum tidak memiliki epistemologis atau psikologis keharusan, namun mungkin mencerminkan pengetahuan terbaik yang tersedia tentang anak-anak keseluruhan prestasi dalam matematika. Ada sejumlah besar pengetahuan tersebut tersedia dari
skala besar
Pencapaian pengujian di Inggris dan negara-negara lain, seperti di Penilaian Kinerja Unit (1985), Hart (1981), Tombol dan Foxman (1989), Carpenter et al. (1981), Lindquist (1989) dan Lapointe et al. (1989), Robitaille dan Taman (1989), dan Travers dan Westbury (1989). Informasi tersebut pasti merupakan produk budaya, mencerminkan hasil dari kurikulum matematika dimediasi oleh institusional struktur sekolah dan sistem penilaian. Namun demikian, ia menyediakan data dasar, meskipun pragmatis, itu yang dikenakan hirarkis diusulkan matematika kurikulum dapat divalidasi. Informasi tidak perlu sepenuhnya membatasi kurikulum baru, karena di sana mungkin alasan yang jelas untuk mengubah aspek praktek masa lalu. Namun, mengingat ini peringatan, apapun, serius skala besar pengembangan kurikulum harus melaksanakan minimal memeriksa daerah perjanjian dimaksudkan dan perselisihan dengan penelitian empiris, dan membenarkan dan mengantisipasi setiap penyimpangan yang besar. Kurikulum Nasional dalam matematika telah mengabaikan isu-isu tersebut, dan tidak mencerminkan keadaan saat ini pengetahuan. Keohane dan Hart (1989) dan Hart (1989) menunjukkan bahwa tingkat satu dari kurikulum yang direncanakan meliputi isi yang ada telah sangat bervariasi fasilitas. Tingkat empat termasuk dalam program studi untuk anak-anak dari usia 8-16. Dalam sebuah penelitian terhadap sampel besar dari 11 tahun (Hart, 1981),
ada fasilitas tingkat menyebar dari 2 persen menjadi 95 persen pada item
sesuai dengan tingkat empat laporan pencapaian.
referensi untuk, hasil penelitian empiris. Kelompok Kerja adalah Matematika diperintahkan oleh ketuanya, D.Graham, tidak akan peduli dengan hal-hal tersebut. [T] kelompok itu tidak diharapkan untuk datang dengan air-ketat berbasis penelitian rekomendasi, diharapkan untuk mencerminkan praktek yang baik dalam cara pragmatis.
(Nash, 1988, halaman 1)
Ini menggambarkan kenyataan bahwa tidak ada upaya untuk mengembangkan Nasional Kurikulum berdasarkan penelitian, apalagi untuk menguji secara empiris. Sebaliknya, itu dimasukkan bersama-sama oleh sebuah komite, bekerja sebagai tiga sub-komite, dalam hitungan beberapa minggu. Secara keseluruhan, telah terbukti kurang setiap epistemologis atau psikologis validitas, asumsi hierarkis nya. Mengingat statusnya, dan sumber daya yang tersedia,
ini sangat lalai penciptanya (pemerintah).
Hirarki 243
3. The Hirarki Kemampuan Matematika
A. View hirarkis Kemampuan Matematika
Umum intelijen telah dianggap oleh para psikolog sebagai, tetap mental yang bawaan
listrik, seperti kutipan berikut dari acara Schonell.
Umum intelijen dapat didefinisikan sebagai kekuatan, bawaan serba mental yang tapi yang sedikit diubah dalam derajat oleh lingkungan meskipun yang
realisasi dan arah ditentukan oleh pengalaman.
(Tansley dan Gulliford, 1960, halaman 24)
Meskipun luas, pandangan ini tidak dimiliki oleh semua psikolog modern (Pigeon, 1977). Namun demikian, kemampuan matematika 'karena telah diidentifikasi sebagai faktor utama dari kecerdasan umum (Wrigley, 1958), hal itu juga mungkin telah memberi kontribusi pada luas persepsi bahwa kemampuan matematika seseorang adalah tetap dan bertahan. Dalam analisis tajam Ruthven (1987) menunjukkan bahwa persepsi ini luas, dan sering terlihat oleh para guru dan orang lain sebagai penyebab utama berbeda tingkat pencapaian dalam matematika. Dia menggunakan 'stereotip kemampuan' istilah karena kecenderungan guru untuk menghibur persepsi stabil kemampuan murid bersama-sama dengan harapan prestasi mereka, bahkan dalam menghadapi bukti sebaliknya. Akibatnya, murid individual tampaknya dikenakan bentuk stereotip di yang guru ciri mereka dalam hal penilaian, ringkasan global yang
kemampuan kognitif dan menghibur Sejalan overgeneralized
harapan dari mereka.
(Ruthven, 1987, halaman 252)
Salah satu konsekuensi dari sterotyping kemampuan adalah bahwa, dalam kasus yang ekstrim, diamati
perbedaan kinerja pada tugas-tugas tertentu yang diambil sebagai indikasi dari 'Matematika kemampuan' peserta didik individu. Sebuah contoh yang terkenal adalah 'tujuh tahun Perbedaan 'dari Cockcroft (1982). Hal ini dibahas setelah karakterisasi numerik pencapaian 'rata-rata', 'jauh di bawah rata-rata' dan (implisit) 'banyak
di atas rata-rata anak-anak '
nilai tempat yang cukup untuk menuliskan nomor yang adalah 1 lebih dari 6399. Dengan ini dimaksudkan bahwa sementara 'rata-rata' anak bisa melakukan tugas ini pada usia 11 tapi tidak pada usia 10, ada beberapa 14 tahun yang tidak bisa melakukannya dan beberapa 7 tahun yang bisa.
(Cockcroft, 1982, halaman 100)
Kutipan ini menunjukkan bahwa anak-anak individu pertunjukan pada item tertentu pada kesempatan tertentu terkait dengan, dan bahkan diambil sebagai indikator dari keseluruhan membangun dari 'kemampuan matematika'. Pengandaian yang mendasarinya dan persisten global yang konstruk kemampuan matematika 'individu, sehingga menimbulkan
tingkat pencapaian abadi, dikonfirmasi oleh kutipan berikut.
Filosofi Pendidikan Matematika
244
Bahkan jika tingkat rata-rata pencapaian dapat diangkat, kisaran Pencapaian kemungkinan akan tetap sama besar seperti pada saat ini, atau mungkin menjadi masih lebih besar, karena setiap langkah yang memungkinkan semua siswa untuk belajar matematika lebih berhasil akan menguntungkan attainers tinggi sebanyak, dan
mungkin lebih dari, mereka yang pencapaian lebih rendah.
(Cockcroft, 1982, halaman 101).
Dalam kasus anak-anak yang rendah pencapaian dalam matematika dikaitkan dengan kemampuan umum rendah, kursus matematika perlu secara khusus dirancang untuk membangun jaringan ide-ide terkait sederhana dan aplikasi mereka
(Cockcroft, 1982, halaman 98)
Secara keseluruhan, ada asumsi luas, jelas dalam Cockcroft (1982), yang ada hirarki linier tetap kemampuan matematika dari paling tidak mampu untuk yang paling mampu (atau secara matematis berbakat), setiap anak dapat diberi posisi dalam hirarki, dan hanya sedikit menggeser posisi mereka selama tahun-tahun sekolah. Salah satu yang penting hasil dari persepsi stereotip dan harapan murid adalah penerapan tujuan terbatas untuk pendidikan matematika yang lebih rendah mencapai murid. Ruthven menyediakan bukti tentang hal ini, dan menyimpulkan bahwa penekanan pada kegiatan berulang, pada pembelajaran instrumental, dan
perhitungan-mencerminkan persepsi stereotip kemampuan kognitif
kurang murid sukses dan tujuan kurikulum yang sesuai untuk mereka, dan stereotip harapan masa depan mereka, baik sebagai peserta didik dan sebagai anggota masyarakat.
(Ruthven, 1987, halaman 250)
B. Kritik dari View hirarkis Kemampuan Matematika
latar belakang dan kinerja pendidikan hampir semua jenis adalah salah satu yang terpanjang didirikan dan terbaik didukung temuan dalam penelitian sosial dan pendidikan (Departemen Pendidikan dan Ilmu Pengetahuan, 1988b). Secara khusus, ada luas bukti di Inggris dari korelasi kesempatan hidup pendidikan dan kelas sosial (Meighan, 1986). Mungkin penjelasan terbaik teoritis didukung dari efek didasarkan pada teori pelabelan, karena Becker (1963) dan lain-lain. Fitur kunci dari pelabelan individu sebagai 'attainers rendah matematika', misalnya, adalah bahwa hal itu sering Hirarki
245
self-fulfilling. Jadi streaming dengan kemampuan, yang tersebar luas dalam pengajaran matematika, meskipun hanya longgar terkait dengan pencapaian diukur, memiliki efek pelabelan dengan kemampuan, sehingga mempengaruhi prestasi dalam matematika, menjadi selffulfilling
(Meighan, 1986; Ruthven, 1987).
Dasar teori kedua untuk menolak pandangan hirarkis tetap kemampuan yang psikologis. Ada sebuah tradisi dalam psikologi Soviet yang menolak gagasan tetap kemampuan, dan link perkembangan psikologis dengan pengalaman sosial dimediasi. Perkembangan ini dipercepat secara politis oleh larangan 1.936 Soviet pada penggunaan tes mental, yang menghentikan penelitian pada perbedaan individu dalam kemampuan (Kilpatrick dan
Wirszup, 1976). Seorang kontributor mani tradisi ini adalah Vygotsky (1962), yang mengusulkan bahwa bahasa dan pemikiran berkembang bersama-sama, dan bahwa pembelajar kemampuan
dapat diperpanjang, melalui interaksi sosial, di sebuah 'zona perkembangan proksimal'. Interaksi pengembangan pribadi dan konteks sosial dan gol melalui 'Kegiatan' telah menjadi dasar dari Teori Kegiatan Leont'ev (1978) dan lain-lain. Dalam tradisi keseluruhan, psikolog Krutetskii (1976) telah mengembangkan konsep kemampuan matematika yang lebih cair dan kurang hirarkis dari itu dibahas di atas. Dia pertama kali menawarkan kritik dari pandangan relatif tetap dari matematika kemampuan yang berasal dari tradisi psikometri dalam psikologi. Dia kemudian menawarkan nya sendiri teori kemampuan matematika berdasarkan pada proses mental yang dikembangkan oleh individu yang digunakan dalam menyerang masalah matematika. Dia mengakui individu perbedaan dalam pencapaian matematika, tetapi memberi bobot besar bagi perkembangan dan pengalaman formatif para pelajar dalam mewujudkan potensi matematika nya. Tentu saja, 'potensi' tidak konstan atau tidak dapat diubah. Guru harus tidak berpuas diri dengan gagasan bahwa anak-anak bervariasi pertunjukan-dalam matematika mengatakan-adalah refleksi dari tingkat kemampuan mereka. Kemampuan tidak ditahbiskan sebelumnya sesuatu sekali dan untuk semua: mereka terbentuk dan dikembangkan melalui
instruksi, praktek dan penguasaan suatu kegiatan. Oleh karena itu kami berbicara tentang perlunya membentuk, mengembangkan, menumbuhkan dan meningkatkan kemampuan anak-anak, dan kita tidak bisa memprediksi secara tepat seberapa jauh perkembangan ini mungkin pergi.
(Krutetskii, 1976, halaman 4)
semakin diakui bahwa tingkat kognitif dari respon siswa dalam matematika ditentukan bukan oleh 'kemampuan' dari siswa, tetapi keterampilan dengan mana guru adalah mampu terlibat siswa dalam matematika 'aktivitas'. Ini melibatkan pengembangan pendekatan pedagogis dalam matematika yang sensitif dan berhubungan dengan siswa tujuan dan budaya. Siswa diberi label sebagai 'matematis kurang mampu' secara dramatis dapat meningkatkan
tingkat kinerja mereka ketika mereka menjadi terlibat dalam sosial dan budaya
kegiatan terkait dalam matematika (Mellin-Olsen, 1987).
Lain konfirmasi empiris dari fluiditas kemampuan dapat ditemukan di idiot savant fenomena. Di sini, orang-orang yang dicap sebagai 'yg tdk dpt dididik' bisa tampil pada mengejutkan tingkat tinggi dalam domain di mana mereka telah bertunangan (Howe, 1989). Secara keseluruhan, ada teori yang kuat (dan empiris) dasar untuk menolak tetap
Filosofi Pendidikan Matematika
246
hirarkis melihat kemampuan matematika, dan menghubungkan lebih banyak untuk sosial pembangunan, yang berasal dari tradisi Soviet. Ditambah dengan sosiologis argumen, ini terdiri dari sebuah kasus yang kuat terhadap pandangan hirarkis kemampuan dalam matematika.
C. View hirarkis Kemampuan dalam Kurikulum Nasional
Sebuah pandangan hirarkis kemampuan matematika jelas dalam publikasi mengenai Kurikulum Nasional. Kelompok Tugas Penilaian dan Pengujian didirikan untuk mengembangkan pengujian 'untuk segala usia dan kemampuan' (Departemen Pendidikan dan Ilmu Pengetahuan,
1987a, halaman 26) dan terms of reference termasuk pemberian rekomendasi penilaian untuk 'mempromosikan belajar di berbagai kemampuan' (Departemen Pendidikan dan Ilmu Pengetahuan, 1988b). Sekretaris Negara untuk Pendidikan (K.Baker) menulis kepada chair (P.Black) pada kemampuan dan diferensiasi, sebagai berikut. Saya meminta kelompok kerja subjek [matematika termasuk] untuk merekomendasikan target pencapaian untuk keterampilan, pengetahuan dan pemahaman yang siswa dari berbagai kemampuan yang berbeda biasanya harus diharapkan mencapai pada usia empat poin, tetapi sejauh mungkin untuk menghindari pengaturan kualitatif berbeda-target dalam hal bidang pengetahuan, keterampilan atau
pemahaman-untuk anak-anak kemampuan yang berbeda.
(Departemen Pendidikan dan Ilmu Pengetahuan, 1988b, Lampiran B) Laporan akhir dari kelompok kerja matematika (Departemen Pendidikan dan Ilmu, 1988) juga menggunakan bahasa stereotip kemampuan. Surat yang menyertainya kepada Sekretaris Negara menyatakan bahwa proposal tertutup adalah: 'sesuai untuk anak-anak dari segala usia dan kemampuan, termasuk anak-anak dengan kebutuhan pendidikan
khusus. "
(Halaman vi). Contoh-contoh selanjutnya dipilih secara acak dari laporan tersebut meliputi: 'Guru anak bayi ... akan perlu ... mengacu pada program B untuk memperpanjang kerja murid mereka yang paling mampu '(halaman 63)'. Ada waktu datang ketika bahkan anak terang kebutuhan
kesulitan dengan, misalnya, Level 1 pada usia 7 dan Level 2 pada usia 11 '(halaman 83). Kutipan tersebut sangat menyarankan bahwa baik resmi (pemerintah) melihat dan yang terwakili dalam publikasi dari Kelompok Kerja Matematika adalah dari hirarki kemampuan matematika, di mana individu secara umum dapat diberi
tetap dan posisi relatif stabil.
Selain itu, Kurikulum Nasional dalam hasil matematika dalam pembatasan pengalaman kurikulum untuk siswa mencapai rendah dalam matematika. Sebagai kurikulum dan kerangka penilaian untuk menunjukkan Kurikulum Nasional (Gambar 11,1), hasil bersih adalah satu kurikulum dalam matematika untuk semua siswa, dengan orang-orang 'Rendah kemampuan' terbatas pada, tingkat yang lebih rendah sederhana. Hasil dari asumsi dalam Kurikulum Nasional dalam matematika adalah cenderung menjadi eksaserbasi dan berlebihan dari perbedaan individu dalam kinerja. Sebagaimana telah kita lihat, ini hampir pasti menjadi self-fulfilling, menyangkal Keberhasilan dalam matematika untuk jumlah yang sangat besar anak-anak sekolah. Hirarki
247
Tentu saja kemampuan stereotip dalam matematika tidak hanya karena diamati perbedaan dalam pencapaian. Ada bukti tak terbantahkan bahwa kelas (serta Faktor etnis dan gender) memainkan peran utama dalam pelabelan tersebut (Meighan, 1986). Itu Kemampuan stereotip yang dibangun ke dalam Kurikulum Nasional dalam matematika
mengasumsikan bahwa
setiap anak dapat diberi posisi dalam 'hierarki kemampuan matematika', dan bahwa hanya sedikit menggeser posisi mereka selama tahun-tahun sekolah. Akibatnya, bekerja kelas, anak-anak hitam dan perempuan cenderung ditempatkan lebih rendah, bukan lebih tinggi, hirarki ini, sesuai dengan harapan stereotip. Ini adalah satu lagi antiegalitarian fitur dari Kurikulum Nasional, yang akan memberlakukan tetap dan
hirarkis 'pecking order' dengan pencapaian pada siswa.
Gambar 11.1: Kurikulum dan Penilaian Kerangka Kurikulum Nasional (Diadaptasi dari Departemen Pendidikan dan Ilmu Pengetahuan, 1988b) Garis-garis menunjukkan kemajuan siswa dengan kemampuan: kemampuan tinggi '(persentil ke-90)-top
garis putus-putus, 'rata-rata kemampuan' (persentil ke-50)-tengah garis, 'kemampuan rendah' (10
persentil line)-rendah bertitik.
Filosofi Pendidikan Matematika
248
4. Hirarki sosial
B. Akar Hierarchy Sosial
Nilai-nilai ini memiliki fungsi pembenaran, melayani untuk melegitimasi pelaksanaan otoritas dan kuasa oleh atasan pada bawahan dalam hirarki. Yang berikutnya 'Hak ilahi raja-raja' adalah contoh dari pembenaran kekuasaan. Dalam Bab 7 pandangan ini dijiplak dari sumber alternatif, pandangan Aristoteles alam, dengan yang direkat pada abad pertengahan untuk menimbulkan Rantai Besar Menjadi (Lovejoy, 1936). Sumber lain yang penting dari tradisi ini adalah pembagian orang menjadi tiga jenis bertingkat, disebut emas, perak dan perunggu (Plato, 1941). Ini adalah signifikan karena link dengan pendidikan, di mana kurikulum yang berbeda adalah dianggap tepat untuk tiga jenis, ditentukan oleh kebutuhan stasiun berbeda dalam hidup mereka akan berasumsi. Ini adalah sumber dari tema yang akan terlihat berjalan melalui bagian ini. Kami juga telah melihat bahwa Yunani membedakan antara bekerja dari tangan dan kerja otak, sehingga menimbulkan hubungan antara murni pengetahuan dan kelas yang lebih kuat (dan depan nya). Hasil yang modern gabungan dari tradisi adalah diterima secara luas piramidal hirarkis model masyarakat, dengan kekuasaan terkonsentrasi di bagian atas, disahkan dan diperkuat, jika tidak direproduksi, dengan budaya dan nilai-nilai yang terkait. Model masyarakat dipandang oleh banyak orang sebagai 'alami' keadaan, seperti dicontohkan oleh manusia dan kelompok hewan di alam liar. Seperti biologi akar secara tegas ditolak oleh analisis ulang feminis sejarah dan antropologi, yang melihat hirarki piramidal yang terkait dengan dominasi laki-laki dalam masyarakat, dan menolak mengklaim bahwa itu bersifat universal (Fisher, 1979). Memang, seperti dipertanyakan hirarkis pandangan masyarakat dapat dilihat sebagai bagian dari budaya yang menopang ada struktur masyarakat, dan karenanya dominasi laki-laki dan atas / kelas menengah. Itu identifikasi hierarki piramidal sebagai struktur 'alami' masyarakat merupakan contoh dari 'kesalahan naturalistik', asumsi yang salah bahwa apa yang terjadi, adalah apa yang
harus, kontingensi adalah keliru untuk kebutuhan.
Ketika struktur kekuasaan masyarakat secara fisik terancam, kekuatan cenderung dibawa ke dalam bermain untuk mempertahankannya. Namun, apa yang lebih menarik, adalah
dampak dari
dianggap ancaman terhadap budaya dan nilai-nilai terkait. Menurut Douglas (1966), kelompok sosial memiliki 'kelompok' batas, anggota membedakan dari luar, dan 'Grid' batas-batas, membedakan sektor yang berbeda atau strata dalam group.4 Di bawah ancaman, menurut Douglas, kelompok menjadi prihatin dengan kemurnian dalam Surat Hirarki
249
budaya, dan dengan kelompok yang ketat dan batas-batas grid. Dalam pandangan ini, kemurnian terkait
dengan budaya kelas dominan, menjadi intensif, seperti halnya ketatnya batas definisi, termasuk gradasi internal dalam suatu hirarki.
B. Pendidikan dan Reproduksi Hirarki Sosial
terkait ideologi. Negara, melalui 'aparatur negara represif' (polisi, penjara, tentara, dll) mendukung dan mereproduksi produksi industri dalam mendukung modal dan
dominan kelas.
Namun tesis ini dapat ditafsirkan dalam dua cara mengenai menghambat gaya pada massa dan masyarakat di besar. Ada 'keras' pandangan bahwa sosial kondisi sangat penentu, dan manusia yang dipenjarakan tanpa kunci dari teori Marxis yang dapat digunakan untuk menembus kesadaran palsu dan penindasan. Ada juga 'lunak' posisi determinis, bahwa manusia mampu bereaksi, dan di mana-mana mampu 'menciptakan' perubahan sosial (Simon, 1976). Perbedaan adalah sebanding ditarik oleh Giroux (1983) antara 'strukturalis' dan 'budayawan' tradisi di neomarxist Teori, yang menekankan pentingnya struktur sosial dan ekonomi, atau budaya dan hubungannya dengan agen manusia, masing-masing.
Sulit determinisme
Sebuah teori modern yang berpengaruh dalam tradisi ini adalah Althusser (1971). Dia berpendapat
bahwa dalam
Selain reproduksi sosial 'negara aparatus represif' tergantung pada suatu 'Aparatur negara ideologis', yang meliputi pendidikan, agama, menghormati hukum, politik, dan budaya, dan bahwa kelas tidak dapat mempertahankan kekuasaan tanpa memperpanjang
hegemoni atau dominasi budaya di daerah tersebut. Pendidikan adalah yang paling kuat 'Aparatur negara ideologis' dalam mereproduksi hubungan produktif, yang menanamkan
penerimaan tenaga kerja dan kondisi kehidupan massa.
Bourdieu dan Passeron (1977) mengusulkan sebuah teori sekolah dan reproduksi masyarakat yang cocok dalam kategori ini. Dalam budaya akun linguistik ('Modal budaya' lebih umum) sangat penting dalam menentukan sosial hasil pendidikan, dalam hal keanggotaan kelas. Mereka istilah 'simbolik kekerasan' dominasi budaya kelas pekerja yang masker reproduksi sosial. Sebuah perkembangan berpengaruh tesis deterministik keras, yang menomorduakan
peran ideologi adalah bahwa Bowles dan Gintis.
Hubungan saat ini antara pendidikan dan ekonomi terjamin tidak melalui isi pendidikan tetapi melalui bentuk: hubungan sosial
Filosofi Pendidikan Matematika
250
dari pertemuan pendidikan. Pendidikan mempersiapkan mahasiswa untuk menjadi pekerja
melalui korespondensi antara hubungan sosial produksi dan
hubungan sosial pendidikan. Seperti pembagian kerja dalam kapitalis perusahaan, sistem pendidikan adalah hirarki halus bergradasi otoritas dan kontrol di mana competitition daripada kerjasama mengatur hubungan antara peserta ... Urutan hirarki dari sistem sekolah mengagumkan diarahkan mempersiapkan siswa untuk posisi masa depan mereka di
hirarki produksi, membatasi pengembangan kapasitas mereka
melibatkan pelaksanaan partisipasi demokratis timbal balik dan saling dan memperkuat kesenjangan sosial oleh legitimasi penugasan siswa
untuk yang tidak setara 'slot' dalam hirarki sosial.
Kuat sebagai argumen ini, mereka menderita dua kelemahan utama. Pertama-tama, mereka terlalu deterministik dalam membelenggu pendidikan dengan kondisi produksi. Dalam hal ini, mereka tidak memungkinkan untuk eksploitasi kekuatan bertentangan bekerja dalam sistem, atau untuk agen manusia atau resistensi dari dalam (Giroux, 1983). Kedua, terutama dalam kasus Bowles dan Gintis (1976), mereka mengabaikan hakikat pengetahuan, yang seperti yang telah kita lihat sebelumnya, berkaitan dengan ideologi dan kelas, dan tidak dapat diabaikan.
Lembut determinisme
Banyak wawasan dipertimbangkan di atas tetap berlaku untuk lembut dan kurang deterministik melihat reproduksi dipertimbangkan di sini. Namun, di luar ini determinisme struktural Gramsci (1971) berpendapat bahwa dominasi masyarakat dengan satu kelas membutuhkan budaya hegemoni. Ini merupakan dominasi budaya oleh satu kelas legitimasi, membingungkan dan memperkuat kekuatan dan prestise. Hegemoni tersebut jenuh 'masuk akal' dari massa, dan karenanya mengamankan persetujuan tanpa disadari dan kolusi. Williams (1976) dibangun di atas konsep hegemoni, tetapi berpendapat bahwa ada alternatif dan oppositonal bentuk kehidupan sosial dan budaya di samping dominan budaya kelas. Ini dapat hidup berdampingan dengan budaya dominan yang mungkin menggabungkan bentuk-bentuk alternatif atau bahkan bertentangan. Ini menggambarkan penting dan
lebih umum titik yang dibuat oleh Williams, mengenai banyaknya ideologi dan budaya. Itu semua terlalu mudah untuk jatuh ke dalam perangkap bergerak dari hegemoni ke disederhanakan dan statis pandangan budaya. Williams menekankan kompleksitas dan dinamika. Giroux (1983) mengakui sifat kompleks budaya. Dia mengusulkan bahwa dalam budaya sekolah ada resistensi yang lebih dari sekedar respon ke kurikulum otoriter, dan yang mencerminkan agenda alternatif sebagai gantinya implisit. Dia berpendapat bersama Freire dan pendidik masyarakat lainnya bahwa melalui pendidikan kritis, siswa dapat dibebaskan dari kekuatan reproduksi di tempat kerja di sekolah. Secara keseluruhan, menurut ini pengelompokan kedua, pasukan cenderung mereproduksi Struktur hirarkis masyarakat diakui, seperti pentingnya budaya, ideologi dan pengetahuan. Tapi ini terlihat memiliki peran ganda, baik sebagai penting cara dominasi, dan juga sebagai cara yang mungkin untuk emansipasi. Hirarki
251
C. Mereproduksi Hirarki Sosial melalui Matematika
Sejumlah penulis telah menerapkan satu atau bentuk lain dari ide-ide di atas untuk pendidikan matematika, seperti Cooper (1989), Meffin-Olsen (1987), Noss (1989,1989 a) dan lain-lain di Noss dkk. (1990). Kedua Noss dan Cooper menyimpulkan bahwa itu adalah bentuk daripada isi pendidikan matematika (yaitu, 'tersembunyi
kurikulum ') yang menyampaikan tujuan sosialnya.
wawasan tentang bagaimana tekanan budaya mengikuti rantai komando dalam hirarki sekolah. Namun demikian, akun ini oversimple gagal untuk mengakui berbagai keyakinan dan ideologi dari guru dan kelompok tekanan sosial. Noss menyajikan kasus yang kuat untuk tesis deterministik yang lemah dalam matematika pendidikan, dan mengidentifikasi Kurikulum Nasional dalam matematika sebagai melayani sosial reproduksi fungsi yang 'mendalam dan sengaja antieducational' (Noss, 1989, halaman 1). Dia berpendapat bahwa ada kontradiksi dalam sistem yang memungkinkan untuk ditumbangkan untuk melayani tujuan yang benar-benar
pendidikan. Di
Khususnya, prioritas rendah yang diberikan kepada konten matematika berarti, dalam
pandangannya, bahwa
dapat dimanfaatkan untuk melayani memberdayakan, pendidikan demokratis. Namun dia tidak
tidak mengakui bahwa struktur hirarkis isi kurikulum
berfungsi untuk menciptakan masyarakat yang hierarkis bertingkat, seperti yang akan dikatakan di
bawah ini.
(Meskipun di Noss, 1989a, disarankan agar kurikulum dasar-keterampilan dalam matematika berfungsi untuk deskill tenaga kerja untuk eksploitasi keuangan.)
Mellin-Olsen (1987) mengakui adanya kekuatan reproduksi di
pendidikan matematika dan masyarakat, dan membangun mereka ke dalam rekening teoritis menggambar juga pada sosial, antropologi psikologi dan psikologi. Dia menekankan, berikut Giddens (1979), bahwa individu menciptakan ideologi serta hidup di dalamnya. Secara khusus, ia mengidentifikasi perlawanan terhadap hegemoni dengan produksi alternatif ideologi dengan cara activity.5 Dia berpendapat bahwa pemberdayaan matematika pendidikan harus menangkap peluang tersebut: kritis pendidikan matematika harus menyediakan pelajar dengan 'alat berpikir' untuk terlibat dalam kegiatan yang menantang
implisit ideologi sekolah.
Ini laporan singkat tidak bisa melakukan keadilan untuk teori Mellin-Olsen, mendukung argumen dan link dengan praktek. Namun, dapat dikatakan bahwa saham dua bidang kelemahan diidentifikasi sebelumnya dalam rekening reproduksi sosial. Pertama, hal itu tidak memadai membedakan ideologi yang berbeda dan kelompok kepentingan sosial di tempat kerja di kurikulum matematika. Hal ini mungkin tidak tampak diperlukan untuk argumen umum diajukan oleh Mellin-Olsen, tetapi diperlukan sebelum ideologi implisit sekolah bisa ditantang. Kedua, tidak mengeksplorasi unsur-unsur ideologi memadai, dan di atas semua, tidak mempertimbangkan pandangan dari sifat matematika, yang sangat penting bagi pendidikan matematika, menurut tesis buku ini. Secara keseluruhan, ada dukungan luas untuk tesis bahwa pendidikan membantu
Filosofi Pendidikan Matematika
252
mereproduksi struktur hirarkis masyarakat, melayani kepentingan orang kaya dan istimewa. Namun, tesis ini perlu dipahami dengan cara yang mengakui kompleksitas hubungan dalam masyarakat, dan yang memodifikasi deterministik karakter formulasi aslinya. Tesis ini dimodifikasi reproduksi tergantung banyak pada ideologi, dan sehingga sangat tepat untuk mengeksplorasi hubungan
dengan model ideologi pendidikan dari buku ini.
Dalam hal stasiun sosial massa, tujuan pelatih industri secara langsung reproduksi. Dengan demikian pelatihan sosial massa melalui matematika merupakan bagian dari persiapan untuk hidup taat tenaga kerja. Bor, hafalan, praktek, yang dualistik demarkasi antara benar dan salah, dan otoritas hirarki ketat guru membantu untuk menanamkan nilai-nilai dan harapan yang sesuai untuk disiplin pekerja masa depan untuk peran tidak perlu diragukan lagi di masyarakat, sedangkan strata yang
lebih tinggi di masa depan
masyarakat yang tidak begitu diatur. Pelatihan tingkat rendah juga memastikan bahwa massa menjadi
murah tenaga kerja (Noss, 1989a). Tujuan utama dari kelompok ini adalah untuk mengandung dan mendefinisikan
tempat (rendah) dari massa. Ideologi borjuis berasal dari banyak kelompok memiliki 'menjadi lebih baik sendiri', dan ideologi ini melibatkan menjaga mereka
asal-usul sosial kelompok di tempat mereka '.
Yang lama humanis
Tujuan humanis tua berfokus pada pengembangan matematis mampu dan berbakat dan penanaman nilai-nilai matematika murni. Ini melayani memelihara dan
reproduksi tubuh matematikawan, yang mewakili sebagian dari
profesional, menengah elit kelas, dengan budaya murni kelas menengah. Hal ini dapat ditelusuri kembali ke perpecahan antara karya tangan dan otak, dan concomittent budaya dan kelas perbedaan (Restivo, 1985). Kelompok ini memiliki tradisional dilakukan kekuasaan atas isi dari kurikulum matematika, membuat 'top down' itu (melayani kepentingan kelompok) daripada 'bottom up' (Melayani pertama kepentingan semua). Dengan berfokus pada kebutuhan elite, dan kelangsungan hidupnya,
ideologi ini berusaha untuk mereproduksi struktur kelas masyarakat. Kedua kelompok kedua fokus pada pelestarian kelompok dan batasnya. Para humanis tua adalah bagian dari kelompok kelas menengah profesional dengan ekonomi dan politik kekuasaan, dan dengan budaya yang kemurnian berfungsi untuk mendefinisikan dan membela Kelompok batas. Douglas (1966) berpendapat secara umum bahwa kemurnian berfungsi untuk mempertahankan
Kelompok batas dengan cara ini, atas dasar kerja antropologi yang luas. Itu purist tujuan dan ideologi kelompok ini cocok dengan pola ini. Pelatih industri bertujuan untuk pendidikan matematika tidak murni, namun juga berfungsi untuk melestarikan Kelompok batas sekitar massa, dan karenanya batas kelompok mereka sendiri. Ini tampaknya akan menjadi tidak konsisten dengan temuan Douglas. Namun dualistik mereka nilai-nilai moral berpusat pada kemurnian moral dalam tradisi Yahudi-Kristen ('kebersihan Hirarki
253
sebelah Ketuhanan ',' dosa asal '), yang bertentangan dengan kemurnian epistemologis yang lama humanis. Jadi Douglas 'konsepsi budaya (dan tubuh) kemurnian sebagai respon terhadap
Kelompok ancaman batas berlaku di sini, juga.
The teknologi pragmatis
kekayaan
dan kemajuan, mengikuti inovasi teknologi dan kemajuan. Matematika pendidikan adalah bagian dari pelatihan keseluruhan populasi untuk melayani kebutuhan kerja, dan tujuan sosial yang jelas adalah meritokrasi. Sosial mobilitas atas dasar merit atau pencapaian teknologi merupakan bagian dari perspektif ini, karena industri dan sektor lainnya terus berkembang dan membutuhkan teknologi dilatih personel. Namun, stratifikasi sosial yang ada dengan kelas tidak dipertanyakan, dan akibatnya berbagai faktor dan harapan sebagian besar berfungsi untuk mereproduksi sosial
divisi dan stratifikasi.
Para pendidik progresif
Para pendidik progresif bertujuan untuk kepedulian matematika realisasi dan pemenuhan manusia melalui matematika sebagai sarana ekspresi diri dan pengembangan pribadi. Penekanan dari perspektif ini sangat individualistik. Sementara itu diarahkan pada kemajuan individu dalam berbagai cara, tidak menemukan mereka dalam matriks sosial, juga tidak mengakui kekuatan yang bertentangan bekerja di
masyarakat yang merusak efektivitas pendidikan progresif. Jadi perspektif
Ini adalah
Filosofi Pendidikan Matematika
254
