NILAI WAJAR ASURANSI ENDOWMEN MURNI DENGAN
PARTISIPASI UNTUK TIGA SKEMA PEMBERIAN BONUS
YUSUF
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2009
PERNYATAAN MENGENAI TESIS
DAN SUMBER INFORMASI
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis dengan judul “Nilai Wajar Asuransi Endowmen Murni dengan Partisipasi untuk Tiga Skema Pemberian Bonus” adalah karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum pernah diajukan dalam bentuk apapun kepada perguruan tinggi manapun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan oleh penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam daftar pustaka di bagian tesis ini.
Bogor, Juni 2009
Yusuf NRP G551070571
ABSTRACT
YUSUF. Fair Valuation of Pure Endowment Insurance with Participation for Three Bonus Systems. Under supervision of I GUSTI PUTU PURNABA and DONNY CITRA LESMANA.
Fair valuation is becoming a major concern for actuaries, especially in the perspective of IAS norms. One of the key aspects in this contex is the simultaneous analysis of asset and liabilities in any sound actuarial valuation. The aim of this thesis is to illustrate these concepts, by comparing three common ways of giving bonus in pure endowment insurance with profit: that are reversionary, cash or terminal. For each participation scheme, we compute the fair value of the contract taking into account liability parameters (guaranted interest rate and participation level) as well as asset parameters (market conditions and investment strategy). We find some equilibrium conditions between all those coefficients; they are strategy, participation rate and guaranted minimum rate, from analytical point of view of the bonus system . First, fair valuation is made in the classical binomial model and then extended in a Black-Scholes model.
RINGKASAN
YUSUF. Nilai Wajar Asuransi Endowmen Murni dengan Partisipasi untuk Tiga Skema Pemberian Bonus. Dibimbing oleh I GUSTI PUTU PURNABA dan DONNY CITRA LESMANA.
Asuransi Endowmen Murni adalah asuransi yang memberikan benefit pada pemegang polis jika dan hanya jika pemegang polis masih dalam keadaan hidup setelah melewati waktu jatuh tempo. Jika pemegang polis meninggal sebelum melewati waktu jatuh tempo, maka benefit tidak akan diberikan.
Dalam kontrak partisipasi, perusahaan asuransi diwajibkan memberikan
benefit (manfaat) dan profit (bonus) setelah waktu jatuh tempo. Benefit diberikan sebagai nilai jaminan dari pertanggungan yang telah disepakati antara perusahaan asuransi dan pemegang polis. Sedangkan profit diberikan sebagai imbal hasil (rate of return) dari hasil investasi yang dilakukan oleh perusahaan asuransi dalam pasar bursa. Besar kecilnya profit ditentukan oleh imbal hasil secara finansial yang diperoleh perusahaan asuransi.
Tujuan penelitian ini adalah untuk menentukan nilai wajar kontrak partisipasi yang terlingkup dalam suatu produk asuransi, untuk kerangka waktu diskret dan waktu kontinu, dengan memperhatikan sisi aset dan sisi liabilitas berdasarkan beberapa parameter yang ditentukan.
Metode penelitian yang digunakan adalah kajian literatur dan perhitungan analitis dengan langkah-langkah sebagai berikut:
Pertama menentukan nilai wajar kontrak partisipasi waktu diskret dengan menggunakan model binomial satu periode, yang menggambarkan nilai wajar kontrak periode satu tahun. Dalam model ini tidak ada perbedaan nilai wajar untuk ketiga cara pemberian bonus. Langkah kedua menentukan nilai kesetimbangan untuk model satu periode untuk menentukan nilai parameter kontrak partisipasi. Langkah berikutnya menentukan nilai wajar model multi periode dan membandingkan nilai wajar ketiga cara pemberian bonus, kemudian menentukan nilai kesetimbangan model multi periode untuk menentukan nilai setiap parameter kontrak partisipasi. Langkah selanjutnya menentukan nilai wajar waktu kontinu menggunakan model Black-Scholes seperti langkah dalam penentuan nilai wajar waktu diskret.
Hasil penelitian menunjukkan bahwa dengan memperhatikan sisi aset dan liabilitas, nilai wajar kontrak partisipasi dalam suatu produk asuransi dapat ditentukan, yang di dalamnya tercakup nilai jaminan (benefit) dan bonus (profit). Nilai jaminan yang diberikan perusahaan menggunakan bunga teknis yang ditetapkan perusahaan asuransi dan besarnya harus di bawah bunga pasar. Hal ini yang menyebabkan adanya nilai kesetimbangan. Sedangkan nilai bonus dihasilkan dari penyertaan opsi call yang dimiliki pemegang polis (tercakup dalam produk), menggunakan tingkat suku bunga yang berlaku di pasar bursa. Ada tiga cara pemberian bonus, yaitu bonus reversionary, bonus cash dan bonus
terminal, yang memiliki nilai wajar yang berbeda terutama untuk sistem bonus
reversionary dan sistem cash. Nilai wajar waktu diskret maupun waktu kontinu untuk model satu periode dan model multi periode adalah identik.
© Hak Cipta milik Institut Pertanian Bogor, tahun 2009 Hak Cipta dilindungi Undang-undang
1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumber
a Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik atau tinjauan suatu masalah.
b Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar Institut Pertanian Bogor.
2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis dalam bentuk apapun tanpa izin Institut Pertanian Bogor.
NILAI WAJAR ASURANSI ENDOWMEN MURNI DENGAN
PARTISIPASI UNTUK TIGA SKEMA PEMBERIAN BONUS
YUSUF
Tesis
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Magister Sains pada
Departemen Matematika
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2009
Judul Tesis : Nilai Wajar Asuransi Endowmen Murni dengan Partisipasi untuk Tiga Skema Pemberian Bonus
Nama : Yusuf
NRM : G551070571
Disetujui Komisi Pembimbing
Dr. Ir. I Gusti P. Purnaba, DEA. Donny Citra Lesmana, S.Si. M Fin. Math. Ketua Anggota
Diketahui
Ketua Program Studi Dekan Sekolah Pascasarjana IPB Matematika Terapan
Dr. Ir. Endar H.Nugrahani, MS Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, MS.
PRAKATA
Puji syukur penulis panjatkan ke hadirat Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini dapat diselesaikan sesuai dengan waktu yang ditentukan. Tema yang dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan pada bulan Februari 2009 ini adalah masalah Penentuan Nilai Wajar Berbagai Skema Partisipasi dalam Asuransi Endowmen Murni.
Penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA dan Bapak Donny Citra Lesmana, S.Si. M. Fin. Math., atas bimbingannya dalam penulisan karya ilmiah ini. Terima kasih penulis sampaikan kepada Ibu Dr. Ir. Endar Hasafah Nugrahani MS. yang telah memberikan banyak saran selaku penguji luar komisi. Tidak lupa pula penulis sampaikan ucapan terima kasih kepada Departemen Agama Republik Indonesia yang telah memberikan beasiswa. Akhirnya ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada istri dan anak, keluarga, pihak lain yang telah membantu baik moril maupun materil sehingga karya ilmiah ini dapat diselesaikan.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Juni 2009 Yusuf
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Karawang pada tanggal 02 Juni 1964 dari ayah Mohammad Haris dan ibu Tecih. Penulis merupakan putra kedua dari tujuh bersaudara.
Tahun 1985 penulis lulus dari SMA Negeri 1 Karawang pada tahun 1988 baru melanjutkan ke IAIN Syarif Hidayatullah Jakarta (sekarang UIN Jakarta). Di IAIN Syarif Hidayatullah, penulis memilih jurusan Pendidikan Matematika pada Fakultas Tarbiyah dan selesai pada tahun 1992.
Tahun 1994 penulis mendapat beasiswa di Institut Pengembangan Managemen Indonesia (IPMI) Jakarta, untuk mengikuti program dari Departemen Tenaga Kerja Indonesia dan lulus pada tahun yang sama.
Tahun 1999 penulis diterima sebagai Pegawai Negeri Sipil di Departemen Agama dan menjadi pengajar di MTsN Sukatani Kabupaten Bekasi Jawa Barat. Melalui beasiswa dari Departemen Agama Republik Indonesia, pada tahun 2007 penulis diterima sebagai mahasiswa pada Sekolah Pascasarjana Institut Pertanian Bogor (Program Magister), dengan mengambil Mayor Matematika Terapan. Lulus tahun 2009.
Kupersembahkan tesis ini untuk
Ibuku terkasih, istriku Herlina tercinta,
DAFTAR ISI
Halaman DAFTAR TABEL ... ix DAFTAR GAMBAR ……….. x DAFTAR LAMPIRAN ..………. xi I PENDAHULUAN ……….……… 1 1.1 Latar Belakang ...…..……… 1 1.2 Rumusan Masalah …..……… 3 1.3 Tujuan Penelitian……… 31.4 Ruang Lingkup Penelitian ………. 4
1.5 Manfaat Penelitian ……… 4
1.6 Sistematika Pembahasan ……… 4
II LANDASAN TEORI ………..…….. 5
2.1 Asuransi ……….……… 5
2.2 Manajemen Portofolio ……….…….. 7
2.3 Investasi dalam Opsi ………..…… 8
2.4 Model Binomial ……….…… 12
2.5 Peubah Acak dan Proses Stokastik ……… 15
2.6 Proses Wiener………. 16
2.7 Lema Ito …...………..… 19
2.8 Sifat Lognormal ……….… 19
2.9 Persamaan Diferensial Black-Scholes ……….. 20
2.10 Model Black-Scholes ...………. 22
III NILAI WAJAR ASURANSI ENDOWMEN MURNI DENGAN PARTISIPASI ……….. 25
3.1 Notasi dan Definisi …..…………... 25
3.2 Nilai Wajar Model Satu Periode ……… 27
3.3 Kesetimbangan ...………..……. 31
3.4 Nilai Wajar Model Multi Periode..………. 34
3.5 Hubungan Kesetimbangan dalam Model Multi Periode ..………… 38
3.6 Perbandingan Analisis Sistem Reversionary dan Sistem Cash..…… 42
3.7 Waktu Pasar Finansial Kontinu ...………. 45
3.8 Nilai Wajar Model Satu Periode ...……… 46
3.9 Nilai Wajar Model Multi Periode ………. 48
3.10 Hubungan Kesetimbangan dalam Model Multi Periode ..………… 50
3.11 Perbandingan Analisis Sistem Reversionary dan Sistem Cash .…… 51
3,12 Ilustrasi Numerik ……….. 53
IV KESIMPULAN DAN SARAN ……… 58
4.1 Kesimpulan ……… 58
DAFTAR PUSTAKA ..………..……… 59
ix
DAFTAR TABEL
Halaman 1 Nilai Wajar Partisipasi Kontrak Partisipasi Usia 30 Tahun ………. 53 2 Nilai Wajar Partisipasi Kontrak Partisipasi B= 20% ………. 55 3 Nilai Wajar Partisipasi Kontrak Partisipasi B=80% ………. 56
x
DAFTAR GAMBAR
Halaman 1 Grafik Nilai Wajar Partisipasi Kontrak Partisipasi Usia 30 Tahun .………. 54 2 Grafik Nilai Wajar Partisipasi Kontrak Partisipasi B= 20% ………. 55 3 Grafik Nilai Wajar Partisipasi Kontrak Partisipasi B=80% ………. 56
xi
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman 1 Bukti persamaan (2.22) ..……….. 61 2 Penurunan persamaan (3.6) ……… 63 3 Penurunan persamaan (3.19) ……… 64 4 Penurunan persamaan (3.21) ……… 65 5 Penurunan persamaan (3.22) ……… 66 6 Penurunan persamaan (3.23) ……… 67 7 Penurunan persamaan (3.24) ..……….. 68 8 Penurunan persamaan (3.30) ……… 70 9 Bukti persamaan (3.38) ..……….. 71 10 Penurunan persamaan (3.39) ……… 75 11 Penurunan persamaan (3.45) ……… 76 12 Bukti persamaan (3.47) ..……….. 77 13 Penurunan persamaan (3.48) ……… 81 14 Penurunan persamaan (3.48) ……… 82
I PENDAHULUAN
1.1 Latar BelakangAsuransi saat ini telah menjadi perhatian banyak pihak, terutama bagi aktuaris, praktisi asuransi, ekonom, penasehat keuangan, akuntan, dan praktisi ekonomi, bahkan masyarakat umum yang melihat masa depan sebagai masa yang penuh dengan ketidakpastian. Contoh dua aspek stokastik yang terlingkup dalam sebuah produk asuransi adalah dimensi waktu (jangka waktu yang panjang) dan ketidakpastian (risiko finansial) (Norbeg 2002). Risiko finansial yang berupa naik turunnya suku bunga dalam pasar investasi adalah salah satu bentuk ketidakpastian yang mempengaruhi produk asuransi. Hal inilah yang membuat dunia asuransi menarik untuk diteliti.
Dalam asuransi jiwa ketidakpastian itu semakin kompleks karena tingkat mortalitas dan peluang bertahan hidup seseorang turut diperhitungkan dan memengaruhi besarnya benefit. Salah satu jenis asuransi jiwa yang menarik untuk diteliti adalah asuransi endowmen murni (pure endowment), karena dalam asuransi enowmen murni benefit akan diterima oleh pemegang polis jika pada waktu jatuh tempo, pemegang polis masih dalam keadaan hidup. Jika pemegang polis meninggal sebelum waktu jatuh tempo, maka benefit tidak akan diberikan. Tingkat imbal hasil (rate of return) yang diperoleh perusahaan asuransi endowmen murni sangat dipengaruhi oleh tingkat imbal hasil dari perusahaan asuransi itu sendiri, baik dari imbal hasil operasional perusahan atau imbal hasil dalam investasi di pasar bursa yang dilakukan perusahaan asuransi. Karena imbal hasil perusahaan sangat dipengaruhi dan ditentukan oleh risiko finansial, maka perusahaan perlu membuat suatu strategi dalam mengendalikan pembayaran
benefit pada pemegang polis. Strategi yang dimaksud adalah menawarkan suatu kontrak partisipasi yang dapat diikuti oleh pemegang polis, sehingga risiko finansial tidak hanya membebani perusahaan asuransi, tapi juga menjadi beban pemegang polis. Selain itu tidak hanya risiko finansial yang dibagi oleh perusahaan asuransi dengan pemegang polis, tetapi juga keuntungan yang diperoleh oleh perusahaan dari hasil investasi.
2
Dalam kontrak partisipasi, perusahaan asuransi diwajibkan memberikan
benefit (manfaat) dan profit (bonus) setelah waktu jatuh tempo. Benefit diberikan sebagai nilai jaminan dari pertanggungan yang telah disepakati antara perusahaan asuransi dan pemegang polis. Sedangkan keuntungan (profit) diberikan sebagai imbal hasil (rate of return) dari hasil investasi yang dilakukan oleh perusahaan asuransi dalam pasar bursa. Besar kecilnya keuntungan (profit) ditentukan oleh imbal hasil yang diperoleh perusahaan asuransi.
Ada tiga skema pembagian keuntungan (profit) atau bonus yang diberikan oleh perusahaan asuransi kepada pemegang polis. Sistem reversionary adalah cara pembagian keuntungan tahunan yang dimasukkan ke dalam cadangan polis pada tiap akhir tahun kontrak dan secara tidak langsung menyatakan pembelian tambahan pertanggungan (asuransi). Benefit atau manfaat akan disesuaikan pada saat penyesuaian cadangan polis. Sistem cash merupakan cara pembagian keuntungan tahunan yang dibayarkan secara tunai atau dimasukkan ke rekening pemegang polis. Sedangkan sistem terminal adalah cara pemberian keuntungan yang dihitung pada akhir kontrak.
Penentuan nilai suatu kontrak partisipasi sama halnya dengan menentukan nilai polis partisipasi (polis dengan keuntungan), yaitu polis yang di dalamnya terdapat nilai jaminan (benefit) dan nilai keuntungan (profit) dari hasil investasi. Polis partisipasi biasanya berpasangan dengan suku bunga jaminan minimum (Bacinello 2001). Suku bunga jaminan minimum ditetapkan perusahaan lebih rendah dari pada suku bunga pasar, agar pembayaran benefit kepada pemegang polis bukan merupakan ancaman yang serius, bahkan dapat diabaikan. Hal ini disebabkan perusahaan asuransi dapat mencukupi kebutuhan pembayaran benefit
dari hasil investasi di pasar bursa, yang menggunakan suku bunga pasar.
Berdasarkan uraian di atas, maka perlu diketahui cara menentukan nilai wajar suatu kontrak partisipasi dalam asuransi endowmen murni, dimulai dengan model satu periode, kemudian model multi periode sebagai perumuman, lalu dibandingkan tiga cara pemberian bonus dan ditentukan nilai parameter dalam kondisi kesetimbangan.
3
1.2 Rumusan Masalah
Dari latar belakang yang sudah dijelaskan sebelumnya, dapat dituliskan rumusan masalah sebagai berikut:
1 Dengan mempertimbangkan sisi aset dan sisi liabilitas dapat ditentukan suatu kontrak partisipasi. Bagaimana nilai wajar kontrak partisipasi tersebut dapat ditentukan?
2 Dalam setiap kontrak partisipasi terdapat beberapa parameter. Bagaimana menentukan nilai wajar kontrak partisipasi jika parameter (misalnya tingkat partisipasi) tersebut ditentukan?
3 Bagaimana perbandingan nilai wajar kontrak partisipasi dalam tiga skema pemberian bonus?
4 Dalam kondisi kesetimbangan, bagaimana nilai tiap parameter kontrak dapat ditentukan?
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penulisan tesis ini adalah sebagai berikut:
1 Menentukan nilai wajar kontrak partisipasi asuransi endowmen murni dengan mempertimbangkan sisi aset dan sisi liabilitas.
2 Menentukan nilai wajar kontrak partisipasi dalam asuransi endowmen murni jika parameter kontrak ditentukan.
3 Membandingkan nilai wajar kontrak partisipasi pada tiga cara pemberian bonus: bonus reversionary, bonus cash dan bonus terminal.
4 Menentukan nilai parameter kontrak partisipasi pada kondisi kesetimbangan.
1.4 Ruang Lingkup Penelitian
Penelitian ini dibatasi ruang lingkupnya sebagai berikut;
1 Asuransi yang diteliti merupakan asuransi endowmen murni dengan
pembayaran premi tunggal yang dibayarkan di awal periode.
2 Opsi yang dimaksud adalah opsi call tipe Eropa yang tidak membayarkan dividen.
3 Model Binomial digunakan untuk kontrak opsi call waktu diskret. 4 Model Black Scholes digunakan kontrak opsi call waktu kontinu.
4
1.5 Manfaat Penelitian
Manfaat yang diharapkan dari hasil penelitian ini adalah:
1 Dapat memberikan alternatif lain dari sebuah kontrak asuransi untuk pemegang polis (peserta asuransi);
2 Memberikan nilai tambah dari sebuah kontrak asuransi agar lebih menarik, di samping sebagai asuransi juga bernilai investasi;
3 Dapat menentukan harga yang kompetitif dari sebuah produk asuransi, sehingga dapat bersaing dengan produk asuransi sejenis;
4 Sebagai bahan kajian selanjutnya untuk penelitian masalah yang relevan, baik untuk masalah asuransi maupun masalah investasi.
1.6 Sistematika Pembahasan
Untuk memahami penentuan nilai wajar kontrak partisipasi dalam asuransi endowmen murni, dibahas beberapa konsep dasar, yaitu asuransi endowmen murni, pengertian opsi dan hal-hal yang berhubungan dengan opsi, model binomial harga opsi waktu diskret, proses Wiener dan proses Wiener untuk harga saham, serta model Black-Scholes harga opsi waktu kontinu, yang akan dibahas pada bagian dua tesis ini.
Pada bagian tiga akan dipaparkan tentang cara menentukan nilai wajar kontrak partisipasi, untuk kasus waktu diskret digunakan model binomial, dan untuk kasus waktu kontinu digunakan model Black-Scholes. Kemudian akan ditentukan nilai wajar kontrak untuk kasus satu periode dan multi periode. Selanjutnya akan dibandingkan nilai wajar kontrak partisipasi dalam tiga cara pemberian bonus baik secara analitik maupun numerik (khusus waktu diskret). Serta akan ditentukan nilai parameter kontrak partisipasi dalam kondisi kesetimbangan.
Pada bagian empat yang merupakan bagian akhir, akan dikemukakan kesimpulan dari tesis ini dan saran-saran.
BAB
II
LANDASAN
TEORI
Tidak
ada
III NILAI WAJAR ASURANSI ENDOWMEN
MURNI DENGAN PARTISIPASI
3.1 Notasi dan Definisi
Misalkan terdapat sebuah kontrak asuransi endowmen murni dengan profit
(keuntungan). Imbal hasil yang diperoleh pemegang polis pada waktu jatuh tempo adalah jaminan benefit ditambah bonus partisipasi. Imbal hasil tersebut didasarkan pada keuntungan finansial di akhir periode yang dihasilkan dari investasi yang dilakukan oleh perusahaan asuransi. Selanjutnya diasumsikan antara kematian dan elemen-elemen finansial saling bebas.
3.1.1 Notasi pada Sisi Liabilitas (Kewajiban)
Misalkan nilai polis endowmen murni dengan premi tunggal yang
dikeluarkan pada waktu 0 dan jatuh tempo pada waktu dilambangkan
dengan . Benefit dibayarkan pada waktu jatuh tempo jika dan hanya jika pemegang polis masih hidup. Misalkan pula tidak ada penyerahan opsi sebelum waktu jatuh tempo.
Suku bunga jaminan dinotasikan dengan dan umur pemegang polis pada saat kontrak disetujui dinotasikan dengan . Peluang bertahan hidup pemegang
polis sampai dengan dinyatakan dengan T . Dengan tidak mengurangi
perumuman, diasumsikan bahwa nilai premi tunggal awal sama dengan T .
Jaminan benefit yang dibayarkan pada waktu jatuh tempo (mengabaikan
beban biaya dan pajak) secara sederhana dirumuskan dengan
1
T 1 . 3.1
.
Selanjutnya dalam kontrak partisipasi, tingkat partisipasi dinyatakan dengan
dengan batasan 0 1.
Tiga skema pemberian bonus dalam kontrak partisipasi yang berbeda akan dibandingkan untuk mengetahui perbedaan nilai wajar di antara ketiganya, yaitu:
26
1 Bonus Reversionary, yang merupakan bonus yang dihitung tahunan dan digunakan sebagai premi untuk membeli tambahan asuransi (asuransi endowmen murni memberikan benefit hanya pada waktu jatuh tempo).
2 Bonus Cash, yang merupakan bonus yang dihitung tahunan tetapi tidak digabungkan dalam kontrak. Bonus tersebut dapat dibayarkan langsung kepada pemegang polis.
3 Bonus Terminal, yang merupakan bonus yang hanya dihitung pada akhir kontrak dengan memperhitungkan keuntungan finansial.
(Devolder dan Dominguez-Fabian, 2004)
Ketiga bonus tersebut berturut-turut dinotasikan dengan , dan yang atau disebut juga sebagai tingkat partisipasi.
3.1.2 Notasi pada Sisi Aset
Diasumsikan terdapat pasar dengan persaingan sempurna dan tanpa gesekan, dalam kerangka waktu diskret dengan satu aset berisiko dan satu aset bebas risiko. Suku bunga bebas risiko yang dihitung tahunan dimisalkan tetap dan dilambangkan dengan .
Aset berisiko mengikuti pergerakan binomial (Cox et al., 1979) dengan dua macam imbal hasil tiap periode, yaitu imbal hasil baik dinyatakan dengan
dan imbal hasil kurang baik dinyatakan dengan .
Untuk menghindari kesempatan arbitrase, diasumsikan secara umum
1 .
Nilai tersebut dapat juga dinyatakan dengan cara lain dalam istilah premi risiko dan volatilitas (simpangan):
1 1 (3.2)
(Devolder dan Dominguez-Fabian, 2004) dengan menyatakan premi risiko dan
27
Pada pasar tersebut, penjamin (perusahaan asuransi) diwajibkan untuk menginvestasikan sebagian premi dalam aset berisiko dan sebagian lagi dalam aset bebas risiko. Sebuah strategi didefinisikan oleh koefisien (dengan batasan 0 1) diberikan pada bagian aset berisiko dalam investasi.
Imbal hasil yang ditimbulkan oleh strategi adalah variabel acak, yang
mengambil satu dari dua nilai yang dinyatakan dengan dan yang
didefinisikan sebagai berikut dan dituliskan kembali dengan (substitusikan dan dari persamaan (3.2)):
1 – 1 1
1 – 1 1 (3.3)
3.2 Nilai Wajar Model Satu Periode
Model satu periode merupakan kasus khusus dengan waktu jatuh tempo 1 periode atau 1. Dalam jangka waktu 1 periode, ketiga cara pemberian bonus seperti didefinisikan pada bagian 3.1.1 adalah identik.
Sebuah kontrak partisipasi dicirikan oleh vektor parameter teknis dan finansial , ,
dengan i suku bunga jaminan, tingkat partisipasi dan koefisien strategi. Parameter lain , , dengan r suku bunga bebas risiko, u tingkat imbal hasil
baik dan d tingkat imbal hasil kurang baik dapat dipandang sebagai batasan pasar. Menggunakan pendekatan standar risiko netral, nilai wajar sebuah kontrak dapat diekspresikan sebagai diskonto dari nilai harapan aliran kas (cash flow) di masa yang akan datang, di bawah ukuran risiko netral, dan memperhitungkan peluang bertahan hidup.
Peluang dalam lingkup risiko netral berturut-turut bersesuaian dengan imbal hasil baik dan imbal hasil kurang baik, yang diberikan oleh:
1
28
1 1
2 3.4
Kedua peluang tersebut bersesuaian dengan liabilitas yaitu kewajiban perusahaan asuransi dalam membayar klaim pada pemegang polis yang dinyatakan berturut-turut sebagai berikut:
1 1 1
1 1 1 (3.5)
dengan
= maksimum , 0
= total benefit dari imbal hasil baik yang harus dibayarkan perusahaan asuransi. = total benefit dari imbal hasil kurang baik yang harus dibayarkan perusahaan
asuransi.
: suku bunga jaminan yang ditetapkan perusahaan asuransi.
Nilai wajar kontrak selanjutnya didefinisikan sebagai peluang bertahan hidup dikalikan dengan nilai wajar finansial benefit yaitu
T
dengan merupakan nilai wajar finansial benefit dan dinyatakan dengan: 1 1 1 1 1 1 1 2 2 . 3.6 (lihat lampiran 2) dengan = dan = (3.7)
29
dengan .
Sehingga nilai wajar kontrak partisipasi periode satu tahun dinyatakan dengan:
1
1 1
1 1 2 2 .
Dari persamaan di atas nilai wajar finansial dapat dipandang mengandung dua bagian, yaitu
dengan merupakan nilai wajar jaminan minimum di mana
1
1 .
Sedangkan merupakan bagian nilai wajar, yang bersesuaian dengan opsi
call, yaitu
.
Selanjutnya dibuat beberapa asumsi pada nilai dan untuk tiga kasus berikut, yaitu:
Kasus 1: 0
Pada kasus ini, suku bunga jaminan i terlalu besar sehingga tidak ada tingkat partisipasi yang dapat diberikan. Hal ini dapat ditunjukkan khususnya jika
0, maka:
0 0
. (3.8) Sehingga, jika suku bunga jaminan yang ditetapkan perusahaan asuransi lebih besar dari pada suku bunga bebas risiko maka nilai kontrak menjadi semata-mata ditentukan oleh nilai wajar jaminan minimum, yaitu:
30 1 1 1 1 . 3.9 Kasus 2: 0
Kasus ini dipandang sebagai asumsi yang realistik:
- Jika aset berisiko meningkat maka akan ada surplus dalam investasi sehingga ada jaminan minimum dan tingkat partisipasi (lihat persamaan (3.13).
- Jika aset berisiko menurun maka hanya jaminan minimum dan tidak ada tingkat partisipasi (lihat persamaan (3.9)).
Keadaan tersebut dapat dituliskan sebagai berikut 0 0 3.10 0 0 3.11
Dari persamaan (3.10) dan (3.11) diperoleh
. (3.12) Dalam kondisi ini nilai wajar finansial menjadi:
1 1 1 2 1 1 1 2 . 3.13
31
Sehingga dalam kondisi ini nilai wajar kontrak partisipasi menjadi:
1 .
1 1 . Kasus 3: 0
Dalam kasus ini suku bunga jaminan turun bahkan di bawah turunnya situasi pasar, hal ini dapat ditunjukkan pada hubungan sebagai berikut (cukup dengan menunjukkan 0 )
0
. (3.14) Nilai wajar finansial menjadi:
1
= 1
1
1 . (3.15) Nilai wajar kontrak menjadi:
1
1 1 . Nilai wajar partisipasi hanya didasarkan pada perbedaan antara suku bunga bebas risiko dan suku bunga jaminan.
3.3 Kesetimbangan
Sebuah vektor pada parameter dikatakan setimbang jika nilai wajar awal kontrak sama dengan premi tunggal yang dibayarkan pada waktu 0, maka
32
1 1
1 (3.16) Jika persamaan (3.6) dibandingkan dengan jaminan minimum berakibat:
1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 . (3.17) Sehingga untuk memperoleh kondisi kesetimbangan, suku bunga jaminan harus lebih kecil atau sama dengan suku bunga bebas risiko.
Sekarang akan dilihat kondisi kesetimbangan pada tiga kasus yang telah dikemukakan pada bagian 3.2.
Kasus 1: 0
Pada kasus ini, telah ditunjukkan pada persamaan (3.8) bahwa sehingga
tidak ada nilai kesetimbangan yang mungkin.
Kasus 2: 0
Dengan memperhitungkan persamaan (3.17) dan (3.12) secara simultan, dapat diperoleh hubungan sebagai berikut
. (3.18) Hubungan tersebut dapat ditulis dalam bentuk nilai kesetimbangan tiap parameter kontrak, yaitu:
- Suku bunga jaminan i sebagai fungsi dari tingkat partisipasi dan koefisien strategi yang dapat diturunkan dari persamaan (3.13) dan persamaan (3.16), yaitu:
33
1
2 3.19
dengan batasan 0 1 dan 0 1.
(lihat lampiran 3)
- Tingkat partisipasi sebagai fungsi dari suku bunga jaminan dan koefisien strategi yang dapat diturunkan dari persamaan (3.13) dan persamaan (3.16), yaitu:
1 1 1 2 1 2 3.20
dengan syarat 0 1 dan .
(lihat lampiran 4)
- Koefisien strategi sebagai fungsi dari suku bunga jaminan dan tingkat partisipasi .
Tujuannya untuk menunjukkan bahwa jika terdapat pasangan nilai parameter teknis i dan B yang logis, maka di sana ada strategi aset yang membangkitkan kondisi kesetimbangan: 1 1 1 2 1 2 3.21 dengan syarat 0 1. (lihat lampiran 5)
34
Syarat pada diperoleh dengan syarat 0 1.
a) 0 untuk dan (untuk semua memenuhi ketika 1
b) 1 jika
2 .
Kasus 3: 0
Kondisi kesetimbangan nilai wajar pada persamaan (3.15) kemudian menjadi
1 1
1 1 1. 3.22
Karena dalam kasus ini , sehingga mengakibatkan 1.
3.4 Nilai Wajar dalam Model Multi Periode
Selanjutnya akan diperluas perhitungan nilai wajar pada waktu jatuh tempo secara umum. Tiga rencana partisipasi yang didefinisikan sebelumnya akan dipaparkan secara terpisah. Dalam tiap kasus akan ditunjukkan nilai wajar yang sesuai dengan tiap rencana partisipasi yang berbeda.
3.4.1 Bonus Reversionary
Dengan memperhatikan struktur binomial pada imbal hasil, total benefit
yang dibayarkan pada waktu jatuh tempo adalah peubah acak yang diberikan oleh , dengan adalah banyaknya peningkatan aset berisiko dari 0
tahun sampai tahun, sedangkan dan berhubungan dengan total imbal
hasil. Nilai wajar kemudian diberikan oleh:
v T 1
1
T
T (3.23) (lihat lampiran 6)
35
dengan adalah nilai wajar finansial dalam satu periode. Nilai wajar kontrak menjadi
v T 1 1 1 2 2 dengan: = = = maksimum , 0 . 3.4.2 Bonus Cash
Dalam kasus ini, tiap tahun tingkat bonus diterapkan hanya pada akumulasi cadangan dengan tingkat suku bunga dan memperhitungkan peluang
bertahan hidup. Untuk premi awal tunggal Tpx, cadangan untuk
digunakan pada waktu diberikan oleh
1
t
T 1
t .
Bagian kewajiban (liabilitas) dibayarkan pada waktu ( 1,2,3 … , dalam kasus bertahan hidup sebagai peubah acak, bonus cash diberikan oleh: a) Dalam kasus nilai aset yang meningkat
T 1
t
b) Dalam kasus nilai aset yang menurun
T 1
t .
Nilai wajar dapat diekspresikan sebagai nilai sekarang pada seluruh aliran kas di masa yang akan datang dalam ukuran risiko netral dan memperhitungkan peluang bertahan hidup.
36 v T 1 1 1 1 t T 1 1 1 1 1 T
dan adalah nilai wajar finansial yang dirumuskan dengan 1 1 1 1 1 1 . 3.24 ( lihat lampiran 7) dengan: , , = dan = .
Khususnya dalam kasus 0 dan 0, nilai wajar untuk bonus cash adalah 1
1 1
2
1 1
. 3.25
Nilai wajar yang sesuai untuk bonus reversionary adalah 1
1 1 2 . 3.26
Seperti yang diharapkan, untuk 1 dua nilai (3.25) dan (3.26) tersebut di atas adalah identik.
3.4.3 Bonus Terminal
Bonus terminal hanya dihitung pada akhir kontrak, dengan
membandingkan akhir liabilitas 1 dengan nilai aset pada waktu jatuh
37
Jika nilai akhir aset pada waktu dinyatakan dengan , dengan menggunakan strategi nilai wajar dapat dirumuskan sebagai berikut:
v T T 1 1
1
1 r T T 1 ; ; 1
T 3.27
dengan adalah ukuran risiko netral dan menyatakan nilai harapan dalam . Alternatif lain, nilai wajar finansial dapat diekspresikan dalam harga opsi
1
1 ; ; 1
dengan ; ; 1 adalah harga opsi call pada aset dengan waktu jatuh
tempo dan harga strike 1 .
Dengan memperhatikan struktur model binomial, bentuk umum harga opsi
call tersebut diberikan oleh:
; ; 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
38
Nilai wajar finansial kemudian diberikan secara eksplisit sebagai berikut:
1
1 1 1
1
1 1 1 .
Selanjutnya nilai wajar kontrak partisipasi menjadi
v T 1
1 1 1 . 3.28
3.5 Hubungan Kesetimbangan dalam Model Multi Periode 3.5.1 Bonus Reversionary
Rumus (3.23) menunjukkan dengan jelas bahwa 1 1.
Hasil kesetimbangan yang diperoleh pada bagian 3.3 (model satu periode) tidak berubah dalam model multi periode untuk bonus reversionary, yaitu:
Kasus 1: 0
Tidak ada kesetimbangan yang mungkin karena (lihat persamaan
(3.8) dan persamaan (3.17)).
Kasus 2: 0
Nilai kesetimbangan untuk parameter suku bunga
39
Nilai kesetimbangan untuk parameter tingkat partisipasi 2
. persamaan 3.20
Nilai kesetimbangan untuk parameter koefisien strategi 2
. persamaan 3.21
Kasus 3: 0
Kondisi kesetimbangan nilai wajar pada persamaan (3.15) kemudian menjadi
1 1
1 1
atau
. persamaan 3.22
Karena dalam kasus ini , sehingga mengakibatkan 1.
3.5.2 Bonus Cash
Rumus (3.25) dan (3.26) menunjukkan bahwa nilai wajar biasanya berbeda menggunakan bonus reversionary atau bonus cash. Namun dapat dilihat (bahwa nilai kesetimbangan pada parameter kontrak adalah sama. Menggunakan
rumus (3.24) dan 1, kontrak akan setimbang dalam rencana bonus
cash jika 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . 3.29
Seperti pada bagian 3.3, dapat dipertimbangkan kasus yang berbeda, bergantung pada nilai dan .
40
Kasus 1: 0.
Tidak ada kesetimbangan yang mungkin karena (lihat persamaan (3.8)).
Kasus 2: 0
Menggunakan nilai (3.4) dan (3.7) pada dan , rumus (3.29) menjadi:
1 1 2 1 1 2 1 2 2 3.30 (lihat lampiran 8)
yang identik dengan bonus reversionary pada rumus (3.19). Kasus 3: 0 Rumus (3.29) menjadi; 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 .
41
Sehingga dapat disimpulkan kondisi kesetimbangan pada parameter kontrak adalah sama untuk bonus reversionary dan bonus cash.
3.5.3 Bonus Terminal
Rumus (3.28) memberikan kondisi kesetimbangan jika 1
sehingga: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . 3.31
Dari hubungan tersebut, dapat diperoleh nilai kesetimbangan tingkat partisipasi sebagai fungsi tingkat jaminan dan koefisien strategi
1 1
∑ 1 . 3.32
Di lain pihak, jika tingkat partisipasi diketahui, hal ini memungkinkan untuk mengekspresikan nilai kesetimbangan pada tingkat jaminan sebagai berikut: 1 1 1 1 1 1 1 1 ∑ 1 ∑
42 1 ∑ 2 2 1 ∑ 2 2 3.33
dengan didefinisikan sebagai: infimum : 1 .
Namun hubungan tersebut tidak nampak secara eksplisit sebab koefisien bergantung kepada nilai . Hubungan tersebut dapat dihitung dengan mengasumsikan nilai untuk dan kemudian periksa setelahnya, jika memenuhi. Sebagai contoh, dilihat kembali apa yang terjadi dalam model dua periode.
Dari persamaan (3.33) untuk 2 dan 1 diperoleh
1
1 2 2 2
1 2 2 2
. 3.34
3.6 Perbandingan Analisis Sistem Reversionary dan Sistem Cash.
Sistem Reversionary dan sistem cash tidak banyak berbeda. Perbedaannya hanya pada penggabungan bonus dalam kontrak. Selain itu seperti telah dilihat pada bagian 3.5 bahwa keadaan kesetimbangan adalah sama, walaupun rumus nilai wajar nampaknya begitu berbeda.
jika dan hanya jika tingkat partisipasi lebih besar dari pada nilai kesetimbangan.
Untuk mendapatkan hubungan tersebut, harus dibandingkan penilaian dalam dua rencana partisipasi menggunakan parameter yang sama:
- Untuk bonus reversionary (lihat persamaan (3.23)) 1
43 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 dengan .
- Untuk bonus cash (konfirmasi rumus (3.24)) 1 1 1 1 1 1 .
Dengan mengembangkan rumus reversionary didapatkan 1
1 1 1 .
Kondisi agar sistem reversionary mempunyai nilai wajar yang lebih besar dari pada sistem cash, harus memenuhi hubungan sebagai berikut:
∑ 1
atau
1 1 1 .
Atau dengan mengasumsikan 0 (misalnya 0)
∑ 1
44
Misalkan sebuah fungsi 1 1 dengan 2. Untuk diperoleh 1 1
Di lain pihak mudah untuk ditunjukan bahwa untuk 0, fungsi
meningkat dengan cepat. Sehingga ketika kondisi dipenuhi, nilai
wajar untuk bonus reversionary lebih besar dari pada nilai wajar untuk bonus cash
dan sebaliknya. Kondisi terakhir dapat ditulis sebagai berikut
. (3.36) Dengan memperhatikan perbedaan studi kasus pada bagian 3.3, kondisi (3.36) menjadi:
Kasus 1: 0 di sini tidak relevan karena seharusnya 0.
Kasus 2: 0
2
atau
2
yang berarti tingkat partisipasi lebih besar dari pada nilai kesetimbangannya (lihat persamaan (3.20)).
Kasus 3: 0
45
atau 1 karena , yang berarti tingkat partisipasi lebih besar dari pada nilai kesetimbangannya (lihat persamaan (3.22)).
3.7 Waktu Pasar Finansial Kontinu
Secara prinsip, perbandingan skema partisipasi yang berbeda dapat dengan mudah diadaptasikan pada waktu pasar finansial kontinu. Pada bagian ini akan dikembangkan model nilai wajar dengan menggunakan model Black-Scholes. Asumsi klasik pada pasar dimisalkan terpenuhi. Dua jenis aset dimisalkan ada, yaitu:
1. Aset tidak berisiko dihubungkan dengan suku bunga bebas risiko
dengan ln 1 suku bunga bebas risiko pada saat itu.
2. Aset berisiko dimodelkan dengan model gerak Brown geometrik
dengan adalah proses Wiener. (Devolder dan Dominguez-Fabian, 2004)
Kasus jika seluruh dana diinvestasikan pada aset bebas risiko, maka nilai dapat ditentukan dengan mengintegralkan bentuk berikut:
Sehingga diperoleh nilai sebagai berikut:
Dengan batas 0 , maka untuk 0 nilai investasi sama dengan nilai aset
46
Portofolio yang dianjurkan pada perusahaan asuransi tetap seperti pada kasus waktu diskret, yaitu proporsi diinvestasikan pada aset berisiko dan 1 diinvestasikan pada aset bebas risiko. Perkembangan pada portofolio mengikuti gerak Brown geometrik dilambangkan dengan persamaan sebagai berikut
1
(3.37)
3.8 Nilai Wajar Model Satu Periode
Di sini akan diberikan hasil pada bagian 3.2 yang diperoleh dalam struktur binomial. Pada model satu periode, tiga macam skema partisipasi adalah identik. Dalam model kontinu juga akan ditentukan nilai wajar untuk kontrak yang
diberikan , , dan untuk memperoleh kondisi kesetimbangan pada
koefisien-koefisien untuk mendapatkan kontrak yang wajar. Nilai wajar sekarang diberikan dengan
1 1
1 , , 1
dengan , , 1 menyatakan harga opsi call pada portofolio yang
direkomendasikan untuk satu periode dan untuk harga eksekusi (strike price) yang
sama dengan jaminan 1 .
Nilai untuk satu periode dengan ln 1 adalah: 1
1
Dalam lingkungan model Black-Scholes nilai , , 1 atau opsi call
diberikan dengan:
, , 1 1
47 1 1 1 , , 1 1 , , 1 1 1 1 , , 1 1 , , 1 , , 1 1 1 , , 1 3.38 (lihat lampiran 9) dengan , , 1 ln 1 1 2 ln 11 12 , , 1 , , 1 , , 1 ln 1 1 12 . 3.39
adalah fungsi sebaran kumulatif pada peubah acak normal baku. (lihat lampiran 10)
Akhirnya nilai wajar dapat ditulis sebagai berikut 1 1 1 , , 1 1 1 , , 1 . 3.40
Keadaan kesetimbangan yang diberikan oleh (3.16) dapat dinyatakan dalam model ini sebagai nilai kesetimbangan eksplisit pada tingkat partisipasi, untuk tingkat suku bunga jaminan dan koefisien strategi (ekuivalen dengan persamaan (3.20) dalam model binomial)
1 , , 1 1 , , 1 . 3.41
48
Hubungan implisit hanya dapat diperoleh dalam model ini, jika ingin menyelesaikan persamaan tersebut untuk dua parameter lain (nilai kesetimbangan berturut-turut untuk suku bunga jaminan dan koefisien strategi).
3.9 Nilai Wajar dalam Model Multi Periode 3.9.1 Bonus Reversionary
Tepat seperti dalam kasus waktu diskret dan memperhitungkan struktur proses imbal hasil, nilai wajar untuk kontrak periode menggunakan bonus
reversionary diberikan oleh
T 1
1 , , 1
1
1 , , 1 3.42
dengan , , 1 dan , , 1 seperti didefinisikan pada persamaan 3.39 .
3.9.2 Bonus Cash
Nilai wajar diekspresikan sebagai diskonto nilai harapan pada semua aliran kas (cash flow) di waktu yang akan datang di bawah ukuran risiko netral dan peluang bertahan hidup
T 1
1 t 1 . 3.43
dengan adalah bonus cash yang dibayarkan pada waktu .
Nilai harapan adalah
1 T
t 1 , , 1 . 3.44
Dengan menyubstitusikan persamaan (3.44) ke dalam persamaan (3.43) akan diperoleh: T 1 1 t 1 T t 1 , , 1 1
49 T 1 1 T , , 1 1 1 1 .
Akhirnya, nilai wajar diberikan oleh
T 1 1 1 , , 1 1 1 1 3.45 dengan 1 1 1 1 1 1 1 . lampiran 11 3.9.3 Bonus Terminal
Nilai wajar akan memiliki struktur yang sama seperti dalam model satu periode T 1 1 , , 3.46 dengan: , , 1 , , 1 , , 1 , , 1 , , , , , , (3.47) (lihat lampiran 12)
Sehingga nilai wajar dalam model multi periode menjadi:
T 1 1 , , T 1 1 , , 1 1 , ,
50 dengan: , , √ ln 1 1 2 √ ln 11 12 , , , , √ √ ln 11 12 . 3.48 (lihat lampiran 13)
3.10 Hubungan Kesetimbangan dalam Model Multi Periode 3.10.1 Bonus Reversionary
Menurut rumus (3.42) dan seperti dalam model binomial, keadaan
kesetimbangan sama seperti dalam model satu periode. 1 1 1 , , 1 1 1 , , 1 1 1 1 1 , , 1 1 1 , , 1 1 1 1 r , , 1 1 , , 1 1 r , , 1 1 , , 1 . 3.49 3.10.2 Bonus Cash
Menggunakan rumus (3.45) kondisi kesetimbangan untuk bonus cash
menjadi: 1 1 1 1 , , 1 1 1 1 1 , , 1 1 1 1 1 1 1
51 1 , , 1 1 1 1 1 1 1 1 , , 1 1 , , 1 1 , , 1 3.50
yang juga sama dengan nilai kesetimbangan pada model satu periode (lihat persamaan (3.41)).
3.10.3 Bonus Terminal
Menggunakan persamaan (3.46), kondisi kesetimbangan untuk bonus
terminal menjadi: 1 1 1 , , 1 1 , , 1 1 , , 1 1 1 , , 1 , , 1 1 1 , , 1 T , , . 3.51
3.11 Perbandingan Analisis Sistem Reversionary dan Sistem Cash
Metodologi yang sama seperti dalam bagian 3.6 dapat digunakan untuk memperoleh kedudukan antara nilai wajar untuk bonus reversionary dan bonus
cash ketika parameter tidak dalam keadaan setimbang. Dengan menggunakan berturut-turut persamaan (3.42) dan (3.45), nilai wajar dapat ditulis sebagai berikut:
- Dalam sistem reversionary nilai wajar kontrak partisipasi adalah (lihat persamaan (3.42)) T 1 1 , , 1 1 1 , , 1 T 1
1
1 3.5252
dengan 1 , , 1 dan , , 1 merupakan harga opsi call dalam
model satu periode
, , 1 1 1 1 1 1 1 1 , , 1 1 , , 1 , , 1 1 1 , , 1
- Dalam sistem cash nilai wajar kontrak partisipasi adalah (lihat persamaan (3.45)) T 1 1 1 1 1 1
dengan 1 , , 1 dan , , 1 merupakan harga opsi call dalam model satu periode
, , 1 1 1 1 1 1 1 1 , , 1 1 , , 1 , , 1 1 1 , , 1
dengan , , 1 dan , , 1 didefinisikan pada persamaan (3.39) dan merupakan fungsi distribusi kumulatif peubah acak normal baku.
Sehingga nilai wajar kontrak sistem reversionary dan sistem cash waktu diskret mempunyai bentuk yang tepat sama dengan nilai wajar kontrak sistem
53
3.12 Ilustrasi Numerik
Dengan memperhatikan formula nilai wajar kontrak partisipasi multi periode untuk tiga cara pemberian bonus serta dengan memasukkan nilai tiap parameter dapat ditentukan nilai wajar kontrak partisipasi secara numerik. Untuk menampilkan data secara numerik digunakan program excel 2007.
3.12.1 Nilai Wajar Finansial Sebagai Fungsi Tingkat Partisipasi
Pada bagian ini akan dibandingkan tiga skema partisipasi (cara pemberian bonus) dalam bentuk nilai wajar kontrak partisipasi untuk seseorang yang berumur 30 tahun. Misalkan dalam pasar finansial skenario berikut dipenuhi dengan suku bunga bebas risiko 3% per tahun, premi risiko 2% dan volatilitas 6% . Suku bunga jaminan yang ditetapkan perusahan asuransi sebesar 2.5% per tahun. Sedangkan investasi yang dilakukan perusahaan menggunakan strategi agresif sebesar 60% pada aset berisiko. Nilai wajar kontrak partisipasi dengan tiga skema partisipasi selama dua periode dapat dilihat dalam Tabel 1.
Tabel 1. Nilai Wajar Kontrak Partisipasi Berbagai Tingkat Partisipasi untuk Usia 30 Tahun NO TINGKAT PARTISIPASI NILAI WAJAR KETERANGAN REVERSIONARY CASH TERMINAL 1 0 0.987676628 0.987676628 0.987676628 i= 0.025 2 0.1 0.991084233 0.991098719 0.988642561 r= 0.03 3 0.2 0.994497706 0.99452081 0.989608493 γ= 0.6 4 0.3 0.997917047 0.997942901 0.990574426 λ= 0.02 5 0.4 1.001342256 1.001364992 0.991540358 θ= 0.06 6 0.5 1.004773333 1.004787083 0.992506291 T= 2 tahun 7 0.6 1.008210279 1.008209174 0.993472223 x=30 tahun 8 0.7 1.011653093 1.011631266 0.994438156 9 0.8 1.015101775 1.015053357 0.995404088 10 0.9 1.018556325 1.018475448 0.996370021 11 1 1.022016744 1.021897539 0.997335954
G P 3 b d m p d 5 Untuk periode un sebuah graf Gambar 1. Partisipasi 3.12.2 Nilai Hidu Sepe berikut dipe dan volatilit sebesar 2.5 menggunaka Nilai partisipasi 2 selama dua p Seda dengan tingk 50 tahun sel 0,96 0,98 1 1,02 1,04 N i l a i W a j a r k lebih mem ntuk tiga ske
fik (lihat Ga Grafik Nila i Wajar Ko up Usia x (Tp erti pada ba enuhi dengan tas 6%. Suk 5% per tah an strategi ag i wajar kont 20% untuk periode (2 ta angkan nilai kat partisipa ama dua per 6 8 0 0,1 Grafik Nila mperjelas pe ema partisip ambar 1). ai Wajar Ko ntrak Parti Tpx) agian 3.12.1 n suku bung ku bunga ja hun. Sedang gresif sebesa trak partisipa orang yang ahun) ditamp i wajar kon asi 80% untu riode ditamp 0,2 0,3 0,4 Ting i Wajar Kont Reversionary erbedaan nil asi secara v ontrak Part isipasi Seba diasumsika ga bebas risik aminan yan gkan invest ar 60% pada asi pada tiga g berusia 30 pilkan dalam ntrak partisi uk orang yan pilkan dalam 4 0,5 0,6 gkat Partisipas trak Partisip Partisipasi Cash ai wajar ko visiual dapat tisipasi Berb gai Fungsi P an dalam pa ko 3% per t ng ditetapkan tasi yang a aset berisik a skema par 0 tahun sam m Tabel 2 dan ipasi pada t ng berusia 30 m Tabel 3 dan 0,7 0,8 si (B) pasi Berbaga h Ter ntrak partisi t digambarka bagai Tingk Peluang Ber asar finansia tahun, premi n perusahaa dilakukan p ko. rtisipasi deng mpai berusia n Gambar 2. tiga skema 0 tahun sam n Gambar 3. 0,9 1 ai Tingkat rminal 54 ipasi dua an dalam kat rtahan al skenario i risiko 2% an asuransi perusahaan gan tingkat a 50 tahun . partisipasi mpai berusia
T G Tabel 2. Ni un NO USIA (x) 1 30 2 31 3 32 4 33 5 34 6 35 7 36 8 37 9 38 10 39 11 40 12 41 13 42 14 43 15 44 16 45 17 46 18 47 19 48 20 49 21 50 Gambar 2. P 0,97 0,98 0,99 1 N i l a i W a j a r ilai Wajar K ntuk Usia 30 PLG BERTA HIDUP (T 0.9973 0.9972 0.9972 0.9970 0.9969 0.9967 0.9964 0.9961 0.9958 0.9955 0.9951 0.9946 0.9941 0.9936 0.9930 0.9923 0.9915 0.9907 0.9897 0.9887 0.9877 Grafik Nila Partisipasi 2 30 31 32 33 Nilai Wajar Revers Kontrak Par 0 Tahun s/d AHAN Tpx) REV 36 0.9 81 0.9 04 0.9 086 0.9 15 0.9 702 0. 466 0.9 99 0.9 898 0.9 53 0. 44 0.9 668 0.9 57 0.9 609 0.9 004 0.9 39 0.9 93 0. 73 0.9 769 0. 753 0.9 719 0.9 ai Wajar K 20% 3 34 35 36 37 Kontrak Us Tingka sionary rtisipasi den 50 Tahun VERSIONARY 994497706 994442862 994366081 994248417 994077904 .99386551 993630182 993363942 993063798 .99271978 992311944 991837299 991327753 990781312 990178034 989514927 .98877105 987910506 .98695224 985939132 984908075 Kontrak Part 38 39 40 41 Usia ia 30 Tahun t Partisipasi Cash ngan Tingk NILAI WAJ CASH 0.9945025 0.9944477 0.9943709 0.9942532 0.9940827 0.9938703 0.9936350 0.9933688 0.9930686 0.9927246 0.9923168 0.9918421 0.9913326 0.9907861 0.9901828 0.9895197 0.9887758 0.9879153 0.9869570 0.9859439 0.9849128 tisipasi den 42 43 44 45 4 s/d 50 Tahu i 20% Te at Partisipa JAR TER 577 0.98 734 0.98 952 0.98 288 0.98 774 0.98 379 0.98 049 0.98 808 0.98 663 0.98 643 0.98 805 0.98 157 0.98 609 0.98 166 0.98 885 0.98 774 0.98 893 0.98 345 0.98 075 0.98 962 0.98 899 0.98 gan Tingka 46 47 48 49 5 un dengan rminal 55 asi 20% RMINAL 9608493 8955392 9477516 8936043 9190755 8979406 8745234 8480303 8181635 7839308 7433477 6961165 6454125 5910371 5310058 4650211 3909991 3053678 2100124 1091996 0066007 at 50
G Tabel 3. Ni un NO USIA (x) 1 30 2 31 3 32 4 33 5 34 6 35 7 36 8 37 9 38 10 39 11 40 12 41 13 42 14 43 15 44 16 45 17 46 18 47 19 48 20 49 21 50 Gambar 3. 0,95 1 1,05 N i l a i W a j a r Graf ilai Wajar K ntuk Usia 30 PLNG BERT HIDUP ( 0.9973 0.9972 0.9972 0.9970 0.9969 0.9967 0.9964 0.9961 0.9958 0.9955 0.9951 0.9946 0.9941 0.9936 0.9930 0.9923 0.9915 0.9907 0.9897 0.9887 0.9877 Grafik Nila Partisipasi 30313233 34 ik Nilai Waja un Kontrak Pa 0 Tahun s.d TAHAN Tpx) RE 336 1 281 1 204 1 086 1 915 1 702 1 466 1 199 1 898 1 553 1 144 1 668 1 157 1 609 1 004 1 339 1 593 1 73 1 769 1 753 1 719 1 ai Wajar K 80% untu 35 36 37 38 39 Usia r Kontrak Par ntuk Usia 30 T Reversionay artisipasi den d 50 Tahun EVERSIONARY 1.015101775 1.015045795 1.014967424 1.014847322 1.014673276 1.014456481 1.014216277 1.013944521 1.01363816 1.013287014 1.012870728 1.012386249 1.011866147 1.011308385 1.010692608 1.010015762 1.009256474 1.008378101 1.007399982 1.006365884 1.005313465 Kontrak Part k Usia 30 T 9 40 41 42 43 a rtisipasi deng Tahun s.d 50 y Cash T ngan Tingk NILAI WAJ Y CASH 1.014980 1.014924 1.014846 1.014726 1.014551 1.014335 1.014095 1.013823 1.013516 1.013165 1.012749 1.012265 1.011745 1.011187 1.010571 1.009895 1.009135 1.008257 1.007279 1.006245 1.005193 tisipasi den Tahun s.d 50 3 44 45 46 4 gan Tingkat P Tahun Terminal kat Partisipa AR H TERM 0425 0.995 4452 0.995 609 0.995 6002 0.995 1977 0.994 5208 0.994 5033 0.994 331 0.994 6984 0.993 5881 0.993 9645 0.993 5224 0.992 5183 0.992 7489 0.991 1785 0.991 502 0.990 5822 0.989 7555 0.988 9553 0.987 5578 0.986 3285 0.985 gan Tingka 0 Tahun. 47 48 49 50 Partisipasi 56 asi 20% MINAL 5404088 5349195 5272344 5154573 4983904 4771317 4535774 4269291 3968874 3624542 3216335 2741257 2231246 1684308 108048 0416768 9672213 8810885 7851746 6837714 5805717 at
57
3.12.3 Pembahasan Hasil Perhitungan Numerik
Dalam Tabel 1 dan Gambar 1 jelas terlihat bahwa nilai wajar finansial dari tiga cara pemberian bonus pada saat tingkat partisipasi lebih dari 10%, untuk bonus reversionary dan bonus cash hampir memiliki nilai yang sama sampai 5 digit di belakang koma. Sedangkan untuk bonus terminal memiliki nilai yang lebih kecil dari bonus reversionary dan bonus cash.
Sedangkan dalam Tabel 2 dan Gambar 2 dapat dilihat bahwa makin tinggi usia pemegang polis makin berkurang nilai wajar kontrak partisipasi untuk tiga skema partisipasi. Hal ini disebabkan oleh penurunan peluang bertahan hidup pemegang polis. Namun tetap nilai wajar kontrak partisipasi untuk cara pemberian bonus terminal lebih kecil dari cara pemberian bonus reversionary dan bonus
cash.
Selanjutnya nilai wajar kontrak partisipasi pada tiga skema partisipasi dengan tingkat partisipasi 80% untuk orang yang berusia 30 tahun sampai berusia 50 tahun selama dua periode (2 tahun) ditampilkan dalam Tabel 3 dan Gambar 3. Dari Tabel 3 dan Gambar 3 dapat diinterpretasikan sama seperti pada Tabel 2 dan Gambar 2, yang berbeda hanya nilai wajar kontrak partisipasi lebih besar dari pada nilai wajar kontrak partisipasi dengan tingkat partisipai sebesar 20% untuk ke tiga cara pemberian bonus.
IV KESIMPULAN DAN SARAN
4.1 Kesimpulan
Telah ditunjukkan bahwa nilai wajar bergantung kepada: strategi investasi (dan dihubungkan dengan risiko), tingkat partisipasi dan tingkat jaminan, juga pada sistem bonus yang dipilih, baik untuk model satu periode maupun model multi periode dalam kerangka waktu diskret dan waktu kontinu.
Kondisi kesetimbangan diperoleh jika dan hanya jika tingkat suku bunga jaminan lebih kecil atau sama dengan tingkat suku bunga bebas risiko. Beberapa kondisi kesetimbangan secara eksplisit telah ditemukan dalam rumus parameter
kontrak. Khususnya untuk bonus reversionary dan bonus cash kondisi
kesetimbangan pada parameter kontrak adalah sama.
Dalam tulisan ini, telah dikembangkan berbagai rumusan untuk membandingkan nilai wajar produk asuransi yang didasarkan pada tiga rencana partisipasi; bonus reversionary, bonus cash dan bonus terminal yang memperhitungkan secara simultan sisi aset dan sisi liabilitas dalam model multi periode. Pertama menggunakan model binomial, yang telah memperoleh bentuk tertutup dan memberikan interpretasi dengan jelas yang berhubungan dengan kondisi pasar. Kemudian sebuah pendekatan yang sama untuk kerangka waktu kontinu telah diberikan dalam model Black-Scholes yang memberikan suatu kesimpulan yang sama.
4.2 Saran
Dengan memperhatikan kesimpulan yang diperoleh, maka diberikan saran-saran sebagai berikut:
1 Model juga dapat dikembangkan dengan memperhitungkan aspek lain seperti melepas opsi, premi periodik atau risiko jangka panjang.
2 Pada penelitian lebih lanjut, untuk lebih menunjukkan perbedaan nilai wajar dalam tiga rencana partisipasi dapat dibuat analisis numeriknya.
59
DAFTAR PUSTAKA
Abink M, Saker M. 2002. Getting to grif with fair value. The Staple Inn Actuarial Society.
Bacinello AR. 2001. Fair pricing of Life Insurance participating policies with a minimum interest guaranteed. ASTIN Bulletin. 31(2): 275-298.
Bacinello AR. 2003a. Fair valuation of a guaranted life insurance participating contract embedding a surrender option. Journal of Risk and Insurance. 70(3): 461-487.
Bacinello AR. 2003b. Pricing guaranteed life insurance participating policies with annual premiums and surrender option. North American Actuarial Journal. 7(3), 1-17.
Black F, Scholes M. 1973. The Pricing of Option and Corporate Liabilities. The Journal of Political Economy. 81(3):637-654.
Bodie Zvi, Kane Alex, Markus AJ. 2005. Investasi. Jilid I. Budi Wibowo, penerjemah. Salemba Empat. Terjemahan dari: Invesment.
Bowers NL JR, Gerber HU, Hickman JC, Jones DA, Nesbitt CJ.1997. Actuarial Mathematics. Second Edition. The Society of Actuaries. Illinois USA.
Briys E, De Varenne F. 1979. On the risk of insurance liabilities: debunking some common pitfalls. Journal of Risk an Insurance. 64(4):
673-694.
Buhlman H. 2002. New Math for Actuaries. ASTIN Bulletin. 32(2): 209-211.
Chance DM. 2004. An Introduction to Derivatives & Risk Management. Sixth Edition. Thomson South Western. Ohio USA.
Cox J, Ross S, Rubenstein M. 1979. Option Pricing: a simplified approach. Journal of Finacial Economics. 7: 229-263.
Devolder P. 2003. Fair valuation of Actuarial Liabilities in Binomial
Environment. Universite Catholique de Louvain. Valencia.
Devolder P, Dominguez-Fabian I, 2005. Fair Valuation of Various Participation Schemes in Life Insurance. Astin Bulletin, 35(1): 275-297
Ghahramani S. 2005. Fundamental of Probability With Stochastic Processes.
60
Grosen A, Jorgensen. P.L. 2000. Fair valuation of life insurance liabilities: the infact of interest rate guarantees, surrender option and bonus policies. Insurance Mathematics and Economics. 26(1): 37-57.
Hull JC. 2006. Options, futures and other derivatives. Sixth Edition. Pearson Precentice Hall. New Jersey USA.
Ross SM. 1993. Introduction Probabilty Models. Fifth Edition. Academics Press. Inc. San Diego.
LAMPIRAN
61
Lampiran 1 Bukti Persamaan (2.22)
Sebuah fungsi , , yang kontinu, dengan turunannya yang juga
kontinu memenuhi
1
2 .
Bukti:
Fungsi , merupakan fungsi kontinu dan dapat diturunkan dalam peubah . Jika ∆ adalah perubahan kecil pada dan ∆ merupakan hasil perubahan kecil dalam , maka
∆ ∆ 1.1
Dapat dikatakan bahwa, ∆ sama dengan pendekatan tingkat perubahan
berhubungan dengan dikalikan dengan ∆ . Jika dibutuhkan perhitungan yang lebih teliti, ekspansi deret Taylor pada ∆ dapat digunakan
∆ ∆ 1
2 ∆
1
6 1.2
Untuk fungsi yang kontinu dan dapat diturunkan pada dua peubah dan , hasil yang sama dengan persamaan (1.1) adalah
∆ ∆ ∆ 1.3
dan ekspansi deret Taylor pada ∆ adalah
∆ ∆ ∆ 1
2 ∆ ∆ ∆
1
2 ∆ 1.4
Jika diambil limitnya pada saat ∆ dan ∆ mendekati 0, persamaan (1.4) menjad 1.5 Perluasan persamaan (1.5) untuk mencakup fungsi pada peubah yang mengikuti proses It , dengan memisalkan peubah mengikuti proses It sehingga
, , 1.6
dan merupakan fungsi pada dan . Analog dengan persamaan (1.4) ∆ dapat dinyatakan sebagai berikut
∆ ∆ ∆ 1
2 ∆ ∆ ∆
1
62
Persamaan (1.6) dapat dinyatakan dalam fungsi diskret sehingga
∆ , ∆ , √∆ 1.8
Atau jika penjelasan , dihilangkan menjadi
∆ ∆ √∆ 1.9
Persamaan ini menampakkan perbedaan penting antara persamaan (1.4) dengan persamaan (1.7). Pada saat penjelasan limit digunakan untuk merubah persamaan (1.4) menjadi (1.5), bentuk ∆ diabaikan karena merupakan bentuk orde kedua. Dari persamaan (1.9) dapat diperoleh
∆ ∆ bentuk orde yang lebih tinggi dalam ∆ (1.10) Hal ini menunjukkan bahwa bentuk yang mengandung ∆ pada persamaan (1.7) mempunyai komponen ∆ dan tidak dapat diabaikan.
Ragam pada distribusi normal baku adalah 1, hal ini berarti 1
dengan E melambangkan nilai harapan. Pada saat 0 akibatnya 1
sehingga nilai harapan ∆ ∆ . Hal itu dapat ditunjukkan bahwa ∆ adalah ragam pada orde ∆ dan sebagai akibatnya ∆ dapat diperlakukan sebagai bentuk nonstokastik dan sama dengan nilai harapan ∆ , pada saat ∆ mendekati 0. Dengan mengambil nilai limitnya pada saat ∆ dan ∆ mendekati nol pada persamaan (1.7) dan menggunakan hasil terakhir diperoleh
1
2 1.11
mengikuti lema It . Dengan menyubstitusikan pada persamaan (1.6) ke dalam persamaan (1.11) diperoleh
1 2 1 2 1 2
63
Lampiran 2 Penurunan Persamaan (3.6)
1 1 1 2 2 Bukti: 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 .
64
Lampiran 3 Penurunan Persamaan (3.19)
2 Bukti: 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2
2 .
65
Lampiran 4 Penurunan Persamaan (3.20) 2 Bukti: 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 2 2 2 .
66
Lampiran 5 Penurunan Persamaan (3.21) 2 Bukti: 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 .
67
Lampiran 6 Penurunan Persamaan (3.23)
v T Bukti: v T 1 1 T 1 1 T 1 1 1 T T 1 1 T T .
68
Lampiran 7 Penurunan Persamaan (3.24)
v T Bukti: v T 1 1 1 1 t T 1 1 1 1 t T 1 t 1 1 t T 1 t T 1 1 1 1 T 1 1 1 1 T 1 1 1 1 1 T 1 1 1 1 1 T dengan 1 1 1 1 1
69 Bukti: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Merupakan deret geometri dengan suku pertama dan rasio . Sehingga jumlah deret tersebut adalah: 1 1 1 1 1 1 1 11 1 11 1 1 11 11 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 .
70
Lampiran 8 Penurunan Persamaan (3.30)
2 Bukti:
Menggunakan nilai (3.4) dan (3.7) pada dan , rumus (3.29) menjadi:
1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 .
71
Lampiran 9 Bukti Persamaan (3.38)
Suatu fungsi , ln memiliki turunan sebagai berikut:
1 1
0
Substitusikan turunan-turunan tersebut ke dalam persamaan
1
1
Fungsi memiliki drift rate dan variance rate . Perubahan Y
dalam waktu antara 0 sampai 1 merupakan sebaran normal dengan rataan dan . Hal ini berarti:
ln 1 ln 0 ,
ln 1 ln 0 ,
dengan 1 adalah harga aset pada waktu 1, 0 harga aset pada waktu 0 dan , menyatakan distribusi normal dengan:
rataan ln 0 dan simpangan baku . Selanjutnya, jika 1 didefinisikan sebagai fungsi kepekatan peluang dari
1 , maka nilai harapan menjadi
maks 1 1 , 0
1 1 1 1 . 5.1
72
Selanjutnya didefinisikan sebuah peubah acak lain yaitu dengan
ln 1
. 5.2 Dengan menyubstitusikan dan ke dalam persamaan (5.2) diperoleh
ln 1 ln 0 2
, 5.3 dengan juga berdistribusi normal dengan rataan 0 dan simpangan baku 1. Fungsi kepekatan peluang dari dinyatakan dengan sehingga
1 √2
/ . 5.4
Selanjutnya untuk menentukan nilai maks 1 1 , 0 perlu adanya
perubahan batas integral dari integral menurut 1 menjadi integral menurut .
Jika 1 ∞, maka ∞ dan jika 1 1 , maka
ln 1
.
Dengan mengubah persamaan di atas menjadi persamaan dalam 1 sehingga
1 . 5.5
Dengan menggunakan persamaan (5.5) bersama-sama dengan persamaan (5.4) dan dengan perubahan batas integral seperti yang disebutkan di atas, maka persamaan (5.1) menjadi maks 1 1 , 0 1 / 1 / 1 √2 / / 1 / 1 √2 / / 1 / 1 √2 / / 1 / / 1 √2 / / 1 /
73 / / 1 / / 1 ln 1 1 1 ln 1 / ln 1 1 ln 1 5.6 dengan /
Dengan menyubstitusikan dan ke dalam persamaan (5.6) menjadi
maks 1 1 , 0 / ln 1 1 ln 1 / ln 1 ln 0 2 1 ln 1 ln 0 2 / ln 1 ln 0 2 1 ln 1 ln 0 2 ln 1 0 2
74 1 ln 0 1 2 1 0 1
Karena 0 1 dan ln 1 maka:
maks 1 1 , 0 1
Nilai opsi call menjadi
, , 1 maks 1 1 , 0
1
1
1
75
Lampiran 10 Penurunan Persamaan (3.39)
, , 1 ln 11 2 , , 1 ln 11 2 , , 1 Bukti: , , 1 ln 0 1 2 ln 1 1 ln 1 2 ln 11 2 , , 1 ln 0 1 2 ln 1 1 ln 1 2 ln 11 2 , , 1
