BAB II PEMODELAN MATEMATIS SISTEM INVERTED PENDULUM

BAB II

PEMODELAN MATEMATIS SISTEM INVERTED

PENDULUM

Model matematis diturunkan dari hubungan fisis sistem. Model tersebut harus dapat menggambarkan karakteristik dinamis sistem secara memadai. Tujuannya adalah agar simulasi dapat dilakukan terlebih dahulu sebelum tahap pembuatan perangkat keras. Dalam penjelasan selanjutnya, akan dilakukan analisis secara teoritis menggunakan pendekatan Lagrangian untuk menurunkan persamaan sistem.

2.1 Analisis Dinamika Menggunakan Metode Lagrange

Model teoritis yang lengkap dari sistem inverted pendulum dapat diturunkan menggunakan dinamika Lagrange. Pertama-tama dilakukan penentuan koordinat sistem, kemudian penentuan gaya, fungsi energi, dan Lagrangian. Terakhir, akan digunakan persamaan Lagrange untuk menurunkan persamaan gerak dari sistem [WIL-96].

Diagram skematik dinamika inverted pendulum dapat dilihat pada Gambar 2-1. Model dan sistem koordinat ini akan digunakan untuk analisis selanjutnya. Untuk kelengkapan pembahasan, penurunan persamaan melibatkan momen inersia dari pusat masa bandul, I.

Gambar 2-1 Diagram Skematik Inverted Pendulum

Analisis fisis dinamika inverted pendulum adalah sebagai berikut [STI-99]:

Sistem Koordinat Umum

Sistem inverted pendulum adalah sistem yang memiliki dua buah derajat kebebasan sehinga sistem ini dapat direpresentasikan menggunakan dua buah koordinat umum. Pada analisis kali ini, koordinat umum yang dipilih adalah pergeseran secara horizontal dari pedati, x, dan pergeseran sudut dari bandul, θ :

θ

ξ_j : x, . (2.1)

x bernilai positif ke arah kanan dan θ bernilai positif searah dengan jarum jam, dihitung dari posisi bawahnya. Nilai positif dari θ dipilih searah dengan jarum jam, sehingga x dan

θ akan bernilai positif ke arah kanan, ketika bandul berada pada posisi terbaliknya.

Energi Kinetik dan Energi Potensial Energi kinetik untuk pedati TM adalah

2 2 1 x M TM = & , (2.2)

dengan M adalah masa pedati dan adalah kecepatan pedati. x&

Energi kinetik untuk bandul TM adalah

2 2 1 2 1 _ω I v v m T_m = r_c•r_c+ , (2.3)

dengan I adalah momen inersia di sekitar pusat masa dari bandul, m adalah masa bandul, ω adalah kecepatan sudut dari bandul, dan vc

r _{adalah kecepatan bandul di sekitar pusat} masanya. Kecepatan ini dapat dihubungkan dengan posisi dari pusat masa bandul,

j l i l x rr_c =( − sinθ)ˆ− cosθ ˆ, (2.4)

j l i l x dt

vc = =(&− cosθθ&) + sinθθ& . (2.5)

Kecepatan sudut dari bandul adalah

. (2.6)

θ ω = &

Masukkan Persamaan (2.5) dan (2.6) ke Persamaan (2.3), sehingga menghasilkan

(

2 2 2 2 2 2 2

)

2 2 1 sin cos cos 2 2

1 _{θθ& θθ& θθ& θ&} &

& xl l l I

x m

T_m = − + + + , (2.7)

Sederhanakan kembali Persamaan (2.7) sehingga menjadi

(

2 2 2

)

2 2 1 cos 2 2

1 _{θθ& θ& θ&} &

& xl l I

x m

T_m = − + + . (2.8)

Total energi kinetik T adalah

(

)

. 2 1 cos 2 2 1 2

1 2 2 θθ& 2θ&2 θ&2

& & & m x xl l I x M T T T _{M m} + + − + = + = (2.9)

Dikarenakan pedati hanya bergerak pada sumbu horizontal saja maka energi potensial V dari sistem hanya ditentukan sepenuhnya oleh sudut dari bandul, yaitu

θ

cos

mgl

V =− , (2.10)

dengan g adalah pecepatan gravitasi bumi.

Lagrangian

Dilakukan analisis dinamik sistem dengan menggunakan Lagrangian L=T-V. Dengan menggunakan Persamaan (2.9) dan (2.10), Lagrangian-nya menjadi

(

θθ θ

)

θ cosθ 2 1 cos 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 mgl I l l x x m x M

L= & + & − & &+ & + & + . (2.11)

Persamaan Lagrange

Koordinat umum yang dipilih pada Persamaan (2.11) adalah (x,θ). Dari koordinat umum tersebut diterapkan analisis Lagrange lainnya yaitu masing-masing untuk x dan θ:

Persamaan untuk x adalah ) (t f x L x L dt d = ∂ ∂ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ & . (2.12)

Menggunakan Persamaan (2.11) untuk mengevaluasi turunan parsial pada Persamaan (2.12), menghasilkan

(

)

). ( sin cos ) ( ), ( 0 cos 2 t f ml ml x m M t f ml x m x M dt d = + − + = − − + θ θ θ θ θ θ & && && & & & (2.13)

Persamaan untuk θ adalah

0 = ∂ ∂ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ θ θ L L dt d & . (2.14)

Menggunakan Persamaan (2.11) untuk mengevaluasi turunan parsial pada Persamaan (2.14), menghasilkan . 0 sin sin sin cos ) ( , 0 ) sin sin ( ) cos ( 2 2 = − − + − + = − − + + − θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ mgl x ml x ml x ml I ml mgl x ml I ml x ml dt d & & & & && && & & & & & (2.15)

Sehingga persamaan sistem untuk inverted pendulum adalah

(2.16) . 0 sin ) ( cos ), ( sin cos ) ( 2 2 = + + + − = + − + θ θ θ θ θ θ θ mgl I ml x ml t f ml ml x m M && && & && &&

Dengan menyelesaikan persamaan pada sistem (2.16) akan didapatkan , cos ) )( ( sin ) ( cos sin ) ( cos 2 2 2 2 2 2 2 θ θ θ θ θ θ θ l m I ml m M mgl m M l m t f ml − + + + − − = & && (2.17) . cos ) )( ( sin ) ( cos sin ) ( ) ( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 θ θ θ θ θ l m I ml m M ml I ml g l m t f I ml x − + + + − − + = & && (2.18)

pada posisi terbaliknya, sehingga diperlukan perubahan koordinat. Koordinat baru menjadi π θ θ'= − . (2.19) Sehingga, . ' , ' ), ' cos( ) ' cos( ) cos( ), ' sin( ) ' sin( ) sin( θ θ θ θ θ π θ θ θ π θ θ && && & & = = = + = = + = (2.20)

Dari mulai sekarang, θ’ akan ditulis sebagai θ, tetapi perlu diperhatikan bahwa θ sekarang diukur dari referensi koordinat baru, yaitu dari posisi terbaliknya.

Substitusikan Persamaan (2.20) ke Persamaan (2.17) dan (2.18) dan ambil momen inersia

bandul 2 3 4 ml I = , maka diperoleh θ θ θ θ θ θ θ 2 ₂ cos 3 ) ( 7 sin ) ( 3 cos sin 3 ) ( cos 3 ml l m M g m M ml t f − + + + − − = & && , (2.21) θ θ θ θ θ 2 2 cos 3 ) ( 7 cos sin 3 sin 7 ) ( 7 m m M mg ml t f x − + − + = & && . (2.22) 2.2 Model SIMULINK

Model dari inverted pendulum dibangun dengan menggunakan SIMULINK. Pada model ini, masukan dari model adalah aksi pengontrol. Variabel sudut dan kecepatan sudut dari iterasi sebelumnya digunakan untuk menghitung percepatan pedati dan percepatan sudut dari bandul menggunakan Persamaan (2.22) dan (2.21) secara berurutan. Integrasi kemudian dilakukan untuk mendapatkan kecepatan dan posisi untuk kedua komponen yang bersangkutan. Sudut dari bandul dibatasi dalam ±900. Sudut dan kecepatan sudut dari bandul serta posisi dan kecepatan sudut dari pedati adalah keluaran dari model ini. Model ini dapat dilihat pada Gambar 2-2.

Gambar 2-2 Model SIMULINK untuk sistem inverted pendulum

2.3 Respon Open Loop

Respon open loop untuk sistem ini didapatkan menggunakan model SIMULINK seperti yang ditunjukkan oleh Gambar 2-3.

Gambar 2-3 Model untuk respon open loop

Simulasi dijalankan selama 3 detik dengan menggunakan parameter:

• M, masa dari pedati: 1kg

• m, masa dari bandul: 0.5kg

tidak stabil, karena bandul cepat sekali jatuh menuju horizontal dari posisi tegak vertikalnya. Untuk mempertahankan posisi bandul agar tetap tegak dibutuhkan suatu pengontrol.