MODUL MATEMATIKA SMK BAB 1

(1)

A

B C

h

operasi bilangan real

DISUSUN OLEH :

Febriantoni, dkk

NAMA SISWA

: ………

KELAS

: ………

(2)

STANDAR KOMPETENSI 1

MEMECAHKAN MASALAH BERKAITAN DENGAN KONSEP OPERASI BILANGAN REAL

A.

Kompetensi Dasar : Menerapkan operasi pada bilangan riil

Indikator 1 :

1. Dua atau lebih bilangan bulat dioperasikan (dijumlah, dikurang, dikali, dibagi) sesuai dengan prosedur

2. Bilangan pecahan dikonversi ke bentuk persen, atau pecahan desimal, sesuai prosedur 3. Konsep perbandingan (senilai dan berbalik nilai), skala, dan persen digunakan dalam

pe-nyelesaian masalah program keahlian

I. Macam-Macam Himpunan Bilangan

Matematika erat sekali kaitannya dengan bilangan-bilangan. Bilangan-bilangan tersebut

dapat dibedakan berdasarkan definisi tertentu sehingga bilangan-bilangan tersebut dapat

dikelompokkan menjadi suatu himpunan bilangan tertentu pula. Misalnya 1, 2, 3, ... dan

seterusnya dapat dikelompokkan ke dalam himpunan bilangan asli. Himpunan bilangan asli

tersebut dapat ditulis dengan notasi A = {1, 2 , 3, 4, 5, ...}.

Himpunan bilangan-bilangan secara skematis dapat ditunjukkan pada bagan berikut.

1. Himpunan Bilangan Asli

Himpunan bilangan asli didefinisikan sebagai himpunan bilangan yang diawali dengan angka

1 dan bertambah satu-satu. Himpunan bilangan ini dilambangkan dengan huruf A dan anggota

himpunan dari bilangan asli dinyatakan sebagai berikut.

A = {1, 2, 3, 4, ...}.

2. Himpunan Bilangan Cacah

Gabungan antara himpunan bilangan asli dan himpunan bilangan 0 ini disebut sebagai

himpunan bilangan cacah. Himpunan bilangan ini dilambangkan dengan huruf C dan anggota

himpunan dari bilangan cacah dinyatakan sebagai berikut:

C = {0, 1, 2, 3, 4,...}.

Himpunan Bilangan Rasional

Himpunan Bilangan Bulat

Himpunan Bilangan Cacah

Himpunan Bilangan Asli

Himpunan Bilangan Prima

Himpunan Bilangan Irasional Himpunan Bilangan Riil

Himpunan Bilangan Bulat Negatif

{1}

{0}

(3)

3. Himpunan Bilangan Bulat

Himpunan bilangan bulat adalah gabungan antara himpunan bilangan cacah dan himpunan

bilangan bulat negatif. Bilangan ini dilambangkan dengan huruf B dan anggota himpunan dari

bilangan bulat dinyatakan sebagai berikut:

B = {...,

–

3,

–

2,

–

1, 0, 1, 2, 3, ...}.

4. Himpunan Bilangan Rasional

Himpunan bilangan rasional adalah himpunan bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk

q

p

, dengan p, q



B dan q

≠ 0.

Bilangan p disebut pembilang dan q disebut penyebut.

Himpunan bilangan rasional dilambangkan dengan huruf Q. Himpunan dari bilangan rasional

dinyatakan sebagai berikut:

   

   

 

 p,q B,dan q 0

q p Q

5. Himpunan Bilangan Irasional

Himpunan bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk

q

p

dengan p, q



B dan q

≠ 0.

Contoh bilangan irasional adalah bilangan desimal yang tidak

berulang (tidak berpola), misalnya: 2, π, e, log 2. Himpunan bilangan ini dilambangkan dengan

huruf I.

II. Operasi Hitung pada Bilangan Riil

A. Operasi Hitung Pada Bilangan Bulat

1. Penjumlahan dan Pengurangan

Latihan 1:

a. 5 + 3 = ………… b. 5– 3 = ………

c. 2– 6 = ………….. d. 3– 9 = ………….

e. 6– 7 = ………….. f. – 3 + 8 = …………

g. – 2 + 5 = ………… h. – 10 + 3 = ………….

i. –4– 5 = ………… j. - 7– 3 = ………

k. –2– 8 = ………. l. –11– 3 = …………

m. 4–( -6 ) = ………. n. 7–( -4 ) = ……..

o. –3 + 4– 7 = …………. p. 3–7– 6 = ………….

q. 1 + 8–( -5 ) = ……….. r. -4–( -2 )– 8 = ……..

2. Perkalian dan Pembagian

Latihan 2 :

a. 4 x 5 = ……….. b. 4 x (-5 )= ……….

c. –4 x (-5 ) = ………… d. – 4 x 5 = ……….

e.

5 100

= ……….. f.

4 60 

= ………

g.

9 81  

= ………. h.

12 120

(4)

i. ... 5

20

 ……. j. ₂ ...

18 _  k. ... 40 200    l. ... 3 120  

Operasi Hitung Pada Bilangan Pecahan

1. Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Pecahan

Jika b a dan d c

masing-masing adalah bilangan pecahan maka berlaku operasi penjumlahan dan

pengurangan sebagai berikut:

bd

bc

ad

d

c

b

a

bd

bc

ad

d

c

b

a













Atau dengan Mencari KPK dari penyebut bilangan pecahan yamg akan dijumlah atau dikurangi

Latihan 3 :

a.

5 2 4 3

 = ……… b. = ………..

c.

5 7 7 2

 = ………. d.

9 4 8 1  = ……….. e. 13 5

2 = ………. f. 8

4 3  = ……….. g. 7 2

6 = ………….. h. 4

3 5  = ……… i. 6 5 5 2 3 1 

 = ……… j.

4 1 3 2 1 2

5  = ………..

k. 10 1 7 6 5 11 

 = ……… l.

4 1 1 3 5 2

4   = ………..

m. 3 2 1 5 4

2  = ………. n.

3 4 2 5 3 4

7  = ……….

5 6 9 2

(5)

c

d

x

b

a

d

c

b

a

bd

ac

d

c

x

b

a



:

2. Perkalian dan Pembagian Bilangan Pecahan

Jika b a dan d c

masing-masing adalah bilangan pecahan maka berlaku operasi perkalian dan

pembagian sebagai berikut:

Latihan 4 :

a.

15 4 7 5

 = ……… b.

7 4 : 10 2 = ……… c. .. ... ... 8 6 2 3   d. . ... ... 2 5 : 3 4  e. 5 2

6 = ……… f.

3 5 : 7 g. ... ... 3 7 2 

h. .... ... ... 4 7 : 3 

i. 4 ... 3

4 

x j. 4 ...

3 4  x k. ... ... 9 5 2  x l. ... ... 6 7 3  x III. Perbandingan

Perbandingan dua buah nilai dari besaran yang sejenis dapat dinyatakan sebagai perbandingan atau

pecahan biasa . Misal 6 : 7 atau

7 6

.

Ada dua jenis perbandingan , Yaitu

1. Perbandingan senilai

Perbandingan disebut perbandingan senilai jika dua perbandingan harganya sama

Contoh soal :

(6)

Jawab:

Jumlah perbandingan 4 + 3 = 7

Ayah =

7 4

x Rp. 3.500.000,00 = Rp. 2.000.000,00

ibu =

7 3

x Rp 3.500.000,00 = Rp.1.500.000,00

2. Perbandingan berbalik nilai

Perbandingan disebut perbandingan sberbalik nilai jika dua perbandingan hasilnya saling berbalik.

Contoh

Sebuah pekerjaan dapat diselesaikan oleh 12 orang dalam waktu 60 hari. Jika pekerjaan tersebut harus selesai dalam waktu 45 hari , berapa orang yang harus ditambah ?

Jawab :

Perbandingan Berbalik nilai

1 2 2 1

y

x



16

45

60

12

60

45

12

2 2







x

Untuk selesai dalam waktu 45 hari dibutuhkan 16 orang pekerja.

sehingga tambah pekerjanya adalah 4 orang

Latihan 5.

1. Setengah kilogram tawas harganya Rp. 2.000,00 . berapakah harga 4 kilogram tawas ?

2. Rata-rata perbandingan kemampuan kerja seorang pekerja laki-laki dan perempuan dalam merakit alat eektronika adalah 4 :5 .Dalam suatu pabrik elektronika yang

memproduksi pesawat televisi dalam sebulan menghasilkan 8.000 pesawat televisi .Berapa pesawat televisi yang dibuat oleh pekerja laki-laki dan berapa yang dibuat oleh pekerja perempuan

3. Suatu pekerjaan diselesaikan 10 orang dalam waktu 30 hari apabia pekerjaan tersebut akan diselesaikan dalam waktu 15 hari berapa pekerja yang harus ditambah ?

4. Bus Way Trans Jakarta Jurusan Kota–Blok M Melaju dari Kota Jam 08.00 dan sampai di terminal Blok M setengah jam kemudian dengan kecepatan rata-rata 30 Km/jam . Jika perusahaan ingin mengubah agar waktu tempuh tersebut menjadi 20 menit berapa kecepatan Bus sekarang ?

5. Untuk Lebaran, Ibu akan membuatkan baju Levi dan Dhani. Untuk membuat baju Levi diperlukan kain sepanjang 91 cm.

(7)

Dhani adalah 7: 4 berapa panjang kain yang diperlukan untuk Dhani?

6. Untuk keperluan warungnya, Bu Wati memerlukan beras 1 kuintal selama 3 hari. Berapa kuintal beras yang diperlukan Bu Wati selama bulan Juni?

7. Sawah Pak Imam selesai dicangkul oleh 15 orang pekerja dalam waktu 6 hari. Jika hanya terdapat 9 orang pekerja berapa hari sawah Pak Imam selesai dicangkul?

8. Sebuah rak buku dapat memuat 36 buah buku yang tebalnya 8 milimeter. Berapa buah buku yang dapat ditaruh di rak tersebut jika tiap buku tebalnya 12 milimeter?

9. Sebuah kapal dapat dibuat oleh 45 orang selama 24 hari. Jika ada pesanan kapal harus selesai dalam waktu 18 hari berapa orang pekerja yang diperlukan?

10. Suatu persegi panjang berukuran panjang 24 cm dan lebar 18 cm. Jika ukuran panjangnya dibuat 20 cm berapa ukuran lebar seharusnya supaya luas persegi panjang tersebut tetap.

IV. Skala

Skala adalah perbandingan senilai ukuran gambar dengan besar benda sebenarnya.

skala = Jarak pada peta : jarak sebenarnya

Jarak sebenarnya = Jarak pada peta x skala

Jarak pada peta = jarak sebenarnya : skala

Latihan 6

1. Jarak antara Jakarta dengan Bandung pada peta 10 cm . Jika skala gambar 1 : 5.000.000 Berapa Km jarak Jakarta – Bandung sebenarnya ?

2. Gambar teknik dibuat dengan skala 1 : 10 . Jika Panjang sebenarnya 1,2 m berapakah panjang yang harus dibuat pada gambar ?

3. Sebuah mobil panjangnya 3,5 m Jika pada gambar panjangnya 7 cm berapa skala gambar tersebut ?

(8)

5. Sebidang tanah berbentuk persegi panjang berukuran 16 cm x 12 cm pada denah jika denah tanah tersebut mempunyai skala 1 : 5 , berapa luas tanah sesungguhnya ?

v. Persen

Persen adalah bentuk lain dari pecahan dengan penyebut seratus

Persentase Keuntungan =

beli a h

beli a h jual a h

arg

arg 

x 100%

Persentase kerugian =

beli a h

jual a h beli a h

arg arg

arg 

100%

Untung =

untung

persentase

untung

persentase



%

100

X harga jual

Rugi =

rugi

persentase

rugi

persentase



%

100

X harga jual

Latihan 7

1. Untuk membuat speker aktif diperlukan modal sebesar Rp. 150.000,00. Jika speker aktif tersebut dijual dengan harga Rp. 200.000,00 berapa keuntungan dan

persentase keuntungan dari hasil penjualan tersebut ?

2. Paramita mendapatkanuntung 6 % dari harga pembelian sebuah mobil. Jika besarnya keuntungan tersebut Rp. 750.000,00 berapa harga penjualan mobil tersebut ?

3. Toko buku “Mawar” menjual satu set alat

menggambar seharga Rp.315.000,00 dimana harga jual tersebut termasuk rugi 10%, berapa harga beli alat menggambar ?

4. Sebuah rumah dijual dengan harga Rp. 200.000.000,00. Jika keuntungan penjualan rumah tersebut 25 % Tentukan besar keuntungannya ?

(9)

B.

Kompetensi Dasar : Menerapkan operasi pada bilangan ber-pangkat

Indikator :

1. Bilangan berpangkat dioperasikan sesuai dengan sifat-sifatnya.

2. Bilangan berpangkat disederhanakan atau ditentukan nilainya dengan menggunakan sifat-sifat bilangan berpangkat

3. Konsep bilangan berpangkat diterapkan dalam penyelesaian masalah.

a. Pengertian Pangkat Bulat Positif

Jikaaadalah bilangan riil dannbilangan bulat positif makaan(dibaca "apangkatn") adalah hasil kalinbuah faktor yang masing-masing faktornya adalaha. Jadi, pangkat bulat positif secara umum dinyatakan dalam bentuk

xa

axaxax

a

n



...

sebanyak n faktor

Sifat–Sifat Pangkat:

a) ap× aq= ap+q b) ap: aq= ap–q

c)

 

a

p q=apq

d)



a



b



n=an×bn

e)

 

n n

b a n b

a _

f) a–n= n

a

1

atau an= n

a

1

g) a0= 1

Latihan

1.





2 2

3

x

y

2. Bentuk 3

2 1

 

c

b

a

dapat dinyatakan dengan

pangkat positifmenjadi …

3.

2

2 5

5 7













b

a

b

a

4. Bentuk sederhana dari = ….

(10)

8. Bentuk sederhana dari = …

10.Jika a = 32 dan b = 27, maka nilai dari

3 1 5 1

b

a  adalah …

11.Nilai dari

12

2

3

2

3 2 2 1















= …

12.Nilai dari

 

2 2 1 3 2 2 1 27 36  

adalah …

13.Nilai dari

   

2 1 5 2

64

243  = ….

(11)

Persamaan Bentuk

a

f(x)



a

g(x)



f

(

x

)



g

(

x

)

Untuk menyelesaikan persamaan bentuk pangkat biangan pokoknya harus sama.

Latihan :

1. 4x 32

2.

2

6x3



2

5x7

3.

3

2x1



9

3x2

4. 16x= 23x+5

5. 52x-1= 125

6. 35x-1= 243

7. 162x= 85x+2

(12)

C.

Kompetensi Dasar : Menerapkan operasi pada bilangan irasional

Indikator :

1. Bilangan bentuk akar dioperasikan sesuai dengan sifat-sifatnya.

2. Bilangan bentuk akar disederhanakan atau ditentukan nilainya dengan menggunakan sifat-sifat bentuk akar

3. Konsep bilangan irasional diterapkan dalam penyelesaian masalah.

Definisi bentuk Akar

Jikaabilangan real serta m, n bilangan bulat positif, maka berlaku:

a)

a

n



n

a

1

b)

a

n n

a

m



2) Operasi Aljabar Bentuk Akar

Untuk setiap a, b, dan c bilangan positif, maka berlaku hubungan:

a) a c+ b c= (a + b) c

b) a c–b c= (a–b) c

c) a b = ab

d) a b = (ab)2 ab

e) a b = (ab)2 ab

3) Merasionalkan penyebut

Untuk setiap pecahan yang penyebutnya mengandung bilangan irrasional (bilangan yang tidak

dapat di akar), dapat dirasionalkan penyebutnya dengan kaidah–kaidah sebagai berikut:

a) b b a b b b a b

a







b) b a b a c b a b a b a c b a c     

    2

) ( c) b a b a c b a b a b a c b a c          ) ( Latihan :

1. 3 22 2 ... 2.

10

.

2



...

3. 4 2 x 3 5 ...

4.

...

5

45



5. Sederhanakanlah

54



...

..

(13)

7. Hasil dari 75 12= …

8. 2 18– 8+ 2 adalah …

9. Hasil dari 3 8 502 18= …

10. Hasil dari 3 272 486 75= …

11. Hasil dari 50 1082 12 32 adalah

…

12. Bentuk sederhana dari

242 200 50 8= …

13. 32 + 18 242 + 72adalah …

14. 4 200 2 242 5 50 + 10 2= …

(14)

16. Hasil dari 3 2

5

adalah …

17. Bentuk sederhana dari 5 3

4

adalah …

2 3

7

 adalah …

19. Bentuk sederhana

7 3

2

 adalah …

5 3

4

 adalah …

3 5

 

adalah ….

22. Dengan merasionalkan penyebut, bentuk

rasional dari 6 5 5 6

 

adalah ….

2 6

 

adalah ….

5 15

 

(15)

D.

Kompetensi Dasar : Menerapkan konsep logaritma

Indikator

1. Operasi logaritma diselesaikan sesuai dengan sifat-sifatnya.

2. Soal-soal logaritma diselesaikan dengan menggunakan tabel dan tanpa tabel 3. Permasalahan program keahlian diselesaikan dengan menggunakan logaritma

Pengertian logaritma

Logaritma merupakan invers (kebalikan) dari perpangkatan. Misalkan a adalah bilangan positif (a

> 0) dan g adalah bilangan positif yang tidak sama dengan 1 (g >0, g≠1), maka:

g

log a = x jika hanya jika gx= a

atau bisa di tulis :

(1) untukglog a = xa = gx

(2) untuk gx= a x =glog a

b) sifat–sifat logaritma sebagai berikut:

(1) glog g = 1

(2) glog (a × b) =glog a +glog b

(3) glog

 

b a ₌g

log a–glog b

(4) glog an= n ×glog a

(5) glog a =

g log

a log p p

(6) glog a =

g

log

1

a

(7) glog a ×alog b =glog b

(8) gn

log

a

m=

n m g

log a

(9)

g

gloga



a

Latihan

1. Nilai dari2log 6 +2log 8 2log 12 =

2. Nilai dari2log 32 + 2log 12 2log 6 adalah

3

log 81 +3log 9 3log 27 adalah

(16)

5. 4log 256 +4log 16 4log 64 adalah

6. Nilai dari5log 25 +5log 3–5log 15 = …

7. Nilai dari5log 75 5log3 + 1 =

8. Nilai dari2log 3 2log 9 +2log 12 =

11. Nilai dari 5

log

₂₅1



2

log

8



3

log

9

adalah

12. Nilai dari9log 255log 2 3log 54 =

(17)

14. Jika diketahui log 3 = p dan log 5 = q tentukan nilai dari log 225

15. Jika log 2 = 0,3010 dan log 3 = 0,4771 hitung nilai log 54

16. Dari soal no 15 tentukan nilai log 36

17. Jika3log 2 =p, maka8log 81 adalah .

18. Diketahui2log 3 =pNilai dari9log 16 adalah .

19. Diketahui3log 4 =p.Nilai dari16log 81 sama dengan .