Bentuk Pangkat Akar dan Logaritma (1)

BENTUK PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA

1. BENTUK PANGKAT

1.1 PANGKAT BULAT POSITIF

Jika

_{a R}

_

dan

_{n A}

_

maka didefinisikan : a

a a a

an _{   ... sebanyak n faktor.}

a disebut bilangan pokok (dasar) dan n disebut eksponen (pangkat)

Contoh 1 : Tentukan nilai dari

₂

5 _dan _

  1_

3

4

Jawab :

₂

5 _{= …………..}

    1_

3

4

= ………..

Contoh 2 : Dengan menguraikan menjadi perkalian, tentukan bentuk eksponen yang paling sederhana dari :

a)

₂

3

_

₂

4 _c)

_{ }

₂3 4 _e) 2

3

4

 

 

 

b)

3

3

7

2 d)



pq



5

Jawab : a)

₂

3

_

₂

4 _{= ………….} b)

3

3

7

2 = …………. c)

 

23 4 _{= ………….}

d)



pq



5 = ………….. e) 2

3

4

 

 



 = ………

Dari contoh 2 di atas dapat disimpulkan :

Jika

a b R

,



,

_{m A}

_

dan

_{n A}

_

maka berlaku sifat-sifat eksponen sbb: 1.

_{a a}

m

_.

n

_

_....

_{4. ab ....}

2.

a

a

m

n



...

5.

a b

n

 

 

  .... 3.



am n



_....

Contoh 3 : Dengan menggunakan sifat-sifat eksponen di atas, sederhanakan bentuk berikut :

a)

_{x x}

2

_.

7 _d)

_

_{x y}2

_

3

b)

n

n

7

2 e)

2_p2 4

q  

 

 

c)

_{ }

x2 5 _f)

_

_2xy3 4

_

_{.x y}2

b)

n

1.2. PANGKAT BULAT NEGATIF DAN NOL

Contoh 1 : Dengan menggunakan sifat-sifat eksponen, tentukan hubungannya dari : a)

2

Dari contoh 1 di atas dapat disimpulkan bahwa : Untuk setiap

a R a



,



0

dan

_{n R}



berlaku sifat-sifat : 1.

_a

0

_

_...

2.

_a

n



...

Contoh 2: Sederhanakan dan jadikan pangkat positif dari : a)

₅

3 _b)

1

Jawab : a)

₅

3 _{= ...} b)

1

2

3 = ... c)

_

2_{x y}2

_

2 _{= ...}

LATIHAN SOAL

1. Sederhanakan dan nyatakan dengan eksponen positif dari : a)

_a

5 _{f) a}6_b4_a2_b2 _k) 5

1.3 EKSPONEN RASIONAL (PECAHAN)

Seperti kita ketahui jika

₂

3

_

₈

_maka

₂

_

3

₈

Contoh 1: Ubah ke bentuk akar dari :

a)

₂

1 2/ _b)

₆

3 5/ _c)

₂

_x

3 2/

Jawab : a)

₂

1 2/ _{= ....} b)

₆

3 5/ _{= ....} c)

₂

_x

3 2/ _{= ....}

a) 3 b) ₃

1

₂

x

Jawab : a) 3 = ... b) ₃

1

₂

x

= ...

Contoh 3: Tentukan nilai dari

₁₆

3 4/

Jawab :

₁₆

3 4/ ₌

_

_...

_

3 4/ _{= ... = ...}

LATIHAN SOAL

1. Ubah menjadi bentuk akar

a)

₃

1 2/ _b)

₅

1 3/ _c)

₄

3 4/ _d)

_x

4 9/ _e) 1

3

2 3

x /

2. Ubah ke bentuk pangkat a) 2 5 b)

1

2

5 c) 3 52 d)

3

3

4

3 e)

2 7

2 5 _x

3. Tentukan nilainya

a) 3

₆₄

_b)

₈

2 3/ _c)

₃₂

3 5/ _d)

₈₁

3 8/ _e) 27 64

2 3

 

 

 

/

4. Sederhanakan dalam bentuk akar

a)

₂

3 4/

_.

₂

1 8/ _b)

_

₆

_

2 _{c) 2 2. 18 d)} 2

2 e) 12 2. 3

5. Jika a = 1, b = 3 dan c = -18, maka tentukan x dari _x b b ac a   

2

4 2

2. BENTUK AKAR

2.1 OPERASI BENTUK AKAR

Bentuk akar termasuk bilangan irasional, yaitu bilangan yang tidak dapat dinyatakan dengan pecahan a/b, a dan b bilangan bulat dan

b



0

Contoh bentuk akar : 2_, 3_, 5_,3 2_,3 4_,5 7 _dsb bukan bentuk akar : 4_, 9_,38_,416 _dsb

Catatan : a adalah bilangan non negatif, jadi a 0 Operasi Pada Bentuk Akar

1. _{ax a} _a

2. ab  a b

3. a cb c 



ab



c

4. a b

a b 

a) 20 b) 75 c) _x3 _d) 3 _a8

Jawab : a) 20 = ... b) 75 = .... c) _x3 _{= ....}

d) 3 _a8 _{= ....}

Contoh 2: Sederhanakan :

a) 3 24 2 b) 4 37 3 5 3 c) 8 18 Jawab : a) 3 24 2 = ...

b) _{4 3}_{7 3} _{5 3} = ...

c) 8 18 = ....

Contoh 3 : Sederhanakan :

a) 6 3 b)



5 3



5 3



_c)



2 2 3



2

Jawab : a) 6 3 = ....

b)



5 3



5 3



_{= ....}

c)

_

2 2 3

_

2 = ....

LATIHAN SOAL 1. Sederhanakan

a) ₇₂ b) ₁₆₀ c) ₁₂₀₀ d) _{2 80} e) _8x2

f) _{3 12a b}5 3 _g) 2

2 h)

9

3 i)

8

9 j)

2

₄

3 2 4

a b

c

2. Sederhanakan

a) ₁₂ ₅₀ ₄₈ d) 72 180

45 18

 

b) 2 16 3 18 27 e) 2 8 4

2

x x

x 

c) 3 20 4 45 2 5



3. Sederhanakan

a)



23

 

2 3



c)



3 52 3

 

3 5 2 3



b)



5 3

 

5 3



d)



x x  y



2

2.2 MERASIONALKAN PENYEBUT PECAHAN BENTUK AKAR

Jika kita menghitung bilangan, operasi perkalian lebih mudah daripada pembagian. Apalagi operasi pembagian dengan bentuk akar.

Ada 3 cara merasionalkan penyebut bentuk pecahan bentuk akar, yaitu :

1. Pecahan Bentuk a

Diselesaikan dengan mengalikan b

b

Contoh 1: Rasionalkan penyebut dari pecahan : a) 2

3 b)

2 3 3

Jawab : a) 2 3 =

2

3 x ... = ... b) 2

3 3 = 2

3 3 x ... = ...

2. Pecahan Bentuk a

b c

Diselesaikan dengan mengalikan b c

b c

 

Contoh 2 : Rasionalkan penyebut pecahan 8 3 5

Jawab :

5 3

8

 = 3 5 8

 x ... = ....

3. Pecahan Bentuk

c b

a 

Diselesaikan dengan mengalikan b c

b c

 

Contoh 3 : Rasionalkan penyebut dari pecahan 12 3 6 2 Jawab : 12 3

6 2 =

12 3

6 2 x .... = ...

LATIHAN SOAL

1. Rasionalkan penyebutnya a) 12

3 b)

10

5 c)

9

2 3 d)

7 3

7 e)

4 3 5 2 2. Rasionalkan penyebutnya

a) 9

5 7 b) 20

4 6 c) 5

11 6 d)

2 5

7 13 e) 4 6 8 2 3 3. Rasionalkan penyebutnya

a) 14

10 13 b) 

 10

2 7 c)

8 3

11 7 d) 6

102 3 e)

3. PERSAMAAN EKSPONEN (SEDERHANA)

Persamaan eksponen yaitu persamaan yang eksponen/pangkatnya mengandung variabel/peubah.

1. Jika

_a

f x( )

_a

p



maka f(x) = p 2. Jika

_a

f x( )

_

_a

g c( ) _{maka f(x) = g(x)} dimana p suatu konstanta

Contoh 1: Tentukan HP dari : a)

₄

2x3

₈



b)

₈

2x1

₁₆

3x2



Jawab : a)

₄

2x3

₈



b)

8

2x1

16

3x2



_

2....

_

2x3 _2.... _{.... = ....}

₂

...

_

₂

... _{... = ....} ...= .... ... = ... x = ... x = ....

HP:{...} HP:{ ... }

LATIHAN SOAL Tentukan HP dari : 1.

₂₇

x2

₈₁

2x5



6.

5

x9

25

3x



2.

₈

2x1

₁



7. 1₂ 82



 

  

x x

3. 9 1 27

4x5 _{ 8.}

1

25

125

3 2 x

x





4. 5 5 5

2x _{ 9.}

₁₆

8

2

2 1

1 x

x







5.



3



x5 1 10. 8

4 1 32 8

2x3



3. LOGARITMA

3.1 PENGERTIAN LOGARITMA

Seperti telah kita ketahui bahwa : Jika

₅

2

_

₂₅

_{maka 5 = …}

Pada

₂

3

_

₈

_{, bagaimana menyatakan 3 dengan 2 dan 8?}

Untuk itu diperlukan notasi yang disebut Logaritma untuk menyatakan pangkat dengan bilangan pokok (basis) dengan hasil pangkat (numerus).

Jadi jika

₂

3

₈



maka

3

_

2

log

8

_{dibaca “2 log 8”}

Sehingga logaritma merupakan invers dari perpangkatan. Secara umum dapat dinyatakan :

Jika

a

x

_

y

_{maka x = …. syarat :}

_a

_

₀

_,

_a

_

₁

_dan

_y

_

₀

a : basis logaritma y : numerus x : hasil logaritma

Khusus untuk bilangan pokok 10, bisa dituliskan bisa juga tidak. Jadi jika log 5 maksudnya 10

log

5

_.

Contoh 1: Nyatakan dalam bentuk logaritma dari perpangkatan : a.

₃

4

_

₈₁

_b.

₂

n

_

₁₂₈

_c.

_a

b

_

_c

Jawab : a.

₃

4

_

₈₁

_

_{4 = ….} b.

₂

n

_

₁₂₈

_

_{n = ….} c.

_a

b

_

_c

_

_{b = ….}

Contoh 2 : Nyatakan dalam perpangkatan dari bentuk logaritma : a.

4

_

3

log

81

_{b. log 100 = 2 c.} p

_log

_q

_

_r

Jawab : a.

4

_

3

log

81

_

_….

b. log 100 = 2



…. c. p

_log

q

_

r

_

_….

Contoh 3: Hitunglah :

a. 2

log

64

_b.

1. Nyatakan dalam bentuk logaritma dari : a.

₅

2

₂₅

2. Nyatakan dalam bentuk perpangkatan dari : a. log 10.000 = 4 b.

4

a. 5

log

625

_b. 4

_log

₄

_c. 7

_log

₁

_{d. log 0,1 e.}

3.2 SIFAT-SIFAT LOGARITMA

Jika

a



0

,

b



0

,

c



0

dan

a



1

, maka :

Contoh 1: Sederhanakan : a. 3log5

Jawab : log 24 = ….

Contoh 3: Jika 3

log

4



a

dan

4

log

5



b

_{, maka tentukan} 5

_log

₉

Jawab : 5

log

9

₌ 5

_log

₃

2

_

_...

LATIHAN SOAL

1. Sederhanakan

a. 6

log

8

_

6

log

2

_

6

log

9

_f. 2

_log

₁₅

_.

3

_log

₁₆

_.

15

_log

₉

b. 2

log

50

_

2

log

4

_

2

log

10

_g. 3

_log

₄

_.

2

_log

₃

_.

4

_log

₈

c.

2

log

3



log

2



log

18

h. 8

log

16

d.

6

log

2

3

log

3

log

2

log





i. 16

log

625

e.

15

log

2

log

6

log

5

log

9

3 3

3

_

_

j.

10

log

5

log

25

log

2

log

3

3 3

3

_

_

2. Jika log 2 = 0,3010 dan log 5 = 0,6990, maka tentukan :

a. log 20 b. log 500 c. log 40 d. 2

log

5

_e. 5

_log

₈

3. Jika 2

log

3



m

dan

3

log

5



n

_{, maka tentukan :}