207
Subanji
Jurusan Matematika FMIPA Universitas Negeri Malang
Abstrak: Penelitian ini mengkaji terjadinya proses berpikir pseudo dalam menyelesaikan masalah proporsi disebabkan oleh adanya ketidaksempurnaan proses asmilasi dan akomodasi. Ketidaksempurnaan proses asimilasi dan akomodasi mengakibatkan terjadinya ketidaksempurnaan pembentukan struktur berpikir yang tidak diikuti dengan adanya refleksi. Ketidaksempurnaan pembentukan struktur berpikir dapat terjadi dalam tiga bentuk: (1) ketidaksesuaian penggunaan sub-struktur berpikir dalam proses asimilasi atau akomodasi, (2) ketidaklengkapan substruktur berpikir dalam proses asimilasi, dan (3) ketidaklengkapan substruktur berpikir dalam proses akomodasi. Selain itu juga ditemukan adanya tiga karakteristik terjadinya proses berpikir pseudo dalam menyelesaikan masalah proporsi: (a) adanya ketidaksempurnaan substruktur berpikir yang digunakan untuk menggeneralisasi penyelesaian, (b) tidak optimalnya proses refleksi, dan (c) adanya kesadaran sampai membenahi proses penyelesaian yang salah.
Abstract: The study reveals that pseudo thinking process occurs originally from incomplete assimilation, incomplete accommodation process or both. At this processing stage the construction of thinking structure is incomplete and the reflection process cannot continue. Base on this, three models of incomplete thinking structure constructions are established: (1) deviated thinking structure, (2) incomplete thinking structure on assimilation process, and (3) incomplete thinking structure on accommodation process. This research also found, three characteristics of occurring of pseudo thinking process to solve proportion problems. The first, incomplete of thinking substructure used to generalitation of solution. Second, reflection processes were not optimum. Third, exist awearness and correction of false solution.
Keyword: pseudo thinking process, proportion problem
Dalam proses belajar mengajar masih banyak pengajar matematika yang mene-kankan pembelajaran hanya pada prosedur, aturan, dan cara menyelesaikan soal. Siswa tinggal memilih prosedur yang sesuai dengan masalah yang akan diselesaikan, tanpa mengetahui mengapa tersebut sesuai. Hal ini berdampak pada munculnya berpikir pseudo. Seakan-akan siswa berpikir secara logis dalam menyelesaikan suatu masalah, padahal yang dilakukan hanya menjalankan langkah-langkah yang sudah dicontohkan oleh gurunya. Siswa
hanya mengejar kemiripan suatu masalah dengan masalah yang sudah dibahaskan oleh gurunya. Apabila soalnya ”mirip” dengan soal yang pernah diberikan, maka siswa akan lancar menyelesaikannya, namun apabila soal sudah diubah (meski-pun sedikit) siswa akan mengalami kesu-litan. Siswa juga sering menerapkan prosedur yang salah dalam menyelesaikan soal, dianggapnya soal itu sama, padahal konteksnya berbeda, sehingga jawaban yang diperoleh menjadi salah. Dalam hal ini, seolah-olah siswa berpikir untuk
memecahkan masalah, padahal ia hanya meniru apa yang dilakukan oleh guru. Proses berpikir siswa tersebut dikatakan sebagai proses berpikir pseudo. Proses berpikir pseudo menjadi hal yang menarik, karena proses berpikir yang dialami oleh siswa ”tidak sesungguhnya”, hanya berpikir semu.
Proses berpikir pseudo dapat ditelusuri dalam dua bentuk: (1) jawaban benar tetapi siswa tidak dapat menjus-tifikasi jawabannya dan (2) jawaban salah tetapi sebenarnya siswa tersebut mampu menyelesaikannya secara benar, setelah refleksi. Penelitian berkaitan dengan pseudo benar telah dilakukan antara lain oleh Thanheiser (2010) dan Caglayan & Olive (2010). Thanheiser (2010) mene-mukan bahwa 33 mahasiswa calon guru sekolah dasar bisa mengerjakan penjumlahan bersusun secara baik, tetapi hanya 8 orang yang mampu menjelaskan secara benar maksud dari “menyimpan dan meminjam”. Caglayan & Olive (2010) menemukan bahwa siswa kelas VIII banyak yang bisa menjawab masalah-masalah yang berkaitan dengan operasi bilangan negatif, tetapi sangat sedikit yang bisa menjelaskan representasi hasilnya. Hal ini menunjukkan adanya berpikir pseu-do dari jawaban benar.
Proses berpikir pseudo dari jawa-ban salah telah dikaji oleh jawa-banyak peneliti dengan konteks dan istilah yang berbeda-beda. Vinner (1997) menggunakan istilah
pseudo analytic dalam pemecahan masalah sederhana, Lithner (dalam Subanji, 2009) menggunakan istilah Establish Experience
dalam pemecahan masalah non rutin, Leron (dalam Subanji, 2009) dalam Dual
Process Theory menyebut dengan istilah proses system 1 yang mengkaji pemecahan masalah aljabar, dan Pape (2004) menggu-nakan istilah Direct Translation Approach
(DTA) dalam pemecahan masalah soal cerita. Namun kajian tersebut hanya menggambarkan adanya proses berpikir pseudo dan belum menyentuh pada masalah ”bagaimana terjadinya proses berpikir pseudo”. Dalam penelitian ini dikaji terjadinya berpikir pseudo yang ditelusuri dari jawaban salah dalam menyelesaikan masalah proporsi dengan menggunakan kerangka kerja asimilasi dan akomodasi.
Asimilasi merupakan proses
pengintegrasian stimulus baru ke dalam skema yang sudah terbentuk. Akomodasi merupakan proses pengintegrasian stimu-lus baru melalui pengubahan skema lama atau pembentukan skema baru untuk menyesuaikan dengan stimulus yang diterima. Dalam memecahkan masalah, asimilasi dan akomodasi terus berlangsung sampai terjadi keseimbangan (equilibri-um).
Selanjutnya, untuk lebih memper-jelas terjadinya asimilasi dan akomodasi, dilakukan visualisasi (Subanji, 2007) seperti Gambar 1.
Untuk masalah yang strukturnya kompleks, akan sulit terjadi asimilasi atau akomodasi. Karena itu harus dilakukan pemecahan struktur masalah ke bagian-bagian yang lebih sederhana sedemikian hingga asimilasi dan akomodasi dapat berlangsung. Pemecahan masalah ke bagian-bagiannya yang lebih sederhana ini disebut sebagai proses analitik.
Gambar 1: Terjadinya Proses Asimilasi dan Akomodasi
Menyatakan kesesuaian antara struktur masalah dan skema yang dimiliki Menyatakan ketidaksesuaian antara struktur masalah dan skema yang dimiliki
METODE PENELITIAN
Penelitian ini mengungkap proses berpikir pseudo siswa dalam menyelesai-kan masalah proporsi. Untuk mengungkap berpikir pseudo siswa dilakukan dengan meminta siswa untuk menyelesaikan masalah proporsi dan mengungkapkan secara keras apa yang sedang ia pikirkan (think out load). Penelitian ini bersifat alamiah, peneliti sebagai alat pengumpul data (human instrument), analisis data secara induktif, bersifat deskriptif, dan menggunakan teknik triangulasi. Berda-sarkan ciri-ciri tersebut, desain penelitian ini adalah deskriptif kualitatif (Creswell, 2012).
Penelitian ini dilakukan pada Mei - Juli 2009 di kelas VII MTs Surya Buana. Subjek diminta menyelesaikan masalah proporsi. Siswa yang menghasilkan jawa-ban salah dan setelah melakukan refleksi mampu memperbaiki sehingga menjadi jawaban benar dipilih sebagai subjek
pene-litian. Dengan proses ini, apabila belum memperoleh subjek sesuai dengan karakteristik yang dikehendaki, proses pemilihan subjek dilanjutkan ke siswa yang lain. Pengambilan subjek dilakukan sampai jenuh. Banyak subjek yang dipilih disesuaikan dengan keperluan, sampai bisa menjawab pertanyaan penelitian. Dari proses tersebut diperoleh 5 orang siswa sebagai subjek.
Untuk mengumpulkan data digu-nakan instrumen pendukung berupa lembar tugas siswa yang terdiri dari 2 (dua) tipe soal. Tipe pertama berupa soal proporsi biasa, nomor 1 (jawaban terutup yang biasanya diberikan di kelas) dan nomor 2 (jawaban terbuka, problem solving). Tipe kedua berupa soal proporsi campuran, nomor 3 (proporsi campuran yang biasa diberikan di kelas) dan soal nomor 4 (proporsi campuran mundur, problem solving). Adapun lembar tugas disajikan pada Tabel 1 berikut.
Tabel 1: Instrumen Lembar Tugas Siswa
1 Perbandingan umur Amin dan umur Bejo adalah 3 : 5. Jika umur Bejo 30 tahun, maka tentukan umur Amin! (Uraikan jawabanmu!)
Jawaban tertutup 2 Perbandingan umur Adi dan umur Budi adalah 2 : 3. Tentukan
kemungkinan-kemungkinan umur mereka masing-masing! (Sebanyak-banyaknya)
Jawaban terbuka
3 Perbandingan umur Doni dan umur Eko adalah 2 : 5. Jika jumlah umur mereka 56 tahun, maka tentukan umur mereka masing-masing! (Uraikan jawabanmu!)
Masalah campuran
Asimilasi
Struktur Masalah Skema
Asimilasi
Akomodasi
Struktur Masalah Skema
Integrasi
4 Tiga tahun yang lalu, perbandingan umur Gedi dan umur Hadi adalah 1: 3. Jika jumlah umur mereka sekarang adalah 30 tahun, maka tentukan umur mereka masing-masing sekarang! (Uraikan jawabanmu!)
Masalah campuran
mundur
HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN
Berdasarkan lembar jawab dan transkrip think out loud dapat dikarakteri-sasi terjadinya berpikir pseudo dalam tiga bentuk: (1) ketidaklengkapan substruktur berpikir dalam proses asimilasi, (2) keti-daklengkapan substruktur berpikir dalam proses akomodasi, dan (3) ketidaksesuaian penggunaan substruktur berpikir dalam proses asimilasi atau akomodasi.
Ketidaklengkapan Substruktur Berpikir dalam Proses Asimilasi
Subjek yang memiliki karakteristik berpi-kir pseudo karena ketidaklengkapan sub-struktur berpikir dalam proses asimilasi adalah Subjek 1 dan Subjek 2.
Subjek 1 (S1)
Subjek 1 menjawab benar soal nomor 1 dan soal nomor 3, meskipun tidak bisa memberikan justifikasi terhadap jawaban-nya (pseudo benar). Untuk soal nomor 4, S1 tidak bisa menjawab secara benar (menghasilkan jawaban salah) meskipun sudah melakukan refleksi berulang kali. Selanjutnya proses berpikir pseudo (salah) S1 hanya terjadi pada soal nomor 2. Dalam menyelesaikan soal nomor 2, S1 langsung menggunakan prosedur penyelesaian soal nomor 1(tanpa ada keraguan). Ini berarti hanya ada proses asimilasi. Struktur berpikir S1 (dalam menyelesaikan soal nomor 1) belum lengkap dibandingkan dengan struktur masalah nomor 2, tetapi sudah diasimilasi untuk menyelesaikan soal nomor 2, sehingga hasilnya salah.
Jawaban awal S1 (sebelum refleksi) untuk soal nomor 1 dan nomor 2 disajikan seperti berikut.
Gambar 2.a: Jawaban S1 untuk Soal No 1
Subjek 1 menangkap bahwa soal nomor 2 sama dengan soal nomor 1, sehingga S1 menginterpretasikannya bahwa dalam soal tersebut perlu ditambahkan lagi satu informasi berkaitan dengan umur, karena itu S1 menambahkan informasi “jika umur 12”. Dengan tambahan informasi tersebut, S1 memprosesnya menggunakan prosedur seperti soal nomor 1. Adapun ungkapan yang diutarakan oleh S1 sebagai berikut. S1: Diketahui perbandingan umur Adi dan
Budi 2:3. kalau soal nomor 1 ada 18 tahun. Ini kok gak ada. Perlu saya tambahkan, umurnya berapa ya supaya mudah dihitung. Mungkin 12 tahun, ya 12 kan bisa dibagi 2 dan bisa dibagi 3.
Dengan ditambahkannya informasi 12 tahun, S1 melanjutnya dengan menghitung
umur Adi =
2
x12
8
3
tahun dan umurBudi =
3
x12 18
2
tahun. Proses berpikirS1 dalam mengonstruksi jawaban soal no 2
(mengikuti pola jawaban soal no 1) seperti diilustrasikan pada Gambar 3a. dan 3b. berikut.
Keterangan:
Kesalahan jawaban S1, sebagai akibat dari kesalahan dalam menambahkan informasi. Tambahan informasi yang dituliskan oleh S1 dalam bentuk umur sama dengan 12 tahun adalah tidak bermakna. S1 mengin-terpretasikan secara langsung soal nomor 2 berdasarkan soal nomor 1. Dalam hal ini terjadi ketidaksesuaian penggunaan sub-struktur berpikir dalam proses asimilasi.
Setelah memperoleh jawaban, peneliti (P) memberikan kesempatan untuk refleksi, dengan menanyakan kepada S1. P: apakah anda yakin dengan jawaban ini?
Dengan pertanyaan ini, S1 mencoba memi-kirkan kembali jawabannya dan setelah mencoba membuat coretan-coretan (mem-bandingkan umur Adi dan umur Budi), ternyata diperoleh perbandingan 8:18 = 4:9, tidak sesuai dengan masalah yang diberikan. Karena itu S1 mencoba mencari alternatif lain dengan melihat soal nomor 3.
S1:Kok gak cocok ya dengan perban-dingan 2 : 3. Ehm.. Mungkin apa seperti nomor 3 ini ya. (mencoba membaca soal nomor 3). Kalau ngikuti soal nomor 3,, misalkan jumlah umurnya (yang mudah berapa ya). Biasanya soal bentuk ini, pemban-dingnya 2 + 3. Ah 15 aja.
Jawaban S1 setelah menentukan menambah informasi jumlah umur Adi dan Budi 15 tahun adalah sebagai berikut.
Berdasarkan jawaban akhir yang telah diperoleh, S1 mencoba membuat perbandingan dan memperoleh jawaban yang sesuai 6 : 9 = 2 : 3. Sehingga S1 Pb Bj Am Pb U Ad Bd
Gambar 3.a: Struktur berpikir siswa dalam menyelesaikan soal no 1
Gambar 3.b: Struktur berpikir siswa dalam menyelesaikan soal no 2
Pb = perbandingan umur dua orang Am = Umur Amin Bd = umur Budi
yakin bahwa ini merupakan jawaban yang benar. Dan jawaban tersebut dipilihnya sebagai jawaban benar oleh S1.
Adapun struktur berpikir S1, secara lengkap mulai dari proses
mempe-roleh jawaban pertama, refleksi, memper-baiki jawaban, sampai memutuskan bahwa jawaban akhir disajikan seperti pada Gambar 4.a dan Gambar 4.b berikut.
Jawaban yang dihasilkan oleh S1 dipengaruhi oleh struktur masalah nomor 3. Kegagalan menggunakan pola penyele-saian soal nomor 1, memberikan penga-laman S1 untuk mencoba menggunakan struktur masalah nomor 3, dan akhirnya berhasil memperoleh jawaban yang sesuai. Subjek 2 (S2)
Subjek 2 menjawab benar soal nomor 1, nomor 2, dan nomor 3. Proses berpikr pseudo terjadi pada saat menyelesaikan soal nomor 4. S2 langsung menggunakan prosedur penyelesaian soal nomor 3, tanpa ada keraguan. Ini berarti hanya terjadi asimilasi dalam berpikir S2. Substruktur berpikir S2 (ditunjukkan oleh prosedur penyelesaian soal nomor 3) belum lengkap dibandingkan dengan struktur masalah nomor 4, tetapi diasimilasikan untuk menyelesaikan soal nomor 4. Berikut
pernyataan S2 terkait proses asimilasi (sebelum refleksi).
S2: perbandingan Gedi dan Hadi 1 : 3. Jika umur mereka sekarang 30 tahun berapa, umur mereka masing-masing. 1 plus 3 sama dengan 4. Umur Gedi sama dengan 1/4 x30 = 7,5. Umur Hadi ¾ x 30 = 22,5.
Perbandingan umur Gedi dan Hadi adalah 1 : 3 (tiga tahun lalu), karena jumlah umurnya sekarang 30 tahun, maka umur Gedi ¼ x 30 = 7,5 tahun dan umur Hadi ¾ x 30 = 22,5 tahun. Jawaban tersebut menunjukkan S2 tidak memperhatikan informasi waktu bahwa perbandingan tersebut terjadi tiga tahun yang lalu. Yang penting bagi S2 adalah memperoleh jawaban yang dipikirnya masuk akal. Adapun jawaban tertulis S2 sebelum refleksi disajikan seperti berikut.
Pb U Ad Bd Rf Jml Ad Bd Pb Rf Jwb
Gambar 4.b: Proses Berpikir Pseudo Subjek 1
Jml
Ad
Bd Pb
Jwb
Proses penyelesaian masalah no 4 sebelum refleksi dapat digambar sebagai berikut.
Setelah peneliti menanyakan kepada S2: “Apakah kamu yakin dengan jawa-banmu?”.
S2 mulai memikirkan kembali terhadap jawabannya dan disadari bahwa jawaban-nya masih salah. Mestijawaban-nya strategi perhitu-ngan yang dilakukan tidak menggunakan jumlah umur sekarang (30 tahun), tetapi menggunakan jumlah umur tiga tahun lalu. Karena jumlah yang diberikan terkait dengan tiga tahun lalu.
S2: Oh keliru, mestinya 30 – 6 = 24, karena 3 tahun yang lalu . Satu orang dikurangi 3, karena 2 orang dikurangi 6
Setelah diperoleh jumlah umur tiga tahun lalu bisa ditentukan umur Gedi dan Hadi tiga tahun yang lalu. Pada akhirnya bisa ditentukan umur mereka masing-masing
pada saat sekarang. Hal ini sesuai dengan pernyataan S2 berikut.
S2: karena 3 tahun yang lalu Pak, karena itu 30 itu dikurangi 3 tahun dan yang 3 dikalikan dengan ini jadinya 6. Jadi 1 + 3 = 4. Umur Gedi = ¼ x 24 = 6 th. Umur Hadi dikali 24 = 18 tahun. (Berpikir agak lama). Jadi umur mere-ka semere-karang umur Gedi = 6 + 3 = 9. Dan umur Hadi = 18 + 3 = 21 tahun.
Dua tahapan penyelesaian yang dilakukan oleh S2. Pertama, menentukan umur Gedi dan Hadi untuk tiga tahun yang lalu. Kedua, setelah memperoleh umur kedua-nya dalam tiga tahun yang lalu dilanjutkan dengan menambah masing-masing 3 tahun, sehingga diperoleh umur keduanya tahun sekarang. Adapun hasil penyelesaian S2 setelah refleksi disajikan seperti berikut.
Jml Ad Bd Pb Jwb Bnr Jml Hd Gd Pb Jwb Slh Meniru strategi soal no 3 As(Mas) As(Stra) Eq(sol)
Gambar 6: Proses Berpikir Pseudo Subjek 2 Jml Hd Gd Pb Jwb Slh Refleksi Hd Jml Gd 3th Ll Pb Ad Bd jml Jwb Bnr Ak(Wkt)
Dalam hal ini, sebenarnya S2 bisa menyelesaikan masalah nomor 4 secara baik. Hanya saja proses berpikirnya didominasi oleh asimilasi (menangkap kesan masalah nomor 4 sama dengan nomor 3). Sehingga langsung menetapkan strategi penyelesaian yang sama sepert soal nomor 3. Berpikir tersebut masih semu (pseudo), karena setelah refleksi S2
mampu menyelesaian masalah nomor 4 dengan baik dan benar.
Proses berpikir pseudo S2 secara lengkap (sebelum dan sesudah refleksi) dapat digambarkan seperti berikut.
Dalam menyelesaikan masalah nomor 4, terutama sebelum refleksi, proses berpikir S1 dan S2 didominasi oleh proses asimilasi. Dalam hal ini struktur berpikir
belum lengkap (dibandingkan struktur masalah) tetapi sudah terjadi asimilasi, sehingga menghasilkan jawaban salah.
Karena itu faktor penyebab terjadinya proses berpikir pseudo subjek kelompok 1 (S1 dan S2), berawal dari ketidaklengkapan substruktur berpikir dalam proses asimilasi dan tidak diikuti proses refleksi.
Ketidaklengkapan substruktur ber-pikir dalam proses asimilasi ditandai oleh ketidak sesuaian prosedur dengan karak-teristik masalah tetapi langsung digunakan untuk menyelesaikan masalah. Ketiadaan proses refleksi mengakibatkan tidak adanya kontrol terhadap kebenaran jawa-ban. Karena itu “jawaban salah” yang dihasilkan masih semu. Setelah melaku-kan refleksi, subjek kelompok 1 menyadari
adanya “ketidaksesuaian” antara masalah dan jawaban, dan akhirnya mampu membenahi menjadi jawaban yang benar.
Dari proses berpikir subjek
kelompok 1 diperoleh bahwa karakteristik terjadinya proses berpikir pseudo adalah: (1) diawali dari ketidaklengkapan sub-struktur berpikir dalam proses asimilasi sehingga menghasilkan jawaban salah, (2) tidak adanya proses refleksi, dan (3) setelah melakukan refleksi menghasilkan jawaban benar. Dengan demikian terja-dinya proses berpikir pseudo dari ketidak-lengkapan substruktur dalam asimilasi dapat diilustrasikan seperti Diagram 1 berikut.
Ketidaklengkapan Substruktur Berpikir dalam Proses Akomodasi
Subjek yang memiliki karakteristik berpikir pseudo karena ketidaklengkapan substruktur berpikir dalam proses akomo-dasi adalah Subjek 3
Subjek 3 (S3)
S3 menjawab benar soal nomor 1, nomor 2, dan nomor 3. Proses berpikir pseudo S3 terjadi pada saat menyelesaikan soal nomor 4. S3 awalnya menjawab salah,
meskipun dia masih ragu-ragu terhadap jawabannya. Ini menunjukkan adanya disequilibrasi, yang dilanjutkan dengan akomodasi, ditandai dengan membuat beberapa coretan sebelum menyimpulkan hasilnya. Adapun beberapa coretan yang dihasilkan oleh S3 adalah sebagai berikut Namun demikian, S3 masih ragu-ragu dengan jawabannya, pernyataan keraguan-nya seperti berikut.
diasimilasikan dengan skema
Refleksi
pengubahan & pemben-tukan skema baru
Asimilasi
Diagram 1: Ketidaklengkapan Substruktur dalam Proses Asimilasi
S3: Ehm... bagaimana ya. Kayaknya gak sesuai jawaban ini. Pakai seperti nomor 3 saja mungkin yang lebih pas.
Dari keragu-raguan tersebut, akhirnya S3 memutuskan hasil akhir jawabannya menggunakan prosedur penyelesaian soal nomor 3 seperti berikut.
Hal ini juga ditunjang oleh penjelasan S3 seperti berikut.
S3: Tiga tahun yang lalu, perbandingan umur Gedi dan umur Hadi adalah 1 : 3. Jika jumlah umur mereka sekarang adalah 30 tahun, maka tentukan umur mereka masing-masing sekarang! (Uraikan jawabanmu!) 1 + 3 = 4. Jadi umur Gedi adalah ¼ x 30 = 7,5. Jadi umur Gedi adalah 7,5 tahun. Umur
Hadi ¾ x 30 = 3 x 7,5 = 22,5. Jadi umur Hadi adalah 22,5 tahun.
Karena perbandingannya 1 : 3 dan jumlah-nya 30 tahun, dengan menerapkan strategi pemecahan masalah nomor 3 diperoleh umur Gedi = ¼ x 30 = 7,5 tahun dan umur Hadi ¾ x 30 = 22,5 tahun.
Proses berpikir S3 sebelum refleksi disajikan pada Gambar 7a dan 7b berikut:
Jml Ad Bd Pb Jwb Bnr Jml Hd Gd Pb Jwb Slh Mengolah stra-tegi soal no 3 As(Mas) Ak(Stra) Eq(sol)
Ketika S3 diberikan kesempatan untuk refleksi dengan diberikan pertanyaan oleh peneliti.
P: apakah kamu yakin dengan jawabanmu ini? Coba bandingkan dengan soal nomor 3, apa yang berbeda?
S3 menaruh kecurigaan lagi terhadap jawabannya (dengan berpikir cukup lama), melakukan refleksi mencari perbedaan antara masalah nomor 3 dan masalah nomor 4.
S3: ini dikalikan 3 dulu ya. Seharusnya ini dikalikan 3 dulu. Tapi bagaimana ya? Mestinya soal nomor 4 ini, yang diketahui 3 tahun yang lalu, berarti harus dibuat tahun sekarang. Kalau dulu 4 tahun, maka sekarang 12 tahun. Misalkan tiga tahun lalu 4 : 12, maka tahun sekarang
Berdasarkan pernyataan tersebut, S3 mela-kukan eksplorasi mencari perbedaan, tetapi belum menemukan perbedaan tersebut. Ketika peneliti memancing dengan perta-nyaan,
P: kalau umurmu tiga tahun lalu 4 tahun, maka umurmu sekarang berapa?
Subjek 3 berpikir lebih keras lagi, dan melakukan beberapa kali refleksi dengan membuat beberapa coretan sebagai hasil refleksi. Bersamaan dengan membuat core-tan tersebut, S3 menjelaskan sebagai berikut.
S3: ya 12 tahun. Eh... maaf keliru pak. Mestinya 7 tahun. Dari 4 ditambah 3 = 7 tahun dan yang 12 tahun menjadi 15 tahun. Untuk kasus ini harus dikalikan, tidak bisa ditambah. Tapi yang dicari perbandingannya. Bagai-mana ya?... Oh ya sekarang 30 tahun berarti tiga tahun yang lalu dikurangi 3.
Dari proses berpikir S3 tersebut, terlihat bahwa S3 sudah mulai menemukan bahwa tiga tahun lalu berarti harus dikurangi. Namun pengurangan yang dilakukan masih salah (30 tahun dikurangi 3 tahun). Karena terjadinya disequilibrasi pada S3 cukup tinggi, maka proses refleksi terus berlan-jut. Akhirnya S3 mampu mencari akar permasalahan terkait dengan perbedaan antara soal nomor 3 dan soal nomor 4, serta mampu menemukan proses pengura-ngan yang tepat untuk masalah tersebut. S3: karena yang satu orang dikurangi 3
tahun dan yang satu lagi dikurangi 3 tahun. Jadinya dikurangi 6 tahun, karena dikurangi umur masing-masing.
Tetapi S3 masih kebingungan lagi antara mengubah perbandingan dalam waktu sekarang atau mengubah jumlah umur 3 tahun lalu. Dengan melakukan beberapa kali refleksi S3 mencoba mengubah dalam waktu sekarang dan menemukan ketidak-sesuaian antara perbandingan dan jumlah umur.
S3: (berpikir lama). Saya ubah saja dalam waktu yang sama. Saya buat sekarang saja. Perbandingan umur sekarang 7 : 15. Oh bukan-bukan. (berpkir lama) Jadi umurnya Gedi 12 tahun dan umur Hadi 18 tahun. Kalau 3 tahun yang lalu umur Gedi 9 tahun dan umur Hadi 15 tahun. Kalau dibandingan 9 : 15 = 3 : 5. Kok gak cocok ya. Bagaimana ya, apa yang salah ini. (berpikir lagi agak lama).
S3 mulai mencoba lagi perbandingan dengan mengubah jumlah umur Gedi dan Hadi menjadi jumlah tiga tahun lalu dan memperoleh jawaban seperti berikut.
Bersamaan dengan jawaban tersebut, S3 memberikan penjelasan secara lisan seperti berikut.
S3: Saya coba untuk tiga tahun yang lalu ajalah. Ini 1 : 3, karena sekarang jumlahnya 30 tahun, maka tiga tahun
lalu jumlahnya 24 tahun. Terus umur Gedi ¼ x 24 = 6 tahun, umur budi ¾ x
24 = 18 tahun. Karena yang ditanyakan sekarang, berarti umur Gedi 6 + 3 = 9 tahun. Dan umur budi 18 tahun + 3 tahun = 21 tahun. Ini yang paling pas.
Jml Hd Gd Pb Jwb Slh Refleksi Jml Skrg Prob Jwb 3th Ll Msl Ref Slh Ak(Wkt) Ak(Wkt) Jml Prob Jwb Skrg Ref Bnr
S3 juga berhasil menemukan jawaban umur Gedi dan Hadi untuk tahun sekarang dengan jawabannya seperti berikut.
Untuk meyakinkan jawabannya S3
mencoba mencocokkan lagi jumlah
umurnya dan diperoleh 9 + 21 = 30 tahun. Akhirnya S3 sangat yakin dengan jawa-bannya. Ini berarti proses berpikir S3 mencapai kondisi equilibrasi.
Sebelum refleksi, proses berpikir S3 sudah mencakup asimilasi dan akomo-dasi. Namun kedua proses tersebut menghasilkan substruktur “belum” leng-kap dan sudah digunakan untuk menginter-pretasi masalah. Sehingga menghasilkan jawaban salah. Setelah diberi kesempatan
untuk refleksi lagi, S3 mengecek kembali kebenaran dari jawabannya, sehingga disadari adanya ketidaksesuaian antara masalah dan jawabannya. Selanjutnya dibenahi menjadi jawaban yang benar.
Karena itu, faktor penyebab terja-dinya proses berpikir pseudo S3 adalah “ketidaklengkapan substruktur berpikir dalam proses akomodasi”. Hal ini ditan-dai dengan telah berlangsungnya proses asimilasi dan akomodasi, namun struktur berpikir yang terbentuk belum sesuai dengan struktur masalah (belum lengkap), tetapi sudah digunakan untuk menginter-pretasi masalah. Sehingga jawaban yang dihasilkan tidak sesuai (salah).
Terjadinya proses berpikir pseudo yang disebabkan oleh ketidaklengkapan sub-struktur dalam proses akomodasi, dapat diilustrasikan seperti Diagram 2 berikut.
Diagram 2: Ketidaklengkapan Substruktur Berpikir dalam Proses Akomodasi
Skema yang dimiliki
Struktur masalah Akan diselesaikan Pengubahan/pem-bentukan struktur Refleksi Pengubahan/pem-bentukan struktur Asimilasi Asimilasi A k o m o d a s i
Ketidasesuaian Penggunaan Substruk-tur Berpikir dalam Proses Asimilasi atau Akomodasi
Subjek 4 (S4)
Subjek 4 menjawab benar soal nomor 1, nomor 2, dan nomor 3. Untuk soal nomor 4, S4 sudah bisa menyelesaikan cukup lengkap, sudah menyadari adanya syarat
perbandingan tiga tahun yang lalu. Sehingga strategi yang digunakan untuk memecahkan masalah sudah cukup baik dan tepat. S4 sudah bisa menghubungkan jumlah umur sekarang 30 tahun dan jumlah umur 3 tahun lalu adalah 30 – 6 = 24 tahun. Jawaban S4 disajikan seperti berikut.
Ini menunjukkan bahwa struktur berpikir S4 sudah cukup lengkap. Tetapi masih ada masalah yang belum terjawab, yakni umur Gedi dan Hadi saat ini. Jawaban yang diberikan masih umur Gedi dan Hadi tiga tahun lalu, tidak dikembalikan ke tahun sekarang.
S4: Tiga tahun yang lalu, perbandingan umur Gedi dan umur Hadi adalah 1 : 3. Jika jumlah umur mereka sekarang
adalah 30 tahun, maka tentukan umur mereka masing-masing sekarang! (Uraikan jawabanmu!) umur mereka sekarang 30 tahun. Umur Gedi ¼ x (30-6) = ¼ x 24 tahun = 6 tahun. Umur adi = ¾ x (30-6) = ¾ x 24 tahun = 18 tahun. Ini jawabannya
Proses berpikir S4 sebelum refleksi adalah sebagai berikut.
Ak(Stra)
3 th Ll Hd Gd Pb 1: 3 Jwb Slh Th skrg Jml = 30Ketika peneliti menanyakan ”apa kamu yakin dengan jawaban itu?” S4 berpikir kembali, apakah jawabannya sesuai dengan yang diminta dalam soal dan akhirnya berhasil menemukan masalah yang kurang, yakni yang ditanyakan adalah umur tahun sekarang (bukan tahun lalu). Sehingga jawaban dari S4 salah, akhirnya mampu dibenahinya
S4: (berpikir agak lama). Ini saya kurangi 6 tahun karena tiga tahun lalu, untuk masing-masing dikurangi 3 tahun, sehingga pengurangannya 6 tahun. Jadi umur yang ditemukan tersebut umur 3 tahun lalu. Karena yang dintanyakan umur sekarang, (berpikir
lama) berarti masing-masing harus saya tambah 3 tahun. Jadi umur Gedi sekarang 6 tahun + 3 tahun = 9 tahun. Dan umur Hadi sekarang 18 tahun + 3 tahun = 21 tahun. Kalau dijumlahkan 9 + 21 = 30 tahun. Ini cocok dengan di soal.
S4 mencari kekurangan dari jawabannya dan menemukan bahwa jawaban tersebut belum bisa dijadikan kesimpulan untuk menjawab masalah. Karena masalah yang ditanyakan adalah umur Gedi dan Hadi saat ini. Dalam hal ini kurang satu langkah lagi untuk mengembalikan kepada masalah umur sekarang. Setelah refleksi S4 berhasil menjawab seperti berikut.
Karena itu proses berpikir pseudo S4 dapat digambarkan seperti berikut.
Ak(Stra) 3 th Ll Hd Gd Pb 1: 3 Jwb Slh Th skrg Jml = 30 Ref Th skrg Jwb Benar
Setelah refleksi S4 berhasil melanjutkan hasil jawabannya. Dalam kasus ini sebenarnya S4 sudah mampu menyelesai-kannya secara baik, namun setelah mem-peroleh jawaban S4 tidak mengecek kembali kesesuaiannya. Setelah refleksi S4 berhasil memperoleh jawaban yang benar. Subjek 5 (S5)
Subjek 5 menjawab benar soal nomor 1, nomor 2, dan nomor 3. Untuk soal nomor 4, S5 telah menangkap perbedaannya dengan soal nomor 3 bahwa perbandingan umur Gedi dan hadi 1: 3 merupakan perbandingan tiga tahun yang lalu.
Sedangkan jumlah umur yang diberikan untuk tahun sekarang. S5 mencoba mengu-bah jumlah umur tiga tahun yang lalu dengan 30 tahun - 3 tahun = 27 tahun. Penalaran S5 terhadap waktu 3 tahun lalu sudah tepat, namun S5 masih salah dalam proses pengurangan tersebut. Karena jumlah umur berarti melibatkan umur dua orang yaitu Gedi dan Hadi dimana umur mereka masing-masing mestinya berku-rang 3 tahun, tetapi ternyata penguberku-rangan- pengurangan-nya hapengurangan-nya dengan 3 tahun. Sehingga terjadinya kesalahan jawaban dimulai dari pengurangan tersebut.
Setelah memutuskan pengurangan dengan 3 tahun, S5 mengadopsi penyelesaian di soal nomor 1. Karena perbandingan umur Gedi dan Hadi 1 : 3, maka umur Gedi semula dituliskan = 1/3 x 30 = 10 tahun, tetapi akhirnya diubah menjadi 1/3 x 27 = 9 tahun. umur Hadi semula dituliskan 3/1 x 30 = 90 tahun. Tetapi akhirnya diubah menjadi 3/1 x 27 = 81 tahun.
S5: Perbandingan umur Gedi dan adi 1 : 3. Jika umur mereka sekarang 30 tahun, maka berapa umur mereka masing-masing. Jumlah umur sekarang dikurangi 3 tahun sama dengan 27 tahun. Umur Gedi sama dengan 1/3 x 27 = 9 tahun, tapi ....(bagaimana ya, kalau 3/1 x 27 hasilnya 81 tahun kok besar sekali). Atau mungkin begini umur Gedi 1/3 x 30 = 10 tahun dan umur Hadi 3/1 x 30 = 90 tahun.
Proses berpikir S5 sebelum refleksi disajikan seperti Gambar 11.
Karena memperoleh jawaban umur Hadi terlalu besar, S5 merasakan kecurigaan (tidak mungkin umurnya terlalu besar). Sehingga ketika diberikan kesempatan oleh peneliti untuk refleksi, S5 melakukan refleksi.
P: Apakah kamu yakin dengan jawaban itu?
Dalam melakukan refleksi, S5 mencoba melakukan eksplorasi dengan mengubah proses berpikirnya bahwa pengurangannya masih salah, mestinya 30 tahuh - 6 tahun = 24 tahun (bukan dikurangi 3 tahun) dan mengubah strategi penyelesaian, nampak-nya yang agak sesuai dengan masalah nomor 4 adalah soal nomor 3. Karena itu strategi penyelesaiannya menggunakan cara nomor 3.
S5: (diam sejenak) belum yakin Pak, rasanya kok besar sekali. Gak mungkin. (diam lagi). Oh ya yang diketahui kan jumlah umur mereka, berarti 1 + 3 = 4. Berarti umur Gedi ¼ x 24 = 6 tahun dan umur adi ¾ x 24 = 18 tahun . Ini pak jawaban yang benar.
Setelah mengubah jumlah umur dalam tiga tahun lalu, S5 menyelesaikannya dengan
menggunakan strategi pemecahan seperti nomor 3.
Ketika mendapatkan jawaban umur Gedi 6 tahun dan umur Hadi 18 tahun, S5 sudah merasakan puas, bahkan sudah dicek kembali kesesuaiannya bahwa 6 + 18 = 24 tahun sesuai dengan 30 tahun – 6 tahun. S5: (ehm..) umur Gedi kan 6 tahun dan umur adi kan 18 tahun. Berarti jumlahnya 6 + 18 = 24 tahun. (ehm...). pada hal jumlah umur mereka sekarang 30 tahun. Gak sesuai ya. (diam agak lama). Oh ya Pak 6 dan 18 itu kan umur mereka tiga tahun lalu. Berarti sekarang ditambah 3
masing-masing. Jadi umur umur Gedi 6 + 3 = 9 tahun. Umur adi 18 + 3 = 21 tahun. Mungkin ini jawaban yang lebih benar pak.
Saat peneliti memberikan kesempatan untuk refleksi kembali, S5 mencoba eks-plorasi ”sebenarnya apa yang ditanyakan” dan diperoleh bahwa yang ditanyakan umur Gedi dan Hadi sekarang. Akhirnya S5 berhasil membenahi jawabannya: 6 tahun + 3 tahun = 9 tahun dan 18 + 3 tahun = 21 tahun. Ak(Stra) 3 th Ll Hd Gd Jml =27 Pb=1:3 Jwb Th skrg Jml = 30 Gd=1/3 No 1 Slh Hd=3/1
Proses berpikir pseudo penalaran propor-sional S5 dalam menyelesaikan masalah
nomor 4 dapat digambarkan dalam diagram berikut. Ak(Stra) 3 th Ll Hd Gd Jml =27 Pb=1:3 Jwb Th skrg Jml = 30 Gd=1/3 No 1 Slh Hd=3/1 Ref1 Ak(Stra) 3 th Ll Jml =24 Pb=1:3 Slh Th skrg Jml = 30 Gd=1/4 Jwb Hd=3/4 Ref2 Th skrg Jwb Bnr
S4 dan S5 memiliki substruktur berpikir yang lengkap dan sesuai dengan struktur masalah, namun substruktur berpikir yang digunakan untuk menginterpretasi masalah adalah substruktur berpikir yang masih kurang, karena itu terjadi ketidaksesuaian penggunaan substruktur dalam proses asi-milasi atau akomodasi. Karena itu, faktor penyebab terjadinya berpikir pseudo S4
dan S5 adalah ”ketidaksesuaian penggu-naan substruktur berpikir dalam proses asimilasi atau akomodasi”.
Terjadinya proses berpikir pseudo yang berkaitan dengan ketidaksesuaian penggunaan substruktur dalam proses asi-milasi atau akomodasi dapat diilustrasikan seperti Diagram 3 berikut.
SIMPULAN
1. Terdapat tiga karakteristik terjadi-nya proses berpikir pseudo: (a) adanya ketidaksempurnaan sub-struktur berpikir digunakan untuk menginterpretasikan penyelesaian, (b) tidak optimalnya proses reflek-si, dan (c) adanya kesadaran sam-pai membenahi proses penyele-saian yang salah.
2. Dalam menyelesaikan masalah
proporsi, ditemukan tiga penyebab terjadinya proses berpikir pseudo:
(1) ketidaklengkapan substruktur berpikir dalam proses asimilasi dan tidak diikuti proses refleksi, (2) ketidaklengkapan substruktur berpikir dalam proses akomodasi, dan (3) ketidaksesuaian pengguna-an substruktur berpikir dalam proses asimilasi atau akomodasi. 3. Untuk mengurangi terjadinya
ber-pikir pseudo, dalam pembelajaran matematika perlu memberdayakan berpikir siswa dan membiasakan berpikir reflektif.
diasimilasikan dengan skema
Refleksi Integrasi
Diagram 3 Ketidaksesuaian Penggunaan Substruktur
DAFTAR RUJUKAN
Creswell, John W., 2012. Educational research: planning, conducting, and evaluating quantitative and qualitative researc 4th ed. Pearson.
Caglayan & Olive, 2010. Eighth grade students’ representations of linear equations based on a cups and tiles model. Educ Stud Math (2010) 74:143–162. Published online: 26 February 2010
Fransisco, J. & Maher, C. 2005. Conditi-ons for Promoting Reasoning in Problem Solving: Insights from a Longitudinal Study. Journal of Mathematical Behavior, 24 ( 3-4), 361 – 372.
Lithner, J., 2000. Mathematical Reasoning in Task Solving. Educational Studies in Mathematics, Vol 41 hal 165-190
Pape, S., 2004. Middle School Children’s Problem solving Behavior: A
Cognitive Analysis from A
Reading Comprehension Perspec-tive. Journal for Research in Mathematics Education. Vol 35 Number 3.
Schoenfeld, 1992. Learning to Think Mathematically: Problem Solving, Metacognition, and Sense Making in Mathematics. In D. Grouws (Ed.) Handbook of Research on
Mathematics Teaching and
Learning. New York: Macmillan, 334-370.
Subanji, 2007. Proses Berpikir Pseudo Penalaran Kovariasional dalam Mengkonstruksi Grafik Fungsi Kejadian Dinamik Berkebalikan.
Disertasi. Tidak Dipublikasikan
Subanji, 2011. Teori Berpikir Pseudo
Penalaran Kovariasional. UM
Press. Malang
Thanheiser, Eva: 2010. Investigating further preservice teachers’ con-ceptions of multidigit whole numbers: refining a framework.
Educ Stud Math (2010) 76: 304–
362. Published online: 8 June 2010.
Vinner, S.: 1997. The pseudo-conceptual and the pseudo-analytical thought processes in mathematics Learn-ing. Educational Studies in Mathematics 34, pp. 97–129.
