I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
DNA (deoxyribonucleic acid) adalah bahan penyusun gen. Gen merupakan suatu unit penurunan sifat yang meneruskan informasi dari induk pada keturunannya. Kumpulan gen membentuk genom yaitu keseluruhan penurunan sifat atau materi genetik yang dimiliki sel suatu organisme.
Disarikan dari Campbell (2002), ketika suatu sel bereproduksi sendiri dengan cara membelah maka DNA akan disalin dan diteruskan dari satu generasi sel ke generasi sel berikutnya. Informasi genetik yang memprogram semua aktivitas sel terdapat dalam bentuk kode di dalam molekul DNA. Tiap molekul DNA terdiri atas dua rantai panjang berbentuk heliks yang masing-masing tersusun dari empat jenis blok penyusun kimiawi yang disebut nukleotida. Nukleotida DNA dibentuk dari tiga komponen yaitu basa nitrogen, gula pentosa dan gugus fosfat. Basanya berupa adenina (A), timina (T), guanina (G) dan sitosina (C). Untai DNA merupakan urutan basa di sepanjang gen yang akan menspesifikasi sekuen asam amino suatu protein tertentu, urutan yang terdiri atas tiga nukleotida ini disebut kodon. Cara DNA meneruskan informasi seperti menyusun huruf menjadi rangkaian kata dengan arti tertentu, nukleotida dianggap sebagai alfabet untuk penurunan sifat. Urutan susunan yang spesifik dari keempat huruf kimiawi ini mengkodekan dengan tepat informasi tertentu di dalam suatu gen.
DNA mampu mengarahkan replikasinya sendiri dan mengontrol sintesis protein melalui RNA (ribonucleic acid). Suatu molekul RNA terdiri atas satu untai tunggal dan secara kimiawi serupa dengan DNA, dengan ribosa sebagai gulanya dan memiliki basa nitrogen urasil (U) bukan timina (T). Basa RNA disusun pada cetakan DNA maka dalam pengkodean digunakan urasil (U) untuk menentukan kodon dari himpunan basa nukleotida {A, C, G, U} yang diurutkan secara alfabet. Himpunan huruf dari basa
nukleotida ini setara dengan himpunan bilangan bulat modulo n (ℤn), untuk n=4. Himpunan kodon dari kode genetik {A, C, G, U} tidak dapat menganalisis daerah non kode dalam genom yang disebabkan oleh mutasi penghapusan serta penyisipan pada barisan genomik DNA. Mutasi penghapusan dan penyisipan merupakan pengurangan atau penambahan satu atau lebih pasangan nukleotida pada suatu gen (Campbell, 2002). Dalam karya ilmiah ini himpunan kodon diperluas dengan menambahkan huruf O untuk menguraikan mutasi tersebut sehingga memperpanjang alfabet sumber kode genetik menjadi {O, A, C, G, U}. Huruf O menandakan penghapusan atau penyisipan dalam kodon untuk semua triplet diperluas
1 2 3
X X X , Xi∈{O, A, C, G, U} dari susunan genom DNA.
Bagian untai DNA tanpa mutasi membangun blok gen pengkode yang direpresentasikan oleh 2-grup homosiklik yang diuraikan dengan aljabar ℤ64 dari kode genetik (Cg), sedangkan bagian untai DNA yang dipengaruhi oleh mutasi membangun daerah bukan pengkode direpresentasikan oleh 5-grup homosiklik. Grup homosiklik adalah jumlah langsung grup siklik yang mempunyai unsur sama banyaknya (Sanchez, 2005). Setelah diperoleh jumlah langsung dari grup homosiklik 2-grup dan 5-grup maka dapat didefinisikan grup abelian berhingga S atas barisan genomik DNA dengan panjang K kodon. Selain itu, akan diidentifikasi struktur blok genom melalui suatu tata bahasa reguler yang dapat merepresentasikannya.
1.2 Tujuan
Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah mempelajari grup kodon diperluas dari kode genetik DNA dan merepresentasikan grup abelian berhingga dari barisan genomik DNA ke dalam jumlah langsung p-grup homosiklik.
II LANDASAN TEORI
Pada bab ini akan diberikan teori yang menjadi landasan pengerjaan karya ilmiah ini. Berikut diberikan beberapa definisi dan
teorema yang digunakan dalam penulisan karya ilmiah ini.
2.1 Teori Grup
Definisi 1 (Operasi Biner)
Operasi biner ∗ pada suatu himpunan S
adalah suatu fungsi dari S×S ke S, yang membawa setiap ( , )a b ∈ S×S ke a b∗ ∈S
yang unik. Jadi ( , )a b → a b∗ . Dikarenakan
a b∗ juga berada dalam S maka dikatakan
S tertutup dibawah operasi ∗.
(Fraleigh, 1997) Definisi 2 (Struktur Aljabar)
Himpunan tak kosong S dengan satu atau lebih operasi biner disebut struktur aljabar. Notasi: S,∗ , S, , # .∗
(Fraleigh, 1997) Definisi 3 (Grup)
Grup G,∗ adalah himpunan tak kosong
G tetutup di bawah operasi biner ∗ yang memenuhi aksioma-aksioma berikut:
1. Bersifat assosiatif yaitu ∀x y z, , ∈G, (x y∗ ∗ = ∗ ∗) z x (y z).
2. Ada unsur identitas e∈G, sehingga berlaku ∀ ∈x G, e x∗ = ∗ =x e x.
3. Untuk setiap x∈G ada unsur 1
x− ∈G
sehingga 1 1
. x x∗ − =x− ∗ =x e
(Fraleigh, 1997) Definisi 4 (Grup Abelian)
Grup G disebut grup abelian jika operasi biner ∗ bersifat komutatif yaitu ∀x y, ∈G,
. x∗ = ∗y y x
(Fraleigh, 1997) Contoh 1
Himpunan bilangan bulat Z adalah grup dengan operasi +. Unsur identitasnya adalah
0 dan invers dari x adalah −x. Grup ini adalah grup abelian. Himpunan bilangan bulat tak negatif dengan operasi penjumlahan adalah bukan grup karena ada anggota himpunan bilang bulat tak negatif yang tidak mempunyai invers, misal untuk 2 tidak ada invers, walaupun ada unsur identitas 0. Himpunan bilangan bulat positif Z+ dengan operasi penjumlahan bukan grup karena tidak ada unsur identitas untuk penjumlahan dalam himpunan tersebut. Himpunan Z+ dengan operasi perkalian juga bukan grup walaupun ada unsur identitas tetapi tidak setiap elemennya mempunyai invers.
Definisi 5 (Grup Hingga dan Order Grup) Suatu grup G dikatakan grup hingga jika banyaknya unsur G berhingga. Banyaknya unsur dari grup hingga G dinamakan order dari G, dinotasikan: o(G).
(Fraleigh, 1997) Definisi 6 (Order dari Unsur Grup)
Misalkan G grup dan a∈G, order dari a, dinotasikan dengan o(a), didefinisikan sebagai bilangan bulat terkecil n sedemikian sehingga
, n
a =e e unsur identitas G. Jika n bilangan prima maka disebut order kuasa prima dari a .
(Fraleigh, 1997)
Definisi 7 (Eksponen)Jika G grup dengan elemen identitas e dan a∈G serta n bilangan bulat positif, maka didefinisikan 1. n ... a =aa a (sebanyak n kali). 2. 1 1 1 ... n a− =a a− − a− (sebanyak n kali). 3. 0 . a =e (Fraleigh, 1997) Teorema 1 (Hukum Eksponen)
Jika G grup dan a∈G, m dan n bilangan bulat, maka berlaku
1. m n m n a a =a + 2. ( m n) mn a =a 3. 1 1 ( )n ( n) n a− = a − =a− (Fraleigh, 1997) Bukti: (lihat Lampiran 1)
Definisi 8 (Subgrup)
Misalkan G grup dan H⊆G. Maka H disebut subgrup dari G jika H grup dibawah operasi biner yang sama dengan operasi biner pada G.
(Fraleigh, 1997) Teorema 2 (Subgrup Terkecil)
Jika G grup dan a∈G, maka
{ n| }
H= a n∈ℤ merupakan subgrup dari G
dan merupakan subgrup terkecil dari G yang memuat .a
(Fraleigh, 1997) Bukti: (lihat Lampiran 2)
Definisi 9 (Subgrup Siklik)
Subgrup H dalam teorema 2 disebut subgrup siklik dari G yang dihasilkan oleh a dan dinotasikan a Jadi . { n| }.
a = a n∈ℤ
(Fraleigh, 1997)
Definisi 10 (Grup Siklik)
Misalkan G grup dan a∈G, jika G= a maka G disebut grup siklik yang dihasilkan oleh a .
(Fraleigh, 1997) Contoh 2
Grup Z di bawah operasi penjumlahan adalah grup siklik karena 1 dan -1 merupakan penghasil untuk grup tersebut.
Contoh 3
Misalkan ℤ adalah grup dibawah operasi penjumlahan dan 4Z= {..., 8, 4, 0, 4,8,...}− − adalah subgrup dari ℤ, dapat diperlihatkan penghasil dari 4Z adalah
8 4 4 2 4 12 4 4 4 3 4 8 4 4 2 4 12 4 4 4 3 4 = + = ⋅ = + + = ⋅ − = − − = − ⋅ − = − − − = − ⋅ dan seterusnya 4 , x n ∀ ∈ Z ∃ ∈Z sehingga x=nℤ. Jadi 4Z={4 |n n∈Z}= 4 yaitu subgrup siklik dari Z yang dihasilkan oleh 4.
Teorema 3
Setiap grup siklik adalah komutatif. (Fraleigh, 1997) Bukti:
Misalkan G grup siklik dengan penghasil
a∈G maka G= { n| }.
a = a n∈ℤ Jika g 1
dan g dua unsur dari 2 G maka ada bilangan bulat r dan s sehingga g1=ar dan 2
s g =a 1 2 r s g g =a a 2 1 r s s r s r a a a a g g + + = = = =
Terbukti G adalah abelian. □ Definisi 11 (Grup Hasil Kali Langsung)
Misalkan G G1, 2,...,Gn masing-masing grup dengan unsur identitas e , i=1,2,3,...,n i dan didefinisikan suatu himpunan
1 2 1 n i n i G G G G = = × ×⋅⋅⋅×
∏
={( ,a a a1 2, 3,...,an) |ai∈Gi}.Jika operasi biner perkalian pada 1 n i i G =
∏
didefinisikan sebagai berikut: 1 2 1 2 1 1 2 2 ( ,a a ,...,an)( ,b b,...,bn)=(a b a b, ,...,a bn n)
untuk∀a bi, i∈Gi dan ∀a bi i∈Gi, maka himpunan 1 n i i G =
∏
dibawah operasi perkalian merupakan grup, dinotasikan1 , n i i G =
∏
i , dan disebut grup hasil kali langsung dari G i. (Fraleigh, 1997) Definisi 12 (Grup Jumlah langsung)Misalkan G G1, 2,...,Gn masing-masing grup dengan unsur identitas e , i=1,2,3,...,n i dan didefinisikan suatu himpunan
1 2 1 n i n i G G G G = = ⊕ ⊕ ⋅⋅⋅⊕
⊕
={( ,a a a1 2, 3,...,an) |ai∈Gi}. Jika operasi penjumlahan pada
1 n i i G =
⊕
didefinisikan sebagai berikut :
1 2 1 2 1 1 2 2
( ,a a,...,an) ( ,+ b b,...,bn)=(a+b a, +b,...,an+bn)
untuk ∀a bi, i∈Gi dan ∀ + ∈ai bi Gi, maka himpunan 1 n i i G =
⊕
dibawah operasipenjumlahan merupakan grup, dinotasikan
1 , n i i G = +
⊕
, dan disebut grup jumlah langsung dari G i.(Fraleigh, 1997) Definisi 13 (Grup Abelian Bebas)
Misalkan G grup abelian yang mempunyai himpunan penghasil X dan
{0}
X ≠ . Jika G memenuhi kondisi berikut : 1. Untuk setiap a∈G dan a≠0berlaku
1 1 2 2 ... r r
a=n x +n x + +n x , i
n
∀ ∈ℤ, ni ≠0
dan
xi∈X.2. Untuk setiap ni∈ℤ dan xi∈X berlaku 1 1 2 2 ... r r 0
n x +n x + +n x = jika dan hanya jika n1=n2= =... nr =0.
maka G disebut grup abelian bebas dan X disebut basis untuk G.
(Fraleigh, 1997) Contoh 4
Grup ℤ ℤ× adalah grup abelian bebas dan
adalah grup abelian bebas dan basisnya adalah {(1, 0, 0), (0,1, 0), (0, 0,1)}, dan untuk seterusnya dapat disimpulkan grup hasil kali langsung dari ℤ adalah grup abelian bebas. Grup ℤn bukan grup abelian bebas karena untuk n≠0 berlaku nx=0
sehingga terdapat
n
x∈ℤ , kontradiksi dengan kondisi 2 dari definisi 13.
Definisi 14 (p-grup)
Grup G disebut p-grup jika setiap elemen di G mempunyai order kuasa prima
.
p Subgrup dari p-grup disebut p-subgrup. (Fraleigh, 1997) Definisi 15 (Homomorfisma Grup)
Misalkan G grup dengan operasi ⋅ dan
'
G adalah grup dibawah operasi #
.
Fungsi:G G'
φ → disebut homomorfisma grup jika
(x y) ( ) # ( ),x y φ ⋅ =φ φ
∀x y, ∈G. (Durbin, 1979) Contoh 5 Fungsi φ: Z,+ → 3 ,Z+ dengan ( )x 3x
φ = adalah homomorfisma grup karena
1, 2 x x ∀ ∈Z berlaku φ(x1+x2)=3(x1+x2) =3x1+3x2 =φ( )x1 +φ(x2). Definisi 16
Misalkan diberikan fungsi φ:A→B.
1. Fungsi φ disebut injektif jika
1 2
( )a (a )
φ =φ
maka
a1=a2,untuk semua
1, 2 .a a ∈A
2. Fungsi φ disebut surjektif jika untuk semua b∈B akan ada a∈A, sehingga
( )a b.
φ =
3. Fungsi φ disebut bijektif jika φ merupakan fungsi injektif dan surjektif. (Fraleigh, 1997) Definisi 17 (Sifat Homomorfisma)
Misalkan φ homomorfisma grup dari G ke
'
G berlaku:
1. Jika φ bijektif maka φ disebut isomorfisma.
2. Jika G=G' dan φ isomomorfisma maka φ disebut automorfisma.
3. Jika G grup abelian maka homomorfisma dari G ke G disebut endomorfisma.
4. Jika φ surjektif maka φ disebut epimorfisma. (Fraleigh, 1997) Contoh 6 Fungsi φ: ℤ,+ → 2 ,ℤ+ dengan ( )n 2 ,n φ = ∀ ∈n ℤ. Fungsi φ homomorfisma karena ∀n1, n2∈ℤ berlaku: 1 2 1 2 (n n) 2(n n ) φ + = + =2n1+2n2 =φ( )n1 +φ(n2) Fungsi φ injektif : ( )n ( )m φ =φ 2n=2m n=m.
Fungsi φ surjektif karena ∀ ∈x 2ℤ, ∃ ∈n ℤ
sehingga φ( )n =2n=x. Homomorfisma φ adalah bijektif sehingga disebut φ disebut isomorfisma.
Contoh 7
Misalkan G grup dan g∈G. Fungsi
g G G
φ = → dan didefinisikan sebagai 1 ( ) , g x gxg φ = − . x G ∀ ∈ Dapat ditunjukkan bahwa: Fungsi φg injektif: 1 1 gag− =gbg− a=b, ∀a b, ∈G. Fungsi φg surjektif: 1 1 ( ) . g g xg g− − =x
Fungsi φg adalah isomorfisma dari G ke
G dan disebut automorfisma. Jika G adalah grup abelian maka φg
disebut endomorfisma.
Definisi 18 (Kernel)
Misalkan φ:G→G' homomorfisma grup. Kernel dari φ didefinisikan sebagai
Ker(φ) ={x∈G| ( )φ x =e'} dengan e'∈G'. (Fraleigh, 1997) Contoh 8 Misalkan fungsi φ: Z,+ → 2 ,Z+ dengan ( )φ n =2 ,n∀ ∈n Z. Maka Ker(φ)= ∈{x Z| ( )φ x =0}
{ | 2 0} { | 0} {0} x x x x = ∈ = = ∈ = = Z Z Definisi 19 (Koset)
Misalkan H
adalah subgrup dari grup
Gdan a∈G. Himpunan bagian
{ | }
aH= ah h∈H disebut koset kiri dari H yang memuat a dan Ha={ha h| ∈H} disebut koset kanan dari H
yang memuat
a. (Fraleigh, 1997) Definisi 20 (Subgrup Normal)Misalkan G grup dan N
subgrup dari
G. Jika ∀ ∈g G
dan
∀ ∈n Nserta
gng−1∈N maka Ndisebut subgrup normal dari
G.(Fraleigh, 1997) Definisi 21 (Grup Faktor)
Jika G grup, N
subgrup normal dari
Gdan himpunan G N/
beserta operasi perkalian
pada G N/
adalah sebagai berikut :
G N/ {aN a| G}
aN bN abN
= ∈
⋅ =
maka G N/
merupakan grup dan disebut grup
faktor dari G oleh N.
(Fraleigh, 1997) Contoh 9
Misalkan Z={0, 1, 2,...}± ± merupakan grup G dibawah operasi penjumlahan, dengan mudah dapat diperiksa bahwa N=3Z adalah subgrup normal dari ℤ. Grup faktor dari Zoleh N
di bawah operasi penjumlahan
koset
(a+N) (+ +b N)= + +(a b) N adalah
/
G N={3 ,1 3 , 2 3 }Z + Z + Z dan anggota
koset-koset dari G N/ dapat dituliskan sebagai G N/
={0, 1, 2 }, dengan
0=N+0={…, -6, -3, 0, 3, 6,…} 1=N+1={…, -5, -2, 1, 4, 7,…} 2=N+2={…, -4, -1, 2, 5, 8,…} Definisi 22 (Grup Teruraikan)
Misalkan G grup, jika G isomorfik terhadap hasil kali langsung dua subgrup taktunggal dari grup tersebut maka disebut grup teruraikan. Jika selainnya disebut grup takteruraikan.
(Fraleigh, 1997)
Teorema 4
Grup abelian berhingga takteruraikan adalah grup siklik yang mempunyai order kuasa prima.
(Fraleigh, 1997) Bukti: (lihat Lampiran 3)
Teorema 5 (Teorema Dasar Homomorfisma Grup)
Jika φ:G→G' epimorfisma grup dengan Ker{φ}= H
maka
G H/ ≃G'.(Fraleigh, 1997) Bukti: (lihat Lampiran 4)
2.2 Teori Bilangan Bulat Modulo n Definisi 23 (Keterbagian)
Misalkan a b, ∈ℤ dan a≠0. Jika b
dapat dibagi oleh a maka terdapat bilangan bulat x sehingga b=ax dan dapat dikatakan
a membagi b.
(Niven et al, 1991) Definisi 24 (Algoritma Pembagian)
Jika m adalah bilangan bulat positif dan
n∈ℤ
maka ada bilangan bulat tunggal q dan
r sehinggan = mq + r, 0≤ <r m,
q disebut hasil bagi dan r disebut sisa hasil bagi.
(Fraleigh, 1997) Definisi 25 (Bilangan Bulat Modulo n)
Misalkan n bilangan bulat positif. Himpunan bilangan bulat modulo n,
dinotasikan Zn, adalah himpunan bilangan bulat {0,1, 2,...,n−1}.
(Menezes et al, 1997) Definisi 26 (Penjumlahan Modulo n)
Misalkan n bilangan bulat positif dan
,
h k∈ℤ
. Sisa hasil bagi r ketika h+k dibagi
oleh n yang mengikuti algoritma pembagian adalah penjumlahan modulo n, dinotasikan(mod ) h+ ≡k r n
.
(Fraleigh, 1997)
Contoh 10Misal akan dicari jumlah dari 82 dan 99 dalam modulo 125, dengan mengikuti algoritma pembagian dapat ditunjukkan
82 + 99 = 181 = 125(1) + 56 atau 82 + 99
≡
56 mod 125.Teorema 6
Himpunan bilangan bulat modulo n dibawah operasi penjumlahan modulo n adalah grup siklik.
(Fraleigh, 1997) Contoh 11
Himpunan ℤ4
={0, 1, 2, 3} di bawah
operasi penjumlahan modulo 4, dapat ditunjukkan sebagai berikut:0+1≡1(mod 4) 1+1≡2(mod 4) 2+1≡3(mod 4) 3+1≡0(mod 4) dan 0+3≡3(mod 4) 1+3≡0(mod 4) 2+3≡1(mod 4) 3+3≡2(mod 4)
merupakan grup siklik dengan penghasil 1 dan 3. Jadi ℤ4={0, 1, 2, 3} dibawah operasi penjumlahan modulo 4 adalah grup siklik.
III PEMBAHASAN
3.1 Grup Kodon Kode Genetik Diperluas DNA adalah suatu molekul asam nukleat berbentuk heliks dan beruntai ganda yang mampu bereplikasi dan menentukan struktur protein sel yang diwariskan. Asam nukleat merupakan molekul panjang yang terdiri atas banyak nukleotida, asam nukleat ini membuat organisme hidup dapat memproduksi komponen-komponen kompleksnya dari satu generasi ke generasi berikutnya (Campbell, 2002).
Informasi yang terkode dalam struktur DNA memprogram semua aktivitas sel. Untuk mengimplementasikan program genetik diperlukan protein. Gen memberi perintah kepada DNA untuk membuat protein tertentu karena gen tidak membangun protein secara langsung. Gen memprogram sintesis protein melalui pesan genetik dalam bentuk mRNA (messenger RNA). Molekul mRNA kemudian berinteraksi dengan peralatan pensintesis protein.
Menurut Campbell (2002), perintah untuk sintesis protein dikodekan dalam DNA dan hanya terdapat 4 nukleotida untuk menentukan 20 asam amino. Asam amino adalah molekul organik yang digunakan sel untuk membangun protein, molekul ini memiliki gugus amino dan gugus karboksil (Campbell, 2002). Triplet basa nukleotida merupakan unit terkecil dengan panjang seragam yang dapat mengkode seluruh asam amino. Jika setiap susunan yang terdiri dari tiga basa berurutan menentukan satu asam amino maka akan ada 64 kemungkinan kata kode. Aliran informasi dari gen ke protein didasarkan pada kode triplet. Perintah genetik untuk untai DNA ditulis sebagai satu deret yang terdiri atas kata-kata tiga nukleotida. Misalnya, triplet basa AGT pada posisi tertentu di sepanjang untai DNA mengatakan
untuk menempatkan asam amino serin di posisi yang sesuai dari polipeptida yang akan dibentuk.
Sel tidak dapat secara langsung mentranslasi atau menterjemahkan gen menjadi asam amino. Langkah antaranya ialah transkripsi , transkripsi adalah sintesis RNA pada suatu cetakan DNA, dimana selama transkripsi inilah gen tersebut menentukan urutan triplet basa di sepanjang molekul mRNA. Untuk setiap gen, hanya salah satu dari dua untai DNA yang ditranskripsi atau disalin karena sebagian besar molekul DNA sangat panjang dengan jutaan pasangan basa yang menghubungkan kedua untai itu. Dalam untai ganda DNA menurut aturan Chargaff Adenina (A) selalu berpasangan dengan timina (T) dan guanina (G) selalu berpasangan dengan sitosina (C), kedua untai heliks ganda itu bersifat komplementer satu sama lain. DNA yang ada dapat menjadi untai cetakan di beberapa daerah dalam suatu molekul DNA, sementara di daerah lain di sepanjang heliks ganda untai komplementer yang berfungsi sebagai cetakan untuk sintesis RNA dirangkum dari Campbel (2002).
Molekul mRNA merupakan komplementer pada cetakan DNA-nya karena basa RNA disusun pada cetakan DNA tersebut berdasarkan aturan pemasangan basa. Pasangan ini serupa dengan pasangan yang terbentuk selama replikasi DNA, kecuali bahwa urasil (U) pada RNA untuk mengganti timina (T) yang berpasangan dengan adenina (A). Dengan demikian apabila untai DNA ditranskripsi, triplet basa ACC dalam DNA menyediakan cetakan untuk UGG dalam molekul mRNA tersebut. Misalnya UGG merupakan kodon untuk asam amino triptofan. Selama translasi urutan kodon di sepanjang molekul mRNA dikode atau
