nota matematik-pembezaan

NAMA PELAJAR : MARSHIZAWATI BINTI RASIP

NO. TELEFON : 0176143324

E-MEL : marshiza@gmail.com

FAKULTI PENDIDIKAN DAN BAHASA SEMESTER SEPTEMBER 2012

HBMT4403

DISEDIAKAN OLEH:

PN MARSHIZAWATI BINTI RASIP

Merupakan operasi atau konsep

matematik yang digunakan dalam

kalkulus di mana sesuatu terbitan fungsi

atau pembolehubah ditentukan

KONSEP PEMBEZAAN

Nota : Pembezaan

4

Pembezaan boleh ditakrifkan sebagai proses

mencari Terbitan Fungsi. Pembezaan boleh

digunakan sebagai alat untuk mengira atau

mengkaji kadar perubahan kuantiti berkenaan

dengan perubahan dalam kuantiti lain. Contoh

yang paling biasa adalah pengiraan halaju dan

pecutan. Halaju diberi oleh v = dx / dt, dimana 'x'

adalah jarak yang diliputi oleh badan yang

bergerak dalam masa 't'.

Definisi :Terbitan

Pengiraan kecerunan garis tangen, kadar serta-merta perubahan fungsi, dan halaju seketika objek pada semua yang diperlukan untuk mengira had

berikut.

Perubahan kecil notasi had ini juga boleh ditulis sebagai,

Ini adalah apa-apa had yang penting dan ia timbul di banyak tempat maka ia diberikan nama. Itulah terbitan. Berikut adalah definisi rasmi terbitan. Terbitan berkenaan dengan x adalah fungsi dan ditakrifkan sebagai,

Nota : Pembezaan(HBMT4403) 6

TERBITAN FUNGSI

Pembezaan Daripada Prinsip Pertama

Terbitan fungsi y = f (x) pada titik (x, f (x)) bersamaan dengan kecerunan garis tangen kepada graf pada ketika itu. Ia boleh ditakrifkan sebagai:

Di mana 'h' menghampiri sifar sebagai had. Rajah di bawah menggambarkan konsep ini secara grafik:

Formula terbitan (atas) memberikan kecerunan garis sekan di antara kedua-dua titik. Ketika nilai 'h' menjadi lebih kecil, kedua-dua titik menjadi lebih dekat dan kecerunan

Jika y = x n _{maka = n x} n-1 _{, n R} Jika y = f (x) = e x _{maka =} f ' _{(x) = e} x Jika y = e f(x) _{maka = e} f(x) _. f _'(x) KAEDAH PEMBEZAAN

Nota : Pembezaan 8

Imbas Kembali: Fungsi terbitan ditakrifkan hanya untuk x positif, bukan untuk x = 0. Apabila r = 0, peraturan ini menunjukkan bahawa f '(x) adalah sifar untuk x ≠ 0, yang

hampir kepada peraturan malar(seperti yang dinyatakan di bawah).

Fungsi Eksponen dan Logaritma

Fungsi Trigonometri

Fungsi Songsangan Trigonometri

Imbas Kembali Mengenai Petua Pembezaan

Bagi Satu Fungsi Pembolehubah

0

)

1

k



dx

d

1

)

2

x

n



nx

n

dx

d

   



f

x

g

x



f

 

x

g

 

x

d

_

_

_

_

_

)

3

= =

Nota : Pembezaan 10

Petua Fungsi Malar

Terbitan bagi fungsi malar adalah bersamaan 0 untuk setiap nilai x

0

)

1

k



dx

d

Buktikan jika:

_f(x)



_k

_,

Maka

:

f(N)



k

0

lim

)

(

)

(

lim















 

_x

_N

k

k

N

x

N

f

x

f

f '(N)

N x N x

0

)

(





N

f

Maka :

f '(x)



0

Petua Fungsi Kuasa

1

)

2

x

n



nx

n

dx

d

Terbitan fungsi xn adalah bersamaan

Jika,

f(x)



x

n

,

Maka,

_{f '(x)}



_nx

n-1

Contohnya: Jika 4

Nota : Pembezaan

12

KAEDAH PEMBEZAAN

• Petua Hasil Tambah - Hasil Tolak

• Petua Hasil Darab

• Petua Hasil Bahagi

• Fungsi Gubahan

   



f

x

g

x



f

 

x

g

 

x

dx

d

_









)

3

Terbitan bagi Hasil Tambah(atau Hasil Tolak) Dua Fungsi

adalah sama denganHasil Tambah (atau Hasil Tolak)

Terbitan bagi Dua Fungsi.

75

10

4

75

10

4

2 3 2 3

















d

Q

d

Q

d

Q

d

dC

Q

Q

Q

C

Nota : Pembezaan 14

Petua Hasil Darab

   



f

x

g

x



g

       

x

f

x

f

x

g

x

dx

d

_







)

4

Terbitan hasil darab dua fungsi adalah sama dengan fungsi kedua didarabkan dengan terbitan hasil tambah fungsi pertama

didarabkan dengan terbitan fungsi kedua

Algoritma Mnemonik:

1d2)

Tinjauan Semula Petua-petua Pembezaan Bagi

Fungsi Satu Pembolehubah

   



f

x

g

x



g

       

x

f

x

f

x

g

x

dx

d

_







)

4

1d2

2d1

:

mnemonic

algorithm



Petua Hasil Darab

c

cx

dx

d

a

)



5

    

x

c

 

x

c

cx

dx

d







0

1

0

d

Petua Malar dan Petua Hasil Darab

Nota : Pembezaan 16

 

 

x

g

x

f

 

 

       

g

 

x

x

g

x

f

x

f

x

g

x

g

x

f

dx

d

2

)

6

_































2

2

1d2

-2d1

:

mnemonic

Algorithm

Untuk membezakan fungsi gubahan kita menggunakan aturan rantai yang ditulis seperti

berikut;

[ f (g (x)) ] = f ' (g (x)) g' (x) = f ' ( ) . g' (x)

Ini bermaksud membezakan fungsi luar, meninggalkan hujah fungsi luar sahaja, dan kemudian darabkan dengan terbitan

Nota : Pembezaan 18

Untuk mencari , daripada Fungsi Mutlak yang diberikan, kita perlu menggunakan

Petua rantai dan petua hasil darab

Petua Pembezaan

Melibatkan Fungsi Yang Pembolehubahnya

Berbeza

Nota : Pembezaan 20

 





   









1 0 1 1 . . 2

)

8

,...,

variable

exog.

one

than

more

w/

rule

chain

)

7

variable

exog.

one

w/

rule

chain

x

y

dy

dz

dx

dz

x

x

g

f

z

let

x

g

y

f

dx

dy

dy

dz

dx

dz

x

g

f

z

let

n dx n





















Petua Rantaian

Ini adalah kes di mana dua atau lebih fungsi

diterbezakan, yang mana setiap satunya

mempunyai pembolehubah tak bersandar

Dimana,

z



f(g(x))

,

i.e.,

i.e.,

,

f(y)

z



i.e.,

,

g(x)

y



Z adalah fungsi pembolehubah y dan Y adalah fungsi pembolehubah x

dy

dz

dz

Nota : Pembezaan 22

Petua Rantaian

Ini adalah kes di mana dua atau lebih fungsi

diterbezakan, yang mana setiap satunya

mempunyai pembolehubah tak bersandar

dx

dy

dy

dz

dx

dz



)

7

f(Q)

R



Jika,

_{Dan jika,}

_Q



_g(L)

   

L L

MRP

MPP

MR

L

g

Q

f

dL

dQ

dQ

dR

dL

dR



















Cari

_dz

_dx

_,

1

dimana

z



f(y)

dan

y



g(x

₁

, x

₂

)

.

Prosedur:

Gantikan kebezaan jumlah y ke

dalam z dan bahagikan kepada

Dengan mengandaikan

1

dx

0

dx

₂



2 2 1 1

)

3

)

1

dx

x

y

dx

x

y

dy

dz

dz

dy

dy

dz

dz

_

























Nota : Pembezaan 24 y x B T R A

Kecerunan lengkungan, y = f(x), pada titik R atas lengkungan diberi oleh lengkungan tangen di R. Ia juga diberi oleh nilai di atas titik R, yang mana ia boleh dikira menggunakan

persamaan lengkungan. Oleh itu, kita boleh mengira kecerunan tangen bagi lengkungan pada sebarang titik R

Jika A (x₁ , y₁) ialah titik pada garisan y = f(x), kecerunan garis (pada garis lurus) atau kecerunan tangen di atas garis (lengkungan) nilai apabila x = x₁

Kecerunan Tangent pada A (x₁ , y₁): = Kecerunan Tangen

Persamaan Tangen: y – y₁ = m _tangent (x - x₁) Kecerunan Normal pada A (x₁ , y₁):

m _normal = - 1 __ m _tangent Kecerunan normal

Nota : Pembezaan 26

Jika y suatu fungsi x, maka merupakan kadar

perubahan y terhadap x. Sebagai contoh jika r mewakili jejari dalam meter dan tmewakili masa dalam saat, r ialah fungsi t, maka mewakili kadar perubahan jejari terhadap masa.

Nilai yang positif mewakili kadar perubahan menokok bagi y terhadap x manakala nilai yang negatif mewakili kadar perubahan menyusut bagi y terhadap x.

CONTOH-CONTOH

SOALAN

BERKAITAN TOPIK

PEMBEZAAN

Nota : Pembezaan 28

SOALAN-SOALAN PEMBEZAAN

Soalan 3: Cari kecerunan fungsi y = 3x2 _{apabila x = 5.}

Jawapan

Soalan 1: Cari pembezaan bagi

Jawapan

Soalan 2: Cari pembezaan bagi Jawapan

Soalan 4: Bezakan terhadap x.

Soalan 5: Bezakan 2x3 ₊ _{x +} 2 2 2 x x x  . Jawapan Jawapan

Nota : Pembezaan 30

Jawapan soalan 1:

Jawapan soalan 3:

Nota : Pembezaan 32

Bahagikan : 1 + 2x

1

Bezakan: 6x

2

+



2x

2 2 1 2 1  x 4.

Jawapan soalan 4:

Pemboleh ubah adalah m dan oleh itu terbitan

fungsi adalah terhadap m.

Pembezaan mesti diselesaikan

dengan menggunakan hukum rantai. Ia adalah:

Nota : Pembezaan 34

TAMAT

SEKIAN

TERIMA

RUJUKAN

Nor Hayati Md Yusof.Aisah Ali. (2011)HBMT4403Teaching Mathematics In Form Six. OUM.Meteor.Doc.Sdn.Bhd.Selangor

Mohd Nasir Mahmud.et.al. (2011)HBMT4303Teaching Mathematics In Form Five. OUM.Meteor.Doc.Sdn.Bhd.Selangor

Expert Math Tutoring

http://www.expertmathtutoring.com/Differentiation-Knowledge-Examples.php Bab 3:Penggunaan Pembezaan

http://www.oocities.org/enotebvp/bab3/bab_3_penggunaan_pembezaan.htm Differentiation

http://www.mathslearn.co.uk/core2differentiation.html Differentiation From First Principle