BAB XI BAB XI ANALISIS VARIANSI ANALISIS VARIANSI A. KONSEP DASAR A. KONSEP DASAR Analisis variansi (
Analisis variansi (analysis of varianceanalysis of variance/Anova) pertama kali diperkenalkan oleh/Anova) pertama kali diperkenalkan oleh Fisher pada tahun 1926. Anova ini merupakan perangkat statistika untuk pengujian Fisher pada tahun 1926. Anova ini merupakan perangkat statistika untuk pengujian hipotesis. Tujuan awal analisis variansi adalah untuk memeriksa adanya beda rerata dari hipotesis. Tujuan awal analisis variansi adalah untuk memeriksa adanya beda rerata dari tiga kelompok populasi atau lebih. Tiga kelompok populasi tersebut dapat mengacu pada tiga kelompok populasi atau lebih. Tiga kelompok populasi tersebut dapat mengacu pada atrib
atribut ut ekonomekonomi, misalnya kelompok ekonomi kuat, menengah dan i, misalnya kelompok ekonomi kuat, menengah dan lemahlemah. . Ia juga Ia juga bolehboleh mengacu kepada regional, misalkan wilayah Jawa Barat, Jawa Timur, dan Jawa Tengah. mengacu kepada regional, misalkan wilayah Jawa Barat, Jawa Timur, dan Jawa Tengah.
Kata ‘tiga kelompok populasi atau lebih’ perlu mendapatkan sedikit perhatian. Ini Kata ‘tiga kelompok populasi atau lebih’ perlu mendapatkan sedikit perhatian. Ini ber
berartarti i anovanova a tidtidak ak bisbisa a digdigunaunakan kan untuntuk uk dua dua popupopulaslasi i sebsebagaiagaimanmana a uji uji beda beda rerrerataata.. Dengan demikian, analisis variansi ini dapat dipandang sebagai pengembangan lanjut Dengan demikian, analisis variansi ini dapat dipandang sebagai pengembangan lanjut atas uji beda rerata yang hanya mensyaratkan dua kelompok subsampel.
atas uji beda rerata yang hanya mensyaratkan dua kelompok subsampel.
Dalam penerapannya, analisis variansi mensyaratkan dua hal penting. Pertama, Dalam penerapannya, analisis variansi mensyaratkan dua hal penting. Pertama, ada variabel faktor dengan
ada variabel faktor dengan 3 3 atau lebih pengelompokatau lebih pengelompokan. Kedua, an. Kedua, ada variabel kuantitaada variabel kuantitatif tif dengan skala interval (misalkan prestasi belajar, tinggi badan, berat badan). Dua syarat dengan skala interval (misalkan prestasi belajar, tinggi badan, berat badan). Dua syarat tersebut di atas semakin mempertegas perbedaannya dengan uji beda rerata.
tersebut di atas semakin mempertegas perbedaannya dengan uji beda rerata.
Perbedaan lain dengan anova adalah uji beda rerata hanya membandingkan dua Perbedaan lain dengan anova adalah uji beda rerata hanya membandingkan dua rerata populasi yang didasarkan pada sampel bebas (independen) yang diambil secara rerata populasi yang didasarkan pada sampel bebas (independen) yang diambil secara random. Karakteristik kerandoman pada uji beda rerata ini melekat pada percobaan yang random. Karakteristik kerandoman pada uji beda rerata ini melekat pada percobaan yang berbeda dan terpisah. Sebaliknya, anova mengasumsikan masing-masing populasi pada berbeda dan terpisah. Sebaliknya, anova mengasumsikan masing-masing populasi pada
dasarnya berasal dari satu populasi. dasarnya berasal dari satu populasi.
Leb
Lebih ih lanlanjutjut, , datdata a pada pada masmasinging-ma-masinsing g kelkelompompok ok yanyang g hendhendak ak dikdikaji aji anovanovaa diambil secara acak. Masing-masing populasi beranggotakan N yang memiliki rerata diambil secara acak. Masing-masing populasi beranggotakan N yang memiliki rerata µµ
dan
dan variavariansinsi σσ 22. Tiap populasi diambil sebanyak n subsampel. Keacakan pengambilan. Tiap populasi diambil sebanyak n subsampel. Keacakan pengambilan
sampel ini penting untuk mendukung asumsi variansi kelompok bersifat homogen. Oleh sampel ini penting untuk mendukung asumsi variansi kelompok bersifat homogen. Oleh karena itu, jika terjadi perbedaan signifikan antara variansi (rerata kuadrat sampel) dalam karena itu, jika terjadi perbedaan signifikan antara variansi (rerata kuadrat sampel) dalam kelompok dengan antara kelompok maka itu pasti disebabkan oleh adanya beda rerata kelompok dengan antara kelompok maka itu pasti disebabkan oleh adanya beda rerata (lihat ilustrasi gambar 11-1).
(lihat ilustrasi gambar 11-1).
Gambar 11-1 Gambar 11-1
Ana
Analislisis is varvarianiansi si yanyang g dikdikenaenal l daldalam am stastatististitika ka berberwujwujud ud 3 3 benbentuktuk. . BenBentuk tuk pertama adalah uji anova satu jalur (
pertama adalah uji anova satu jalur (one way anovaone way anova). Uji anova satu jalur memuat hanya). Uji anova satu jalur memuat hanya ada satu variabel yang diposisikan sebagai faktor. Bentuk kedua adalah uji anova dua ada satu variabel yang diposisikan sebagai faktor. Bentuk kedua adalah uji anova dua jalur (
jalur (two way anovatwo way anova). Uji anova dua jalur memuat ada dua variabel, satu variabel). Uji anova dua jalur memuat ada dua variabel, satu variabel berposisi sebagai faktor dan satu variabel lagi berskala interval. Bentuk terakhir adalah berposisi sebagai faktor dan satu variabel lagi berskala interval. Bentuk terakhir adalah
uji anova tiga jalur (
uji anova tiga jalur (three way anovathree way anova). uji anova tiga jalur menampilkan tiga variabel, dua). uji anova tiga jalur menampilkan tiga variabel, dua var
variaiabebel l sesebagbagai ai fafaktktor or dadan n sasatu tu vavaririababel el bebersrskakala la inintetervrvalal. . BuBuku ku inini i hanhanya ya akakanan membahas dua bentuk yang disebut pertama.
membahas dua bentuk yang disebut pertama. B. ANALISIS VARIANSI SATU LAJUR B. ANALISIS VARIANSI SATU LAJUR
Analisis variansi satu lajur mensyaratkan data tersusun ke dalam tiga atau lebih Analisis variansi satu lajur mensyaratkan data tersusun ke dalam tiga atau lebih kolom (atau baris). Dalam hal data tersusun ke dalam format kolom, uji anova dilakukan kolom (atau baris). Dalam hal data tersusun ke dalam format kolom, uji anova dilakukan dengan memeriksa variasi antarkolom tanpa memperhatikan variasi perbedaan baris. dengan memeriksa variasi antarkolom tanpa memperhatikan variasi perbedaan baris. Sebali
Sebaliknya, dalam hal knya, dalam hal data tersusun ke data tersusun ke dalam format baris, Uji anova dalam format baris, Uji anova dilakdilakukan denganukan dengan memeriksa variasi antarbaris tanpa memperhatikan variasi perbedaan kolomnya.
memeriksa variasi antarbaris tanpa memperhatikan variasi perbedaan kolomnya. Guna mengurang
Guna mengurangi i keranckerancuan, bentuk uan, bentuk yang akan yang akan dijeldijelaskan mengacu pada askan mengacu pada formformatat kol
kolom om sesebabagaigaimamana na diditatampmpililkakan n papada da tatabebel l 1111-1 -1 di di bawbawah ah inini. i. KoKololom m 1, 1, 2, 2, dandan set
seteruerusnysnya a hinhingga gga kolkolom om ke-k ke-k dipdiperlerlakukakukan an berberbedbeda a berberdasdasarkarkan an atratribuibut t klaklasifsifikaikasisi tertentu. Baris 1, 2, dan seterusnya hingga baris ke-n adalah cacah sampel. Sampel ini tertentu. Baris 1, 2, dan seterusnya hingga baris ke-n adalah cacah sampel. Sampel ini diperlakukan secara ‘adil’, tanpa diskriminasi apapun.
diperlakukan secara ‘adil’, tanpa diskriminasi apapun.
Masing-masing kolom memiliki total penjumlahan sehingga dapat diketemukan Masing-masing kolom memiliki total penjumlahan sehingga dapat diketemukan nilai rerata kolomnya. Dengan berpedoman pada kaidah ini pula, nilai total penjumlahan nilai rerata kolomnya. Dengan berpedoman pada kaidah ini pula, nilai total penjumlahan keseluruhan dapat diperoleh. Selanjutnya, rerata keseluruhan juga dapat dengan mudah keseluruhan dapat diperoleh. Selanjutnya, rerata keseluruhan juga dapat dengan mudah diketemukan. diketemukan. Tabel 11-1 Tabel 11-1 Faktor/Treatment Faktor/Treatment S Saammppeell 11 22 …… ii …… kk 1 1 yy1111 yy2211 yyii11 …… yykk11 2 2 yy1122 yy2222 yyii22 …… yykk22 … … …… …… …… …… n n yy11nn yy22nn …… yyiinn …… yykknn T
Toottaall TT11 TT22 …… TTii …… TTkk TT R
Reerraattaa ỹỹ11 ỹỹ22 …… ỹỹii …… ỹỹkk ỹỹ Analisis variansi bertitik tolak dari variasi. Variansi merupakan perbedaan kuadrat Analisis variansi bertitik tolak dari variasi. Variansi merupakan perbedaan kuadrat antara semua nilai dengan reratanya. Menilik pada tabel di atas variansi dapat berasal dari antara semua nilai dengan reratanya. Menilik pada tabel di atas variansi dapat berasal dari perbedaan atas rerata total dan atas rerata kolom. Variansi yang disebut pertama disebut perbedaan atas rerata total dan atas rerata kolom. Variansi yang disebut pertama disebut
variansi total (SST,
variansi total (SST, sum of square total sum of square total ). Variansi yang terak). Variansi yang terakhir disebut variansi kolomhir disebut variansi kolom (SSC,
(SSC, sum of square treatment/column sum of square treatment/column).).
Sebagaimana sudah dijelaskan dalam Buku Statistika Diskriptif, variansi total Sebagaimana sudah dijelaskan dalam Buku Statistika Diskriptif, variansi total (SST) diperoleh dengan cara mengkuadratkan perbedaan setiap nilai terhadap rerata (SST) diperoleh dengan cara mengkuadratkan perbedaan setiap nilai terhadap rerata totalnya.
totalnya.
SST: Σ [X
Variansi kolom diperoleh dengan cara mengkuadratkan perbedaan setiap nilai di masing-masing kolom terhadap rerata di tiap kolom.
SSC = Σ [Xi – µ k ]2
Variansi sisa yang tidak bisa dijelaskan (SSE, sum of square error ) merupakan sisa dua variansi yang telah diperoleh sebelumnya.
SSE = SST – SSC
Masing-masing nilai variansi masih harus dikoreksi dengan derajad kebebasan (degree of freedon, DF). Nilai SST dibagi dengan N-1, nilai SSC dikoreksi dengan C-1, dan nilai SSE disesuaikan dengan N-C. Perhitungan dan perlakuan masing-masing variansi disajikan pada tabel 11-2 berikut. Anova ditempuh dengan membandingkan antara variansi kolom dengan variansi yang tidak terjelaskan.
Tabel 11-2
Prinsip-prinsip umum uji anova satu jalur dapat dilaksanakan dengan bebarapa langkah berikut.
(1). Tetapkan hipotesis awal:
Ho = µ 1 =µ 2 = µ 3 = … = µ n
Hipotesis nol di atas menyatakan bahwa tidak ada perbedaan yang signifikan antara rerata pada populasi ke-1, populasi ke-2 dan seterusnya hingga populasi ke-n.
(2). Tetapkan hipotesis alternatif:
Hipotesis alternatif di atas menyatakan bahwa setidaknya ada satu perbedaan yang signifikan antara rerata pada populasi ke-1, populasi ke-2 dan seterusnya hingga populasi ke-n.
(3). Hitunglah nilai rerata total (µ ) dan nilai rerata kolom di tiap kolom (µ k )
(4). Hitunglah SST, SSC, dan SSE beserta derajad kebebasannya
(5). Hitunglah perhitungan statistikanya yang mencakup MSC (Mean Square Column), MSE (Mean Square Error ), dan F (rasio antara MSE dan MSC)
(6). Tentukan nilai F-tabel pada posisi [α , k-1, (n-k)] sebagai nilai kritis (7). Bandingkan F-hitung dan F-tabel
(8). Ambil simpulan. Sejauh mungkin butir-butir simpulan yang ditarik disesuaikan dengan persoalan yang diajukan mula-mula.
Contoh aplikasi managerial anova satu jalur diberikan berikut. Untuk mengetahui apakah ada pengaruh kemasan suatu produk kecantikan terhadap penjualannya, sebuah pabrik alat-alat kecantikan melakukan pengujian dengan membuat 4 macam kemasan, yaitu A, B, C, D. Penjualan selama beberapa bulan (dalam juta rupiah) untuk masing-masing kemasan dicatat. Hasil pencatatan adalah sebagai berikut tabel 11-3. Dengan menggunakan α = 5 persen, kesimpulan apakah yang dapat ditarik?
Tabel 11-3 Sampel A B C D 1 15 8 11 14 2 11 8 11 11 3 10 7 8 10 4 9 9 8 9 5 11 9 11 6 8 10 12 7 12 8 10
Mentaati prinsip-prinsip umum uji anova satu jalur, penyelesaian soal di atas diawali dengan penetapan hipotesis. Hipotesis awal dinyatakan sebagai semua kelompok populasi memiliki nilai rerata yang sama. Hipotesis alternatif ditetapkan sebagai paling
tidak ada dua kelompok populasi yang memiliki rerata yang tidak sama. Secara simbolik: Ho =µ A = µ B =µ C =µ D
Mengikuti prosedur di atas, langkah berikutnya adalah menghitung nilai rerata. Nilai rerata kelompok subpopulasi masing-masing adalah
15 + 11 + 10 + 9 µ A = --- = 11.25 4 8 + 8 + 7 + 9 + 11 + 8 µ B = --- = 8.5 6 11 + 11 + 8 + 8 + 9 + 10 µ C = --- = 9.5 6 14 + 11 + 10 + 9 + 11 + 12 + 12 + 10 µ D = --- = 11.125 8
Nilai rerata total adalah
15 + 11 + 10 + … + 10 + 9 + 11 + 12 + 12 + 10
µ T = --- = 10.09
24
Atas dasar nilai-nilai rerata di atas, perhitungan nilai-nilai variansi sudah dapat dimulai. SSCA = (15-11.25)2 + (11-11.25)2 + (10-11.25)2 + (9-11.25)2 = 20.75 SSCB = (8-8.5)2 + (8-8.5)2 + (7-8.5)2 + (9-8.5)2 + (11-8.5)2 + (8-8.5)2 = 9.50 SSCC = (11-9.5)2 + (11-9.5)2 + (8-9.5)2 + (8-9.5)2 + (9-9.5)2 + (10-9.5)2 = 9.50 SSCD = (14-10.125)2 + (11-10.125)2 + (10-10.125)2 + … + (10-10.125)2 = 16.88 ---+ 56.63 Hasil perhitungan SSC detailnya disajikan pada tabel 11-4 berikut.
Tabel 11-4 Sampel A B C D 14.06 0.25 2.25 8.27 0.06 0.25 2.25 0.02 1.56 2.25 2.25 1.27 5.06 0.25 2.25 4.52 6.25 0.25 0.02 0.25 0.25 0.77 0.77 1.27 SSC= Jumlah 20.75 9.50 9.50 16.88 56.63 SST = (15-10.09)2 + (11-10.09)2 + … + (12-10.09)2 + (10-10.09)2 = 87.84 Hasil perhitungan SST detailnya disajikan pada tabel 11-5 berikut.
Tabel 11-5 Sampel A B C D 1 24.07 4.38 0.82 15.26 2 0.82 4.38 0.82 0.82 3 0.01 9.57 4.38 0.01 4 1.20 1.20 4.38 1.20 5 0.82 1.20 0.82 6 4.38 0.01 3.63 7 3.63 SST= 8 0.01 87.84 Selanjutnya, SSE = 87.84 – 56.63 = 31.21
Sejalan dengan itu, rerata tiap sumber variansi dapat dihitung 56.63 MSC = --- = 2.83 20 31.21 MSE = --- = 10.40 3
MSE F-rasio = ---MSC 10.40 = ---2.83 = 3.67
Nilai kritis untuk α – misalkan pada tingkat 5 persen – dengan
v1= k-1 = 4 – 1 = 3, dan v2 = n-k = 24 – 4 = 20
dari tabel F statistik didapatkan sebesar 3.10. Nilai 3.10 ini adalah sebagai ancangan penerimaan atau penolakan Ho (periksa gambar 11-2).
Tabel F 0.05 3 ---1 … 2 … 3 … … … … 20 3.10 n … Gambar 11-2
Hasil cetakan paket program komputer Minitab tabel 11-6 membenarkan hasil perhitungan manual di atas.
Tabel 11-6
Dengan membandingkan antara F hitung dan F tabel, simpulan yang dapat ditarik adalah dengan bahwa derajad kepercayaan sebesar 95 persen, hipotesis awal tidak diterima. Sedikitnya ada satu rerata penjualan produk kecantikan yang berbeda dengan yang lainnya.
Simpulan yang sama juga dapat ditempuh dengan mencermati nilai P (probabilitas) pada kolom terakhir hasil Minitab di atas. Sejak awal, risiko yang ditetapkan adalah sebesar 5 persen. Nilai P hasil olahan Minitab adalah sebesar 2.9 persen. Nilai 5 persen > 2.9 persen. Ini berarti hipotesis awal tidak diterima. Agar
hipotesis awal tetap dapat diterima, risiko kesalahan adalah sebesar 2.9 persen. Dengan lain perkataan, derajad kepercayaan harus diperbesar menjadi 97.1 persen.
C. ANALISIS VARIANSI DUA LAJUR
Analisis variansi dua jalur merupakan pengembangan atas analisis variansi satu jalur. Apabila analisis variansi satu jalur hanya memperhatikan perbedaan antar kolom, anova dua jalur membandingkan dua atau lebih populasi (kolom) sekaligus membandingkan barisnya (periksa gambar 11-3). Klasifikasi baris pada umumnya disebut sebagai efek blok (randomized block design).
Asumsi yang mendasarinya tetap sama, yaitu populasi terdistribusi normal dan sampel diambil secara acak dari masing-masing populasi. Konsekuensi atas asumsi ini adalah variansi untuk semua populasi dianggap sama besar. Hal khusus yang terkandung pada uji anova dua jalur adalah perhatian terhadap variansi antarkolom dan sekaligus
Gambar 11-3
Sebagaimana pada anova satu jalur, variansi total (SST, sum of square total ) diperoleh dengan cara mengkuadratkan perbedaan setiap nilai terhadap rerata totalnya.
SST: Σ [Xi -µ ]2
Variansi kolom diperoleh dengan cara mengkuadratkan perbedaan setiap nilai di masing-masing kolom terhadap rerata di tiap kolom.
SSC = Σ [Xi -µ k ]2
Variansi baris (SSR, sum of square row) diperoleh dengan cara mengkuadratkan perbedaan setiap nilai di masing-masing baris terhadap rerata di tiap baris.
SSR = Σ [Xi -µ b]2
Variansi sisa yang tidak bisa dijelaskan (SSE, sum of square error ) merupakan sisa dua variansi yang telah diperoleh sebelumnya.
SSE = SST – SSC – SSR
Masing-masing nilai variansi masih harus dikoreksi dengan derajad kebebasan (degree of freedon, DF). Nilai SST dibagi dengan N-1, nilai SSC dibebani dengan C-1, nilai SSR dijustifikasi dengan R-1, dan nilai SSE disesuaikan dengan N-C. Perhitungan
dan perlakuan masing-masing variansi disajikan pada tabel 11-7 berikut. Anova ditempuh dengan membandingkan antara variansi kolom dengan variansi yang tidak terjelaskan.
Tabel 11-7
Prinsip-prinsip umum uji anova dua jalur dapat dilaksanakan dengan bebarapa langkah berikut.
(1). Tetapkan hipotesis awal:
Ho = µ 1 =µ 2 = µ 3 = … = µ n
Ho = û1 = û2 = û3 = ... = û b
Hipotesis nol di atas menyatakan bahwa tidak ada perbedaan yang signifikan antara rerata pada populasi ke-1, populasi ke-2 dan seterusnya hingga populasi ke-n dan juga tidak ada perbedaan yang signifikan antara rerata pada kelompok ke-1,
kelompok ke-2 dan seterusnya hingga kelompok ke-n. (2). Tetapkan hipotesis alternatif:
Ha =µ 1≠ µ 2 ≠ µ 3≠ … ≠ µ n
Ha = û1 ≠ û2 ≠ û3≠ ... ≠ û b
Hipotesis alternatif di atas menyatakan bahwa setidaknya ada satu perbedaan yang signifikan antara rerata pada populasi ke-1, populasi ke-2 dan seterusnya hingga populasi ke-n dan juga setidaknya ada satu perbedaan yang signifikan antara rerata pada kelompok ke-1, kelompok ke-2 dan seterusnya hingga kelompok ke-n.
(3). Hitunglah nilai rerata total (µ ), nilai rerata kolom di tiap kolom (µ k), dan nilai
rerata baris (û) di tiap baris
(5). Hitunglah perhitungan statistikanya yang mencakup MSC (Mean Square Column), MSR (Mean Square Row), MSE (Mean Square Error ), dan F (rasio antara MSE dan MSC)
(6). Tentukan nilai F-tabel pada posisi [α , (k-1), (n-b)] sebagai nilai kritis (7). Bandingkan F-hitung dan F-tabel
(8). Ambil simpulan. Sejauh mungkin butir-butir simpulan yang ditarik disesuaikan dengan persoalan yang diajukan mula-mula.
Contoh aplikasi anova dua arah disajikan berikut. Untuk mengetahui apakah ada pengaruh kemasan (warna dan ukuran kemasan) suatu produk kecantikan terhadap penjualannya, sebuah pabrik alat-alat kecantikan melakukan pengujian dengan membuat kemasan berwarna: merah, kuning, biru, dan hijau dengan ukuran kemasan kecil, sedang, dan besar. Banyaknya produk kecantikan yang terjual selama satu minggu untuk masing-masing kemasan dicatat (terlampir tabel 11-8). Dengan menggunakan α = 5 persen, kesimpulan apakah yang dapat ditarik mengenai pengaruh ukuran kemasan? Kesimpulan apa pula yang dapat ditarik mengenai pengaruh warna kemasan?
Tabel 11-8 Merah A Kuning B Biru C Hijau D 1.Kecil 6 5 6 7 2.Sedang 7 9 6 8 3.Besar 9 8 10 12
Penyelesaian soal di atas diawali dengan penetapan hipotesis. Hipotesis awal dinyatakan sebagai semua kelompok populasi memiliki rerata yang sama. Hipotesis alternatif ditetapkan sebagai paling tidak ada dua kelompok populasi yang memiliki rerata yang tidak sama. Secara simbolik:
Ho =µ A = µ B =µ C =µ D
Ho = û1 = û2 = û3
Ha =µ A≠ µ B ≠ µ C≠ µ D
Ha = û1 ≠ û2≠ û3
Mengikuti prosedur di atas, langkah berikutnya adalah menghitung nilai rerata. Nilai rerata kelompok subpopulasi masing-masing adalah
6 + 7 + 9
5 + 9 + 8 µ B = --- = 7.33 3 6 + 6 + 9 µ C = --- = 7.33 3 7 + 8 + 12 µ D = --- = 9.00 3
Nilai rerata baris masing-masing adalah 6 + 5 + 6 + 7 û1 = --- = 6.00 4 7 + 9 + 6 + 8 û2 = --- = 7.50 4 9 + 8 + 10 + 12 û3 = --- = 9.75 4
Nilai rerata total adalah
6 + 7 + 9 + … + 9 + 8 + 10 + 12
µ T = --- = 7.75
12
Atas dasar nilai-nilai rerata di atas, perhitungan nilai-nilai variansi sudah dapat dimulai.
SSC = (7.33-7.75)2 + (7.33-7.75)2 + (7.33-7.75)2 + (9-7.75)2 = 2.80
A B C D Jumlah
SSC 0.17 0.17 0.17 1.56 2.08 Hasil di atas kemudian masih harus dikalikan dengan cacah baris
SSR
1 3.06
2 0.06
3 4.00
Jumlah 7.13
Hasil di atas kemudian masih harus dikalikan dengan cacah kolom SSR = 7.13× 4 = 28.50
SST = (6-7.75)2 + (7-7.75)2 + ... + (10-7.75)2 + (12-7.75)2 = 44.25 Hasil perhitungan SST detailnya disajikan pada tabel 11-9 berikut.
Tabel 11-9 A B C D Jumlah 1 3.06 7.56 3.06 0.56 2 0.56 1.56 3.06 0.06 3 1.56 0.06 5.06 18.06 Jumlah 5.19 9.19 11.19 18.69 44.25 Selanjutnya, SSE = SST – SSC – SSR SSE = 44.25 – 6.25 – 28.5 = 9.50
Sejalan dengan temuan-temuan di atas, rerata tiap variansi dapat dihitung 28.50 MSR = --- = 14.25 2 6.25 MSC = --- = 2.08 3 9.50 MSE = --- = 1.58 6
MSC F-rasio(1) = ---MSE 2.08 = ---1.58 = 1.32 MSR F-rasio(2) = ---MSE 14.25 = ---1.58 = 9.00
Nilai kritis (1) untuk α – misalkan pada tingkat 5 persen – dengan
v1= k-1 = 4 – 1 = 3, dan
v2 = (b-1)× (k-1) = 2 × 3 = 6
Nilai kritis (2) untuk α – misalkan 5 persen – dengan v1= b-1 = 3 – 1 = 2, dan
v2 = (b-1)× (k-1) = 2 × 3 = 6
dari tabel F statistik didapatkan masing-masing sebesar 4.07 dan 4.26. Nilai-nilai ini adalah sebagai ancangan penerimaan atau penolakan Ho (periksa gambar 11-4).
Tabel F 0.05 2 3 ---1 … … 2 … … 3 … … … 6 5.14 4.76 … … … n … … Gambar 11-4
Hasil cetakan paket program komputer Minitab tabel 11-10 membenarkan hasil perhitungan manual di atas.
Tabel 11-10
Terkait dengan klasifikasi baris, dengan membandingkan antara F hitung dan F tabel, simpulan yang dapat ditarik adalah dengan bahwa derajad kepercayaan sebesar 95 persen ada pengaruh ukuran terhadap penjualan.
Terkait dengan efek kolom (warna kemasan), dengan membandingkan antara F hitung dan F tabel, simpulan yang dapat ditarik adalah dengan bahwa derajad kepercayaan sebesar 95 persen tidak ada pengaruh warna kemasan terhadap penjualan.
Simpulan yang sama juga dapat ditempuh dengan mencermati nilai P (probabilitas) pada kolom terakhir hasil Minitab di atas. Sejak awal, risiko yang
ditetapkan adalah sebesar 5 persen. Nilai P hasil olahan Minitab adalah masing-masing sebesar 1.6 dan 35.3 persen. Nilai 5 persen > 1.6 persen. Ini berarti hipotesis awal tidak diterima. Agar hipotesis awal tetap dapat diterima, risiko kesalahan adalah sebesar 1.6 persen. Dengan lain perkataan, derajad kepercayaan harus diperbesar menjadi 98.4 persen.
Sebaliknya, sehubungan dengan warna nilai 5 persen < 35.3 persen. Ini berarti hipotesis awal diterima. Agar hipotesis awal tidak diterima, risiko kesalahan adalah sebesar 35.3 persen. Dengan lain perkataan, derajad kepercayaan harus diperbesar menjadi 64.7 persen.
D. ANALISIS VARIANSI DALAM REGRESI
Uji anova juga dapat diterapkan ke dalam analisis regresi. Uji hipotesis yang sudah dipelajari pada Bab IX dan X adalah uji t atas masing-masing koefisien regresi dan dilakukan secara individual. Uji anova, selangkah lebih maju, menawarkan uji hipotesis atas koefisien-koefisien regresi secara serempak hanya dalam satu kali pengujian.
Penjelasan di atas secara implisit menegaskan bahwa penerapan anova dalam regresi lebih tepat untuk regresi majemuk, yaitu menguji signifikansi koefisien-koefisien regresi secara bersama-sama.
Dalam hal regresi sederhana, dengan koefisien regresi yang dicari hanya satu, penerapan uji anova dirasakan menjadi janggal. Sungguhpun demikian, secara teknis penerapan anova dalam regresi sederhana masih dimungkinkan. Hasil F hitung nantinya
akan sama dengan nilai kuadrat atas nilai t hitung.
Prosedur umum yang dilakukan dalam uji anova dalam analisis regresi adalah sebagai berikut
(1) Uji anova, seperti biasa, dimulai dengan penetapan hipotesis nol Ho: a = b = c = ... = k = 0 (nol),
yaitu bahwa semua koefisien regresi tidak berbeda dengan nol Ha: a ≠ b≠ c≠ ... ≠ k ≠ 0 (nol),
yaitu bahwa semua koefisien regresi berbeda dengan nol
(2) Tentukan risiko kesalahan (α ), sekaligus nilai kritis pada tabel F pada kolom k dan
baris (n-k-1).
Notasi k adalah cacah koefisien regresi (tanpa konstanta), sementara K adalah cacah semua koefisien regresi (termasuk konstanta)
(3) Masing-masing nilai variansi masih harus dikoreksi dengan derajad kebebasan (degree of freedon, DF). Nilai SST dibagi dengan N-1, nilai SSC yang berasal dari regresi dikoreksi dengan k (K-1), dan nilai SSE disesuaikan dengan N-k-1. Perhitungan dan perlakuan masing-masing variansi disajikan pada tabel 11-11 berikut. Anova ditempuh dengan membandingkan antara variansi kolom dengan
Tabel 11-11
(4) Bandingkan antara hasil langkah (3) dan langkah (2)
(5) Sejauh mungkin gambarkan ke dalam gambar distribusi F, sehingga terlihat jelas wilayah penerimaan Ho dan penolakan Ho.
(6) Ambil simpulan. Simpulan seyogyanya disusun dalam kalimat yang tegas disesuaikan dengan pokok persoalan yang diajukan.
Contoh penerapan anova ke dalam analisis regresi disampaikan dengan mengacu pada hasil-hasil regresi pada Bab X. Untuk jelasnya, hasil regresi majemuk tabel 10-4
ditampilkan lagi menjadi tabel 11-12. Tabel 11-12 Tahun Y Ỹ y ỹ y2 ỹ2 e e2 1990 168.70 156.83 -32.14 -44.01 1032.68 1936.53 11.87 140.92 1991 162.10 163.93 -38.74 -36.90 1500.42 1361.84 -1.83 3.36 1992 176.00 177.48 -24.84 -23.36 616.79 545.54 -1.48 2.19 1993 174.20 177.47 -26.64 -23.37 709.44 546.16 -3.27 10.66 1994 155.90 172.43 -44.94 -28.40 2019.18 806.76 -16.53 273.30 1995 167.20 194.80 -33.64 -6.03 1131.33 36.41 -27.60 761.84 1996 176.20 195.43 -24.64 -5.40 606.90 29.18 -19.23 369.92 1997 191.00 189.09 -9.84 -11.74 96.73 137.85 1.91 3.63 1998 196.60 188.64 -4.24 -12.19 17.94 148.61 7.96 63.28 1999 207.90 201.26 7.06 0.42 49.91 0.18 6.64 44.12 2000 224.60 192.94 23.76 -7.90 564.76 62.41 31.66 1002.64 2001 211.60 209.05 10.76 8.22 115.88 67.55 2.55 6.48 2002 228.40 221.55 27.56 20.71 759.81 429.04 6.85 46.94 2003 240.50 237.16 39.66 36.33 1573.29 1319.61 3.34 11.14 2004 240.40 234.84 39.56 34.00 1565.37 1156.22 5.56 30.93 2005 246.60 244.22 45.76 43.38 2094.41 1882.24 2.38 5.66 2006 246.30 257.07 45.46 56.24 2067.04 3162.68 -10.77 116.06
Pertanyaan yang pantas diajukan adalah apakah modal sendiri dan modal dari pihak ketiga secara berbarengan mampu meningkatkan profit yang diraup?
Penyelesaian:
(a) dengan model persamaan regresi Y = a + b.X1 + c.X2
maka
Ho: a = b = c Ha: a ≠ b≠ c
(b) Misalkan α disepakati sebesar 5 persen. Tabel F yang sesuai adalah Kolom: 2 (cacah koefisien regresi di luar konstanta, a)
Baris: (17 – 2 – 1) = 14 Didapatkan angka: 3.74 Tabel F 0.05 2 ---1 … 2 … 3 … … … … 14 3.74 n … Gambar 11-5
(c) Berdasarkan tabel 11-12, keterangan yang sudah didapat adalah SST (yaitu ∑y2), SSC (dalam hal ini adalah SSR, sum of square regression, yaitu ∑ỹ2), dan SSE (yaitu∑e2). Pengujian selengkapnya ditampilkan pada tabel 11-13 berikut.
Tabel 11-13
DF SS MS F P-value
SSR 2 13628.8015 6814.4008 32.9758 0.000005 SSE 14 2893.0773 206.6484
SST 16 16521.8788
(d) Nilai F hitung pada kenyataannya lebih besar daripada nilai kritis (periksa gambar 11-5). Dengan demikian, simpulan yang dapat diperoleh adalah bahwa modal sendiri dan modal dari pihak lain secara bersama-sama berpengaruh secara signifikan terhadap profit.
Simpulan di atas juga dapat langsung disidik dari p-value pada kolom terakhir. Jika p-value besarnya lebih kecil dari risiko kesalahan yang semula ditetapkan (5 persen), maka tanpa melihat tabel F pun, akan jelas bahwa Ho tidak diterima. Hal
ini dapat dimaklumi mengingat p-value sesungguhnya menunjukkan besaran α
untuk menerima Ho. Jadi pada contoh di atas, agar Ho diterima, risiko yang ditetapkan setidaknya harus 0.0005 persen.
Uji anova dan uji t dalam riset yang sesungguhnya diperlakukan bukannya suplemen (substitutif) melainkan komplemen. Artinya keduanya digunakan secara bersama-sama sehingga juga perlu ditampilkan dalam laporan hasil regresi. Kendati demikian, kontroversi sering muncul. Kasus model regresi atas data profit, modal sendiri, dan modal pihak ketiga di atas adalah contoh yang amat baik untuk menunjukkan hal ini.
Mengikuti hasil uji t, koefisien modal pihak ketiga tidak signifikan. Sementara, menurut uji anova kedua jenis modal – kebetulan – mampu memberikan dorongan bagi peningkatan profit. Logikanya, jika secara individu suatu variabel berpengaruh secara
signifikan, secara kolektifpun mestinya juga demikian. Hasil uji manakah yang semestinya dipercayai?
Menghadapi kasus semacam ini, peneliti harus mampu memberikan penjelasan dengan jitu atas dasar fakta riil yang terjadi di lapangan. Kejelian, logika, dan sentuhan diplomasi memegang peranan kunci dalam menangkal kontroversi ini. Secara teknis matematika statistika, uji F lebih kuat ( powerful ) daripada uji t sehingga uji anova lebih layak untuk menjadi acuan pengambilan keputusan atas signifikansi koefisien regresi (periksa kembali konsep dasar uji anova pada lembar-lembar pertama di bab ini).
Menutup pembahasan mengenai anova ini, ada satu catatan penting yang perlu digarisbawahi. Uji anova, baik satu jalur maupun dua jalur, menawarkan banyak manfaat dalam mengkaji perbedaan variansi antara beberapa subpopulasi dan beberapa subblok. Sungguhpun demikian, kelemahan yang masih tersisa pada anova ini adalah ia belum mampu menjelaskan mengapa perbedaan tersebut terjadi. Jikalau terjadi perbedaan, kelemahan yang kedua adalah anova juga belum mampu memberikan klarifikasi peringkat subpopulasi manakah yang terbesar hingga subpopulasi yang terkecil.
Dengan menyadari kelemahan hal ini, penggunaan anova harus dimbangi dengan alat analisis lain, misalnya uji rerata, uji beda nilai dua rerata, dan sejenisnya. Kesemuanya ini seyogyanya ditempuh agar permasalahannya terselesaikan dengan tuntas sesuai dengan sasaran yang dituju, yaitu memuaskan rasa ingin tahu yang tidak pernah padam. Inilah esensi sebuah riset yang sebenarnya.
KONSEP-KONSEP PENTING BAB INI Analisis Variansi Satu Jalur
Analisis Variansi Dua Jalur Rerata Kolom Rerata Baris Rerata Total Variansi Total Variansi Kolom Variansi Baris Variansi Kesalahan
Analisis Variansi dalam Regresi Tabel F
SOAL-SOAL LATIHAN
1. Data berikut memperlihatkan uang saku mahasiswa per bulan dari tiga perguruan tinggi swasta yang disurvey pada suatu ketika.
PTS Mahasiswa Sampel A B C 1 80.00 120.00 100.00 2 100.00 100.00 120.00 3 80.00 80.00 100.00 4 120.00 100.00 100.00
Apakah ada perbedan yang signifikan atas uang saku rerata dari ke tiga PTS tersebut di atas?
2. Enam mahasiswa mengikuti ujian di sebuah ruangan. Tempat duduk ke enam mahasiswa disusun ke dalam denah tertentu dengan hasil/nilai sebagai berikut:
I II III
1 65 70 80
2 70 65 75
Pertanyaan: Apakah ke-6 mahasiswa peserta ujian tersebut saling bekerja sama (contek-contekan) atau tidak? Jelaskan jawaban Anda.
3. Mengembangkan soal nomor 1 di atas, jika mahasiswa ditelusur lebih lanjut atas dasar semester ke berapa mereka sedang menempuh studinya, apakah ada perbedan yang signifikan atas uang saku rerata dari ke tiga PTS tersebut di atas?
PTS
Mahasiswa Semester A B C Sampel 2 80.00 120.00 100.00
8 120.00 100.00 100.00
4. Tiga orang analis pasar modal diwawancarai oleh satu tabloid ekonomi dan bisnis tentang prediksi kenaikan harga saham (dalam persen) yang akan terjadi masing-masing di lima bursa efek. Hasil wawancara disajikan berikut.
Prediksi Harga Saham di 5 Bursa Analis Pasar Modal Sampel A B C D E 1 3.52 4.71 3.89 5.21 4.14 2 3.39 4.79 3.82 4.93 3.96 3 3.64 4.92 4.19 5.10 4.20
Jika Anda juga seorang analis pasar modal, berikan pandangan Anda apakah prediksi kelima analis tersebut pada dasarnya sama?
5. Misalkan Anda adalah seorang manager produksi. Anda membawahi 6 orang operator yang secara berkelanjutan mengerjakan 4 jenis mesin, mulai mesin I , II, hingga mesin keempat. Suatu saat Anda melakukan uji petik dengan mencatat lamanya (detik) masing-masing karyawan melakukan tugasnya di tiap-tiap mesin. Hasilnya sebagai berikut.
Operator Mesin A B C D E F I 42.50 39.30 39.60 39.90 42.90 43.60 II 39.80 40.10 40.50 42.30 42.50 43.10 III 40.20 40.50 41.30 43.40 44.90 45.10 IV 41.30 42.20 43.50 44.20 45.90 42.30
Bagaimanakah evaluasi yang dapat Anda berikan kepada manager puncak (atasan Anda) perihal kinerja karyawan secara umum?
6. Data berikut ini menunjukkan jumlah produksi, tenaga kerja, dan kapital yang ada selama 6 minggu melakukan proses produksi
Minggu ke Tenaga Kerja Kapital Produksi
1 5 2 12 2 7 4 16 3 8 6 19 4 10 7 24 5 12 9 30 6 15 10 39
Ujilah apakah tenaga kerja dan modal secara simultan mempengaruhi besaran produksi untuk tiap minggunya. Bandingkan dengan uji t atas koefisien regresi masing-masing, konsistenkah simpulan Anda?
7. Hasil pencatatan sampel terhadap daya tahan 3 tipe HP merek X, Y, dan Z yang direndam dalam air (menunjukkan lama waktu HP akan mati (jam)):
---sampel 1 2 3 4 5 6 ---Tipe X 1000 1100 1100 1200 1100 1000 Tipe Y 1000 1100 1200 1250 1200 1100 Tipe Z 1100 1200 1000 1200 1000 1100
---Bila Anda sebagai seorang manager perusahaan HP tersebut, apakah Anda hendak menjual produk dengan harga yang berbeda-beda?
8. Tabel berikut menunjukkan penilaian tamu hotel yang menginap (dinyatakan dalam orang) yang diberikan kepada 3 orang resepsionis sebuah hotel di Jakarta.
No. Nilai/Skor/ Rating Kategori Resepsionis I Resepsionis II Resepsionis II 1 5 Sangat Baik 5 orang 5 orang 10 orang 2 4 Baik 15 orang 10 orang 15 orang 3 3 Sedang 25 orang 25 orang 20 orang 4 2 Buruk 10 orang 5 orang 10 orang 5 1 Sangat Buruk 5 orang 5 orang 10 orang J u m l a h 60 orang 50 orang 65 orang
Misalkan Anda sebagai manajer hotel yang bersangkutan, apakah resepsionis kedua adalah yang relatif paling buruk kinerjanya?
