6
BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 PEMBANGKIT LISTRIK TENAGA MIKRO HIDRO (PLTMH) Pembangkit Listrik Tenaga Mikro Hidro (PLTMH) yaitu jenis dari pembangkit listrik energi terbarukan. PLTMH adalah jenis pembangkit berskala kecil yang memanfaatkan tenaga dari kecepatan aliran air dengan memperhatikan ketinggian air dan jumlah debit air. PLTMH umumnya dibangun di daerah pegunungan untuk menyediakan listrik di daerah pedesaan. PLTMH memanfaatkan tenaga air dengan memperhatikan ketinggian air (head, dalam m) dan jumlah debit air (m3/detik). Energi potensial yang diubah menjadi energi listrik dipengaruhi oleh besarnya tinggi jatuhan air [1].
Potensi daya dari aliran air yang dipengaruhi tinggi jatuh dan volume debit air akan menghasilkan energi listrik. Aliran air yang melewati intake akan diteruskan ke penstock melalui saluran pembawa, lalu akan membuat poros dari turbin air berputar sehingga dihasilkan energi mekanik [2]. Energi mekanik yang dihasilkan akan menggerakkan generator dari proses inilah energi listrik dihasilkan.
Energi listrik yang dihasilkan tidak langsung dialirkan ke konsumen namun masuk ke sistem kontrol arus listrik terlebih dahulu. Gambar 2.1 menjelaskan proses perubahan sistem energi pada PLTMH secara skematis.
Gambar 2.1 Skema Konversi Energi PLTMH
Potensi daya dari aliran air merupakan daya yang dipengaruhi oleh besarnya debit dan tinggi jatuh air (head potensial). Daya keluaran yang dihasilkan
7
berbanding lurus dengan besarnya debit aliran air. Tekanan yang berasal dari aliran air terhadap poros turbin dipengaruhi oleh tinggi jatuhnya air, semakin tinggi jatuh air maka tekanan air juga akan besar [3]. Persamaan berikut menunjukkan hubungan antara potensi daya air dengan debit dan besarnya tinggi jauh air:
Pa = g ρ Q H (2.1)
Dimana:
Pa = Potensi daya air (Watt)
g = Percepatan gravitasi (9,81 m/s²) ρ = Densitas air pada suhu T (kg/m³) Q = Debit air (m³/s)
H = Tinggi jatuh air (m)
Setelah melewati bagian turbin dan generator besarnya potensi daya air akan berkurang sehingga bisa terlihat pada Persamaan 2.2
Pa = g ρ Q H ηt ηg (2.2)
Dimana:
ηt = efisiensi kincir (0,8 – 0,95) ηg = efisiensi generator (0,8 – 0,95)
2.2 GOVERNOR
Governor adalah perangkat sistem kontrol yang berfungsi untuk menjaga frekuensi agar tetap stabil pada variasi beban dengan mengatur sistem turbin.
Governor bekerja dengan mengatur jumlah debit air yang masuk pada turbin untuk menggerakan generator. Governor memberikan kontrol akurat terhadap laju aliran air yang masuk ke turbin, sehingga beban generator dikendalikan saat mesin disinkronkan dengan jaringan. Generator menghasilkan frekuensi yang berbanding lurus dengan kecepatan putar turbin [4]. Sensor frekuensi melakukan pendeteksian terhadap adanya perubahan frekuensi di bagian generator kemudian diumpan balikkan ke bagian governor. Kecepatan turbin dikontrol oleh governor dengan
8
melalui sinyal feedback dari frekuensi. Governor berfungsi untuk mengendalikan valve dalam mengatur jumlah aliran air melalui penstock pada turbin agar dapat merespon nilai error pada frekuensi. Kecepatan poros turbin berpengaruh pada perubahan nilai frekuensi karena adanya perbedaan diantara kedua nilai yang dhasilkan oleh daya aliran air dengan daya pada konsumen beban. Ketidakstabilan terhadap respon sistem dikarenakan adanya perubahan pada nilai frekuensi keluaran. Oleh karena itu, dibutuhkan sistem governor yang relatif kecil yang tanggap dalam merespon perubahan frekuensi pada beban yang bervariasi [10].
2.3 GENERATOR INDUKSI
Dalam buku karangan Sigi Syah Wibowo berjudul “Analisa Sistem Tenaga” dijelaskan definisi dan prinsip kerja generator. Generator induksi merupakan suatu jenis mesin atau motor listrik yang menghasilkan tegnagan dan daya bolak – balik (AC). Generator berfungsi untuk mengkonversi energi mekanik menjadi sebuah energi listrik dalam sistem pembangkit. Putaran rotor yang digerakkan oleh mesin turbin akan menghasilkan energi mekanik, sedangkan melalui induksi elektromagnetik yang terjadi pada kumparan stator dan rotor akan menghasilkan energi listrik. Pada stator terdapat armature winding yang digunakan untuk membangkitkan tegangan tiga fasa serta disusun untuk mengembangkan angka yang sama dari kutub magnet sebagai kumparan medan yang berada pada rotor [10].
Konstruksi kutub medan magnet rotor mesin induksi terbagi dua jenis yaitu silinder (tak menonjol) dan salient (menonjol). Rotor tipe silinder disebut round rotor dengan konstruksi dari kutub magnet sejajar dengan permukaan rotor.
Pemilihan konstruksi rotor tergantung dari kecepatan putar turbin, frekuensi dan rating daya generator. Rotor silinder digunakan untuk generator berkecepatan 1500 rpm ke atas pada frekuensi 50 Hz dan rating daya sebesar 10 MVA. Sedangkan, rotor salient digunakan untuk kecepatan rendah dan rating daya dibawah 10 MVA.
Rotor silinder digunakan untuk rotor dua kutub dan empat kutub, sedangkan rotor salient untuk rotor dengan empat atau lebih kutub. Berikut gambaran konstruksi dari rotor salient dan rotor silinder pada generator sinkron [11].
9
(a) (b)
Gambar 2.2 Konstruksi (a) rotor kutub menonjol, (b) rotor kutub tak menonjol pada generator induksi
Medan magnet ditempatkan di rotor dan untuk sistem eksitasinya membutuhkan daya yang relatif kecil kisaran 0.2 – 3% dari rating mesinnya. Rotor dilengkapi kumparan peredam dan digerakkan oleh prime mover pada kecepatan konstan. Medan pada rotor di eksitasi oleh arus searah menggunakan DC generator yang terpasang di poros yang sama dengan rotor mesin induksi. Jika rapat fluks magnetik pada celah udara disalurkan secara sinusoidal kemudian rotor berputar dengan kecepatan tetap maka akan menghasilkan tegangan keluaran berupa sinusoidal. Perbedaan fasa yang dihasilkan dari pembangkitan tegangan AC 3 fasa pada mesin induksi di tiga kumparan stator sebesar 120°.
Pada generator, terdapat banyak lilitan pada setiap fasa yang didistribusikan ke setiap stator yang disebut dengan belitan terdistribusi. Karena rotor berputar searah jarum jam, fluks magnet medan rotor bergerak sesuai dengan belitan jangkar. Satu putaran rotor menghasilkan satu siklus per detik, atau satu hertz (Hz) per detik.
10
Gambar 2.3 Pembangkit tegangan tiga fasa pada kumparan stator Pada rotor yang menonjol, fluks magnet didistribusikan secara sinusoidal, tetapi pada rotor silinder, kumparan rotor perlu ditempatkan secara khusus untuk mendapatkan fluks magnet yang didistribusikan dalam bentuk sinusoidal. Eksitasi daya rendah adalah generator dengan kutub internal dan dihasilkan dari catu daya DC yang terhubung ke belitan rotor melalui cincin slip dan tanpa sikat [12].
Besarnya kecepatan putar generator akan sama dengan nilai dari frekuensi elektrik. Rotor pada generator induksi terbagi menjadi rangkaian elektromagnetik dengan suplai arus DC. Medan magnet rotor bergerak searah dengan putaran rotor.
Hubungan antara kecepatan putar medan magnet dengan frekuensi elektrik diformulasikan dengan:
𝑓 =𝑛×𝑝
120 (2.3)
Dimana :
f = frekuensi elektrik (Hz)
n = kecepatan putaran rotor (rpm) p = jumlah kutub (pole)
Dari persamaan 2.3 maka dapat disimpulkan bahwa frekuensi yang dihasilkan akan sebanding dengan kecepatan putar rotor [7]. Bila kecepatannya sebesar 60 rpm dengan frekuensi 1 Hz, hal ini juga berlaku ketika nilai frekuensi diketahui sebesar 50 Hz maka kecepatan motor seharusnya sebesar 3000 rpm.
Persamaan gerak gaya listrik (GGL) pada armature winding setiap fasa diformulasikan sebagai berikut:
11
Ea/ph = 4,44. f. M. ɸ. Kd (2.4) Dimana :
Ea = Gaya gerak listrik armatur per fasa (volt) f = Frekuensi output generator (Hz)
M = Jumlah kumparan per fasa = Z/2 Kd = Faktor distribusi
ɸ = Fluks magnet per kutub fasa 2.4 TURBIN AIR
Sebuah mesin yang mengambil energi dari aliran kecepatan air disebut dengan turbin air. Energi potensial air akan dikonversi menjadi suatu energi gerak atau mekanik oleh turbin air. Selanjutnya, energi mekanik tersebut akan diubah bentuknya menjadi energi listrik oleh generator induksi. Perputaran turbin disebabkan oleh adanya gaya potensial air yang menggerakan kincir. Pada Pembangkit Listrik Tenaga Mikrohidro (PLTMH) turbin menjadi salah satu komponen mesin utama [5].
Pemodelan turbin air diformulasikan dengan menghitung kecepatan air dari perkalian antara sistem gate opening dengan net head.
Q = G√H (2.5)
Dimana :
Q = Kecepatan Turbin Air (m3/s).
G = Opening Gate (rad).
H = Net Head (m).
Pm = AtH( Q − Qnl ) (2.6) Dimana :
Q = Debit Air (pu).
At = Penguatan Turbin.
Qnl = Aliran Beban (pu).
𝐴𝑡 = 1
( 𝐺̅𝑚𝑎𝑥−𝐺̅min ) (2.7)
12
Perubahan laju air pada turbin air tipe penstock didapatkan dari pengembangan persamaan (2.5) maka didapatkan hasil persamaan (2.8)
U = KuG√H (2.8)
Dimana :
U = Kecepatan Air (pf).
Ku = Konstanta Proporsional.
Setelah kecepatan air di penstock dihasilkan, maka hubungan kecepatan aliran air, dapat diformulasikan dengan persamaan (2.9)
Q = AU (2.9)
Percepatan aliran dalam penstock dijelaskan pada persamaan (2.10)
du dt =−ag
L (H − H0) (2.10)
Dimana :
ag = Percepatan Gravitasi.
𝐿 = Ukuran Turbin Penstock.
Nilai net head dari persamaan (2.8) dapat dicari dengan rumus persamaan (2.11) H̅ = (H̅
G̅)2 (2.11)
Dengan memberikan persamaan Tw = 𝐿𝑄𝑏𝑎𝑠𝑒
a𝑔𝐴𝐻𝑏𝑎𝑠𝑒 (2.12)
Sehingga didapatkan persamaan berikut.
( U̅
H̅ −H̅̅̅̅0) = −1
Tws (2.13)
Tw = Waktu Percepatan Aliran Air (s).
Qbase = Debit Turbin (m3/s).
Hbase = Tinggi Turbin (m).
Hasil keluaran dari mesin ditunjukkan di persamaan (2.14)
P𝑚 = P−P𝑚 (2.14)
Kemudian untuk nilai PL dicari menggunakan rumus:
P𝐿 = U𝑁𝐿𝐻 (2.15)
Dimana :
P𝐿 = Rugi Daya.
U𝑁𝐿 = Kecepatan No Load.
13
Persamaan (2.5), (2.7), (2.11) dan (2.13) dapat digabungkan untuk menghasilkan persamaan dinamik umum dari turbin air [6].
2.5 SISTEM KENDALI LQR (LINEAR QUADRATIC REGULATOR) Linear Quadratic Regulator (LQR) adalah sistem kendali optimal dengan menggunakan pendekatan persamaan keadaan (state-space) dan aljabar Riccati.
Sistem kendali ini bertujuan untuk mengoptimalkan proses sistem dengan bentuk linear. Metode optimasi menggunakan LQR bekerja dengan menentukan sinyal masukan yang dipindahkan ke suatu keadaan sistem linier dari kondisi awal menuju ke kondisi akhir yang meminimalkan indeks performansi kuadratik [9].
Bentuk linearnya berupa persamaan differensial vektor orde pertama dengan bentuk:
x x u
A B (2.19)
y xC (2.20)
Dengan x(t) adalah vektor variabel internal atau keadaa sistem, u(t) adalah vektor masukan kontrol, dan y(t) adalah hasil keluaran (output) [13].
Pada sistem kontrol optimal berdasarkan indeks performansi kuadratik, optimasi kontrol dicapai dengan meminimalkan nilai indeks performansi berikut:
J
0(xTQx + uTR dtu) (2.21) Dimana :Q ≥ 0 : matriks bobot, [n x n] , dan semi definit positif
R > 0 : matriks bobot, [m x m] , dan definit positif diperoleh dari persamaan (2.20) dan (2.21)
Dengan menentukan matriks bobot Q dan R maka nilai indeks performansi pada persamaan (2.21), matriks P dari persamaan Riccati maka nilai umpan balik K dapat dihitung.
14
Gambar 2.4 Blok Diagram Sistem Kontrol LQR
Dapat ditunjukkan bahwa nilai K yang meminimisasi indeks performansi adalah:
P B R
K 1 T (2.22)
Dengan P adalah matriks nxn yang memenuhi persamaan Riccati : Q
S B PBR PA
P
AT T
1
0 (2.23)
Sehingga sinyal input optimal yang dihasilkan sistem sebagai berikut.
u = - Kx (2.24)
Dengan adanya umpan balik K, persamaan keadaan (2.24) akan berubah menjadi persamaan
x x
(ABK) (2.25)
2.6 MODEL STATE SPACE
Model ruang keadaan mewakili data deret waktu melalui variabel bantu, disebut vektor keadaan, yang merangkum semua informasi dari nilai sekarang dan sebelumnya dari deret waktu yang relevan dengan prediksi nilai seri mendatang.
Model ruang keadaan terdiri dari persamaan keadaan yang menggambarkan dinamika sistem dan persamaan pengamatan yang membangun hubungan antara keadaan sistem yang dapat diamati dan tidak dapat diamati. Dibandingkan dengan model lain, model ruang keadaan memiliki keuntungan bahwa dinamika temporal suatu sistem seringkali dapat dideteksi dengan lebih akurat. Selain itu, representasi ruang keadaan dapat digunakan secara fleksibel untuk memodelkan univariat dan
15
multivariat, seri waktu stasioner dan non-stasioner atau dalam kasus perubahan struktural, intervensi, data yang hilang atau penyimpangan data lainnya [14].
Analisis deret waktu adalah analisis kumpulan data selama periode waktu yang bermanfaat untuk mengukur atau memprediksi periode mendatang. Rasional seri waktu adalah pengamatan terbaru (Zt) tergantung pada satu atau beberapa (k) pengamatan sebelumnya (Zt-k).
Stasioneritas merupakan persyaratan penting dalam pemodelan matematika untuk data deret waktu. Selanjutnya, data stasioner adalah setiap data yang menunjukkan rerata, varian, dan varian-otomatis (dalam variasi lag) tetap konstan setiap waktu saat data tersebut dibentuk atau digunakan, yaitu dengan data stasioner model deret waktu dapat dikatakan stabil . Jika ada data non-stasioner yang digunakan dalam model ini, data dapat dipertimbangkan kembali validitas dan stabilitasnya. Untuk mengetahui stasioneritas dalam rata-rata data apa pun dalam deret waktu, maka diuji dengan uji Augmented Dickey Fuller (ADF) pada H0 : 𝛾 = 0 (data tidak stasioner) dan H1 : 𝛾 < 0 ( data stasioner).
Oleh karena itu, data yang tidak stasioner dalam deret waktu dapat stasioner dengan proses diferensiasi pada derajat d. Jika proses pembedaan adalah non- stasioner sampai urutan kedua (d=2), dapat digunakan transformasi lain.
Transformasi yang umum digunakan adalah power transformation atau biasanya disebut transformasi Box-Cox. Dalam transformasi ini, dihasilkan nilai Lambda (λ), yang menentukan transformasi yang harus dilakukan.
Model ruang keadaan mewakili data deret waktu melalui variabel bantu, disebut vektor keadaan, yang merangkum semua informasi dari nilai sekarang dan sebelumnya dari deret waktu yang relevan dengan prediksi nilai seri mendatang.
Berdasarkan Wei dalam bukunya yang berjudul Time Series Analysis: Univariate and Multivariate Methods, model ruang keadaan mewakili proses stokastik dari stasioner Zt. Dengan didefinisikan sebagai persamaan transisi keadaan:
𝑍𝑡+1 = 𝐹𝑍𝑡+ 𝐺𝑎𝑡+1; 𝑡 = 1,2, … 𝑇 (2.26) Dengan persamaan output:
𝑋𝑡 = 𝐻𝑍𝑡+ 𝑋𝑡 = [𝐼𝑟, 0]𝑍𝑡 (2.27)
Dimana :
Xt = vektor pengamatan dimensi r.
16 Zt = vektor keadaan dimensi s.
F = transisi matriks 𝑠 × 𝑠.
G = input matriks 𝑠 × 𝑟.
H = output matriks 𝑟 × 𝑠.
at = vektor residual secara acak dan terdistribusi normal oleh dimensi r dengan vektor rata-rata dari 0 dan Σ adalah matriks kovarian.
r = jumlah variabel yang teramati.
s = jumlah variabel signifikan berdasarkan analisa korelasi kanonik.
n = jumlah observasi (panjang waktu seri)
Vektor keadaan terbentuk melalui analisa korelasi kanonik dari data keadaan 𝐷𝑡= (𝑍𝑡𝑇, 𝑍𝑡−1𝑇 , … , 𝑍𝑡−𝑝𝑇 )𝑇 dan prediktor keadaan 𝐹𝑡 = (𝑍𝑡𝑇, 𝑍𝑡+1𝑇 , … , 𝑍𝑡+𝑝│𝑡𝑇 )𝑇. Nilai variabel real dari persamaan kanonik ditambahkan ke dalam vektor keadaan.
Sedangkan variabel tidak real tidak termasuk dalam vektor keadaan. Dari setiap proses analisa seri dari persamaan kanonik, kemudian diuji dengan uji signifikan pada korelasi kanonik yang terkecil dari 𝜌𝑚𝑖𝑛 , dengan hipotesis bahwa H0 : 𝜌𝑚𝑖𝑛
= 0 (𝜌𝑚𝑖𝑛 adalah tidak berbeda signifikan dengan nol) dan H1 𝜌𝑚𝑖𝑛 ≠ 0 dengan uji statistik 𝑥2𝑐𝑜𝑢𝑛𝑡.
Dari seri observasi pada Z1, Z2, ... , Zn dengan B sebagai operasi pergeseran balik dan E adalah matriks residual dengan dimensi 𝑟 × 𝑛,
𝑍𝑡 = (𝐼 − 𝐹𝐵)−1𝐺𝑎𝑡 (2.28)
𝑋𝑡 = 𝐻(𝐼 − 𝐹𝐵)−1𝐺𝑎𝑡 (2.29)
𝑎𝑡 = [𝐻(𝐼 − 𝐹𝐵)−1𝐺]−1𝑋𝑡 (2.30)
Pengukuran parameter dilakukan dengan pendekatan Estimasi Kemungkinan Maksimum (MLE). Fungsi kemungkinan yang terbentuk adalah:
𝐿(𝜃) = −𝑛
2𝑙𝑛│∑│ ─ trace (∑-1EE’) (2.31)
Derivasi parsial pertama dari fungsi estimasi kemungkinan adalah fungsi non- linear, sehingga diperlukan metode iterasi untuk mendapatkan estimasi parameternya, yang salah satunya adalah metode Newton-Raphson.
Analisis deret waktu mengasumsikan bahwa residu yang dihasilkan oleh model ini harus mengikuti proses White Noise. Proses ini adalah proses stasioner di mana 𝑎𝑡~ NID (0,2a), yang berarti bahwa residu terdistribusi secara normal normal
17
dengan rata-rata 0 dan varian konstan. Untuk menguji apakah deret waktu mengikuti atau tidak proses White Noise, kemudian diuji oleh uji Kolmodorov- Smirnov untuk menguji normalitas residual dan uji Ljung-Box untuk kemandirian residual [15].
Bagi pengguna peramalan, setiap ketepatan hasil peramalan untuk masa depan adalah sangat penting. Salah satu ukuran statistik yang dapat digunakan sebagai pengukuran presisi peramalan adalah rata-rata persentase absolut kesalahan, atau MAPE.
𝑀𝐴𝑃𝐸 = ∑ 1
𝑛
𝑛𝑡=1 (|𝑍𝑡−𝐹𝑡
𝑍𝑡 | × 100) (2.32) Dimana Zt adalah data aktual dengan periode T dan Ft adalah prediksi (nilai kecocokan) untuk periode yang sama.
