MAKALAH PROGRAM DINAMIK
MAKALAH PROGRAM DINAMIK
NAMA ANGGOTA : NAMA ANGGOTA :
1.
1. EMMA EMMA KUSUMAWATI KUSUMAWATI 2401011012003624010110120036 2.
2. MONICA MONICA SANDI SANDI AFA AFA 240101101300240101101300 3.
3. NINDYA NINDYA FADIAH FADIAH KHAIRINA KHAIRINA 2401011014101924010110141019 4.
4. UZER UZER TARMIZI TARMIZI 240101111300240101111300 5.
5. FUADI FUADI ANWAR ANWAR WIRAWAN WIRAWAN 240101111300240101111300 6.
6. TITI TITI INDAH INDAH LESTARI LESTARI 240101111300240101111300
JURUSAN MATEMATIKA
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN MATEMATIKA
UNIVERSITAS DIPONEGORO
UNIVERSITAS DIPONEGORO
2012
2012
BAB I
PENDAHULUAN
A DASAR TEORI
Teknik manajemen sain yang diaplikasikan kepada persoalan dengan melibatkan keputusan berurutan yang saling berkaitan. Program ini dikembangkan oleh Richard Bellman dan G. B Dantzig pada tahun 1940 – 1950. Sebagai sebuah konsep, DP lebih luwes dibanding program-program optimasi lainnya. Aplikasi DP telah terbukti baik pada pengelolaan persediaan, jaringan, penjadwalan kerja untuk karyawan, pengendalian produksi, perencanaan penjualan dan bidang lain-lain. Berbeda dengan linear programming, metode Simplex tidak dapat diterapkan di sini. Formulasi model dilakukan dengan unik sesuai dengan persoalannya. Ada beberapa konsep dasar dalam Program Dinamik diantaranya :
a) Dekomposisi
Persoalan DP dapat dipecah-pecah menjadi sub-persoalan atau tahapan (stage) yang lebih kecil dan berurutan. Setiap tahap disebut juga sebagai titik keputusan. Setiap keputusan yang dibuat pada suatu tahap akan mempengaruhi keputusan-keputusan pada tahap berikutnya. b) Status
Status adalah kondisi awal (Sn) dan kondisi akhir (Sn-1) pada setiap tahap, dimana pada tahap tersebut keputusan dibuat (Dn). Status akhir pada sebuah tahap tergantung kepada status awal dan keputusan yang dibuat pada tahap yang bersangkutan. Status akhir pada suatu tahap merupakan input bagi tahap berikutnya.
c) Variabel Keputusan dan Hasil
Keputusan yang dibuat pada setiap tahap (Dn) merupakan keputusan yang berorientasi kepadareturnyang diakibatkannya (Rn|Dn), yaitu tingkat maksimal atau minimal.
d) Fungsi Transisi
Fungsi transisi menjelaskan secara pasti bagaimana tahap-tahap saling berhubungan. Fungsi ini berbentuk fungsi hubungan antar status pada setiap tahap yang beurutan. Fungsi transisi secara umum berbentuk :
Dimana Sn-1 = status pada tahap n-1, atau status akhir pada tahap-n. Sn adalah status awal pada tahap-n. Komponen pada setiap tahap dapat digambarkan sebagai berikut :
e) Optimasi Tahap
Optimasi tahap dalam DP adalah menentukan keputusan optimal pada setiap tahap dari berbagai kemungkinan nilai status inputnya. Fungsi umum dari keputusan optimal adalah : fn(Sn,Dn)=returnpada tahap-n dari nilai status input. Sn, dan keputusan, Dn.
fn*(Sn) = returnoptimal pada tahap-n dari nilai input status, Sn. f) Fungsi Rekursif
Fungsi rekursif biasanya digunakan pada berbagai program komputer, di mana nilai sebuah variabel pada fungsi itu merupakan nilai kumulatif dari nilai variable tersebut pada tahap sebelumnya. Pada DP, fungsi umum dituliskan sebagai :
fn(Sn,Dn) = Rn + fn-1*(Sn-1,Dn-1)
Prosedur optimasi dawali dari tahap akhir menuju tahap awal (backward ). Karakteristik programa dinamis adalah :
1. Persoalan dapat dipisahkan menjadi beberapa tahap (stages), di mana setiap tahap membutuhkan keputusan kebijakan yang standard dan saling berhubungan.
2. Setiap tahap memiliki sejumlah status (state). Secara umum, sekumpulan status ini merupakan berbagai kemungkinan kondisi yang timbul dari sistim persoalannya. Status ini memberikan informasi yang dibutuhkan setiap keputusan dan dampaknya pada tahap berikutnya. Jumlah status pada setiap tahap bisa definit atau infinit.
3. Setiap keputusan kebijakan yang dibuat pada suatu tahap, status pada tahap tersebut ditransformasi ke dalam status yang berkaitan pada tahap berikutnya. Hubungan antar status pada tahap yang berurutan bisa bersifat deterministik atau probabilistik. Pada sebuah persoalan dengan n-tahap, ada dua input, yaitu : (1) statepada tahap-n (Sn) dan decision variable (Xn). Sedang outputnya adalah : (1) return atau akibat
dari setiap Xn yang dipilih, fn(s,Xn); dan (2) status baru yang menjadi input pada tahap berikutnya (Sn-1). Hubungan antara Xn dan fn(s,Xn) ditentukan oleh return function. Sedang hubungan antar status pada tahap tertentu ditentukan olehtransition function.
4. Solusi pada programa dinamis berprinsip kepada optimalitas yang dikembangkan oleh Bellman1 : An optimal policy must have the property that, regardless of the decision to enter a particular state, the remaining decisions must consitute an optimal policy for leaving that state.
5. Keputusan pada tahap berikutnya bersifat independen terhadap keputusan sebelumnya. Untuk menyelesaikan persoalan programa dinamis, dimulai dari solusi awal pada suatu tahap, dan secara berurutan menuju tahap berikutnya dengan proses yang terbalik (backward induction process).
6. Solusi optimal yang dihasilkan pada setiap tahap berprinsip kepada hubungan dalam bentuk fungsi rekursif (recursion relationship). Secara umum bentuk fungsi rekursif adalah :
f n*(Sn) = max/min {f n(Sn, Xn)}.
Di mana f n*(Sn) = adalah hasil optimal dari keputusan pada tahap-n.
B PERMASAHALAN
Seorang ahli statistika muda percaya bahwa ia telah mengembangkan suatu sistem agar dapat memenangkan salah satu permainan terkenal di Las Vegas. Rekan – rekannya tidak
percaya bahwa sistem tersebut dapat berhasil sehingga mereka bertaruh dengannya jika ia mulai dengan 3 keping taruhan, ia tidak akan mendapatkan sekurang-kurangnya 5 keping setelah 3 kali permainan. Setiap kali permainan memerlukan taruhan sejumlah keeping yang diambil dari keping yang tersedia dan menang atau kalah setara dengan mendapatkan atau kehilangan
sejumlah keping tersebut. Ahli statistika itu yakin bahwa sistem yang dibuatnya akan memberi kemungkinan
kemenangan dalam satu kali permainan tersebutAsumsikan bahwa keyakinan ahli statistika tersebut benar, dan sekarang kita menggunakan pemrograman dinamik untuk menentukan kebijakan yang optimal mengenai jumlah keping yang dipertaruhkan pada masing-masing permainan (ada tiga permainan).
Keputusan pada masing-masing permainan harus memperhatikan hasil permainan sebelumnya. Tujuannya ialah memeaksimalkan probabilitas kemenangan taruhan ahli statistika tersebut dengan rekannya.
BAB II
PEMBAHASAN
Perumusan
Perumusan pemrograman dinamik untuk masalah ini adalah Tahap n = permainan ke-n (n=1,2,3)
= jumlah keping yang dipertaruhkan pada tahap n State
= jumlah keping yang tersedia untuk memeulai tahap nDefinisi state ini dipilih karena dapat menyediakan informasi mengenai situasi sekarang yang diperlukan untuk membuat keputusan optimal tentang banyaknya keping yang harus dipertaruhkan kemudian.
Oleh karena tujuannya ialah memaksimalkan probabilitas ahli statistika tersebut akan menang dalam taruhannya, fungsi tujuan yang harus dimaksimalkan pada setiap tahap adalah probabilitas penyelesaian ketiga permainan tersebut dengan sekurang – kurangnya 5 keping. (Catat bahwa nilai akhir lebih dari 5 keping berarti sama dengan tepat 5 keping, karena taruhan sama-sama dimenangkan) dengan demikian:
= probabilitas menyelesaikan ketiga permainan dengan sekurang-kurangnya 5 chip, jika ahli statistic berada pada state
di tahapn membuat keputusan
dan membuat keputusan optimal pada tahap-tahap selanjutnya.
=
Ekspresi untuk fungsi
haruslah mencerminkan kenyataan masih terdapat kemungkinan untuk mengakumulasikan 5 keping meskipun ahli statistik tersebut kalah pada satu tahap permainan. Jika ia kalah pada suatu tahap maka state pada tahap selanjutnya menjadi
dan probabilitas ia dapat mengakhiri permainan dengan sekurang-kurangnya 5 keping adalah
=
). Jika ia menang pada suatu tahap maka state berikutnya akan menjadi
, dan probabilitas yang bersangkutan adalah
. Oleh karena probabilitas kemenangan permainan diasumsikan
maka
Jadi ,tidak terdapat kontribusi yang langsung mempengaruhi fungsi tujuan dari tahap nselain pengaruh menjadi apa state selanjutnya.
Hubungan dasar ini terdapat dalam gambar
Lantas hubungan reskursif untuk masalah ini adalah :
{
}
untuk n= 1,2,3, dengan
yang sudah di definisikan di atas. Prosedur PenyelesaianHubungan rekursif tersebut akan membawa pada hasil perhitungan berikut n=3
0 0 -1 0 -2 0 -3
2(atau lebih) 4
1(atau lebih) ≥5 1 0(atau≤
) n=2
0 1 2 3 4
0 0 0 -1 0 0 0 -2 0
1,2 3
0,2,3 4
1 ≥5 1 1 0n=1
0 1 2 3
3
1Kebijakan ini akan memberikan ahli statistika tersebut probabilitas kemenangan sebesar
saat taruhan dengan rekanyaBAB III
KESIMPULAN
Kebijakan optimalnya adalah
Jika menang
=0 Jika menang ,
= 1
Jika kalah
= 2 atau 3Jika kalah,
