1 Energi Potensial Listrik

FI1201 Fisika Dasar IIA Potensial Listrik

Agus Suroso (agussuroso@fi.itb.ac.id)

1 Energi Potensial Listrik

Pada kuliah sebelumnya, telah dibahas besaran-besaran gaya dan medan elektrostatik yang timbul akibat benda bermuatan. Gaya dan medan elektrostatik merupakan besaran vektor, sehingga operasi matematis yang terkait dengan besaran-besaran tersebut haruslah mengikuti aturan vektor. Perhitungan (dan pengukuran) terhadap besaran vektor seringkali tidak se- derhana, karena kita harus mempertimbangkan aspek besar dan arah dari besaran tersebut sekaligus. Akan lebih mudah jika ada suatu besaran skalar yang dapat mewakili kedua besaran vektor tersebut.

Besaran skalar yang dimaksud adalah potensial listrik. Sebelumnya kita telah menggunakan kata potensial ini saat membahas energi potensial gravitasi dan energi potensial pegas. Saat seseorang memindahkan sebuah buku bermassa m dari permukaan lantai ke atas meja setinggi h, maka orang tersebut harus mengerjakan gaya konstan ke atas sebesar F_orang = mg yang melawan gaya berat buku. Usaha yang dilakukan oleh orang untuk mengangkat buku setinggi h adalah

Worang =

Z akhir awal

F~orang· d~s = Z h

0

mgˆj · dyˆj = mgh, (1)

sedangkan usaha yang dilakukan oleh gaya gravitasi adalah W_gravitasi =

Z akhir awal

F~_gravitasi· d~s = Z h

0

−mgˆj · dyˆj = −mgh. (2) Perhatikan bahwa tanda negatif pada usaha oleh gaya gravitasi muncul karena arah gaya gravi- tasi berlawanan dengan arah perpindahan buku. Dari kedua persamaan di atas, terlihat bahwa W_orang= −W_gravitasi. Beda energi potensial gravitasi yang dimiliki oleh buku setelah berada di atas meja dengan saat berada di lantai didefinisikan sebagai usaha yang dilakukan orang untuk memindahkan buku dari lantai ke atas meja,

∆U = U_meja− U_lantai = W_orang = −W_gravitasi. (3) Jika lantai dianggap sebagai acuan maka energi potensial benda-benda yang berada di lantai bernilai nol, sehingga persamaan di atas memberikan Umeja = −Wgravitasi. Jadi energi po- tensial gravitasi buku di atas meja sama dengan negatif dari usaha oleh gaya gravitasi untuk memindahkan buku tersebut dari suatu acuan ke meja.

Energi potensial listrik didefinisikan dengan cara serupa:

Beda energi potensial listrik suatu muatan saat berada di titik B dengan saat berada titik A adalah negatif dari usaha total yang diperlukan oleh gaya listrik untuk membawa muatan dari A ke titik B.

∆U = U_B− U_A= −W = − Z B

A

F~_E · d~s. (4)

Misal di suatu tempat terdapat sebuah muatan q1. Kemudian muatan lain q2 dibawa dari posisi awal A ke posisi akhir B. Mengingat besar gaya listrik kedua muatan untuk jarak pisah

tanggal pembaruan: 2 Pebruari 2017 1

r tertentu adalah ~F_E = ^kq_r¹2^q2r, maka besar usaha yang dilakukan oleh gaya listrik saat prosesˆ tersebut adalah

W = Z rB

rA

F~E · d~s = Z B

A

kq₁q₂

r² r · d~ˆ s. (5)

Perkalian titik (dot product ) antara vektor satuan radial ˆr dengan perpindahan d~s dapat di- pahami sebagai proyeksi vektor perpindahan d~s pada arah radial ˆr. Hasilnya adalah besar perpindahan yang searah dengan vektor ˆr, atau dr. Sehingga,

W = Z B

A

kq₁q₂

r² dr = −kq1q2

 1 r_B − 1

r_A



, (6)

dengan r_A dan r_B masing-masing menyatakan jarak titik A dan B terhadap muatan q₁. Se- hingga, beda energi potensial muatan q2 saat berada di B dan saat berada di A adalah

UB− UA = kq1q2

 1 r_B − 1

r_A



. (7)

Jika kita ingin menjadikan titik A sebagai acuan, maka haruslah diambil kondisi r_A→ ∞ (atau titik A haruslah sangat jauh dari q1). Maka energi potensial listrik yang dimiliki oleh muatan q₂ saat berada di B adalah

U_B = kq₁q₂

r_B . (8)

2 Potensial Listrik

Sebelumnya, kita telah mendefinisikan medan listrik sebagai suatu besaran yang muncul di sekitar benda bermuatan. Misal kita menempatkan suatu muatan q₁ di suatu tempat. Maka di sekitar muatan tersebut akan timbul medan listrik ~E₁. Jika kemudian kita tempatkan muatan q₂ di dekat q₁, maka muatan q₂ akan berinteraksi dengan medan ~E₁ sehingga mengalami gaya sebesar ~F = q₂E~₁.

Cara serupa dapat kita gunakan untuk mendefinisikan potensial listrik. Misal kita simpan q₁ di suatu tempat. Maka daerah di sekitar q1akan memiliki potensial sebesar V1. Jika muatan lain q₂ berada di sekitar q₁, maka muatan q₁ akan memiliki energi potensial sebesar U = q₂V₁. Lalu, beda energi potensial muatan q₂ saat berada di titik B dengan saat di A adalah ∆U = q₂∆V₁, dengan ∆V₁ = V_{1(di B)}− V_{1(di A)}
. Dari sini diperoleh

∆V₁ = ∆U q2

. (9)

Dengan mengingat definisi energi potensial seperti pada persamaan (4), dapat dituliskan

∆V₁ = − Z B

A

F~_E q2

· d~s = − Z B

A

E~₁· d~s, (10)

dengan ~E₁ adalah medan listrik akibat partikel 1 dan d~s adalah vektor perpindahan dari titik A ke B. Dari persamaan terakhir, kita dapati bahwa potensial adalah integral dari medan. Atau

sebaliknya, medan adalah turunan dari potensial. Jika kita mengetahui potensial di sekitar mu- atan, maka kita dapat menentukan medan di sekitar muatan tersebut dengan cara menurunkan fungsi dari potensial tersebut. Karena medan adalah besaran vektor (yang memiliki arah), ma- ka kita membutuhkan turunan berarah untuk menentukan medan di daerah yang potensialnya diketahui. Secara matematis, dapat dituliskan

E = − ~~ ∇V, (11)

dengan ~∇ = ˆi_∂x^∂ + ˆj_∂y^∂ + ˆk_∂z^∂ disebut operator gradien dan ∂ menyatakan turunan parsial.

Untuk memperjelas pemahaman tentang hubungan medan dengan potensial, saya berikan ilustrasi sebagai berikut. Anggaplah seorang pendaki gunung memiliki data yang sangat leng- kap tentang ketinggian gunung Tangkuban Perahu di setiap titik. Untuk setiap posisi (x, y)-km yang diukur dari satu acuan yang ditetapkannya (misalnya pasar Lembang), terdapat data ke- tinggian h yang diukur terhadap permukaan laut. Berdasar data ketinggian yang dimilikinya, suatu saat pendaki ingin menentukan kemiringan lereng di titik (0,7)-km (artinya 0 km ke arah timur dan 7 km ke arah utara pasar Lembang). Misal ketinggian untuk titik (0,7)-km adalah 1500 m dan ketinggian titik (0,7.001)-km adalah 1550 m. Maka kemiringan lereng arah utara pada titik di sekitar (0,7)-km adalah 50 m/1 m = 50. Kemiringan pada arah tertentu untuk titik-titik yang lain dapat ditentukan dengan cara serupa. Dengan demikian, seorang pendaki gunung yang memiliki fungsi ketinggian h(x, y) dapat menentukan kemiringan lereng di setiap titik.

Fungsi ketinggian gunung pada contoh ini analog dengan fungsi potensial, dan kemiringan lereng analog dengan medan listrik. Kemiringan lereng didapat dari fungsi ketinggian, sedangk- an medan listrik didapat dari fungsi potensial listrik. Jika suatu saat pendaki ingin melakukan eksperimen gerak menggelinding di lereng gunung, maka dia dapat menentukan komponen gaya gravitasi yang searah lereng (yang menentukan kecepatan menggelinding benda) setelah meng- etahui kemiringan lereng. Demikian juga, kita dapat menentukan gaya listrik (yang berperan terhadap gerakan partikel bermuatan) setelah mendapatkan data medan listrik yang diperoleh dari data potensial listrik.

3 Potensial di Sekitar Muatan Titik

Mengingat medan listrik di sekitar satu partikel bermuatan q adalah E(r) =~ kq

r²ˆr, (12)

kita peroleh beda potensial listrik antara titik A dengan B yang berada di sekitar muatan sebagai

V_B− V_A = − Z B

A

E · d~~ s = − Z B

A

kq

r²dr = kq r_B − kq

r_A. (13)

Nilai potensial listrik di titik berjarak r tertentu dari muatan, diperoleh dengan mengambil titik yang sangat jauh (r → ∞) sebagai acuan,

V (r) = − Z r

∞

E · d~~ s = kq

r . (14)

Jika kita memiliki sejumlah (N ) partikel bermuatan masing-masing q_i, maka potensial total di suatu titik P adalah

V =

N

X

i=1

V_i =

N

X

i=1

kqi

r_i , (15)

dengan r_i adalah jarak masing-masing partikel terhadap titik P.

4 Potensial di Sekitar Muatan Terdistribusi Kontinu

Langkah pertama adalah mengambil partisi kecil bermuatan dq dan menganggapnya sebagai partikel titik. Potensial di titik P akibat partisi tersebut adalah

dV = kdq

r , (16)

dengan variabel r adalah jarak partisi terhadap titik P . Potensial total di titik P diperoleh dengan melakukan integral,

V = k Z dq

r , (17)

untuk seluruh bagian benda.

Potensial di sekitar batang bermuatan

Sebagai contoh pertama, kita tinjau suatu batang sepanjang ` yang terletak pada sumbu-x dan menentukan potensial listrik di titik P yang berjarak a dari salah satu ujung.

Mula-mula kita ambil partisi sepanjang dx dengan muatan dq. Jika muatan tersebar secara homogen di sepanjang batang, maka berlaku dq = λdx, dengan λ adalah rapat muatan per satuan panjang yang nilainya konstan. Potensial akibat batang adalah

V = k Z dq

r = k

Z λdx

r . (18)

Dengan memperhatikan segitiga pada gambar, dapat dibuat

x = a tan θ ⇒ dx = sec²θdθ, (19)

r = sec θ. (20)

Sehingga,

V = kλ

Z sec²θdθ sec θ = kλ

Z

sec θdθ = kλ Z

sec θsec θ + tan θ

sec θ + tan θdθ. (21) Kita ambil variabel baru, u ≡ sec θ + tan θ, sehingga

du = (sec θ tan θ + sec²θ)dθ, (22)

dan persamaan potensial dapat ditulis ulang dalam bentuk

V = kλ

Z kanan kiri

du

u = kλ (ln u_kanan− ln u_kiri) . (23) Batas pengintegralan adalah sebagai berikut. Ujung kiri batang direpresentasikan dengan nilai sec θ = 1, sehingga ukiri = 1. Untuk ujung kanan batang, sec θ =

√

`²+a²

a , sehingga ukanan =

√

`²+a²

a + _a^`. Sehingga, potensial total di P adalah V = kλ

"

ln

√`²+ a²

a + `

a

!

− ln 1

#

= kλ ln

√`²+ a²

a + `

a

!

. (24)

5 Potensial di Sekitar Muatan Titik yang Terkurung da- lam Rongga Konduktor

Pada gambar berikut, sebuah partikel bermuatan q (berwarna oranye) terletak pada titik pusat bola konduktor netral (warna biru). Titik A berada di kulit-luar bola, B di kulit-dalam bola, dan C di rongga dalam bola.

q

B A

C

Medan listrik dan potensial di seluruh daerah di sekitar bola tersebut dapat ditentukan sebagai berikut:

Medan listrik

Medan listrik di seluruh ruang dapat ditentukan menggunakan hukum Gauss,

• daerah di rongga bola (r < r_B, dengan r_B jejari-dalam bola), I

E~₁· d ~A = q

ε₀ ⇒ E₁ = 1 4πε₀

q

r², (25)

• daerah di dalam konduktor (r_B < r < r_A, dengan r_B jejari-luar bola), I

E~2· d ~A = q

ε₀ = 0 ⇒ E2 = 0, (26)

• daerah di luar bola (r > r_A), I

E~3· d ~A = q

ε₀ = 0 ⇒ E3 = 1 4πε₀

q

r². (27)

Potensial

Karena titik acuan untuk potensial listrik berada di titik yang sangat jauh (r → ∞), maka penentuan potensial di seluruh ruang akan lebih mudah jika dilakukan ”dari luar ke dalam”

bola,

• daerah di luar bola (r > r_A), V (r) = −

Z r

∞

E · d~~ r = − Z r

∞

E₃dr = 1 4πε₀

q

r, (28)

• daerah di dalam konduktor (r_B < r < r_A), V (r) = −

Z r

∞

E · d~~ r = − Z rA

∞

E₃dr − Z r

rA

E₂dr = 1 4πε0

q rA

, (29)

• daerah di dalam rongga (r < r_B) V (r) = −

Z r

∞

E · d~~ r = − Z rA

∞

E₃dr − Z rB

rA

E₂dr − Z r

rB

E₁dr

= 1

4πε₀ q

r_A + q 4πε₀

 1 r − 1

r_B



. (30)