PERTIDAKSAMAAN KUADRAT

(1)

PERTIDAKSAMAAN KUADRAT

PROGRAM PEMBELAJARAN

MATEMATIKA

UNTUK KELAS 1 SMU UNTUK KELAS 1 SMU

DISUSUN OLEH

DISUSUN OLEH ::

PADIYA,S.Pd

.

Pengajar Matematika SMU Negeri 1

Rantau

Klik satu kali untuk lanjut.

(2)

TUJUAN PEMBELAJARAN

Setelah mempelajari materi ini diharapkan siswa

dapat :

1.

1. Menyele

Menyele

saikan

pertida

ksamaan

linear.

2.

2. Menyelesaikan

Menyelesaikan

pertidaksamaan

kuadrat

dengan

menggunakan sketsa grafik fungsi kuadrat.

3.

3. Menyelesaikan

Menyelesaikan

pertidaksamaan

kuadrat

dengan

menggunakan garis bilangan.

Klik satu kali untuk lanjut

(3)

DAFTAR ISI

1

Pertidaksamaan Linear.

2

Pertidaksamaan Kuadrat

3

Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat

Dengan menggunakan sketsa grafik fungsi

Kuadrat..

4

Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat

Dengan menggunakan garis bilangan.

Pilih salah satu tekan (klik) tombol nomor.

(4)

PERTIDAKASAMAAN LINEAR

2x – 6 > 0

2x – 6 > 0 ⇒⇒ _{2x > 6}_{2x > 6} ⇒⇒ _{x > 3}_{x > 3}

Penyelesaian tersebut dapat disajikan dengan garis bilangan

sebagai berikut .

Di SLTP Anda telah mempelajari cara penyelesaian

pertidaksa-samaan linear, seperti :

samaan linear, seperti :

+ + + + + + + + + +

-Penyelesaian 2x – 6 > 0 menunjukkan nilai-nilai x Penyelesaian 2x – 6 > 0 menunjukkan nilai-nilai x sedemi-kian sehingga ruas kiri pertidaksamaan bernilai positif (+). kian sehingga ruas kiri pertidaksamaan bernilai positif (+).

3 3 3 3 daerah penyelesaian 2x – 6 > 0 daerah penyelesaian 2x – 6 > 0

*) x = 3 disebut pembuat nol

*)

(5)

Dengan cara yang sama kita juga dapat

Dengan cara yang sama kita juga dapat menentukan daerah penye-menentukan daerah

penye-lesaian pertidaksamaan 2x – 6 < 0, sebagai berikut :

lesaian pertidaksamaan 2x – 6 < 0, sebagai berikut :

2x – 6 < 0 2x – 6 < 0 ⇒⇒ _{2x < 6}_{2x < 6} ⇒⇒ _{x < 3}_{x < 3} - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + ++ daerah penyelesaian 2x – 6 < 0 daerah penyelesaian 2x – 6 < 0 3 3

(6)

APAKAH ANDA SUDAH MEMAHAMI

PELAJARAN DI ATAS

BELUM/ULANGI

SUDAH/LANJUTKAN

(7)

PERTIDAKSAMAAN KUADRAT

Pertidaksamaan kuadrat adalah suatu pertidaksamaan yang

varia- belnya berpangkat paling tinggi 2.

belnya berpangkat paling tinggi 2.

Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat dalam x dapat

Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat dalam x dapat dinyatakandinyatakan

dengan salah satu bentuk di bawah ini :

A. Pengertian

.

(i) ax

(i) ax22 ₊₊_bx_bx₊₊_c_c_>_>₀₀ _(ii)_(ii) _ax_ax22 _{+ bx + c}_{+ bx + c} _≥_≥ ₀₀

(iii) ax

(iii) ax22 ₊₊_bx_bx₊₊_c_c_<_<₀₀ _(iv)_(iv)_ax_ax22 _{+ bx + c}_{+ bx + c} _≤_≤ ₀₀

Dengan a, b, c dan x

Dengan a, b, c dan x εε _{R, dan a}_{R, dan a} ≠≠ _0._0.

Contoh :

1). x

(8)

B. Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat.

Sebelum kita membahas cara menyelesaikan pertidaksamaan

kua-drat, perlu kita tinjau ulang pengertian tentang

drat, perlu kita tinjau ulang pengertian tentang selang atau intervalselang atau interval

dan grafik fungsi kuadrat. Pengertian ini akan

dan grafik fungsi kuadrat. Pengertian ini akan sangat membantusangat membantu

kita dalam menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan

kuadrat

kuadrat..

1. Pengertian selang atau interval.

Selang atau interval adalah himpunan bagian

Selang atau interval adalah himpunan bagian bilanganbilangan real R. Sebuah selang (interval) dapat dilukiskan

real R. Sebuah selang (interval) dapat dilukiskan padapada garis bilangan real berbentuk ruas garis (segmen g

garis bilangan real berbentuk ruas garis (segmen garis)aris) yang ditandai lebih tebal pada selang (interval)

yang ditandai lebih tebal pada selang (interval) yangyang bersesuaian. Berbagai kemungkinan selang (interval) bersesuaian. Berbagai kemungkinan selang (interval)

yang sering kita jumpai dapat dilihat pada tabel berikut yang sering kita jumpai dapat dilihat pada tabel berikut ini.

(9)

Grafik Selang

Selang Atau Interval

No.

aa aa aa aa aa aa b b b b b b 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 a < x < b a < x < b aa ≤≤ _x_x ≤≤ _b_b x < a x < a x x ≤≤ _aa x > b x > b x x ≥≥ _b_b x < a atau x > b x < a atau x > b

x

≤≤ _{a atau x}_{a atau x} ≥≥ _b_b Contoh : Contoh :

Grafik dari { x / 1 < x < 5 } adalah :

(10)

2. Pengertian Grafik Fungsi Kuadrat.

Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola dengan

persama-an y = f(x) = ax

an y = f(x) = ax22 _{+ bx}_{+ bx}_{+ c,}_{+ c,}_{dengan a,}_{dengan a,}_b,_b, _c_c _ε_ε _{R dan a}_{R dan a} _≠_≠ ₀₀_._.

Sifat-sifat grafik fungsi kuadrat (parabola) adalah : Sifat-sifat grafik fungsi kuadrat (parabola) adalah :

•

• Jika a Jika a > 0, maka > 0, maka parabola terbuka ke parabola terbuka ke atas, dan atas, dan jika jika a < 0a < 0 parabola terbuka ke bawah.

parabola terbuka ke bawah. •

• _{Memotong sum}_{Memotong sum}_{bu X}_{bu X}_{jika y}_{jika y}_{= 0}_{= 0}_atau_atau _ax_ax22 _{+ bx + c = 0,}_{+ bx + c = 0,}

memotong sumbu Y jika x = 0 atau y = a.0

memotong sumbu Y jika x = 0 atau y = a.022 _{+ b.0 + c}_{+ b.0 + c}

•

• Titik potong dengan sumbu X ditentukan oleh Titik potong dengan sumbu X ditentukan oleh nilainilai Diskriminan (D = b

Diskriminan (D = b22 _{– 4.a.c).}_{– 4.a.c).}

a. Jika D > 0 p

a. Jika D > 0 parabola memotong sumbu X di dua arabola memotong sumbu X di dua titik titik b. Jika D = 0 parabola menyinggung sumbu X.

b. Jika D = 0 parabola menyinggung sumbu X. c. Jika D < 0 p

(11)

Macam-macam grafik fungsi kuadrat (parabola) dapat dilihat pada

tabel di bawah ini :

a a > 0> 0 a < 0a < 0 D > 0 D > 0 D = 0 D = 0 D < 0 D < 0 X X X X X X X X X X X X D Deeffiinniit t ppoossiittiiff DDeeffiinniit t nneeggaattiif f

(12)

Contoh : Contoh :

Diketahui persamaan parabola y = x

Diketahui persamaan parabola y = x22 _{– 7x + 10.}_{– 7x + 10.}

Tentukan sifat-sifat dan gambar grafik parabola di atas Tentukan sifat-sifat dan gambar grafik parabola di atas !! Jawab :

Jawab :

Pada persamaan parabola y = x

Pada persamaan parabola y = x22 _{– 7x + 10 nilai a = 1, b = -7,}_{– 7x + 10 nilai a = 1, b = -7,}

dan c = 10 .

Karena nilai a = 1 ( a > 0), maka parabola terbuka ke atas. Karena nilai a = 1 ( a > 0), maka parabola terbuka ke atas. D = b

D = b22 _{– 4.a.c = (-7)}_{– 4.a.c = (-7)}22 _{– 4.1.10 =}_{– 4.1.10 =}_{49 – 40}_{49 – 40}_{= 9 .}_{= 9 .} _{Karena D}_{Karena D}_{= 9}_{= 9}

(D > 0), maka parabola

(D > 0), maka parabola memotong sumbu X di dua titik.memotong sumbu X di dua titik. Parabola memotong sumbu X jika y = 0 , maka

Parabola memotong sumbu X jika y = 0 , maka

x

x22 _{– 7x + 10 = 0}_{– 7x + 10 = 0} _⇔_⇔ _{(x – 2)(x – 5) = 0}_{(x – 2)(x – 5) = 0} _⇔_⇔ _{x = 2 atau x = 5}_{x = 2 atau x = 5}

Jadi parabola memotong sumbu X di titik (2 , 0) dan (5 , 0).

Parabola memotong sumbu Y, jika x = 0, maka :

(13)

Gambar grafiknya Gambar grafiknya ada-lah sebagai berikut : lah sebagai berikut :

X

(2,0)

(5,0)

Kesimpulan : Kesimpulan : Parabola y = x Parabola y = x22 _{– 7x +}_{– 7x +} 10, terbuka ke atas, 10, terbuka ke atas, memotong sumbu X di memotong sumbu X di (2,0) dan (5,0), serta (2,0) dan (5,0), serta memotong sumbu Y di memotong sumbu Y di (0,10). (0,10).

0

0 Y

Y

(0,10)

(14)

APAKAH ANDA SUDAH MEMAHAMI

PELAJARAN DI ATAS

BELUM/ULANGI

SUDAH/LANJUTKAN

(15)

3. Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat

de-ngan Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat.

ngan Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat.

Langkah-langkah : Langkah-langkah :

4.

4. Memilih Memilih bagian grafik bagian grafik yang sesuai yang sesuai dengan pertidaksamadengan pertidaksamaanan kuadrat yang akan diselesaikan.

kuadrat yang akan diselesaikan. 1.

1. Tentukan nilai Tentukan nilai a ( a ( ke mana ke mana parabola terbuka).parabola terbuka).

2. Tentukan titik potong dengan sumbu X. 2. Tentukan titik potong dengan sumbu X. 3. Menggambar sketsa grafiknya.

3. Menggambar sketsa grafiknya.

Absis titik-titik pada bagian grafik yang terletak di atas sumbu

X merupakan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan ax

X merupakan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan ax22

+ bx + c >0 atau ax

+ bx + c >0 atau ax22 _{+ bx + c}_{+ bx + c} _≥_≥ _0._0.

Absis titik-titi

Absis titik-titik pada bagian gk pada bagian grafik yang terletak di bawah sumburafik yang terletak di bawah sumbu

X merupakan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan ax

X merupakan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan ax22 ₊₊

bx + c < 0 atau ax

(16)

Contoh :

1.Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x

1.Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x22 _{– 3x – 10 > 0.}_{– 3x – 10 > 0.}

Jawab : Jawab : x x22 _–_–_{3x –}_{3x –}₁₀₁₀_{> 0}_{> 0} _atau_atau y = y = xx22 _{– 3x – 10}_{– 3x – 10} (a > 0) , maka parabola (a > 0) , maka parabola terbuka ke atas terbuka ke atas

Memotong sumbu X jika y = 0,

maka maka x x22 _{– 3x – 10 = 0}_{– 3x – 10 = 0} (x (x – 5)– 5)(x + (x + 2) = 2) = 00 x = 5 atau x = -2 x = 5 atau x = -2 Jadi

Jadi parabola parabola sumbu sumbu

Nilai a = Nilai a = 1 1 1 1

X

-2

5

di ( di (-2 , -2 , 0)0) dan dan (5 , (5 , 0)0)

(17)

X

-2

5

Dari sketsa grafik di

Dari sketsa grafik di atas terlihat bahwa absis titik-titik atas terlihat bahwa absis titik-titik pada bagian grafik yang terletak di atas sumbu X adalah: pada bagian grafik yang terletak di atas sumbu X adalah:

x

x < < --22 x x > > 55

Dengan demikian himpunan penyelesaiannya adalah :

{

{ x x / / x x < < --22 aattaau u x x > > 5 5 }}

Daerah himpunan penyelesaian HP = { x / x < -2 atau x > 5 }

atau atau

(18)

2.Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x

2.Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x22 _{– 2x – 3}_{– 2x – 3} _≤_≤ _0._0.

Jawab : Jawab : x x22 _{– 2x – 3}_{– 2x – 3} _≤_≤ _{0 atau}_{0 atau} y = y = xx22 _{– 2x – 3}_{– 2x – 3} (a > 0) , maka parabola (a > 0) , maka parabola terbuka ke atas terbuka ke atas

Memotong sumbu X jika y = 0,

maka maka x x22 _{– 2x – 3 = 0}_{– 2x – 3 = 0} (x (x – 3)(x – 3)(x + + 1) 1) = = 00 x = 3 atau x = -1 x = 3 atau x = -1 Jadi

Jadi parabola parabola sumbu sumbu

Nilai a = Nilai a = 1 1 1 1

X

-1

3

di ( di (-1 , -1 , 0)0) dan dan (3 , (3 , 0)0)

(19)

X

-1

3

Dari sketsa grafik di

Dari sketsa grafik di atas terlihat bahwa absis titik-titik padaatas terlihat bahwa absis titik-titik pada bagian grafik

bagian grafik yang terlyang terletak di etak di bawah bawah sumbu X sumbu X adalah:adalah: -1

-1≤≤ _x_x ≤≤ ₃₃

Dengan demikian himpunan penyelesaiannya adalah :

{ x / -1

{ x / -1 ≤≤ _x_x ≤≤ _{3 }}_{3 }}

Daerah himpunan penyelesaian

HP = {x / -1

(20)

APAKAH ANDA SUDAH MEMAHAMI

PELAJARAN DI ATAS

BELUM/ULANGI

SUDAH/LANJUTKAN

KE UJI PEMAHAMAN

(21)

4. Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat dengan

Menggunakan Garis Bilangan.

Langkah-langkah :

1. Menentukan pembuat nol dari ruas

1. Menentukan pembuat nol dari ruas kiri pertidaksamaan.kiri pertidaksamaan.

2. Membuat garis bilangan beserta pembuat-pembuat nol ruas kiri.

3. Menentukan tanda dari nilai ax

3. Menentukan tanda dari nilai ax22 _{+ bx + c pada masing-masing}_{+ bx + c pada masing-masing}

interval dengan cara mengambil titik-titik uji yang sesuai.

4. Menentukan penyelesaian pertidaksamaan yang diberikan dengan

memilih tanda pada interval yang sesuai.

Contoh :

1. Tentukan himpunan penyelesaiaan pertidaksamaan x

(22)

Jawab : Jawab : x x22 _{+ x – 6 < 0}_{+ x – 6 < 0}

-3

2

-) mengambil titik-titik uji pada masing-masing interval: -) mengambil titik-titik uji pada masing-masing interval:

x = -4 x = -4

-4

pada interval sebelah kiri pada interval sebelah kiri x = 0

x = 0 pada interval tengah pada interval tengah

pada interval sebelah kanan pada interval sebelah kanan x = 3

x = 3

0

3

-) pembuat nol ruas kiri

x x22 _{+ x – 6 = 0}_{+ x – 6 = 0} (x + 3)(x – 2) = 0 (x + 3)(x – 2) = 0 x = -3 atau x = 2 x = -3 atau x = 2

(23)

-4

-3

0

2

3

3 Tanda

Tanda

Nilai x

22

_{+ x - 6}

Titik uji

x = -4 x = -4 x = 0 x = 0 x = 3 x = 3 (-4) (-4)22 _{+ (-4) – 6 = 6}_{+ (-4) – 6 = 6} 0 022 _{+ 0 – 6 = -6}_{+ 0 – 6 = -6} 3 322 _{+ 3 – 6 = 6}_{+ 3 – 6 = 6} + atau > 0 + atau > 0 - atau < 0 - atau < 0 + atau > 0 + atau > 0 + + + + + + + + + + + + + + + + - - - -- - - + + + + + + + ++ + + + + + + + -) menentukan tanda x

(24)

-4

-3

0

2

3

+ + + + + + + +

+ + + + + + + + - - - -- - - + + + + + + + ++ + + + + + + +

Berdasarkan tanda-tanda pada garis bilangan di atas, maka

himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x

himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x22 _{+ x – 6 < 0}_{+ x – 6 < 0}

adalah interval yang bertanda negatif atau <

adalah interval yang bertanda negatif atau < 0 yaitu.0 yaitu.

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { x / -3 < x < 2 }

-3 < x < 2

(25)

Jawab : Jawab : x x22 _{+ 3x – 10}_{+ 3x – 10} _≥_≥ ₀₀

-5

2

-) mengambil titik-titik uji pada masing-masing interval: -) mengambil titik-titik uji pada masing-masing interval:

x = -6 x = -6

-6

pada interval sebelah kiri pada interval sebelah kiri x = 0

x = 0 pada interval tengah pada interval tengah

pada interval sebelah kanan pada interval sebelah kanan x = 3

x = 3

0

3

-) pembuat nol ruas kiri

x x22 _{+ 3x – 10 = 0}_{+ 3x – 10 = 0} (x + 5)(x – 2) = 0 (x + 5)(x – 2) = 0 x = -5 atau x = 2 x = -5 atau x = 2

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x

(26)

-6

-5

0

2

3

3 Tanda

Tanda

Nilai x

22

_{+ 3x - 10}

Titik uji

x = -6 x = -6 x = 0 x = 0 x = 3 x = 3 (-6) (-6)22 _{+ 3(-6) – 10 = 8}_{+ 3(-6) – 10 = 8} 0 022 _{+ 3(0) – 10 = -10}_{+ 3(0) – 10 = -10} 3 322 _{+ 3(3) – 10 = 8}_{+ 3(3) – 10 = 8} + atau > 0 + atau > 0 - atau < 0 - atau < 0 + atau > 0 + atau > 0 + + + + + + + + + + + + + + + + - - - -- - - + + + + + + + ++ + + + + + + + -) menentukan tanda x

(27)

-6

-5

0

2

3

+ + + + + + + +

+ + + + + + + + - - - -- - - + + + + + + + ++ + + + + + + +

Berdasarkan tanda-tanda pada garis bilangan di atas, maka

himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x

himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x22 _{+ 3x – 10}_{+ 3x – 10} _≥_≥ ₀₀

adalah interval yang bertanda positif atau > 0

adalah interval yang bertanda positif atau > 0 yaitu.yaitu.

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { x / x

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { x / x ≤≤ -5 atau x-5 atau x ≥≥ 2 }2 }

x

(28)

APAKAH ANDA SUDAH MEMAHAMI

PELAJARAN DI ATAS

BELUM/ULANGI

SUDAH/LANJUTKAN

KE UJI PEMAHAMAN

(29)

UJI PEMAHAMAN

Pilihlah satu jawaban yang paling benar dengan menekan tombol

Huruf di depan masing-masing jawaban

1. 1. HiHimpmpununan pean penynyelelesesaiaian daan dari peri pertrtididakaksasamamaan xan x22 _{+ x – 2 ≥ 0}_{+ x – 2 ≥ 0} adalah ….. adalah ….. { x | x ≤ -2 atau x ≥ 1 } { x | x ≤ -2 atau x ≥ 1 } { x | x ≤-2 atau x ≥ -1} { x | x ≤-2 atau x ≥ -1} { x | -2 ≤ x ≤ 1 } { x | -2 ≤ x ≤ 1 } { x | -1 ≤ x ≤ 2 } { x | -1 ≤ x ≤ 2 } { x | x ≤ -1 atau x ≥ 2 } { x | x ≤ -1 atau x ≥ 2 } b b c c d d e e a a

(30)

(31)

UJI PEMAHAMAN

2. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x

2. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x22 _{-3x – 10 < 0}_{-3x – 10 < 0}

adalah ….. adalah ….. { x { x | | -2 < -2 < x < x < 5 }5 } { x | 0 < x < 5 } { x | 0 < x < 5 } { { x x | | x x > > 5 5 }} { { x | x | x ≤ x ≤ 2 }2 } { { | | -5 -5 < < < < 2 2 }} cc a a b b d d

(32)

(33)

UJI PEMAHAMAN

3. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x22 _{+ x – 6 ≤ 0}_{+ x – 6 ≤ 0}

adalah ….. adalah ….. { x | x ≤ -3 atau x ≥ 2 } { x | x ≤ -3 atau x ≥ 2 } { x | x ≤ -2 atau x ≥ 3} { x | x ≤ -2 atau x ≥ 3} { x | -2 ≤ x ≤ 3 } { x | -2 ≤ x ≤ 3 } { x | -3 ≤ x ≤ -2 } { x | -3 ≤ x ≤ -2 } { x { x | -3 | -3 ≤ ≤ x ≤ x ≤ 2 }2 } ee a a b b cc d d

(34)

(35)

UJI PEMAHAMAN

4. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x22 _{– 7x + 10 < 0}_{– 7x + 10 < 0}

adalah ….. adalah ….. { x | x < -5 atau x > 2 } { x | x < -5 atau x > 2 } { x | x < -2 atau x > 5} { x | x < -2 atau x > 5} { x | -2 < x < 5 } { x | -2 < x < 5 } { x | 2 < x < 5 } { x | 2 < x < 5 } { x | x < 2 atau x > 5 } { x | x < 2 atau x > 5 } d d a a b b cc ee

(36)