PROBABILISTIC STATISTICS Module 2 Descriptive Statistics

(1)

PROBABILISTIC & STATISTICS

Module 2 Descriptive Statistics

TIM DOSEN UMN

Last updated 7 Sept 2014

ENTRI DATA KE EXCEL

52 56 62 48 93 88

42 53 61 61 71 64

53 51 58 63 71 57

58 63 88 62 67 56

56 47 63 78 67 53

33 80 45 55 37 42

50 42 56 58 67 22

28 56 31 71 50 25

50 41 35 79 69 46

(2)

MEMBUAT TABEL DISTRIBUSI FREKUENSI

• Banyak data sampel (n)

– Hitung banyak data sampel: n=_________

• Range atau Rentang (R) adalah selisih nilai Maximum (H)

dikurangi dengan nilai Minimum (L)

– Hitung Range = _________ - __________= _________ • Banyak Kelas (k).

– Rumus:

k=1+3,3xlog(n)

– Hitung banyak kelas= _____

3 60

93 22 71

7

MEMBUAT TABEL DISTRIBUSI FREKUENSI (2)

• Interval Kelas (i) atau lebar kelas

– Rumus:

• i

≥

𝑅

𝑘

– Hitung interval kelas (i) = ____.

• Menentukan bawas bawah kelas pertama:

– Untuk H=bilangan bulat 3 digit S=2

– Untuk H=bilangan bulat 2 digit S=1

– Untuk H=bilangan bulat 1 digit S=0,5

– Untuk H= bilangan desimal 1 digit S=0,05

– Untuk H= bilangan desimal 2 digit S=0,005 dst

– Hitung batas bawah kelas (BBK) pertama = Minimum – S = _____

11

(3)

MEMBUAT TABEL DISTRIBUSI FREKUENSI (3)

• Batas atas kelas (BAK) pertama=batas bawah kelas pertama + interval kelas = _______

• Menentukan kelas kedua

–Batas bawah kelas kedua=batas atas kelas pertama = ______

–Batas atas kelas kedua=batas bawah kelas kedua + interval kelas = _____

• Hitung kelas ketiga s/d kelas terakhir

5 32

32

43

JAWAB

Nilai Ujian

21-32

32-43

43-54

54-65

65-76

76-87

(4)

MEMBUAT TABEL DISTRIBUSI FREKUENSI (4)

• Titik Tengah Kelas (Class Mid Point)

–Mid point kelas pertama= (batas atas kelas pertama + batas bawah kelas pertama)/2

• Frekuensi

–Hitung dengan excel frekuensi masing-masing kelas

–Rumus:=

COUNTIF(Range,">="&BBK)-COUNTIF(Range,">"&BAK)

–

Hitung total frekuensi harus sama dengan n

7

MEMBUAT TABEL DISTRIBUSI FREKUENSI (5)

• Frekuensi relatif adalah frekuensi masing-masing kelas dibagi dengan total frekuensi.

• Frekuensi komulatif

– Frekuensi komulatif kelas pertama=frekuensi kelas pertama

– Frekuensi komulatif kelas kedua=frekuensi kelas pertama + frekuensi kelas kedua

– Frekuensi komulatif kelas ketiga=frekuensi kelas pertama + frekuensi kelas kedua + frekuensi kelas ketiga

– dst

(5)

RATA-RATA

• Rata-rata populasi dihitung sebagai jumlah seluruh nilai pada populasi ( 𝑋) dibagi dengan banyaknya nilai pada populasi (N).

• Rumus:

• Rata-rata sampel dihitung sebagai jumlah seluruh nilai pada sampel ( 𝑥) dibagi dengan banyaknya nilai pada sampel (n).

• Rumus:

𝑋 = 𝑋_𝑛

9

𝜇 = 𝑋_𝑁

TABEL DISTRIBUSI FREKUESI

No Titik Tengah Frekuensi Frekuensi relatif Frekuensi Komulatif 1 21 - 32 26.5 5 0.08 5 2 32 - 43 37.5 8 0.13 13 3 43 - 54 48.5 15 0.25 28 4 54 - 65 59.5 18 0.30 46 5 65 - 76 70.5 8 0.13 54 6 76 - 87 81.5 3 0.05 57 7 87 - 98 92.5 3 0.05 60

(6)

RATA-RATA PEMBOBOTAN

• Nilai dilambangkan dengan X₁, X₂, … X_n dan bobot dilambangkan dengan W₁, W₂, … W_n maka

didapatkan rumus rata-rata pembobotan dihitung sebagai jumlah masing-masing nilai dikali dengan bobotnya dibagi dengan jumlah bobot.

• Rumus:

11

𝑋 𝑊 = (𝑊 × 𝑋)_𝑊

CONTOH RATA-RATA PEMBOBOTAN

• Contoh: Restoran Wendy’s menjual minuman ringan berukuran sedang, besar dan jumbo berturut-turut dengan harga Rp. 9000, Rp. 12.500, dan Rp. 15.000. Dimana dalam 10 minuman terakhir terjual 3

berukuran sedang, 4 berukuran besar, dan 3 berukuran jumbo. Maka rata-rata pembobotan adalah:

(7)

MODUS

• Modus adalah nilai pengamatan yang paling sering muncul.

• Contoh: Restoran Wendy di atas menjual minuman ringan sebanyak 3 berukuran sedang, 4 berukuran besar, dan 3 berukuran jumbo, maka modus=____. Ingat modus bukan klasifikasinya tapi nilainya.

• Pada contoh data 10, 12, 14, 15, 16. Modus=__________. • Pada contoh data 10, 12, 14, 14, 15, 15, 16 terdapat dua

buah modus yaitu ____ dan ____. Data ini dikatakan sebagai bimodal karena memiliki dua buah modus

13 4

Tidak ada

14 15

MEDIAN

• Median adalah titik tengah dari sejumlah nilai

setelah nilai-nilai tersebut diurutkandari yang terkecil hingga yang terbesar, atau dari yang terbesar hingga yang terkecil.

• Contoh: Misalkan kita mendapatkan data 10, 12, 14, 15, 16. Mediannya adalah ____.

• Bagaimana bila banyak data adalah genap? Bila banyak data adalah genap, maka terdapat dua buah nilai, katakan saja X dan Y, sehingga Median=(X+Y)/2. Contoh bila data tsb menjadi 10, 12, 14, 15, 16,17 maka Median = _____.

14

(8)

JANGKAUAN (RANGE)

• Range adalah perbedaan antara nilai terbesar dan terkecil.

• Contoh Data 10, 12, 14, 15, 16. Range=____.

15 6

DEVIASI RATA-RATA

(MEAN DEVIATION ATAU MD)

• Devaiasi rata-rata hitung dari nilai absolut perbedaan masing-masing nilai dengan rata-ratanya

• Rumus:

(9)

CONTOH

• Jumlah cappuccino yang terjual di salah satu

Starbuck café dalam lima hari masing-masing adalah 20, 40, 50, 60, dan 80. Tentukan (a) apakah data merupakan sampel atau populasi (b) hitung rata-rata (c) hitung median (d) modus dan (e) deviasi rata-ratanya. Jawab:

17

JAWAB

a) Data merupakan sampel, karena bukan merupakan keseluruhan gerai Starbuck.

b) 𝑋 = 𝑋

𝑛 =

20:40:50:60:80

5 = 50

c) Median=50. d) Tidak ada modus

e) 𝑀𝐷 = 𝑋;𝑋

𝑛 =

20;50 : 40;50 : 50;50 : 60;50 :|80;50|

5 =

30:10:0:10:30

(10)

VARIANSI & STANDARD DEVIASI POPULASI

• Variansi Populasi (Population variance disimbolkan dengan 𝜎2)merupakan rata-rata hitung dari kuadrat deviasi rata-rata.

• Standar deviasi populasi adalah akar kuadrat dari variansi.

• Rumus variansi dan standar deviasi:

• Variansi populasi: 𝜎2 = (𝑋;𝜇)2

𝑁

• Standar deviasi populasi: 𝜎 = (𝑋;𝜇)2

𝑁

19

VARIANSI & STANDARD DEVIASI SAMPEL

• Kalau variansi populasi berlaku untuk populasi, maka variansi sampel berlaku untuk sampel.

• Rumus variansi dan standar deviasi sampel berbeda sedikit dari rumus untuk populasi.

• Variansi sampel: 𝑆2 = (𝑋;𝑋 )2

𝑛;1

• Standar deviasi sampel: 𝑆 = (𝑋;𝑋 )2

(11)

CONTOH

1. Jumlah surat tilang yang dikeluarkan dalam lima bulan terakhir di kepolisian adalah 38, 26, 13, 41, 22. Berapakan variansi populasinya? Berapakah standar deviasi populasinya?

2. Upah per jam pekerja paruh waktu di suatu toko adalah 12 ribu, 20 ribu, 16ribu, 18 ribu, dan 19 ribu rupiah. Tentukan variansi dan standar deviasi

sampelnya

21

JAWAB

Soal nomor 1:

• 𝜇 = 𝑋_𝑁 = 38:26:13:41:22₅ = 28.

• 𝜎2 ₌ (𝑋;𝜇)2 𝑁 =

(38;28)2_{: (26;28)}2_:(13;28)2_:(41;28)2_:(22;28)2

5 = 106,8

• 𝜎 = 106,8 = 10,33

Soal nomor 2:

• 𝑋 = 𝑋_𝑛 =12000:20000:16000:18000:19000₅ = 17000

• 𝑆2₌ (𝑋;𝑋 )2 𝑛;1

• 𝑆2₌(12000;17000)2:(20000;17000)2: ⋯: (19000;17000)2

5;1 =

40 4 = 10.

(12)

PERCENTILE

• Data dibagi menjadi 100 bagian yang sama. Sehingga terdapat 99 buah persentil.

• Dari antara 99 persentil yang umum dipakai adalah persentil ke 25, 50 dan 75.

• Persentil sering dipergunakan dalam prosentasi. Misalkan persentil ke 25 membagi data 25% dibawahnya dengan 75% data di atasnya.

• Masalahnya kita masih harus menghitung dimana lokasi data yang merupakan persentile.

• Untuk menghitung lokasi persentil digunakan rumus: 𝐿𝑝 = (𝑛 + 1)₁₀₀𝑃

23

PERCENTILE (2)

Kasus banyak data adalah bilangan ganjil

Contoh: carilah persentil ke 25 dari data sbb: 2.038, 1.758, 1.721, 1.637, 2.097, 2.047, 2.205, 1.787, 2.287, 1.94, 2.311, 2.054, 2.406, 1.471, 1.46. Jawab:

Hitung banyak data n=___  bilangan ganjil

Urutkan data sehingga menjadi 1.46, 1.471, 1.637, 1.721, 1.758, 1.787, 1.94, 2.038, 2.047, 2.054, 2.097, 2.205, 2.287, 2.311, 2.406.

Gunakan rumus untuk mencari lokasi persentil ke 25:𝐿₂₅ = 15 + 1 25

100= 4.

Persentil ke 25 berada pada posisi nilai keempat yaitu _______ .

15

(13)

PERCENTILE (3)

Kasus banyak data adalah bilangan genap

Contoh: carilah persentil ke 25 dari data sbb: 91, 75, 61, 101, 43, 104. Jawab:

Hitung banyak data n=6  6 adalah bilangan genap. Urutkan data sehingga menjadi 43, 61, 75, 91, 101, 104. Gunakan rumus untuk mencari persentil ke 25:

𝐿25= 6 + 1 _{100 = 1,75.}25

Persentil ke 25 berada pada posiis nilai antara pertama dan kedua dengan selisih 0,75. Nilai pada posisi pertama adalah 43 dan nilai pada posisi kedua adalah 61. Sehingga persentil ke 25 adalah 43+(61-43)x0,75=56,5. Sehingga persentil ke 25 adalah 56,5.

25

DESIL (DECILES)

• Kalau pada persentil data dibagi menjadi 100 bagian, maka data pada desil dibagi menjadi sepuluh bagian.

(14)

KUARTIL (QUARTILE)

• Kuartil membagi data menjadi empat bagian:

– Q1 disebut dengan kuartile pertama membagi data antara 25% data dibawahnya dengan 75% data di atasnya. Q1 sama dengan persentil ke 25.

– Q2 biasa disebut dengan median membagi data antara 50% dibawahnya dan 50% di atasnya. Q2 atau Median sama dengan persentil ke 50.

– Q3 disebut dengan kuartile ketiga mebagi data antara 75% dibawahnya dengan 25% data di atasnya. Q3 sama dengan persentil ke 75.

– Gunakan rumus yang sama dengan persentil untuk menemukan Q1, Q2, dan Q3.

– Jangkauan Interkuartil (Interquartile range) adalah perbedaan antara kuartil ketiga dan kuartil pertama atau Jangkauan Interkuartil= Q3– Q1.

27

CONTOH

46, 47, 49, 49, 51, 53, 54, 54, 55, 55, 59. Contoh tentukan

(a) Q1 (b) Median (c) Q3

(15)

JAWAB

Jawab:

Hitung banyak data n=11  11 adalah bilangan ganjil Urutkan data  data sudah urut.

Gunakan rumus untuk mencari lokasi persentil ke 25 (Q1):

𝐿25= 11 + 1 _{100 = 3.}25

Persentil ke 25 (Q1) berada pada posisi nilai ketiga yaitu 49 sehingga Q1=49.

Gunakan rumus untuk mencari lokasi persentil ke 50 (Median):

𝐿50= 11 + 1 _{100 = 6.}50

Persentil ke 50 (Median) berada pada posisi nilai keenam yaitu 53 sehingga Median=53. Gunakan rumus untuk mencari lokasi persentil ke 75 (Q3):

𝐿75= 11 + 1 _{100 = 9.}75

Persentil ke 75 (Q3) berada pada posisi nilai ke sembilan yaitu 55 sehingga Q3=59.

Jangkauan Interkuartil= Q3– Q1=59-49=10.

29

PROBABILISTIC STATISTICS Module 2 Descriptive Statistics