APLIKASI INTEGRAL DALAM FISIKA
Integral Tak Tentu. Proses untuk menemukan seluruh antiderivative dari sebuah fungsi
dinamakan antideferensial atau integral dan dilambangkan dengan ∫ .
Dibawah ini merupakan beberapa contoh soal integral beserta jawaban yang berhubungan dengan mata kuliah fisika.
1. Diketahui suatu mobil bergerak dengan persamaan kecepatan = , dengan
v dalam satuan meter per sekon dan t dalam satuan sekon. Tentukan perpindahan mobil setelah menempuh waktu t=3 sekon! (soal buatan sendiri)
Jawab:
= m/s
Persamaan perpindahan dapat dicari dengan mengintegralkan persamaan kecepatan.
=∫
=∫ =
= 27 + 18 - 15 = 30
Jadi, perpindahan mobil setelah menempuh waktu t=3 sekon adalah 30 meter.
2. Percepatan suatu benda dilukiskan dengan suatu persamaan m/ . Benda tersebut bergerak dengan kecepatan awal 3 m/s dan bergerak ke arah kanan. Berapakah kecepatan benda tersebut setelah 2 sekon? (soal buatan sendiri)
Jawab:
m/
Pertama-tama harus dicari persamaan yaitu:
= ∫ = ∫
=
=
Setelah itu substitusikan t=2, maka:
=
=
= = 21
3. Sebuah cakram mempunyai jari-jari 10 cm digunakan dalam percobaan praktikum fisika. Pada saat pemutaran didapatkan percepatan dengan persamaan m/ , dengan t dalam sekon. Tentukan kecepatan sudut pada cakram setelah 2 sekon! (soal buatan sendiri)
Jawab:
R = 0,1 m
m/
Rumus mencari kecepatan sudut ω adalah V = ω.R.
Sedangkan kecepatan V dapat dicari dengan mengintegralkan persamaan percepatan a.
= ∫ = ∫ = 4
4 = 16 – 4 = 12
Sehingga, kita dapat mencari besar kecepatan sudut ω: ω = ⁄
= ⁄ = 120 rad/s
Jadi, kecepatan sudut cakram setelah 2 sekon adalah 120 rad/s.
4. Sebuah partikel bergerak pada bidang x-y. Posisi awal partikel adalah pada koordinat (2,4) m, dengan kecepatan partikel memenuhi persamaan ⃗ ⃗ ⃗ m/s, dengan t dalam sekon. Tentukan:
a. Persamaan vektor posisi partikel. b. Posisi partikel pada saat t=3 sekon.
(sumber: Buku Pintar Belajar Fisika untuk SMA/MA XI-A)
Jawab:
⃗ ⃗ ⃗ m/s, maka m/s dan m/s.
Posisi awal (2,4) m, maka m dan m.
a. ⃗ ⃗ ⃗ x = ∫
= ∫
= 2 +
= m y = ∫
= ∫
= 4 +
= m
b. Posisi partikel pada saat t=3 sekon:
⃗ ⃗ ⃗
= ⃗ ⃗ = 24,5 ⃗ + 43 ⃗
Jadi, vektor posisi pada saat 3 sekon adalah ⃗ ⃗ ⃗ meter.
5. Vektor percepatan sebuah partikel bergerak dalam bidang xy diberikan oleh ⃗
⃗ ⃗, dengan ⃗ dalam meter per sekon kuadrat dan t dalam sekon. Carilah posisi partikel sesaat! (soal buatan sendiri)
Jawab:
⃗ ⃗ ⃗
Pertama-tama integralkan vektor percepatan sehingga di dapat vektor kecepatan.
⃗ ∫ ⃗
= ∫[ ⃗ ⃗] = ⃗ ⃗
Vektor posisi dicari dari integral vektor kecepatan.
⃗ ∫ ⃗
= ∫[ ⃗ ⃗ ]
⃗ ⃗
Jadi, posisi partikel sesaat adalah ⃗ ⃗ ⃗
6. Sebuah batu dilempar ke atas dengan kecepatan awal 128 ft/sec. Kita mengetahui bahwa percepatan batu itu sesuai dengan gravitasi dalam arah ke bawah.
a. Tentukan fungsi kecepatan vertikal v(t) dan fungsi ketinggian s (t) b. Berapa tinggi yang dicapai batu itu?
c. Berapa lama akan di ambil batu iu untuk sampai di tanah?
(SUMBER: Yahya, Yusuf, dkk. 2012. Matematika Dasar Perguruan Tinggi. Bogor: Penerbit Ghalia Indnesia. Halaman: 296-297)
Jawab:
a. Andaikan batu dilempar pada waktu t = 0 dan arah positif ke atas, maka v(0) = 128. Karena percepatan arahnya ke bawah, maka a(t) = -32
Dari v’(t) = a(t), maka v(t) = ∫
Karena v(0) = 128 = 32 (0) + C + 128 Maka v(t) = -32t + 128
Untuk menentukan s(t), ingat bahwa s’(t) = v(t) atau = v(t) Sehingga s(t) = ∫
Untuk menghitung C1, kita gunakan syarat awal bahwa pada waktu t=0 ketinggian
objek itu adalah nol. Oleh karena itu, s (0)=0 sehingga C1 =0 dan s(t)=-16t2 + 128t
adalah fungsi yang meberikan ketinggian objek itu pada sembarang waktu. b. Titik tertinggi dari pelayangan batu itu terjadi ketika v(t)=0.
Maka,
v(t)=-32t+128=0 <-> 32t=128 <-> t=4 Hitung fungsi jarak (jauh) yaitu:
S (4)=-16(4) 2 +128(4) = -256+512=256 Jadi, titik tertingginya adalah 256 ft.
c. Ketika objek itu jatuh ke tanah, s(t)=0, sehingga: -16t2 +128t=0
16t(-t+8)=0
16t=0 <-> t=0 atau –t+8=0 <-> t=8
Objek itu dilempar pada waktu t=0 dan pada waktu t=8 detik objek itu kembali ke tanah.
:: Lama pelayangan batu itu adalah 8 detik.
7. Percepatan suatu benda yang bergerak dapat dirumuskan a = 5t – 4. Pada saat t = 1
diperoleh jarak s = 2 dan kecepatannya pada t =2 adalah 9 (a =
dan v =
). Tentukan rumus untuk s ! (soal buatan sendiri)
2 = - 2 + 7(1) + c
2 = – 2 + 7 + c <-> c = - 23
Jadi, s = - 2 + 7t – 23
8. Posisi awal mobil adalah pada koordint (2,0). Komponen kecepatan dinyatakan:
Vx = 2t , Vy = 5 + 0,75 t2
Tentukan:
a. Persamaan umum posisi mobil
b. Posisi mobil saat t= 2s (soal buatan sendiri)
Jawab:
X0 = 2 dan y0 = 0
r= xi + yi
x= x0 + ∫
= 2 + ∫ 2 + C
= 2 + (t2 + C) – (02 + C)
= 2 + t2
y = y0 + ∫ y dt
= 0 + ∫ 2 ) dt
= 5t + t3 + C |
= (5t + 0,25 t3 + C) – (0 + 0+ C)
= 5t + 025t3
r= (2 + t2) i + (5t + 0,25t3) j
= (2 + 22) i + [5(2) + 0,25 (23)] j
|r| = √
= √
9. Arus yang melalui suatu piranti berubah terhadap waktu sebagai i(t)= 0,05t Ampere. Berapakah jumlah muatan yang dipindahkan melalui piranti ini antara t=0 sampai t=5 detik ? (soal buatan sendiri)
Jawab:
Arus i adalah laju perubahan transfer muatan q.
i=
sehingga q= ∫
jumlah muatan yang dipindahkan dalam 5 detik adalah
q= ∫ = ∫ = 0 t2
= – = - 0 = 0,625 coloumb
10.Sebuah benda jatuh dalam ruangan hampa udara. Benda tersebut jatuh sejauh 16t2 m dalam t detik. Hitung kecepatan pada detik pertama! (soal buatan sendiri)
Jawab:
V pada t= 1 sekon
f(t)= 16 t2 maka f’ (1) = ...?
f’ (t) =
f’ (1) = –
=
= ( )
=
=
