Jenis Fungsi Distribusi Diskrit dan
Kontinu
Jenis Fungsi Distribusi Probabilitas 1. Fungsi Distribusi Diskrit
Fungsi f(x) adalah suatu fungsi peluang atau distribusi peluang suatu peubah acak diskrit X bila, untuk setiap hasil x yang mungkin, berlaku :
) = Q = 1-P. Jika P = P(A) tetap harganya, maka percobaan yang berulang-ulang dari eksperimen itu dinamakan percobaan Bernoulli.
Jika percobaan bernoulli sebanyak N kali secara independen, menghasilkan peristiwa A dan sisanya maka peluang terjadinya peristiwa sebanyak kali di antara , dihitung oleh:
Dimana:
P(R)=peluang terjadinya sebesar R untuk N kejadian . N = jumlah kejadian.
R = jumlah kejadian yang diharapkan
P = peluang terjadinya kejadian (parameter distribusi)
Q = peluang kegagalan (tidak terjadi) =
, jumlah kombinasi N dan x pada 1 (satu) satuan waktu dengan Contoh:
Debit puncak banjir sungai Citarum-Nanjung priode tahun adalah
359m3/det. Tentukan dalam waktu 10 tahun peluang debit banjir
tersebut:
a. Tidak terjadi ?
b. Terjadi satu kali ?
c. Terjadi dua kali ?
d. Terjadi tiga kali ?
b) Distribusi Peluang Poisson
Distribusi Poisson dapat pula dianggap sebagai pendekatan kepada distribusi binomial. N cukup besar dan P(A), sangat dekat kepada nol sehingga tetap, distribusi binomial menjadi distribusi Poisson, dilakukan pendekatan sedangkan
Dirumuskan menjadi dimana:
P(R)= peluang terjadinya sebesar R dalam jumlah kejadian R = jumlah kejadian yang diharapkan
=rata-rata hitung (mean) distribusi Poisson. N = jumlah kejadian.
Dalam suatu DPS dibangun dam pengendali banjir dengan umur bangunan 100 tahun. Berapa peluang terjadinya banjir 550 m3/det dengan priode ulang 200 tahun
selama priode umur dam tersebut, apabila ditentukan dengan Distribusi Poisson ? Jawab:
Priode ulang banjir 200 tahun, maka peluang terjadinya 1 kali banjir adalah:
, dan sehingga: =
Artinya, pada DPS itu dengan umur dam pengendali banjir 100 tahun, selama priode umur tersebut akan terjadi banjir priode 200 tahun dengan peluang
c) DISTRIBUSI PELUANG HIPERGEOMETRIK
gula dari kotak yang berisi 10 buah kembang gula. Kita dapat menggunakan formula ini:
Sekarang kita menghitung berapa probabilitas mendapatkan 3 kembang gula dengan rasa marshmallow. Karena ada 8 buah kembang gula yang harus dipilih, maka ada (38) cara pengarnbilan 3 kembang gula marshmallow. Kemudian kita mengalikannya dengan jumlah kemungkinan pengarnbilan 2 kembang gula rasa almond dari 2 kembang gula rasa almond di dalarn kotak, yaitu (22) (sarna dengan I) Dengan demikian, probabilitas mengarnbil 3 buah kembang gula rasa marshmallow adalah:
Perbedaan Peluang Binomial dengan peluang Hipergeometrik:
Peluang Binomial perhatian hanya untuk peluang BERHASIL Peluang Hipergeometrik untuk kasus di mana peluang BERHASIL berkaitan denganPeluang GAGAL
ada penyekatan dan pemilihan/kombinasi obyek (BERHASIL dan GAGAL)
Percobaan hipergeometrik adalah percobaan dengan ciri-ciri sebagai berikut: 1. Contoh acak berukuran n diambil dari populasi berukuran N
2. k dari N diklasifikasikan sebagai "BERHASIL" sedangkan N-k diklasifikasikan sebagai "GAGAL"
Definisi Distribusi Hipergeometrik:
Bila dalam populasi N obyek, k benda termasuk kelas "BERHASIL" dan N-k (sisanya) termasuk kelas "GAGAL", maka Distribusi Hipergeometrik peubah Acak X yg menyatakan banyaknya keberhasilan dalam contoh acak berukuran n adalah :
untuk x = 0,1,2,3...,k
Contoh 8 :
Jika dari seperangkat kartu bridge diambil 5 kartu secara acak tanpa pemulihan, berapa peluang diperoleh 3 kartu hati?
N = 52 n = 5 k = 13 x = 3
(selesaikan sendiri !)
Rata-Rata dan Ragam bagi Distribusi Hipergeometrik h(x; N, n, k) adalah :
Rata-rata = Ragam =
Distribusi Hipergeometrik dapat diperluas menjadi penyekatan ke dalam beberapa kelas
dan perhatikan bahwa dan
N : ukuran populasi atau ruang contoh n : ukuran contoh acak
k : banyaknya penyekatan atau kelas
xi : banyaknya keberhasilan kelas ke-i dalam contoh ai : banyaknya keberhasilan kelas ke-i dalam populasi
Contoh 9 :
Dari 10 pengemudi motor, 3 orang mengemudikan motor merk "S", 4 orang memggunakan motor merk "Y" dan sisanya mengemudikan motor merk "H". Jika secara acak diambil 5 orang, berapa peluang 1 orang mengemudikan motor merk "S", 2 orang merk "Y" dan 2 orang merk "H"?
Jawab :
N = 10, n = 5
a1 = 3, a2 = 4, a3= 3 x1 = 1, x2 = 2, x3= 2
Pendekatan Hipergeometrik dapat juga dilakukan untuk menyelesaikan persoalan binomial :
Binomial untuk pengambilan contoh dengan pemulihan (dengan pengembalian)
Hipergeometrik untuk pengambilan contoh tanpa pemulihan (tanpa pengembalian)
Contoh 10 :
Dalam suatu kotak terdapat 5 bola yang terdiri dari 2 bola Merah, 2 bola Biru dan 1 buah Putih. Berapa peluang
a. terambil 2 bola Merah, dari 4 kali pengambilan yang dilakukan secara acak dengan pemulihan?
b. terambil 2 bola Merah, dari 4 kali pengambilan yang dilakukan secara acak tanpa pemulihan?
b(2; 4,0.40) = 0.16 (lihat Tabel atau gunakan rumus Binomial)
Soal b diselesaikan dengan Distribusi Peluang Hipergeometrik N = 5 n = 4 k = 2 x = 2
N-k = 3 n-x=2
h(2; 5, 4,2) =
d) Distribusi Binomial
Distribusi probabilitas dari vaiabel acak binomial X: P = px qn-x
Soal :
100 biji telur berpeluang cacat 5%... .jika diambil 3 biji telur. berapakah peluang satu telur yang cacat?
Jawab :
Gunakan rumus di atas , untuk n = 3 dan x = 1 p adalah peluang terambil telur cacat = 5% = q adalah peluang terambil telur baik = 1- 5% =
P =
= = 0,135375
e) Distribusi Multinomial
Distribusi multinomial ialah perluasan dari distribusi binomial. Misalkan sebuah
eksperimen menghasilkan peristiwa-peristiwa dengan peluang Terhadap eksperimen ini kita lakukan percobaan sebanyak N kali. Maka peluang akan terdapat peristiwa peristiwa peristiwa Ek diantara N, ditentukan oleh distribusi
multinomialberikut :
Eskpektasi terjadinya tiap peristiwa berturut-turut adalah Variansnya
Contoh :
1) Dalam undian dengan sebuah dadu sebanyak 12 kali, maka peluang terdapat mata 1,
2) Sebuah kotak berisi 3 barang yang dihasilkan oleh mesin A, 4 oleh mesin B dan 5 oleh
mesin C. kecuali dikategorikan berdasarkan mesin, identitas lainnya mengenai barang tersebut sama. Sebuah barang diambil secara acak dari kotak itu, identitas mesinnya dilihat, lalu disimpan kembali kedalam kotak. Tentukan peluang diantara 6 barang yang diambil dengan jalan demikian terdapat 1 dari mesin A, 2 dari mesin B dan 3 dari mesin C.
Jawab :
Jelas bahwa P (dari mesin A) P (dari mesin B) = dan P (dari mesin C) Dengan rumus di atas didapat :
P (1 dari mesin A dan 2 dari mesin B dan 3 dari mesin C)
2. Fungsi Distribusi Kontinu
Fungsi f((x) adalah fungsi padat peubah acak kontinu X, yang didefnisikan di atas himpunan semua bilangan real R, bila:
Peluang masa pakai alat antara 3 dan 3½ bulan ialah 0,0493.
b. dengan a = 3 dan b = ∞,maka:
c. Untuk x ≥ 0, maka:
Rata-rata masa pakai alat itu selama 2 bulan
Beberapa Distribusi Khusus Kontinu
a) Fungsi Distribusi Normal
Jika variabel acak kontinu X mempunyaifungsi densitas pada dengan persamaan umumnya : =
dengan :
fungsi densitas peluang normal
= 3,1416, nilai konstan yang bila ditulis hingga 4 desimal . = 2,7183, bilangan konstan, bila ditulis hingga 4 desimal
= Variabel acak kontinyu
= parameter, rata-rata untuk distribusi.
= parameter, simpangan baku untuk distribusi.
untuk - maka dikatakann bahwa variabel acak X berdistribusi
Sifat-sifat penting distribusi normal: 1) grafiknya selalu ada di atas sumbu datar .
2) bentuknya simetrik terhadap x = μ.
3) Mempunyai satu modus, jadi kurva unimodal, tercapai pada
sebesar
4) Grafiknya mendekati (berasimtutkan) sumbu datar x dimulai dari ke kiri.
5) Luas daerah grafik selalu sama dengan satu unit persegi.
b) Distribusi Gamma
Eksperimen-eksperimen probabilitas yang hasilnya menunjukkan suatu bentuk distribusi yang mempunyai variasi ukuran kemencengan yang cukup signifikan,
Peubah acak kontinu x berdistribusi gamma, dengan parameter dan , bila padatnya diberikan oleh :
f(x : , ) =
= 0 untuk x lainnya Bila > 0 dan > 0
Distribusi Gamma Standard
Jika parameter skala sebuah distribusi gamma = 1 diperoleh suatu distribusi gamma standar.
FG = (x : ) = P (X x) =
P (X x) = FG (x ; , ) = FG
Contoh :
= FG (8 ;8) - FG (4 ; 8)
= 0,5470 – 0,0511 = 0,4959
c) Distribusi Eksponensial
Distribusi Gamma khususnya dengan = 1 disebut distribusi eksponensial. Peubah acak kontinu x distribusi eksponensial dengan parameter , bila fungsi padatnya diberikan oleh :
1. fE (x ; ) = e-x/ x 0
= 0 untuk x lainnya Dengan > 0
2. FE (x ; ) = P (X x) = = 1 – e-x/
Contoh :
Misalkan x adalah waktu (response time) suatu terminal komputer on-line yang merupakan tenggang waktu antara masuknya suatu permintaan dari pengguna sampai sistem mulai memberikan tanggapan atas permintaan tersebut, memiliki suatu distribusi eksponensial dengan waktu tanggap rata-rata 5 detik. Jika seseorang perintah tersebut akan dijalankan selambat-lambatnya setelah 10 detik.
P (X 10) = F (10 ; ) = 1 – e-10/0,2 = 1 – e-2 = 1 – 0,135 = 0,865
d) Distribusi Khi-kuadrat (X2)
Distribusi gamma khas yang kedua diperoleh bila = V/2, = 2 dan V bilangan bulat positif. Fungsi peluang padat seperti itu disebut distribusi khi-kuadrat dengan derajat kebebasan V.
Peubah acak kontinu X berdistribusi khi-kuadrat dengan derajat kebebasan V, bila fungsi padatnya diberikan oleh :
Fx2 (x ; v) =
Teorema :
1. Menurut suatu sigi, 1/3 dari perusahaan di AS memberi karyawannya
cuti 4 minggu setelah bekerja di perusahaannya selama 15 tahun. Cari peluangnya bahwa diantara 6 perusahaan yang di sigi secara acak, banyaknya perusahaan yang memberi karyawannya cuti 4 minggu setelah 15 tahun bekerja
1. Antara 2 sampai 5
2. Kurang dari 3
2. Dalam pengujian sejenis ban truk melalui jalan yang kasar, ditemukan
bahwa 25% truk mengalami kegagalan karena ban pecah. Dari 15 truk yang diuji selanjutnya, carilah peluang bahwa:
1. Dari 3 sampai 6 mengalami ban pecah;
2. Kurang dari 4 yang mengalami ban pecah;
3. Lebih dari 15 yang mengalami ban pecah.
3. Suatu penelitian yang dilakukan di Universitas George Washington penderita yang dipilih secara acak berpendapat seperti itu?
4. Diketahui bahwa 40% dari tikus yang disuntik dengan sejenis serum
1. Tidak ada yang terserang penyakit tersebut.
2. Kurang dari 2 yang terserang
3. Lebih dari 3 yang terserang
5. Sebuah kartu diambil dari sekotak kartu bridge berisi 52 yang dikocok dengan sempurna. Hasilnya dicatat, kemudian kartu dikembalikan. Bila percobaan itu diulang 5 kali berapa peluang mendapat 2 spade dan 1 heart?
