Abstrak—Suatu himpunan tak kosong yang dilengkapi dengan quasi metrik disebut ruang quasi metrik, dinotasikan . Dengan menggunakan quasi metrik dan konjugatnya, dapat didefinisikan metrik jika dengan adalah konjugat dari . Dalam tugas akhir ini dikonstruksi suatu quasi metrik tertentu pada ruang dengan menyelidiki beberapa sifatnya, yaitu konvergensi dan kelengkapan.
Kata-Kunci—Kelengkapan, Konvergensi, ruang Metrik, ruang Quasi metrik.
1. PENDAHULUAN
Banyak sekali topik dalam analisis fungsional yang mengalami perkembangan seiring kemajuan zaman sehingga menghasilkan konsep-konsep baru. Pada umumnya perkembangan tersebut mengacu pada masing-masing konsep ruang yang digunakan. Seperti konsep ruang Quasi metrik yang merupakan perluasan dari ruang metrik.[3]
Pada tahun 1914 Hausdorff mengenalkan jarak asimetri, yang merupakan bagian penting dari pembahasan quasi metrik karena perbedaan antara ruang metrik dengan ruang quasi metrik terletak pada sifat simetrinya. Jika metrik pada himpunan tak kosong X mempunyai sifat simetri, maka quasi metrik pada himpunan tak kosong X tidak mempunyai sifat simetri. Sedangkan sifat-sifat lainnya pada metrik seperti positifitas, definitas, dan ketaksamaan segitiga berlaku serupa pada quasi metrik. Dengan demikian terlihat jelas bahwa ruang quasi metrik merupakan perluasan dari ruang metrik.
Pada tahun 1973 William Lawveer mengungkapkan bahwa ketidaksimetrian lebih sering terjadi dalam kejadian alam[3]. Contohnya, jarak tempuh pada jalan satu arah, waktu perjalanan pada jalan tanjakan, dan biaya transportasi. Sifat- sifat seperti konvergensi dan kelengkapan, memiliki peranan penting dalam topik penelitian yang lebih lanjut. Misalnya saja Shao-ai chen, Wen li, Du zou, dan Shao-bai chen menunjukkan teorema titik tetap pada ruang Quasi metrik dengan menggunakan sifat kelengkapan dari Quasi metrik[4].
Akan tetapi penelitian untuk mendapatkan suatu quasi metrik tertentu khususnya pada belum banyak dilakukan.
Oleh karena itu timbul gagasan untuk mendapatkan suatu quasi metrik tertentu pada . Selain itu diselidiki sifat konvergensi dan kelengkapan dari quasi metrik tersebut.
2. RUANGMETRIK
Sebelum membahas mengenai ruang quasi metrik, terlebih dahulu perlu dijelaskan mengenai pengertian ruang metrik serta konvergensi dan kelengkapan dalam ruang metrik. Hal tersebut merupakan ide dasar dari konsep ruang quasi metrik.
Definisi 2.1[1]. Diberikan suatu himpunan tak kosong.
Didefinisikan metrik atau fungsi jarak sebagai fungsi bernilai real yang memenuhi sifat-sifat berikut.
Untuk setiap , berlaku : .
. .
.
Jika metrik di , maka pasangan disebut ruang metrik.
3. RUANGQUASIMETRIK
Ruang quasi metrik merupakan perumuman dari ruang metrik. Hal ini dapat diketahui dari tidak adanya sifat simetri pada ruang quasi metrik, sedangkan sifat-sifat lainnya pada ruang metrik terdapat pada ruang quasi metrik
3.l. Ruang Quasi Metrik
Definisi 3.1[2]. Diberikan suatu himpunan tak kosong.
Didefinisikan Quasi metrik sebagai fungsi bernilai real yang memenuhi sifat-sifat berikut.
Untuk setiap , berlaku : .
jika dan hanya jika . .
Jika quasi metrik di X, maka pasangan disebut ruang quasi metrik.
Definisi 3.2[2]. Diberikan d adalah quasi metrik pada , pemetaan
disebut konjugat dari d jika merupakan quasi metrik pada X dan .
3.2 Konvergensi dan Kelengkapan Pada Ruang Quasi metrik.
Pada bagian ini dijelaskan mengenai sifat konvergensi dan kelengkapan pada ruang quasi metrik secara umum.
Definisi 3.3[4]. Diberikan adalah ruang quasi metrik.
KONVERGENSI DAN KELENGKAPAN PADA RUANG QUASI METRIK
Fikri Firdaus, Sunarsini, Sadjidon
Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS)
Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111 E-mail: sunarsini@matematika.its.ac.id
(i) Barisan pada konvergen atas jika terdapat titik sehingga , dengan kata lain sedemikian hingga berakibat . Titik a disebut limit barisan atas, dinotasikan dengan .
(ii) Barisan pada konvergen bawah jika terdapat titik sehingga , dengan kata lain sedemikian hingga berakibat . Titik disebut limit barisan bawah, dinotasikan dengan .
Definisi 3.4[4]. Diberikan adalah ruang quasi metrik.
(i) Barisan pada disebut barisan Cauchy atas jika untuk setiap terdapat sehingga untuk
(ii) Barisan pada disebut barisan Cauchy bawah jika untuk setiap terdapat sehingga untuk
Definisi 3.5[4]. Diberikan adalah ruang quasi metrik.
(i) Ruang quasi metrik dikatakan lengkap atas jika setiap barisan Cauchy atas pada konvergen atas.
(ii) Ruang quasi metrik dikatakan lengkap bawah jika setiap barisan Cauchy bawah pada konvergen bawah.
4. RUANG QUASI METRIK PADA
Pada bagian ini dikonstruksi suatu quasi metrik pada , didapatkan teorema berikut.
4.1 Ruang Quasi Metrik
Teorema 4.1. Untuk himpunan dapat didefinisikan quasi metrik dengan
untuk setiap , , suatu konstanta sedemikian hingga
untuk , i=1,2
untuk , i=1,2, dimana .
Bukti. Untuk membuktikan bahwa adalah quasi metrik pada sebelumnya diuraikan terlebih dahulu bentuk quasi metrik . Diberikan adalah suatu konstanta. Karena untuk setiap dan
dengan dan , untuk suatu maka
Selanjutnya akan dibuktikan bahwa
merupakan quasi metrik.
Diambil sebarang , dengan , , .
Untuk dan , maka
Untuk dan maka
Untuk dan maka
Untuk dan maka
karena untuk dan telah dipenuhi , maka dapat disimpulkan .
Untuk dan , maka
untuk
dan , dan , serta
dan
diperoleh , ini dikarenakan . Karena untuk dan telah dipenuhi
maka dapat disimpulkan .
Untuk dan , maka
untuk
dan , dan , serta
dan
diperoleh , ini menyebabkan . Karena untuk dan telah dipenuhi
maka dapat disimpulkan . Jadi terbukti bahwa .
Selanjutnya akan dibuktikan sifat ketaksamaan segitiga,
untuk (a)
(b)
(c)
untuk
(d)
(e)
(f)
Untuk menunjukkan secara jelas bahwa quasi metrik yang telah dibentuk memenuhi ketaksamaan segitiga maka perlu diuraikan dalam beberapa kasus.
Kasus I.
Pada persamaan (4.1) yaitu
dan , . (*) Dari (a) untuk dan (a) untuk .
Untuk dan maka
dan
sehingga
(*) Dari (a) untuk dan (c) untuk . dan
(*) Dari (a) untuk dan (b) untuk . dan
(*) Dari (b) untuk dan (a) untuk . dan
(*) Dari (b) untuk dan (c) untuk . dan
(*) Dari (b) untuk dan (b) untuk . dan
(*) Dari (c) untuk dan (a) untuk . dan
(*) Dari (c) untuk dan (c) untuk . dan
(*) Dari (c) untuk dan (b) untuk . dan
.
Kasus II.
Pada persamaan (4.2) yaitu
dan , . Dengan cara serupa maka didapat
. Kasus III.
Pada persamaan (4.3) yaitu
dan , . Dengan cara serupa maka didapat
. Kasus IV.
Pada persamaan (4.4) yaitu
dan , . Dengan cara serupa maka didapat
. Sehingga didapat bahwa
= .
Jadi, terbukti bahwa adalah quasi metrik di .
Untuk selanjutnya apabila dibicarakan mengenai ruang quasi metrik dan ruang metrik maka diasumsikan quasi metrik yang dimaksud adalah quasi metrik pada teorema 4.1 dan metrik yang dimaksud adalah metrik baku pada Lemma 4.2. Diberikan adalah ruang quasi metrik.
Misalkan dan adalah sebarang barisan dalam ruang quasi metrik , serta diberikan . Jika dan , maka barisan bilangan real konvergen ke .
Bukti. Diambil
dan
adalah sebarang barisan di ruang quasi metrik . Misalkan dan , dengan . Ini artinya sedemikian hingga berakibat
dan berakibat
. Dengan ketaksamaan segitiga, didapat
= jadi
maka
akibatnya . Ini berarti barisan bilangan real konvergen ke .
Teorema 4.3. Diberikan adalah ruang quasi metrik.
Misalkan dan adalah sebarang barisan dalam ruang quasi metrik , serta diberikan , maka berlaku:
(i) Jika dan maka .
(ii) Jika dan maka .
Bukti. Diambil
dan
adalah sebarang barisan di ruang Quasi metrik .
Diberikan adalah suatu konstanta. Selanjutnya akan dibuktikan.
(i) Misalkan dengan
dan
, serta dan . Ini berarti sedemikian hingga berakibat , dengan konstanta untuk dan untuk serta , berakibat dengan konstanta
untuk dan untuk , maka untuk dan untuk konstanta dengan
diperoleh dan diperoleh
. Jadi
dengan demikian , untuk dan . Ini artinya
dengan cara serupa didapatkan (ii), jika dan maka .
Teorema 4.4. Diberikan adalah ruang quasi metrik.
Misalkan adalah barisan dalam ruang quasi metrik dan adalah barisan bilangan real, maka berlaku:
(i) Jika dan sedemikian hingga dan , maka .
(ii) Jika dan sedemikian hingga dan , maka .
Bukti. Ambil
dan
adalah sebarang barisan di ruang quasi metrik dan adalah sebarang barisan di . Selanjutnya akan dibuktikan.
(i) Diberikan
, dan adalah suatu konstanta. Misalkan dan , ini berarti sedemikian hingga berakibat dengan konstanta
dan , serta berakibat . Jelas bahwa untuk sebarang tetap berlaku , , ini artinya barisan bilangan real konvergen ke . Dari sifat barisan bilangan real didapat , yang berarti
dengan konstanta dan . Akan tetapi karena adalah sebarang, maka diperoleh
jadi
ini artinya .
Dengan cara yang serupa didapatkan (ii),
yaitu jika , maka .
Dapat dikatakan bahwa nilai konvergensi dari perkalian barisan bilangan real dengan barisan di sama dengan perkalian nilai konvergensi dari masing-masing barisan tersebut.
Teorema 4.5. Ruang quasi metrik adalah lengkap atas dan bawah.
Bukti. Sebelumnya akan dibuktikan terlebih dahulu bahwa ruang quasi metrik adalah lengkap atas. Diberikan dengan
adalah sebarang barisan Cauchy atas di ruang Quasi metrik dan diberikan adalah suatu konstanta, ini berarti sedemikian hingga berakibat dengan konstanta dan . Selanjutnya ambil sebarang tetap, maka pastilah
Ini artinya barisan bilangan real adalah barisan Cauchy di . Dari kelengkapan , maka sedemikian hingga . Dengan kata lain sedemikian hingga berakibat
dengan konstanta dan . Karena adalah sebarang, maka diperoleh
.
Jadi . Ini artinya , oleh karena itu adalah ruang quasi metrik lengkap atas. Dengan cara serupa didapat bahwa, jika adalah barisan Cauchy bawah di ruang quasi metrik , maka sedemikian hingga , akibatnya adalah ruang quasi metrik lengkap bawah.
Jadi adalah ruang quasi metrik lengkap atas dan bawah.
4.2 Konjugat dari Quasi Metrik
Berikut ini dikonstruksi konjugat dari quasi metrik yang telah didapatkan.
Teorema 4.6. Untuk quasi metrik pada dapat didefinisikan konjugat quasi metrik dengan
untuk setiap , , suatu konstanta sedemikian hingga
untuk , dimana untuk , .
Bukti. Diberikan , , dan adalah suatu konstanta. Karena untuk dan dengan ,
dan , , untuk suatu maka
Dari Definisi 3.2 akan dibuktikan bahwa adalah konjugat dari , dengan menunjukkan bahwa merupakan quasi metrik dan .
Terlebih dahulu akan dibuktikan .
sehingga , dengan untuk dan untuk . Maka terbukti bahwa . Selanjutnya dengan cara serupa pada Teorema 4.1 dapat dibuktikan
merupakan quasi metrik di .
Jadi, terbukti bahwa merupakan konjugat dari .
Untuk selanjutnya apabila dibicarakan mengenai konjugat dari quasi metrik maka diasumsikan konjugat quasi metrik yang dimaksud adalah konjugat quasi metrik pada teorema 4.6.
Telah diketahui bahwa ruang quasi metrik adalah perumuman dari ruang metrik, artinya setiap metrik adalah quasi metrik namun setiap quasi metrik belum tentu metrik.
Akan tetapi dengan menggunakan quasi metrik bersama konjugatnya dapat dibangun suatu metrik, diberikan dalam teorema berikut.
Teorema 4.7. Diberikan adalah ruang quasi metrik dan adalah konjugat dari quasi metrik , maka fungsi yang didefinisikan dengan
adalah metrik pada .
Bukti. Diberikan . Karena adalah quasi metrik di , maka dan .
Begitu juga karena adalah quasi metrik di , maka
dan
. Karena konjugat dari , maka
. Selanjutnya akan dibuktikan bahwa metrik pada . Diambil dengan
, , dan .
Karena dan , maka Karena dan
, maka
Karena maka
dapat ditulis dapat juga ditulis
sehingga
= Karena dan
, maka
.
Karena memenuhi sifat-sifat metrik, maka terbukti bahwa adalah metrik pada .
4.3 Keterkaitan Konvergensi Ruang Quasi Metrik dengan Ruang Metrik
Berikut ini diberikan keterkaitan mengenai konvergensi antara ruang quasi metrik dengan ruang metrik .
Teorema 4.8. Diberikan barisan dalam dan . Barisan konvergen atas dan bawah ke dalam ruang quasi metrik jika dan hanya jika barisan konvergen ke dalam ruang Metrik .
Bukti. Diberikan
adalah sebarang barisan dalam , , dan konstanta .
Misalkan dalam ruang quasi metrik . Ini artinya sedemikian hingga berakibat
dengan dan , maka
Karena , maka ekivalen dengan
.
Dengan demikian untuk didapat
akibatnya . Oleh karena itu
, yang berakibat . Dengan kata lain , ini berarti dalam ruang metrik .
Dengan cara serupa jika berakibat
, ini berarti dalam ruang metrik .
Misalkan dalam ruang metrik . Ini artinya sedemikian hingga berakibat
dengan
dan untuk tetap, akibatnya
maka untuk sebarang tetap, didapat
sehingga
.
Karena , maka diperoleh
akibatnya . Oleh karena itu
ini berarti . Jadi di ruang quasi metrik . Dengan cara serupa jika berakibat , maka di ruang quasi metrik .
5. KESIMPULAN
Pada pembahasan bab sebelumnya dilakukan konstruksi untuk mendapatkan quasi metrik pada beserta sifat-sifatnya, sehingga diperoleh kesimpulan bahwa,
merupakan ruang quasi metrik lengkap atas dan bawah terhadap
untuk setiap , suatu konstanta sedemikian hingga untuk , i=1,2
untuk , i=1,2, dimana , dan merupakan ruang metrik terhadap
dengan adalah konjugat dari .
DAFTARPUSTAKA
[1] Bryan P.Rynne and Martin A Youngson . 2008. Linear Functional Analysis. Springer,SUMS.
[2] J. Gutiérrez García, S. Romaguera, J.M. Sánchez-Álvarez. 2011. Quasi- metrics and monotone normality. J. Topology and its Applications, Hal.2049-2055.
[3] Lawvere, F.W. 1973. Metric Space, Generalized logic, And Closed Categories. Conferenza tenuta il 30 marzo.
[4] Shao-ai chen, Wen li, Du zou, Shao-bai chen. 2007. Fixed Point Theorems in Quasi Metric Spaces. Proceedings of the Sixth International Conference on Machine Learning and Cybernetics. Hongkong.
