ANALISIS DAN KONTROL OPTIMAL MODEL MATEMATIKA POPULASI PENDERITA DIABETES SKRIPSI

(1)

ADLN – PERPUSTAKAAN UNIVERSITAS AIRLANGGA

SKRIPSI ANALISIS DAN KONTROL … KARTIKA D.

ANALISIS DAN KONTROL OPTIMAL MODEL MATEMATIKA

POPULASI PENDERITA DIABETES

SKRIPSI

KARTIKA DAMAYANTI

PROGRAM STUDI S-1 MATEMATIKA

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS AIRLANGGA

(2)

i

ANALISIS DAN KONTROL OPTIMAL MODEL MATEMATIKA

POPULASI PENDERITA DIABETES

SKRIPSI

KARTIKA DAMAYANTI

PROGRAM STUDI S-1 MATEMATIKA

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS AIRLANGGA

(3)

ADLN - PERPUSTAKAAN UNIVERSITAS AIRLANGGA

(4)

ADLN - PERPUSTAKAAN UNIVERSITAS AIRLANGGA

(5)

iv

PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI

Skripsi ini tidak dipublikasikan, namun tersedia di perpustakaan dalam

lingkungan Universitas Airlangga, diperkenankan untuk dipakai sebagai referensi

kepustakaan, tetapi pengutipan tanpa seizin penyusun dan harus menyebutkan

sumbernya sesuai kebiasaan ilmiah. Dokumen skripsi ini merupakan hak milik

(6)

(7)

vi

KATA PENGANTAR

Dengan menyebut asma Allah SWT yang Maha Pengasih dan Maha

Penyayang. Segala puji syukur tercurahkan kepada Allah SWT sumber inspirasi

kehidupan yang telah melimpahkan rahmat dan karunia - Nya sehingga dapat

terselesaikannya penulisan skripsi ini. Shalawat serta salam semoga senantiasa

tercurahkan kepada junjungan kita, Nabi Besar Muhammad SAW, pemimpin

sekaligus sebaik - baiknya suri tauladan bagi kehidupan umat manusia, sehingga

penulis dapat menyelesaikan skripsi dengan judul “Analisis dan Kontrol Optimal

Model Matematika Populasi Penderita Diabetes”.

Pada kesempatan ini, Penulis menyampaikan ucapan terima kasih yang

sebesar-besarnya kepada semua pihak yang telah berperan sehingga skripsi ini dapat

terselesaikan, antara lain:

1. Universitas Airlangga dan Fakultas Sains dan Teknologi yang telah memberi

tempat untuk saya mengenyam pendidikan,

2. Dr. Fatmawati, M.Si selaku pembimbing I dan Dr. Miswanto, M.Si selaku

pembimbing II yang memberikan bimbingan, arahan serta masukan dalam

penyelesaian skripsi.

3. Dr. Miswanto, M.Si selaku dosen wali selama menjadi mahasiswa Fakultas Sains

(8)

vii

4. Agus Prasetyo dan Indriyani selaku orang tua saya dan Eka Pratiwi Hadiyani dan

Triyana Prasetyo Mulyo selaku kakak dan adik saya, yang selalu memberikan

doa, dukungan serta semangat sehingga menjadi motivasi dalam penulisan

skripsi ini.

5. Sahabat terbaikku, Windha Nanti Anggraini, atas kesabaran yang luar biasa dan

waktu yang telah diberikan.

6. Marcellia, Rezza, Lista, Isa, Auladi, Radifa, Dwi Veni, Prabu, Steven, Ibrahim,

Arista, yang sudah memberikan warna-warni di akhir perkuliahan yang

melelahkan ini.

7. Teman-teman Matematika 2011 Universitas Airlangga yang lain atas dukungan,

motivasi serta semangat yang diberikan selama ini.

8. Semua pihak yang tidak dapat Penyusun sebutkan seluruhnya yang telah

membantu dalam penyusunan skripsi.

Penyusun menyadari bahwa dalam penyusunan skripsi ini masih terdapat

kekurangan, sehingga saran dan kritik yang membangun sangat diharapkan untuk

menyempurnakan skripsi ini. Semoga skripsi ini dapat bermanfaat sebagai bahan

pustaka dan penambah informasi bagi pembaca.

Surabaya, Januari 2016

(9)

ADLN – PERPUSTAKAAN UNIVERSITAS AIRLANGA

viii

Kartika Damayanti, 2016, Analisis dan Kontrol Optimal Model Matematika Populasi Penderita Diabetes,

Skripsi ini dibawah bimbingan Dr. Fatmawati dan Dr. Miswanto, Departemen Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi,

Universitas Airlangga.

ABSTRAK

Diabetes mellitus adalah salah satu penyakit tidak menular yang disebabkan oleh dua faktor utama, yaitu faktor eksternal dan internal. Faktor eksternal adalah faktor yang disebabkan karena gaya hidup dari penderita. Gaya hidup yang tidak sehat dapat memicu terkenanya penyakit ini. Sedangkan faktor internal adalah faktor genetik yang membawa gen penyakit diabetes tersebut.

Tujuan dari penulisan skripsi ini adalah untuk menganalisis kestabilan dan interpretasi dari model matematika populasi penderita diabetes baik secara analitik maupun numerik, serta melakukan kontrol optimal pada model matematika populasi penderita diabetes tersebut. Dari analisis model tanpa kontrol diperoleh dua titik setimbang, yaitu titik setimbang bebas penyakit (titik setimbang non endemik) dan titik setimbang endemik. Titik setimbang non endemik dan endemik dapat dikatakan stabil asimtotis jika nilai eigen dari persamaan model matematika populasi penderita bernilai negatif. Sedangkan untuk memperoleh kontrol yang optimal dapat dicari dengan menggunakan Prinsip Maksimum Pontryagin. Simulasi numerik dilakukan dengan menginputkan nilai parameter dari model matematika populasi penderita diabetes menggunakan program kompuer Matlab. Hasil simulasi numerik menunjukkan bahwa dengan kontrol pola hidup sehat dapat efektif meminimalkan populasi penderita diabetes dengan biaya minimal.

(10)

ADLN – PERPUSTAKAAN UNIVERSITAS AIRLANGA

ix

Kartika Damayanti, 2016, Analysis and Optimal Control of The Mathematic Models of Diabetics Population,

This undergraduate thesis is supervised by Dr. Fatmawati and Dr. Miswanto, Mathematics Department, Faculty of Science and Technology,

Airlangga University.

ABSTRACT

Diabetes mellitus is non infectious disease caused by two main factors, the external and internal factors. External factors caused by the lifestyle. Unhealthy lifestyle can trigger this disease. While the internal factors is genetic factor that carries the genes of diabetes.

The purpose of this thesis is to analyze stability and interpretation of the mathematic model of diabetics population whether analytic and numerical, and taking control optimal on the mathematic model of diabetics population. From the analysis model without control, we obtained two equilibriums. These are disease free equilibrium (non endemic equilibrium) and endemic equilibrium. Disease free equilibrium and endemic equilibrium will be stable asimtotic if eigen of the value from the models are negative. While to obtain control optimal is by using the

Principle Maximum Pontryagin (PMP). The numerical simulation doing by insert the

value of parameters of mathematic model of diabetics population using computer program named Matlab. Numerical simulation results showed that implementation of controller healthy lifestyle is effective to minimize the diabetics population with minimal cost.

(11)

x

(12)

xi

2.5 Teori Kontrol Optimal ... 13

2.6 Prinsip Maksimum Pontryagin ... 14

2.7 Software Matlab ... 16

BAB III METODE PENELITIAN ... 17

BAB IV PEMBAHASAN 4.1 Model Matematika Populasi Penderita Diabetes ... 19

4.1.1 Titik Setimbang Model Matematika Populasi Penderita Diabetes ... 23

4.1.2 Analisa Kestabilan Asimtotis Lokal ... 25

4.2 Model Matematika Populasi Penderita Diabetes dengan Kontrol Optimal ... 27

4.2.1 Simulasi Numerik ... 32

BAB V KESIMPULAN ... 43

(13)

xii

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 4.1 Diagram Transmisi Populasi Penderita Diabetes Tanpa Kontrol . 22

Gambar 4.2 Diagram Transmisi Populasi Penderita Diabetes dengan Kontrol

Optimal berupa Pola Hidup Sehat ... 28

Gambar 4.3 Dinamika Populasi Pra-Diabetes ... 35

Gambar 4.4 Dinamika Populasi Diabetes tanpa Komplikasi ... 37

Gambar 4.5 Dinamika Populasi Diabetes dengan Komplikasi ... 39

(14)

xiii

DAFTAR TABEL

Halaman

Tabel 4.1 Variabel dan Parameter Model Populasi Penderita Diabetes ... 20

Tabel 4.2 Nilai Parameter Simulasi Numerik Model dengan Kontrol ... 34

Tabel 4.3 Perbandingan Jumlah Populasi Pra-Diabtes ... 36

Tabel 4.4 Perbandingan Jumlah Populasi Diabtes tanpa Komplikasi ... 38

Tabel 4.5 Perbandingan Jumlah Populasi Diabtes dengan Komplikasi ... 40

Tabel 4.6 Fungsi Ongkos Atas Kontrol yang Diberikan ... 42

(15)

xiv

DAFTAR LAMPIRAN

Lampiran 1 Penghitungan Titik Setimbang Endemik