Maksimal
Nur Erawaty
†Abstrak
Sistem perkongruenan yang dapat dicari penyelesaiannya secara teori bilangan dasar ternyata dapat dibuktikan melalui teori-teori struktur aljabar khususnya dengan ideal maksimal.
Kata Kunci : Ideal maksimal, system kongruen, teorema sisa
1. Pendahuluan
Misalkan dipunyai system perkongruenan xr1
mod a1
, xr2
mod a2
, …
n
n a
r
x mod . Dengan teori bilangan dapat ditentukan solusinya. Dalam tulisan ini, solusi system perkongruenan di atas pun dapat ditentukan dengan menggunakan konsep-konsep struktur aljabar khususnya dengan konsep ideal maksimal pada gelanggang dengan unsur 1 dan konsep homomorfisma gelanggang.
2. Pembahasan
Definisi 1.Misalkan
R
gelanggang. I R idealI
disebut ideal maksimal jika tidak ada ideal J, J subgroup normal R sedemikian sehingga I J R.Teorema Isomorfisma.
1. Misalkan
f
:
R
S
homomorfisma gelanggang maka
:R ker
f f
Rterdefenisi dengan baik dan merupakan isomorfisma. 2. Jika S R dan
I
R
maka
SI
/S/SI .3. Misalkan
I
R
maka pemetaan semua idealR
yang memuatI
ke dalam himpunan semua ideal R I merupakan bijeksi. Lebih lanjut jika I J R maka
R I / J I R J.Proposisi berikut lebih memperjelas bagaimana ideal maksimal. Proposisi 1.
Misal
R
gelanggang danI
R
idealR
maka pernyataan berikut ekivalen a.I
ideal maksimal.
b. I
x I x R untuk setiap xR\I.c. R I gelanggang sederhana. Bukti:
Jika xR\I maka I
x merupakan ideal yang lebih besar dan tidak sama denganI
, JikaI
maksimal berarti I
x R. Ini menunjukkan bahwa pernyataan a mengakibatkan b. Sebaliknya, jika I
x R untuk setiap xR\I maka tidak ada ideal sejatiR
yang sepenuhnya memuatI
. Ini berartiI
maksimal.Terakhir ekivalensi pernyataan a dan c merupakan akibat langsung teorema isomorfisma 3 di atas.
Pada gelanggang komutatif dengan unsur 1, I
x IRx.Contoh 1.
1. Ideal maksimal dari
Z
adalah ideal-ideal p pZdenganp
bilangan prima.2. MisalC
R gelanggang senua fungsi-fungsi kontinuf
:
R
R
untuk setiap xR, himpunan Ix
f C
R f x 0
merupakan ideal maksimal C
R . Lebih lanjut, pemetaan f f
x merupakan homomorfisma pada C
R R dengan kernel Ix. Dengan demikian C
R /Ix R suatu lapangan dan juga gelanggang sederhana yang mengakibatkan bahwa Ix ideal maksimal.Hasil berikut menjamin sumbangan besar ideal maksimal dalam gelanggang dengan unsur 1.
Proposisi 2.
Misal
R
gelanggang dengan unsur 1 danI
R
idealR
makaI
termuat dalam ideal maksimalR
. Bukti:Misalkan
I
ideal diR
denganI
R
.Misal µ := { J subgroup normal R | J memuat I dan J subset sejati R }
karenaI
.
merupakan himpunan terurut parsial dengan relasi
. Misal C sebarang rantai di
.Definisikan
C J J K , maka untuk setiap JC, J K . Akan ditunjukkan
K
.1. Untuk setiap JC, J K dan J ideal di
R
J
dengan demikianK
. 2. Misalkanx
,
y
K
danr
R
sebarang, maka dapat dicari J1,J2C sedemikiansehingga xJ1, yJ2.
Karena C rantai, maka berlaku J1 J2 atau J2 J1. Dengan demikian terdapat
J J
Cmaks
Karena J3 ideal maka x,yJ3 K,rxJ3 K.
Jadi
K
ideal diR
.3. Untuk setiap
J
C
,
I
J
K
, jadi I K.4. Andaikan
K
R
, makaI
K
. Akibatnya ada J0C sehingga IJ0 danR
J0 . Hal ini bertentangan dengan J0
J0 R
. JadiK
R
.Berdasarkan 1, 2, 3, 4 disimpulkan bahwa
K
. Karena untuk setiapJ
, J K makaK
merupakan batas atas C.Berdasarkan Lemma Zorn, maka
memiliki unsur maksimal. Misalkan JM unsur maksimal di
. Perhatikan bahwa JM ideal diR
dengan JM R dan I JM. JM ideal maksimal. JadiI
termuat dalam suatu ideal maksimal.Definisi 2.
Dua ideal
I
dan J pada gelanggangR
disebut KOMAXIMAL jika IJ R.Teorema Sisa Cina (Chinese Remainder Theorem).
Misalkan
R
gelanggang dan I1,...,In ideal-ideal diR
sedemikian sehinggaR
I
k
R
2
untuk setiap k. Jika I1,...,In KOMAXIMAL sepasang-sepasang, yaitu jika Ir Is R untuk semua
r
s
, maka n I R x x I R R ... : 1
r I r In
r 1,..., Merupakan homomorfisma pada dengan kernel
I1...In. Bukti:1. Akan ditunjukkan
homomorfisma. Ambilx
,
y
R
,
x
y
I
y
I
y
I
x
I
x
I
y
I
x
I
y
I
x
I
y
I
x
J
y
x
y
x
n n n n n n
,
...
,
...
,
...,
,
...,
,
1 1 1 1
x
I
x
I
y
I
y
I
x
y
I
y
I
x
I
y
I
x
I
xy
I
xy
xy
n n n n n
...,
,
...,
,
...,
,
...,
,
1 1 1 1 1Jadi
pemetaan homomorfisma.2. Akan ditunjukkan ker
I1I2 ...In.Ambil xker
sebarang, maka
x 0
I1,..., In
padahal
x xI1, xI2,..., xIn
akibatnya xIi untuk setiap
i
, atau xI1I2 ...In. Jadi
I I InKer
1 2 ... .Sebaliknya jika xI1I2 ...In maka xIi untuk setiap
i
. Dengan demikian i i I I x untuk setiapi
.
x xI1,..., xIn
=
I1,..., In
0Jadi xKer
dan I1I2 ...In Ker
Disimpulkan bahwa Ker
I1...In. 3. Akan ditunjukkan
pada.Klaim bahwa
1 1 k k I I R . JelasR
I
1
R
2
I
1
I
1
I
2
I
1
I
3
3 2 1 3 2 1 2 3 1 2 1 1 I I II
I
I
I
I
I
I
I
2 3
1 I I I Tetapi,
2 3 4
1 4 3 2 4 3 2 4 1 1 4 1 3 2 1 1 2 1 4 3 2 1I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
R
I
R
I I I I
Dan seterusnya, sehingga diperoleh RI1
I2 I3 ...In
(klaim) Dengan cara yang sama
n k k n k k k k I I I I I I R ... 3 3 2 2 Misalkan r1,...,rn sebarang. Dapat dicari ak Ik dan
k v v k I b sedemikian sehingga rk ak bk Maka k k n b r b b r: 1 ... modulo Ik yang merupakan jalan lain untuk menyatakan
r r1I1,r2 I2,...,rn In
Hasil ini terlihat abstrak, tapi ketika dikhususkan untuk ideal-ideal di
Z
, diperoleh hasil penting teori bilangan dasar yang menyangkut penyelesaian dari sistem perkongruenan.Contoh 2.
Misalkan bahwa bilangan-bilangan asli a1,...,an relatif prim.
Diberikan sebarang bilangan bulat r1,...,rn sehingga dapat ditentukan bilangan bulat m sedemikian sehingga
n na
r
m
a
r
m
a
r
m
mod
...
*
mod
mod
2 2 1 1
Lebih jauh, jika m dan
m
' dua solusi dari sistem perkongruenan di atas
* makam
m
' mod na a a1 2... .
Bukti:
Dengan mengaplikasikan teorema sisa china dengan
R
Z
dan Ik akZ untuk mendapatkan
* . Perhatikan bahwa I1...Ina1Za2Z...anZ
a1a2...an
Z, karena a1,...,an relatif prim. Sehingga diperolehm
m
' mod a1a2...an.Contoh 3.
Tentukan semua bilangan bulat xZ dengan x1 (mod 2), x2 (mod 3) dan x3
(mod 5). Ideal yang terlibat I1 2Z, I2 3Z dan I3 5Z. Mengikuti bukti teorema sisa
china diperoleh bilangan-bilangan ai,biZ sedemikian sehingga
1 1
1a b dengan a1I1 2Z dan b1I2 I3 15Z, 2
2
2a b dengan a2 I2 3Z dan b2 I1I3 10Z dan 3 3 3a b dengan a3 I3 5Z dan . Ambil
a1,b1
16,15
a2,b2
18,20
a3,b3
15,18
Maka x:b1 b2 b3 23 adalah solusi,
dan semua solusi yang lain adalah 2330k dengan kZ .
3. Kesimpulan
Dari pemaparan di atas dapat ditarik beberapa kesimpulan:
1.
Lapangan pecahan dari suatu gelanggang evaluasi sama dengan lapangannya
sendiri.
2.
Gelanggang evaluasi akan selalu juga merupakan gelanggang lokal.
3.
Ideal-ideal dari suatu gelanggang evaluasi dapat diurutkan dengan
menggunakan urutan himpunan bagian. Begitu juga sebaliknya, jika
ideal-ideal dari suatu gelanggang dapat diurutkan, maka gelanggang tesebut adalah
gelanggang evalusi.
4.
Jika suatu gelanggang sekaligus merupakan gelanggang evaluasi dan
Noetherian, maka gelanggang tersebut merupakan daerah ideal utama.
Z I I