Analisis Rangkaian Listrik Di Kawasan s

Analisis

Analisis

Analisis

Analisis

Rangkaian Listrik

Rangkaian Listrik

Rangkaian Listrik

Rangkaian Listrik

Di Kawasan

s

BAB 3

Fungsi Jaringan

Pembahasan fungsi jaringan akan membuat kita

• memahami makna fungsi jaringan, fungsi masukan, dan fungsi alih;

• mampu mencari fungsi alih dari suatu rangkaian melalui analisis rangkaian;

• memahami peran pole dan zero dalam tanggapan rangkaian;

• mampu mencari fungsi alih rangkaian jika tanggapan terhadap sinyal impuls ataupun terhadap sinyal anak tangga diketahui. 3.1. Pengertian dan Macam Fungsi Jaringan

Sebagaimana kita ketahui, prinsip proporsionalitas berlaku di kawasan s. Faktor proporsionalitas yang menghubungkan keluaran dan masukan berupa fungsi rasional dalam s yang disebut fungsi jaringan (network function). Secara formal, fungsi jaringan di kawasan s didefinisikan sebagai perbandingan antara tanggapan status nol dan sinyal masukan.

) ( Masukan Sinyal ) ( Nol Status Tanggapan Jaringan Fungsi s s = (3.1)

Definisi ini mengandung dua pembatasan, yaitu a) kondisi awal harus nol dan b) sistem hanya mempunyai satu masukan.

Fungsi jaringan yang sering kita hadapi ada dua bentuk, yaitu fungsi masukan (driving-point function) dan fungsi alih (transfer function). Fungsi masukan adalah perbandingan antara tanggapan di suatu gerbang (port) dengan masukan di gerbang yang sama. Fungsi alih adalah perbandingan antara tanggapan di suatu gerbang dengan masukan pada gerbang yang berbeda.

3.1.1. Fungsi Masukan

Contoh fungsi masukan adalah impedansi masukan dan admitansi masukan, yang merupakan perbandingan antara tegangan dan arus di terminal masukan.

) ( ) ( ) ( ; ) ( ) ( ) ( s s s Y s s s Z V I I V = = (3.2) CO!TOH-3.1: Carilah impedansi masukan yang dilihat

oleh sumber pada rangkaian-rangkaian berikut ini. Penyelesaian :

RCs

R

Z

R

RCs

Cs

R

Y

Cs

RCs

Cs

R

Z

in in in

+

=

⇒

+

=

+

=

+

=

+

=

1

1

1

b).

;

1

1

a).

3.1.2. Fungsi Alih

Dalam rangkaian pemroses sinyal, pengetahuan mengenai fungsi alih sangat penting karena fungsi ini menentukan bagaimana suatu sinyal masukan akan mengalami modifikasi dalam pemrosesan. Karena sinyal masukan maupun sinyal keluaran dapat berupa tegangan ataupun arus, maka kita mengenal empat macam fungsi alih, yaitu

) ( ) ( ) ( : Alih Impedansi ; ) ( ) ( ) ( : Alih Admitansi ) ( ) ( ) ( : Arus Alih Fungsi ; ) ( ) ( ) ( : Tegangan Alih Fungsi o o o o s s s T s s s T s s s T s s s T in Z in Y in I in V I V V I I I V V = = = = (3.3)

TV (s) dan TI (s) tidak berdimensi. TY (s) mempunyai satuan siemens

dan TZ (s) mempunyai satuan ohm. Fungsi alih suatu rangkaian dapat

diperoleh melalui penerapan kaidah-kaidah rangkaian serta analisis rangkaian di kawasan s. Fungsi alih memberikan hubungan antara sinyal masukan dan sinyal keluaran di kawasan s.

a). R + − Cs 1 V_s(s) R Cs 1 I_s(s) b).

CO!TOH-3.2: Carilah fungsi alih rangkaian-rangkaian berikut.

Penyelesaian :

Kaidah pembagi tegangan untuk rangkaian a) dan kaidah pembagi arus untuk rangkaian b) akan memberikan :

sRC sC R R s s s T RCs Cs R Cs s s s T in I in V + = + = = + = + = = 1 1 / 1 / 1 ) ( ) ( ) ( b). ; 1 1 / 1 / 1 ) ( ) ( ) ( a). o o I I V V CO!TOH-3.3: Tentukan impedansi masukan dan fungsi alih rangkaian di samping ini.

Penyelesaian :

Transformasi rangkaian ke kawasan s memberikan

(

) (

)

1 ) ( ) )( 1 ( / 1 ) )( / 1 ( || / 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 + + + + + = + + + + + = + + = Cs R R LCs R Ls Cs R Ls R Cs R R Ls Cs R R Ls Cs R Zin 2 2 o ) ( ) ( ) ( R Ls R s s s T in V =_V = ₊ V R1 R2 Ls 1/Cs + Vin(s) − + Vo (s) − a). R Cs 1 + V_in(s) − + V_o(s) − Cs R 1 I_in(s) b). I_o(s) R1 R2 L C + vin − + vo −

CO!TOH-3.4: Tentukan impedansi masukan dan fungsi alih rangkaian di samping ini.

Penyelesaian :

Transformasi rangkaian ke kawasan s memberikan rangkaian berikut ini :

(

)

1 / 1 / / 1 || 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = ₊ = ₊ = s C R R s C R s C R s C R Z_in 1 1 1 1 ) / 1 ( || ) / 1 ( || ) ( ) ( ) ( 2 2 1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 2 o + + − = + × + − = − = − = = s C R s C R R R R s C R s C R R s C R s C R Z Z s s s T in V V V CO!TOH-3.5: Tentukan fungsi alih rangkaian di samping ini.

Penyelesaian : Transformasi

rangkaian ke kawasan s memberikan rangkaian dan persamaan berikut ini − + R2 + Vin(s) − + Vo(s) − R1 1/C1s 1/C2s − + R2 + vin − + vo − R1 C1 C2 1MΩ 1µF µvx A + vs − + vx − + vo 1MΩ 1µF + −

Persamaan tegangan untuk simpul A :

(

)

0 10 10 10 10 10 10 6 6 6 6 6 6 =             µ − − − + + − − − − − − x x in A s s V V V V 1 ) 3 ( 1 ) 1 2 2 ( atau 0 ) 2 )( 1 ( ) 1 ( 1 1 / 10 10 / 10 : sedangkan 2 2 6 6 6 + µ − + = ⇒ = µ − − + + + = µ − − − + + ⇒ + = → + = + = s s s s s s s s s s s s s in x in x x x in x x A A A x V V V V V V V V V V V V V Fungsi alih : s s s s s s s T s x s V 1 ) 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 o + µ − + µ = µ = = V V V V

3.2. Peran Fungsi Alih

Dengan pengertian fungsi alih sebagaimana telah didefinisikan, keluaran dari suatu rangkaian di kawasan s dapat dituliskan sebagai

. kawasan di nol) status (tanggapan keluaran : ) ( kawasan di masukan sinyal pernyataan : ) ( alih fungsi adalah ) ( dengan ; ) ( ) ( ) ( s s s s s T s s T s Y X X Y = (3.4)

Fungsi alih T(s) berupa fungsi rasional yang dapat dituliskan dalam bentuk rasio dari dua polinom a(s) dan b(s) :

106 106/s µV_x A + V_x − + V_o(s) 106 106/s + − + V_s(s) −

0 1 1 1 0 1 1 1 ) ( ) ( ) ( a s a s a s a b s b s b s b s a s b s T n n n n m m m m + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + = = − − − − _(3.5)

Nilai koefisien polinom-polinom ini berupa bilangan riil, karena ditentukan oleh parameter rangkaian yang riil yaitu R, L, dan C. Fungsi alih dapat dituliskan dalam bentuk

) ( ) )( ( ) ( ) )( ( ) ( 2 1 2 1 n m p s p s p s z s z s z s K s T − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − − − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − − = (3.6)

Dengan bentuk ini jelas terlihat bahwa fungsi alih akan memberikan zero di z1 …. zm dan pole di p1 …. pn . Pole dan zero dapat

mempunyai nilai riil ataupun kompleks konjugat karena koefisien dari b(s) dan a(s) adalah riil. Sementara itu sinyal masukan X_{(s) juga} mungkin mengandung zero dan pole sendiri. Oleh karena itu, sesuai dengan persamaan (3.6), sinyal keluaran Y_{(s) akan mengandung pole} dan zero yang dapat berasal dari T(s) ataupun X_{(s). Pole dan zero} yang berasal dari T(s) disebut pole alami dan zero alami, karena mereka ditentukan semata-mata oleh parameter rangkaian dan bukan oleh sinyal masukan; sedangkan yang berasal dari X_{(s) disebut pole} paksa dan zero paksa karena mereka ditentukan oleh fungsi pemaksa (masukan).

CO!TOH-3.6: Jika sinyal masukan pada rangkaian dalam contoh-3.5 adalah vin = cos2t u(t) , carilah pole dan zero sinyal keluaran

V_{o(s) untuk} µ _{= 0,5.} Penyelesaian :

Pernyataan sinyal masukan di kawasan s adalah :

4 ) ( 2₊ = s s s in V

Fungsi alih rangkaian telah diperoleh pada contoh 3.5; dengan µ = 0,5 maka

s

s

s

s

s

T

_V

1

5

,

2

5

,

0

1

)

3

(

)

(

2 2

₊

₋

_µ

₊

=

₊

₊

µ

=

) 2 )( 2 ( ) 5 , 0 )( 2 ( 5 , 0 4 1 5 , 2 5 , 0 ) ( ) ( ) ( 2 2 o j s j s s s s s s s s s s T s _{V in} − + + + = + + + = = V V

Pole dan zero adalah :

3.2.1. Rangkaian Dengan Masukan Sinyal Impuls

Sinyal masukan yang berbentuk gelombang impuls dinyatakan dengan x(t) = δ(t). Pernyataan sinyal ini di kawasan s adalah X_{(s) =} 1. Dengan masukan ini maka bentuk sinyal keluaran V_{o(s) akan sama} dengan bentuk fungsi alih T(s).

) ( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( o s T s X s T s H s V = = × = _(3.7)

V_{o(s) yang diperoleh dengan} X_{(s) = 1 ini kita sebut} H_{(s) agar tidak} rancu dengan T(s). Karena X_{(s) = 1 tidak memberikan pole paksa,} maka H_{(s) hanya akan mengandung pole alami.}

Kembali ke kawasan t, keluaran vo(t) = h(t) diperoleh dengan transformasi balik H_{(s). Bentuk gelombang h(t) terkait dengan pole} yang dikandung oleh H_{(s). Pole riil akan memberikan komponen} eksponensial pada h(t); pole kompleks konjugat (dengan bagian riil negatif ) akan memberikan komponen sinus teredam pada h(t) dan pole-pole yang lain akan memberikan bentuk-bentuk h(t) tertentu yang akan kita lihat melalui contoh berikut.

CO!TOH-3.7: Jika sinyal masukan pada rangkaian dalam contoh-3.5 adalah vin = δ(t) , carilah pole dan zero sinyal keluaran untuk

nilai µ = 0,5 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4, 5. Penyelesaian :

Fungsi alih rangkaian ini adalah :

1 ) 3 ( ) ( 2_{+ −µ +} µ = s s s T_V

Dengan masukan vin = δ(t) yang berarti Vin(s) = 1, maka

keluaran rangkaian adalah :

riil alami : 5 . 0 riil alami : 2 pole s pole s − = − =

imajiner

paksa

:

2

imaginer

paksa

:

2

riil

paksa

satu

:

0

pole

j

s

pole

j

s

zero

s

+

=

−

=

=

1 ) 3 ( ) ( ₂ + µ − + µ = s s s H 5 , 0 dan 2 di riil dua ) 5 , 0 )( 2 ( 5 , 0 1 5 , 2 5 , 0 ) ( 5 , 0 ₂ − = − = ⇒ + + = + + = ⇒ = µ s s pole s s s s s H 1 di riil dua ) 1 ( 5 , 0 1 2 1 ) ( 1 2 2_{+ +} = ₊ ⇒ =− = ⇒ = µ pole s s s s s H 2 / 3 5 , 0 di konjugat kompleks dua ) 2 / 3 5 , 0 )( 2 / 3 5 , 0 ( 2 1 2 ) ( 2 2 j s pole j s j s s s s ± − = ⇒ + + − + = + + = ⇒ = µ H 1 di imajiner dua ) 1 )( 1 ( 3 1 3 ) ( 3 2 j s pole j s j s s s ± = ⇒ − + = + = ⇒ = µ H 2 / 3 5 , 0 di konjugat kompleks dua ) 2 / 3 5 , 0 )( 2 / 3 5 , 0 ( 4 1 4 ) ( 4 2 j s pole j s j s s s s ± = ⇒ + − − − = + − = ⇒ = µ H 1 di riil dua ) 1 ( 5 1 2 5 ) ( 5 _{2 2} ⇒ = − = + − = ⇒ = µ pole s s s s s H

Contoh-3.7 ini memperlihatkan bagaimana fungsi alih menentukan bentuk gelombang sinyal keluaran melalui pole-pole yang dikandungnya. Berbagai macam pole tersebut akan memberikan h(t) dengan perilaku sebagai berikut.

µ = 0,5 : dua pole riil negatif tidak sama besar; sinyal keluaran sangat teredam.

µ = 1 : dua pole riil negatif sama besar ; sinyal keluaran teredam kritis.

µ =2 : dua pole kompleks konjugat dengan bagian riil negatif ; sinyal keluaran kurang teredam, berbentuk sinus teredam.

µ = 3 : dua pole imaginer; sinyal keluaran berupa sinus tidak teredam.

µ = 4 : dua pole kompleks konjugat dengan bagian riil positif ; sinyal keluaran tidak teredam, berbentuk sinus dengan amplitudo makin besar.

µ = 5 : dua pole riil posistif sama besar; sinyal keluaran eksponensial dengan eksponen positif; sinyal makin besar dengan berjalannya t.

Gambar berikut menjelaskan posisi pole dan bentuk tanggapan rangkaian di kawasan t yang berkaitan.

Gb.3.1. Posisi pole dan bentuk gelombang keluaran. 3.2.2. Rangkaian Dengan Masukan Sinyal Anak Tangga

Transformasi sinyal masukan yang berbentuk gelombang anak tangga x(t) = u(t) adalah X_{(s) = 1/s. Jika fungsi alih adalah T(s) maka} sinyal keluaran adalah

s s T s s T s) ( ) ( ) ( ) ( = X = Y _(3.8) - 1 . 2 0 1 . 2 0 20 σ jω

×

××

×

×

××

×

×

××

×

×

××

×

×

××

×

×

××

×

×

××

×

×

××

×

×

××

×

pole di 0+j0 (lihat pembahasan berikut)

pole riil positif pole di + α± jβ

pole riil negatif pole di −α± jβ

Jika kita bandingkan (3.8) ini dengan (3.7) dimana tanggapan terhadap sinyal impuls dinyatakan sebagai H_{(s), maka tanggapan} terhadap sinyal anak tangga ini dapat kita sebut

s s s s T s) ( ) ( ) ( H G = = _(3.9)

Karena H_{(s) hanya mengandung pole alami, maka dengan melihat} bentuk ini kita segera mengetahui bahwa tanggapan terhadap sinyal anak tangga di kawasan s akan mengandung satu pole paksa disamping pole-pole alami. Pole paksa ini terletak di s = 0 + j0; pole inilah yang ditambahkan pada Gb. 3.3.

Mengingat sifat integrasi pada transformasi Laplace, maka g(t) dapat diperoleh jika h(t) diketahui, yaitu

∫

= th xdx t g 0 ( ) ) ( (3.10) Secara timbal balik, maka

kontinyu. tidak ) ( dimana di kecuali titik semua di berlaku , ) ( ) ( t g t dt t dg t h = (3.11)

CO!TOH-3.8: Dalam contoh-3.7, jika µ = 2 dan sinyal masukan berupa sinyal anak tangga, carilah pole dan zero sinyal keluaran.

Penyelesaian :

Dengan µ = 2 fungsi alihnya adalah

1 2 ) ( 2_{+ +} = s s s T_V

Dengan sinyal masukan X_{(s) = 1/s , tanggapan rangkaian adalah}

s j s j s s s s s ) 2 / 3 5 , 0 )( 2 / 3 5 , 0 ( 2 1 ) 1 ( 2 ) ( 2_{+ +} = _{+ − + +} = G

Dari sini kita peroleh :

0 0 di paksa satu : 0 negatif riil bagian dengan konjugat kompleks dua : 2 / 3 5 , 0 j pole s pole j s + = ± − =

3.3. Hubungan Bertingkat dan Kaidah Rantai

Hubungan masukan-keluaran melalui suatu fungsi alih dapat kita gambarkan dengan suatu diagam blok seperti Gb.3.2.a.

Gb.3.2. Diagram blok

Suatu rangkaian pemroses sinyal seringkali merupakan hubungan bertingkat dari beberapa tahap pemrosesan. Dalam hubungan bertingkat ini, tegangan keluaran dari suatu tahap menjadi tegangan masukan dari tahap berikutnya. Diagram blok dari hubungan bertingkat ini ditunjukkan oleh Gb.3.2.b. Untuk hubungan bertingkat ini berlaku kaidah rantai yaitu apabila suatu rangkaian merupakan hubungan bertingkat dari tahapan-tahapan yang masing-masing mempunyai fungsi alih tegangan TV1(s), TV2(s) ….dst. maka fungsi alih tegangan total rangkaian menjadi

) ( ) ( ) ( ) (s T ₁ sT ₁ s T s T_V = _{V V} ⋅⋅⋅⋅_Vk (3.12) Kaidah rantai ini mempermudah kita dalam melakukan analisis dari suatu rangkaian yang merupakan hubungan bertingkat dari beberapa tahapan. Namun dalam hubungan bertingkat ini perlu kita perhatikan agar suatu tahap tidak membebani tahap sebelumnya. Jika pembebanan ini terjadi maka fungsi alih total tidak sepenuhnya menuruti kaidah rantai. Untuk menekan efek pembebanan tersebut maka harus diusahakan agar impedansi masukan dari setiap tahap sangat besar, yang secara ideal adalah tak hingga besarnya. Jika impedansi masukan dari suatu tahap terlalu rendah, kita perlu menambahkan rangkaian penyangga antara rangkaian ini dengan tahap sebelumnya agar efek pembebanan tidak terjadi. Kita akan melihat hal ini pada contoh berikut.

CO!TOH-3.9: Carilah fungsi alih kedua rangkaian berikut; sesudah itu hubungkan kedua rangkaian secara bertingkat dan carilah fungsi alih total.

R1 + V_in − 1/Cs + V_o − R2 Ls + V_o − + Vin − T(s) X_(s) Y_(s) a). T1(s) Y_{1 (s)} b). T2(s) Y_(s) X_(s)

Penyelesaian : Fungsi alih kedua rangkaian berturut-turut adalah 1 1 / 1 / 1 ) ( 1 1 1 = ₊ = ₊ Cs R Cs R Cs s TV dan Ls R R s TV = ₊ 2 2 2( )

Jika kedua rangkaian dihubungkan maka rangkaian menjadi seperti di bawah ini.

Fungsi alih rangkaian gabungan ini adalah:

        + + + + + + =       + + + + + + + + =       + + + + = ) ( ) ( / 1 ) ( / 1 / 1 ) ( / 1 ) ( || / 1 ) ( || / 1 ) ( 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 R R s C R L LCs Ls R Ls R R R Ls R Cs Ls R Cs Ls R Cs Ls R Cs Ls R R R Ls R Cs Ls R Cs Ls R R s T_V Pemahaman :

Fungsi alih dari rangkaian yang diperoleh dengan menghubungkan kedua rangkaian secara bertingkat tidak merupakan perkalian fungsi alih masing-masing. Hal ini disebabkan terjadinya pembebanan rangkaian pertama oleh rangkaian kedua pada waktu mereka dihubungkan. Untuk mengatasi hal ini kita dapat menambahkan rangkaian penyangga di antara kedua rangkaian sehingga rangkaian menjadi seperti di bawah ini.

Diagram blok rangkaian ini menjadi : R1 + V_in − 1/Cs R2 Ls + V_o − R1 + V_in − 1/Cs R2 Ls + V_o − + −

Contoh-3.9. di atas menunjukkan bahwa kaidah rantai berlaku jika suatu tahap tidak membebani tahap sebelumnya. Oleh karena itu agar kaidah rantai dapat digunakan, impedansi masukan harus diusahakan sebesar mungkin, yang dalam contoh diatas dicapai dengan menambahkan rangkaian penyangga. Dengan cara demikian maka hubungan masukan-keluaran total dari seluruh rangkaian dapat dengan mudah diperoleh jika hubungan masukan-keluaran masing-masing bagian diketahui. Pengembangan dari konsep ini akan kita lihat dalam analisis sistem.

3.4. Fungsi Alih dan Hubungan Masukan-Keluaran di Kawasan Waktu

Dalam pembahasan di atas dapat kita lihat bahwa jika kita bekerja di kawasan s, hubungan masukan-keluaran diberikan oleh persamaan

) ( ) ( ) (s T s X s Y =

Bagaimanakah bentuk hubungan masukan-keluaran di kawasan waktu? Menurut (3.9) T(s) = H_{(s), sehingga kita dapat menggunakan} konvolusi untuk melakukan transformasi balik dari hubungan di atas dan kita dapatkan hubungan masukan-keluaran di kawasan waktu, yaitu

∫

∫

τ −τ τ= τ −τ τ = th xt d tx ht d t y 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( (3.13)

dengan h(t) adalah tanggapan impuls dari rangkaian.

Persamaan (3.13) ini memberikan hubungan di kawasan waktu, antara besaran keluaran y(t), besaran masukan x(t), dan tanggapan impuls rangkaian h(t). Hubungan ini dapat digunakan langsung tanpa melalui transformasi Laplace. Hubungan ini sangat bermanfaat untuk mencari keluaran y(t) jika h(t) ataupun x(t) diperoleh secara experimental dan sulit dicari transformasi Laplace-nya. Konvolusi berlaku untuk rangkaian linier invarian waktu. Jika batas bawah adalah nol (seperti pada 3.13), maka sinyal masukan adalah sinyal kausal, yaitu x(t) = 0 untuk t < 0.

V_o(s)

V_in(s)

TV1 1 TV1

3.5. Tinjauan Umum Mengenai Hubungan Masukan-Keluaran Dari pembahasan mengenai fungsi alih diatas dan pembahasan mengenai hubungan masukan-keluaran pada bab-bab sebelumnya, kita dapat mengetahui bahwa hubungan antara sinyal keluaran dan sinyal masukan di suatu rangkaian dapat kita peroleh dalam beberapa bentuk. Di kawasan s, hubungan tersebut diperoleh melalui transformasi Laplace. Hubungan tersebut juga dapat kita peroleh di kawasan t melalui konvolusi. Di samping itu kita ingat pula bahwa hubungan antara sinyal keluaran dan sinyal masukan dapat pula diperoleh dalam bentuk persamaan diferensial, seperti yang kita temui pada waktu kita membahas analisis transien. Jadi kita telah mempelajari tiga macam bentuk hubungan antara sinyal keluaran dan sinyal masukan, yaitu

• transformasi Laplace,

• konvolusi,

• persamaan diferensial.

Kita masih akan menjumpai satu lagi bentuk hubungan sinyal keluaran dan sinyal masukan yaitu melalui transformasi Fourier. Akan tetapi sebelum membahas transformasi Fourier kita akan melihat lebih dulu tanggapan frekuensi dalam bab berikut ini.

Soal-Soal

1. Terminal AB rangkaian berikut adalah terminal masukan, dan terminal keluarannya adalah CD. Tentukanlah admitansi masukannya (arus / tegangan

masukan di kawasan s) jika terminal keluaran terbuka.

2. Jika tegangan masukan v1(t)=10u(t) V, gambarkan diagram pole-zero dari arus masukan dan sebutkan jenis pole dan pole-zero yang ada 3. Tegangan keluaran v2(t) rangkaian soal 1 diperoleh di terminal CD. Tentukan fungsi alih tegangannya (tegangan keluaran / tegangan masukan di kawasan s).

4. Jika tegangan masukan v1(t) = 10 u(t) V Gambarkan diagram pole-zero tegangan keluaran.

5. Ulangi soal 2 dengan tegangan masukan v1(t) = 10[sin100t]u(t) V. 6. Ulangi soal 4 dengan tegangan masukan v1(t) = 10[sin100t]u(t) V. 7. Tentukan fungsi alih pada rangkaian berikut dan gambarkan

digram pole-zero dari tegangan keluaran V_{o(s)dan sebutkan jenis} pole dan zeronya.

a). b). c). d). + − R1 C u(t) + vo − − + R2 + − _L R C u(t) + vo − + − R2 R1 C cos1000t + vo − + − L R1 R2 u(t) + vo − C 1kΩ 1kΩ 1H 0,5µF D A B C

e). f).

g). h),

8. Carilah fungsi alih, g(t), dan h(t) dari rangkaian berikut.

a). b).

c), d).

9. Carilah fungsi alih hubungan bertingkat yang: (a)tahap pertamanya rangkaian soal 18 dan tahap keduan rangkaian pada soal 15; (b) tahap pertama rangkaian pada soal 19 dan tahap kedua rangkaian pada soal 16; (c) tahap pertama rangkaian soal 15 sedangkan tahap kedua rangkaian pada soal 18; (d) tahap pertama rangkaian soal 16 sedangkan rangkaian pada soal 19 menjadi tahap kedua.

+ − R1 C u(t) + vo − + − R2 L 100kΩ 1µF + vo − − + 10kΩ + vin − 10kΩ 1µF + vo − + − 10kΩ + vin − 1kΩ 1kΩ 1H 0,5µF + vin − + vo − 10kΩ 1kΩ 0,5H + vin − + vo − + − R1 C u(t) + vo − + − R2 L + − R1 C u(t) + vo − + − R2 + − R1 C u(t) + vo − + − R2

13. Carilah fungsi alih dari suatu rangkaian jika diketahui bahwa tanggapannya terhadap sinyal anak tangga adalah :

(

)

(

)

(

)

(); ) ( d). ); ( 5 1 ) ( c). ); ( 1 ) ( b). ); ( ) ( a). 2000 1000 5000 5000 5000 t u e e t g t u e t g t u e t g t u e t g t t t t t − − − − − − = + − = − = − =

(

)

(

sin2000

)

() ) ( f). ); ( ) ( e). 1000 2000 1000 t u t e t g t u e e t g t t t − − − = − =

(

)

) ( 2000 ) ( ) ( j). ; ) ( 1000 ) ( ) ( i). ); ( 1000 ) ( h). ; ) ( 2000 sin ) ( g). 1000 1000 1000 1000 t u e t t h t u e t t h t u e t h t u t e t g t t t t − − − − − δ = − δ = − = =

(

)

(

cos2000

)

() ) ( l). ); ( 2000 sin ) ( k). 1000 1000 t u t e t h t u t e t h t t − − = =

14. Dengan menggunakan integral konvolusi carilah tegangan kapasitor pada rangkaian seri RC jika tegangan masukannya: (a) v1(t) = tu(t) ; (b) v1(t) = A e−αt u(t).