ANALISIS PERILAKU STATIK PADA STRUKTUR CANGKANG SILINDER (Cylindrical shell) DENGAN METODE ELEMEN HINGGA TESIS

STRUKTUR CANGKANG SILINDER (Cylindrical shell)

DENGAN METODE ELEMEN HINGGA

TESIS

Karya tulis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister dari

Institut Teknologi Bandung

Oleh

H U S N A H

NIM : 25004065

Program Studi Rekayasa Struktur

STRUKTUR CANGKANG SILINDER (Cylindrical shell)

DENGAN METODE ELEMEN HINGGA

Oleh

H u s n a h

NIM : 25004065

Program Studi Rekayasa Struktur Institut Teknologi Bandung

Menyetujui, Pembimbing

ABSTRAK

ANALISIS PERILAKU STATIK PADA

STRUKTUR CANGKANG SILINDER (Cylindrical shell)

DENGAN METODE ELEMEN HINGGA

Oleh Husnah NIM : 25004065

Penulisan tesis ini bertujuan untuk menganalisis perilaku statik struktur cangkang translasional dengan permukaan silindris. Analisis struktur cangkang mengacu pada literatur metode analitik (eksak) Design and Construction of Concrete Shell Roof oleh G.S. Ramaswamy dengan studi kasus : 1) cangkang pendek dengan tumpuan sendi, 2) cangkang pendek dengan tumpuan jepit, 3) cangkang panjang dengan tumpuan sendi, dan 4) cangkang panjang dengan tumpuan jepit. Pada metode elemen hingga dibuat program berbasis pendekatan numerik, yaitu cylindrical shell program yang bertujuan untuk menganalisis perilaku statik cangkang, dan untuk mempermudah solusi analisa struktur. Hasil analisis cylindrical shell program akan dibandingkan dengan hasil analitik (eksak) dan software SAP 2000 v-9. Proses analisis struktur cangkang meliputi tahap pengidentifikasian pemodelan struktur, input geometri, pembebanan, parameter material, lalu diproses dengan perhitungan integrasi gauss, operator transformasi, fungsi bentuk, matrik Jacobian, invers matriks Jacobian, kekakuan lentur-membran-geser total. Keluaran analisis statik dan cylindrical shell program adalah gaya-gaya dalam dan displacement. Analisis pembahasan meliputi analisis struktur dengan jenis tumpuan jepit dan bebas, hubungan beban (gaya) dan perpindahan, pengaruh angka poisson serta pengaruh ketebalan struktur terhadap perilaku statis struktur cangkang.

ABSTRACT

STATIC BEHAVIOR ANALYSIS AT

CYLINDRICAL SHELL STRUCTURES

WITH FINITE ELEMENT METHOD

By Husnah NIM : 25004065

The Goal of this thesis is analyzing the static behavior of shell structure translational with cylindrical surface. The shell structure analysis refers to analytic method literature (exact method) Design and Construction of Concrete Shell Roof by G.S.Ramaswamy with case study: 1) short shell with hinge fixed, 2) short shell with end fixed, 3) long shell with hinge fixed, and 4) long shell with end fixed. Finite element method has been programmed and based on approach numerical method, that is cylindrical shell program for analyzing static behavior of shell and to make easier structure analysis solution. The result of analysis cylindrical shell program will be compared to analytic result (exact) and software SAP 2000 versions – 9. Shell structure analysis process covers an identification phase of structure modeling, geometry input, encumbering, material parameter, then processed with calculation integration of gauss, orthogonal transformation operator, form function, Jacobian matrix, Jacobian matrix inverse, total rigidity of bending-membrane-shear. The output of static analysis and cylindrical shell program are stresses and displacements. The discussions analysis covers with boundary conditions, the relation of load and displacement, poisson’s ratio influence and structural thickness influence to behavior of static shell structure.

PEDOMAN PENGGUNAAN TESIS

Tesis S2 yang tidak dipublikasikan terdaftar dan tersedia di Perpustakaan Institut Teknologi Bandung, dan terbuka untuk umum dengan ketentuan hak cipta ada pada pengarang dengan mengikuti aturan HaKI yang berlaku di Institut Teknologi Bandung. Referensi kepustakaan diperkenankan untuk dicatat, tetapi pengutipan atau peringkasan hanya dapat dilakukan seizin pengarang dan harus disertai dengan kebiasaan ilmiah untuk menyebutkan sumbernya.

Memperbanyak atau menerbitkan sebagian atau seluruh tesis haruslah seizin Direktur Program Pasca Sarjana, Institut Teknologi Bandung.

KATA PENGANTAR

Bismillaahirrohmanirrohiim.

Awal dan akhir adalah suatu keniscayaan bagi segala sesuatu yang terikat dengan dimensi waktu. Begitu hebatnya dimensi waktu ini karena atas perannya kehidupan ini menjadi nyata tetapi sekaligus karenanya pula dapat menghempaskan setiap orang yang tidak mengoptimalkan hakikat kemanusiaannya kedalam belantara kebingungan dan ketidakjelasan format hidup.

Oleh karena itu pada kesempatan ini, dengan setulus hati dan penuh keinsyafan akan ketidakberdayaan diri, penulis panjatkan puji serta syukur kepada Dzat Penggenggam setiap kehidupan dan Penguasa seluruh alam semesta, Allah SWT, yang telah memberikan jalan keluar dari kegelapan-kebodohan menuju cahaya di atas cahaya. Sholawat dan salam semoga senantiasa tercurah kepada Rasulullah SAW, yang dengan segala pengorbanannya telah hadir menjadi satu sosok tauladan yang sempurna.

Pada kesempatan yang berbahagia ini pula, penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada :

1. DR. Herlien D Setio, selaku dosen pembimbing yang telah memberikan kesempatan, bimbingan, dan kepercayaan penuh selama proses penyelesaian tesis ini.

2. DR. Saptahari Sugiri, selaku dosen penguji yang telah memberikan feed back konstruktif dan perhatian serius pada proses penyelesaian tesis ini.

3. Ir. Dyah Kusumastuti, Ph.D, selaku dosen penguji yang dengan penuh kesabaran dan ketelitian telah membantu mengoreksi naskah tesis ini.

4. Seluruh staf pengajar, tata usaha Departemen Teknik Sipil dan struktur 2004 serta semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu persatu.

Bandung, Mei 2007

DAFTAR ISI

i ii iii iv ABSTRAK ABSTRACT

PEDOMAN PENGGUNAAN TESIS KATA PENGANTAR

DAFTAR ISI v

DAFTAR LAMPIRAN ix

DAFTAR GAMBAR x

DAFTAR TABEL xiv

DAFTAR LAMBANG xv

Bab I Pendahuluan

I.1 Latar Belakang I-1

I.2 Tujuan Penulisan I-3

I.3 Metodologi Analisis I-3

I.4 Batasan Permasalahan I-5

I.5 Sistematika Penulisan I-5

Bab II Dasar Teori Analitik Shell

II.1 Konsep Dasar II-1

II.I.1 Persamaan Differensial cangkang II-1 II.I.2 Persamaan Differensial Donnel untuk cangkang II-1

II.1.2.1 Kesetimbangan II-1

II.1.3 Penurunan persamaan II-2

II.1.3.1 Kesetimbangan II-2

II.1.3.2 Hubungan gaya dan perpindahan II-3 II.1.3.3 Hubungan momen dan kelengkungan II-3 II.1.3.4 Hubungan gaya (titik tengah permukaan) dan perpindahan II-4

II.2 Persamaan Differensial II-5

II.3 Rumus-rumus matematik analisa cangkang II-6 II.3.1 Pemecahan persamaan polinomial pangkat delapan II-6

II.3.2 Penyelesaian numerik II-8

II.3.2.1 Metode Iterasi II-8

II.3.2.2 Metode Newton II-8

II.3.3 Rumus-rumus matriks II-12

II.3.4 Sifat-sifat kelengkungan II-12

II.3.5 Jari-jari kelengkungan II-13

II.3.6 Persamaan lengkungan II-14

II.3.7 Istilah atau bagian-bagian cangkang silindris II-14

II.4 Teori selaput II-15

II.4.1 Beban-beban II-15

II.4.2 Persamaan keseimbangan II-16

II.5 Rumus umum tegangan selaput cangkang silindris II-19 II.5.1 Rumus khusus tegangan selaput cangkang silindris II-20

II.5.2 Rumus pergeseran selaput II-21

II.6 Analisa lenturan cangkang silindris II-21 II.6.1 Hubungan tegangan-tegangan cangkang silindris II-22 II.7 Teori lenturan cangkang silindris II-23

Bab III Metode Elemen Hingga Pada Shell

III.1 Teori Elastisitas III-1

III.2 Komponen Tegangan III-1

III.3 Komponen Regangan dan perpindahan III-3

III.4 Hukum Hooke III-4

III.5 Perumusan Metode Elemen hingga untuk cangkang III-7

III.6 Akibat gaya membran III-8

III.6.1 Elemen segiempat III-8

III.7 Akibat momen lentur III-14

III.8 Perumusan Isoparametrik III-19

III.8.1 Elemen Isoparametrik kuadrilateral (Q4) III-19 III.9 Perakitan Matrik kekakuan Cangkang III-22 Bab IV Studi Kasus Analitik Shell

IV.2 Kasus I. Analisis cangkang pendek dengan tumpuan sendi IV-1

IV.2.1 Solusi Persamaan IV-7

IV.2.2 Perhitungan Hasil Penjumlahan gaya-gaya dalam IV-7

IV.2.3 Cek Analisis Perilaku Statik IV-11

IV.3 Kasus II. Analisis shell panjang silinder dengan tumpuan

jepit IV-16

IV.3.1 Solusi Persamaan IV-32

IV.3.2 Perhitungan resultant gaya-gaya dalam shell IV-32

Cek untuk Statik IV-35

Bab V Implementasi dan Pembahasan Metode Elemen Hingga Pada Struktur Shell

V.1 Umum V-1

V.2 Program utama dan subrutine V-1

V.2.1 Program utama V-1

V.2.2 Subrutin-subrutin V-2

V.3 Analisa Perilaku statik V-3

V.3.1 Studi kasus shell pendek dengan tumpuan sendi V-3 V.3.2 Studi kasus shell pendek dengan tumpuan jepit V-4 V.3.3 Studi kasus shell panjang tumpuan sendi V-5 V.3.4 Studi kasus shell panjang dengan tumpuan jepit V-6

V.4 Pembagian elemen struktur shell V-7

V.4.1 Pembagian 4 elemen V-7

V.4.2 Pembagian 81 elemen pada cylindrical shell program V-8

V.4.3 Penomoran elemen cylindrical shell program V-8 V.4.4 Perhitungan koordinat cylindrical shell program V-9 V.4.5 Perhitungan beban cylindrical shell program V-10

V.4.6 Pembebanan cylindrical shell program V-11

V.5 Perhitungan uji konvergensi V-11

V.5.1 Grafik uji konvergensi V-12

V.6 Hasil analisis statik struktur shell V-12

V.6.1 Pengaruh angka poisson V-17

V.6.3 Hubungan gaya dan perpindahan V-20

V.6.4 Gambar displacement shell V-21

V.6.5 Analisis Gaya-gaya dalam struktur shell V-24 V.7 Verifikasi Analisis struktur shell V-26

Bab VI Kesimpulan dan saran VI-1

Daftar Pustaka

DAFTAR LAMPIRAN

Lampiran A Perhitungan koordinat dan beban elemen 36 sampai 81 A-1 Lampiran B Program utama analisis statik shell B-1 Lampiran C Matlab function analisis statik shell C-1 Lampiran D Hasil analisis atau output program statik shell D-1

DAFTAR GAMBAR

Gambar I.1 Diagram alir skema Metodologi Analisis I-4

Gambar II.1 Gaya-gaya dalam Perpindahan II-2

Gambar II.2 Komponen radial gaya bidang II-2

Gambar II.3 Regangan tangensial akibat perpindahan radial II-4

Gambar II.4 Grafik bilangan kompleks II-7

Gambar II.6 Jari-jari kelengkungan II-13

Gambar II.7 Bagian-bagian cangkang silindris II-14 Gambar II.8 Beban-beban cangkang silindris II-15 Gambar II.9 Sistem sumbu analisa tegangan geseran selaput II-16 Gambar II.10 Gaya-gaya elemen cangkang silindris II-17 Gambar II.11a Keseimbangan gaya shell silindris II-18 Gambar II.11b Tegangan selaput cangkang silindris II-20 Gambar III.1a Komponen tegangan pada suatu titik elemen, dx,dy,dz III-2 Gambar III.1b Komponen tegangan pada bidang x-z III-2

Gambar III.2 Deformasi suatu elemen III-4

Gambar III.3 Regangan dan perpindahan suatu elemen III-5 Gambar III.4 Hubungan tegangan dan regangan III-6 Gambar III.5 Perubahan panjang aksial dan lateral III-6 Gambar III.6a Komponen membran pada elemen segi empat III-7 Gambar III.6b Komponen lentur pada elemen segi empat III-8 Gambar III.7 Segiempat peralihan bilinier III-8

Gambar III.8 Segiempat MZC III-15

Gambar III.9a Elemen Q4 segiempat induk III-19 Gambar III.9b Elemen Q4 pasangan isoparametrik III-19 Gambar III.10 Cangkang gabungan dari lentur dan membran III-22 Gambar IV.1 Cangkang pendek tanpa balok tepi IV-1 Gambar IV.2 Pembebanan shell pendek tanpa balok tepi IV-2

Gambar IV.3a Grafik nilai total gaya-gaya dalam shell (Nx) IV-9 Gambar IV.3b Grafik nilai total gaya-gaya dalam shell (Nφ) IV-9

Gambar IV.3d Grafik nilai total gaya-gaya dalam shell (Mφ) IV-10 Gambar IV.3e Gabungan grafik nilai total gaya-gaya dalam shell IV-10 Gambar IV.4 Bagian melintang shell dengan 20 bagian IV-14 Gambar IV.5 Shell panjang dengan balok tepi IV-16 Gambar IV.6 Pembebanan shell panjang dengan balok tepi IV-17 Gambar IV.6a Grafik nilai total gaya-gaya dalam shell panjang (Nx) IV-33 Gambar IV.6b Grafik nilai total gaya-gaya dalam shell panjang (Nφ) IV-33 Gambar IV.6c Grafik nilai total gaya-gaya dalam shell panjang (Nxφ) IV-34 Gambar IV.6d Grafik nilai total gaya-gaya dalam shell panjang (Mφ) IV-34 Gambar IV.6e Grafik gabungan nilai total gaya dalam shell panjang IV-34 Gambar IV.7 Pembagian shell dibagi 7 bagian IV-35 Gambar V.1 Model struktur shell pendek dengan tumpuan sendi V-3 Gambar V.2 Pembebanan struktur shell pendek dengan tumpuan

sendi

V-3

Gambar V.3 Model struktur shell pendek dengan tumpuan jepit V-4 Gambar V.4 Pembebanan struktur shell pendek dengan tumpuan

jepit

V-5

Gambar V.5 Model struktur shell panjang dengan tumpuan sendi V-5 Gambar V.6 Pembebanan struktur shell panjang dengan tumpuan

sendi

V-5

Gambar V.7 Model struktur shell panjang dengan tumpuan jepit V-6 Gambar V.8 Pembebanan struktur shell panjang dengan tumpuan

jepit

V-7

Gambar V.9 Pembagian 4 elemen struktur shell V-7

Gambar V.10 Penomoran shell 4 elemen V-8

Gambar V.11 Pembebanan shell 4 elemen V-11

Gambar V.12 Grafik Uji konvergensi V-12

Gambar V.13 Grafik displacement struktur shell pendek dengan tumpuan sendi pada arah transversal

V-13

Gambar V.14 Grafik displacement struktur shell pendek dengan tumpuan sendi pada arah tengah transversal

V-13

tumpuan jepit pada arah transversal

Gambar V.16 Grafik displacement struktur shell pendek dengan tumpuan jepit pada arah tengah transversal

V-14

Gambar V.17 Grafik lendutan struktur shell pendek dengan tumpuan sendi dan tumpuan jepit pada arah transversal

V-15

Gambar V.18 Grafik lendutan struktur shell pendek dengan tumpuan sendi dan tumpuan jepit pada arah tengah transversal

V-15

Gambar V.19 Grafik lendutan struktur shell panjang dengan

tumpuan sendi dan tumpuan jepit pada arah transversal

V-16

Gambar V.20 Grafik pengaruh angka poisson pada struktur shell pendek dengan tumpuan jepit pada arah transversal

V-17

Gambar V.21 Grafik pengaruh angka poisson pada struktur shell pendek dengan tumpuan jepit pada arah tengah transversal

V-17

Gambar V.22 Grafik pengaruh angka poisson pada struktur shell pendek dengan tumpuan sendi pada arah transversal

V-17

Gambar V.23 Grafik pengaruh angka poisson pada struktur shell pendek dengan tumpuan sendi pada arah tengah transversal

V-18

Gambar V.24 Grafik pengaruh ketebalan pada struktur shell pendek dengan tumpuan jepit pada arah transversal

V-18

Gambar V.25 Grafik pengaruh ketebalan pada struktur shell pendek dengan tumpuan sendi pada arah transversal

V-19

Gambar V.26 Grafik hubungan gaya terhadap perpindahan struktur shell dengan tumpuan jepit pada arah transversal

V-20

Gambar V.27 Grafik hubungan gaya terhadap perpindahan struktur shell dengan tumpuan sendi pada arah transversal

V-20

Gambar V.28 Displacement shell pendek 4 elemen dengan tumpuan sendi

V-21

Gambar V.29 Displacement shell pendek 4 elemen dengan dengan tumpuan jepit

V-21

tumpuan jepit

Gambar V.31 Grafik gaya-gaya dalam shell panjang dengan tumpuan jepit

DAFTAR TABEL

Tabel III.1 Matriks Kekakuan elemen segiempat peralihan bilinier III-14 Tabel III.2 Matriks Kekakuan segiempat MZC III-18 Tabel III.3 Koordinat titik nodal untuk elemen Q4 III-20 Tabel IV.1 Gaya membran dan perpindahan IV-5

Tabel IV.2a Nilai gaya membran IV-8

Tabel IV.2b Nilai momen IV-8

Tabel IV.2c Total nilai gaya-gaya dalam shell IV-8 Tabel IV.3 Jumlah total gaya bagian melintang yang dibagi 20

bagian

IV-11

Tabel IV.4 Jumlah total gaya IV-13

Tabel IV.5 Jumlah total gaya IV-15

Tabel IV.6 Gaya membran dan perpindahan untuk shell panjang IV-20

Tabel IV.7 Tabulasi nilai IV-33

Tabel IV.8 Kalkulasi momen-momen gaya IV-36

Tabel IV.9 Perhitungan komponen gaya geser vertikal IV-37 Tabel V.1 Perhitungan lendutan dengan berbagai pembagian

elemen yang menggambarkan ke konvergensi program dengan mencoba berbagai pembagian elemen

V-13

Tabel V.2 Translasi dan rotasi pada shell 81 elemen V-22 Tabel V.3 Gaya-gaya dalam struktur shell panjang tumpuan jepit V-24 Tabel V.4 Gaya-gaya dalam struktur shell panjang tumpuan jepit V-25 Tabel V.5 Verifikasi struktur shell analisis statik V-26

DAFTAR LAMBANG

l : Bentangan longitudinal a : Jari-jari

d : Tebal cangkang

R : Jari-jari kelengkungan dipermukaan cangkang Ro : Jari-jari kelengkungan dipuncak cangkang silindris

θ : Besar-sudut antara garis singgung pada titik tersebut dengan garis horizontal

B : Bentangan melintang L : Bentangan longitudinal gd : Beban berat sendiri

gl : Beban hidup gw : Pengaruh angin

O : Puncak direxrik melalui tengah bentang x : Arah longitudinal

y : Arah melintang z : Arah normal NXθ : Tegangan geser E : Modulus elastisitas

θc : Setengah sudut pusat diretrix

u : Pergeseran atau peralihan tempat arah longitudinal v : Pergeseran dalam arah tangensial

w : Pergeseran dalam arah radial u

ε : Regangan dalam arah u

θ

ε : Regangan dalam arah xy γ : Regangan geser xy x ε : Regangan arah x y ε : Regangan arah y x

y

σ : Tegangan normal arah y ν : Angka poisson

g : Modulus geser

φ : Sudut geseran

ϕ : Rotasi total garis singgung

θ

x : Perubahan kelengkungan Mx : Momen

Qx : Gaya geser radial D : Angka poisson N : Tegangan normal σ : Tegangan normal τ : Tegangan geser ε : Regangan tensor ε : Translasi arah z w : Peralihan titik nodal ai : Momen arah x Mxi : Momen arah y w : Koordinat natural K : Matriks Kekakuan M : Matriks Massa

Rj,Rk : Faktor bobot integrasi gauss-legendre B : Matriks kinematik

E : Matriks Material J : Jacobian

lij : Cosinus arah antara sumbu lokal xi dan sumbu global xj Mφ : Momen lintang

φ

Q : Gaya geser radial Nφ : Gaya tangensial Nxφ : Gaya geser tapi shell b(t) : Vektor beban h : Ketebalan