fzm431

FZM431

İ

LER

İ

KUANTUM

MEKAN

İĞİ

Ders notları

Hazırlayan : Prof.Dr. Haluk MUTLU

Ankara Şubat, 2009

1

1. BÖLÜM 1 DALGA MEKANİĞİNİN GENEL YAPISI

Kuantum mekaniğinin temel problemi, belirli bir V(x) potansiyeli için Schrödinger denklemini çözerek E enerji özdeğerlerini ve uE(x)

özfonksiyonlarını elde etmektir :

H uE(x) = E uE(x) (1.1)

Burada H Hamilton işlemcisi olup şu şekilde tanımlanır :

H = p2 / 2m + V(X) = ( - i ħ d / dx )2 / 2m + V(x) (1.2)

Bir sistemin başlangıç durumu, herhangi bir Ψ(x) dalga fonksiyonu ile anlatılabilir. Burada Ψ(x), karesi integre edilebilir bir fonksiyondur. Dalga fonksiyonunun zaman içindeki gelişimini ise, zamana bağlı Schrödinger denklemi verir :

i ħ∂Ψ(x,t) / ∂t = H Ψ(x,t) (1.3)

Bu tanıma göre Ψ(x,t) ‘nin zamana bağımlılığı Ψ(x,t) = Ψ(x) e- i E t / ħ

şeklindedir.

Eğer uE(x) enerji özfonksiyonları biliniyorsa (1.3) ifadesi çözülebilir,

çünkü genel bir teoreme göre karesi integre edilebilir herhangi bir fonksiyon, H’ın özfonksiyonları cinsinden seriye açılabilir :

2

H ‘ın özfonksiyonlarını normalize olarak seçelim. Farklı enerji özdeğerlerine karşılık gelen özfonksiyonların ise ortogonal olduğunu biliyoruz :

< uE׳ | uE > = δEE׳ (1.5)

(1.4) ‘ün her iki tarafını u*_E׳ ile çarpıp tüm uzay üzerinden integralini alırsak,

(1.5) yardımıyla CE açılım katsayılarını elde ederiz :

< u_E׳ | Ψ(x) > = ∑ C_E < u_E׳ | u_E > = C_E׳ (1.6)

Bu şekilde verilen açılım katsayıları, fiziksel olarak şu şekilde yorumlanabilir : |CE|2 niceliği, Ψ(x) durumundaki bir sistem üzerinde bir enerji ölçümü

yapıldığında ölçümün belirli bir E özdeğerini verme olasılığıdır. Herhangi bir ölçüm sadece bir tek özdeğer verir; ancak klasik fiziğin aksine bu özdeğerin hangisi olacağını önceden bilemeyiz; sadece belirli bir E değerini alma olasılığından söz edebiliriz.

Matematik dilinde karesi integre edilebilir fonksiyonlar, Hilbert uzayını

oluştururlar. (1.6) ifadesi, aynı zamanda, Hilbert uzayında iki fonksiyonun skaler çarpımının tanımı olup Dirac notasyonunda yazılmıştır :

∫Φ* (x) Ψ(x) dx = < Φ | Ψ > (1.7)

Genel olarak vektör uzaylarında bir işlemci bir vektörü, başka bir vektöre dönüştürür. Benzer şekilde Hilbert uzayında bir işlemci bir fonksiyonu, aynı

uzayda başka bir fonksiyona dönüştürür. Kuantum mekaniğinde Çizgisel İşlemciler’le ilgileniriz :

3

A (α Ψ1 + βΨ2) = α AΨ1 + β AΨ2

Herhangi çizgisel bir A işlemcisinin Beklenen Değeri şu şekilde tanımlanır :

‹

A

›

= ∫Ψ* A Ψ dx (1.8)

Bu ifadenin komplex eşleniği, eşlenik işlemci A† tanımlar{( Φ ψ )* = ψ*Φ*

}

‹

A

›

* = ∫ (Ψ* A Ψ)* dx = ∫Ψ* A† Ψ dx = ∫ (AΨ)*Ψ dx (1.9)

Fiziksel olarak, Hamiltonyen gibi, gözlenebilir bir niceliği temsil eden bir işlemcinin beklenen değeri reel olmalıdır. Beklenen değeri reel olan işlemcilere

Hermitik İşlemci adı verilir ve şu şekilde tanımlanır :

‹

A

›

* =

‹

A

›

↔

A† = A

(1.10)

ÖRNEK 1 (d/dx) türev işlemcisinin eşleniğini bulunuz. p = - i ħ (d/dx) p = p† (d/dx)† = - (d/dx)

Tüm hermitik işlemcilerin özfonksiyonları vardır; yani bunlar (1.1) tipindeki özdeğer denklemlerini sağlarlar.

Kuantum mekaniğinin genel bir teoremine göre yerdeğiştirebilen, yani

komütatörleri sıfır olan iki işlemcinin özfonksiyonları özdeştir. Bunu görebilmek için A ve B gibi iki işlemci göz önüne alalım. Bunların özfonksiyonları u olsun.

4

A u = a u (i)

B u = b u (ii)

(ii) ifadesine soldan A işlemcisini uygulayıp (i)’i kullanalım : A B u = b Au = a b u (iii)

Benzer şekilde (i) ifadesine soldan B işlemcisini uygulayıp (ii)’yi kullanalım : B A u = a Bu = a b u (iv)

Şimdi son iki ifadeyi taraf tarafa çıkartırsak şunu elde ederiz : ( A B – B A ) u = 0

Buna göre işlemciler yerdeğiştirebilirler, yani komütatörleri sıfırdır :

[ A , B ] = 0

Eğer A ve B aynı zamanda hermitik ise, bu durumda A ve B işlemcileri

değişedebilen gözlenebilirlerin bir tam kümesini oluştururlar. Burada u ile tanımlanan durum, A ve B gözlenebilirlerin belirli özdeğerlerine karşılık gelen bir durumdur. Bir sistem hakkında aynı anda en fazla elde edebileceğimiz bilgi budur. Şimdi A ve B ile değiş etmeyen bir başka işlemciyi u durumuna uygularsak, o zaman (i) ve (ii)’deki hangi özdeğerin oluşacağını bilemeyiz. Genel olarak iki işlemcinin komütasyonu sıfır değilse, bunların belirlenebilme kesinlikleri arasında bir belirsizlik bağıntısı ortaya çıkar. Bunu görebilmek için önce belirsizliğin (kesinsizliğin) tanımını yapmalıyız. En doğal tanım, dağınım

5

( ΔA )2 =

‹

A2

›

-

‹

A

›

2 (1.11)

Bu tanımın avantajı

‹

A

›

= 0 olsa bile ( ΔA )2≠ 0 olabilmesidir. Öte yandan A’nın bir özfonksiyonu için beklenen değer söz konusu olduğunda (1.11) ifadesi sıfır olacaktır. Ayrıca ΔA = A -

‹

A

›

olmak üzere (1.11)’i şu şekilde de düşünebiliriz :

(ΔA)2 =

‹

( A -

‹

A

›

)2

›

=

‹

A2 – 2 A

‹

A

›

+

‹

A

›

2

›

=

‹

A2

›

- 2

‹

A

›‹

A

›

+

‹

A

›

2 =

‹

A2

›

-

‹

A

›

2

O halde ΔA niceliği, ortalama etrafındaki dalgalanmaların bir ölçüsüdür. A ve B hermitik olmak üzere kuantum mekaniğinde şu ifade geçerlidir :

(ΔA)2 (ΔB)2 -

‹

i [A,B]

›

2 / 4 ≥ 0 (1.12)

Örneğin [x,p] = i ħ olduğundan (Δx)2 (Δp)2≥ħ2 / 4 elde edilir.

Bu bölümde son olarak kuantum teorisinin klasik limit problemini ele alacağız. Bunun için önce işlemcilerin beklenen değerlerinin zamanla nasıl değiştiğini incelemeliyiz. Genel olarak bir işlemci açıkça zamana bağlı olabilir, örneğin x + pt/m gibi. Ayrıca dalga fonksiyonunun kendisi de zamana bağlıdır. Bu yüzden, genel olarak, bir işlemcinin beklenen değeri zamana bağlı olarak değişir. Önce herhangi bir A işlemcisinin beklenen değerini yazıp zamana göre türevini alalım :

‹

A

›

= < Ψ(x,t) | A | Ψ(x,t) >

6

Öte yandan (1.3)’e göre HΨ = iħ dΨ/dt ve dΨ/dt = -i HΨ/ħ yazılabilir. Ayrıca (dΨ/dt)* = ( -i HΨ/ħ)* = i Ψ* H /ħ olur, çünkü H hermitiktir. Bu ifadeleri yukarıda yerine koyup düzenleyelim :

d

‹

A

›

/dt =

∫

( -i HΨ/ħ)* AΨ dx +

‹

dA/dt

›

+

∫

Ψ* A(-i HΨ/ħ) dx = (i/ħ)

∫

Ψ* HA Ψ dx +

‹

dA/dt

›

- (i/ħ)

∫

Ψ* AH Ψ dx =

‹

dA/dt

›

+ (i/ħ) < Ψ | HA – AH | Ψ >

Böylece şu genel ifadeye ulaşıyoruz :

d

‹

A

›

/dt =

‹

dA/dt

›

+ (i/ħ)

‹

[H,A]

›

(1.13)

Eğer A işlemcisi açık olarak zamana bağlı değilse dA/dt=0 olacağından,

d

‹

A

›

/dt = (i/ħ)

‹

[H,A]

›

(1.14)

elde edilir. Öte yandan A işlemcisi Hamiltonyenle değiş edebiliyorsa, yani [H,A]=0 ise, bu durumda A’nın beklenen değeri zamandan bağımsız bir sabit olacaktır; başka bir deyişle A’nın beklenen değeri bir hareket sabiti olur.

ÖRNEK 2 A=x için (1.14)’ün hesaplanması

H= p2/2m + V(x) [H,x] = [ p2/2m + V , x ] = (1/2m) [p2,x] + 0 Genel olarak [AB,C] = A [B,C] + [A,C] B olup A=B=p ve C=x için,

[p2,x] = p [p,x] + [p,x] p ve [p,x] = - iħ → [p2,x] = - 2iħ p olur. Böylece [H,x] = - (1/2m) (2iħ p) = - iħp/m buluruz. Bu sonuç (1.14)’de kullanılırsa

7

ÖRNEK 3 A=p için (1.14)’ün hesaplanması

[H,p] = [ p2/2m + V , p ] = 0 + [V,p] = - [p,V]

Burada [p,V] ‘yi hesaplayabilmek için bu niceliği herhangi bir Φ fonksiyonuna uygulayalım :

[p,V] Φ = p(VΦ) - V pΦ = (-iħ) d(VΦ)/dx + (iħ) V dΦ/dx

= (-iħ) (dV/dx) Φ + (-iħ) V dΦ/dx + (iħ) V dΦ/dx = (-iħ) (dV/dx) Φ

Böylece [p,V] = (-iħ) dV/dx ve [H,p] = (iħ) dV/dx elde edilir. Bu sonuç

(1.14)’de yerine konulursa şunu buluruz :

d

‹

p

›

/dt = -

‹

dV/dx

›

(1.16)

ÖRNEK 4 Bir parçacığın klasik hareket denklemi

Bu amaçla (1.15) ifadesinin her iki tarafının zamana göre türevini alıp (1.16)’yı

kullanalım :

d2

‹

x

›

/dt2 = (1/m) d

‹

p

›

/dt = - (1/m)

‹

dV/dx

›

m d2

‹

x

›

/dt2 = -

‹

dV/dx

›

(1.17)

Bu ifade m d2x/dt2 = - dV/dx = F şeklindeki klasik hareket denklemine benzemektedir.

Artık klasik limit problemine geri dönebiliriz. (1.17) ifadesinde x =

‹

x

›

özdeştirmesini yapmamızı engelleyen tek şey, genel olarak,

‹

dV/dx

›

≠ dV(

‹

x

›

) / d

‹

x

›

olmasıdır. Bu eşitsizliğin yaklaşık olarak bir eşitliğe dönüştüğü durumlarda hareket gerçekte klasiktir. Bunun için V(x) potansiyeli x’in yavaş değişen bir fonksiyonu olmalıdır. Bunu görebilmek için kuvveti

8

F(x) = - dV(x)/dx şeklinde tanımlayalım ve F(x) fonksiyonunu x =

‹

x

›

civarında Taylor serisine açalım :

F(x) = F(

‹

x

›

) + (x -

‹

x

›

) F′(

‹

x

›

) + ½ (x -

‹

x

›

)2 F″(

‹

x

›

) + ...

Burada eğer Δx = (x -

‹

x

›

) belirsizliği küçükse ve açılımdaki daha yüksek mertebeli terimler ihmal edilebilirse şunu elde ederiz :

‹

F(x)

›

≈ F(

‹

x

›

) +

‹

(x -

‹

x

›

)

›

F′(

‹

x

›

) ≈ F(

‹

x

›

)

Makroskopik alanlarda bu ifade iyi bir yaklaşımdır ve bu nedenle örneğin bir hızlandırıcıdaki elektron ve proton yörüngeleri klasik hareket denklemleriyle belirlenebilir.

PROBLEMLER 1)

a) A ve B hermitik iki işlemci olsun. AB’nin hermitik olabilmesi için [A,B]=0 olduğunu gösteriniz.

(AB)† = AB olmalı. (AB)† = B†A† = BA = AB ↔ [A,B] = 0

b) (A+B)n ‘nin hermitik olduğunu gösteriniz.

n=1 için (A+B)† = A† + B† = (A+B). C=A+B olsun. C† = C olduğu açıktır. Cn ‘in hermitik olabilmesi için {Cn }† = Cn olmalıdır.

{Cn }† = { C C C . . . }† = { C† C† C† . . . } = { C C C . . .} = Cn ____________________________________________________________

2) Herhangi bir işlemci A olmak üzere aşağıdakilerin hermitik olduğunu gösteriniz.

a) A +A† (A+A† )† = A† + (A† )† = A† + A

b) i(A - A†) { i(A - A†) }† = -i(A† - A) = i(A - A†)

c) A A† (A A† )† = (A† )† A† = A A†

9

3) A hermitik bir işlemci olmak üzere (eiA )† = e-iA olduğunu gösteriniz. eiA = ∑ in An / n! (eiA )† = ∑ (-i)n (An )† / n!

Prob. 1-b’den (An )† = An (eiA )† = ∑ (-i)n An / n! = e-iA

_____________________________________________________________

4) (1.4) ve (1.6) denklemlerini göz önüne alarak herhangi bir Φ için < Φ|Ψ > niceliğini < Φ|u_a > cinsinden hesaplayınız.

Ψ = ∑ Ca ua Ca = < ua |Ψ > → Ψ = ∑ ua < ua |Ψ >

< Φ | Ψ > = ∑ < Φ | ua > < ua | Ψ >

NOT : Burada ∑ | u_a > < u_a | ≡1 ( birim işlemci ).

_____________________________________________________________

5) A hermitik ise

‹

A2

›

≥ 0 olduğunu gösteriniz.

‹

A2

›

= ∫Ψ* A2 Ψ dx = ∫ (AΨ)* (AΨ) dx = < AΨ | AΨ > ≥ 0 NOT : Bir vektörün kendisiyle skaler çarpımı pozitiftir.

____________________________________________________________

6) Üniter işlemci U† = U-1 şeklinde tanımlanır. Ψ normalize bir fonksiyon ise < UΨ | UΨ > =1 olduğunu gösteriniz.

< UΨ | UΨ > = < Ψ | U† U | Ψ > = < Ψ | U-1 U | Ψ > = < Ψ |Ψ > = 1 ____________________________________________________________

7) {ua} kümesi ortonormal bir tam küme ise, yani < ua | ub > = δab ise,

| v_a > = U | u_a > nın da ortonormal olduğunu gösteriniz. U | ub > = | vb > → < vb | = < ub | U†

< v_b | v_a > = < u_b | U† | U u_a > = < u_b | U† U | u_a >

= < ub | ua >

10

8) H = p2 _{/ 2m + (m/2) ( w}

1 x2 + w2 x + ε ) Hamiltonyeni için d

‹

x

›

/dt = ?

(1.14)’den d

‹

A

›

/dt = (i/ħ)

‹

[H,A]

›

A = x [H,x] = [ p2 _{/ 2m + (m/2) ( w}

1 x2 + w2 x + ε ) , x ]

= (1/2m) [p2,x] + (mw₁ /2) [x2 ,x] + (mw₂ /2) [x ,x] + (m/2) [ε,x] Örnek 2’den → [p2,x] = - 2iħ p → [H,x] = (-iħ/m) p

d

‹

x

›

/dt = (i/ħ)

‹

[H,x]

›

= (i/ħ)

‹

(-iħ/m) p

›

=

‹

p / m

›

____________________________________________________________

9) SORU 8 ‘deki H için d

‹

p

›

/dt = ?

(1.14)’den d

‹

p

›

/dt = (i/ħ)

‹

[H,p]

›

[H,p] = [ p2 _{/ 2m + (m/2) ( w} 1 x2 + w2 x + ε ) , p ] =(1/2m) [p2,p] + (mw₁ /2) [x2 ,p] + (mw₂ /2) [x ,p] + (m/2) [ε,p] = 0 + (mw₁ /2) { x [x,p] + [x,p] x } + (mw₂ /2) ( iħ ) + 0 = (mw1 /2) ( 2iħx ) + (mw2 /2) ( iħ ) = ( iħ ) ( mw₁x + mw₂ /2 ) d

‹

p

›

/dt = - m (w1x + w2 /2 )

11

2. BÖLÜM 2 KUANTUM MEKANİĞİNDE İŞLEMCİ YÖNTEM-

LERİ

Bu bölümde önce harmonik salınıcı problemini işlemciler yardımıyla çözeceğiz. Harmonik salınıcı için Hamiltonyen, bir boyutta şu

şekildedir :

H = p2 / 2m + ½ mw2 x2 (2.1)

Klasik olarak Hamiltonyen çarpanlara ayrılabilir : H = w { mwx2 /2 + p2 /2mw }

= w

(

√mw/2 x – i p / √2mw

)

(

√mw/2 x + i p / √2mw

)

(2.2)

Ancak p ile x arasındaki komütasyon bağıntısı [p,x] = - iħ nedeniyle parantezler açılırsa şunu elde ederiz :

w

{

mwx2 /2 + p2 /2mw – (iw/2) (px-xp)

}

= p2 / 2m + ½ mw2 x – (iw/2) ( - iħ )

= H – ħw/2 (2.3)

Bu aşamada bir A işlemcisi tanımlayalım :

A = √mw/2 x + ip/√2mw (2.4)

A† = √mw/2 x - ip/√2mw

Bu tanıma göre (2.2) ve (2.3)’den harmonik salınıcı için Hamiltonyen,

H = ħw/2 + wA† A (2.5)

şeklinde yazılabilir. [p,x] = - iħ nedeniyle A ile A† değişetmezler :

12

[A, A†] = [√mw/2 x + ip/√2mw , √mw/2 x - ip/√2mw ] = [√mw/2 x , - ip/√2mw] + [ip/√2mw , √mw/2 x] = (-i/2) [x,p] + (i/2) [p,x]

= i [p,x] = i (-iħ)

[A, A†] = ħ (2.6)

Şimdi H ile yeni işlemciler arasındaki komütasyon bağıntılarına bakalım : [H,A] = [ ħw/2 + wA† A , A ] = 0 + w [A† A , A] = w A† [A,A] + w [A† , A] A [H,A] = - ħw A (2.7) [H,A†] = [ ħw/2 + wA† A , A† ] = 0 + w [A† A , A†] = wA† [A , A†] + w [A† , A†] A [H,A†] = ħw A† (2.8)

Şimdi harmonik salınıcı için H uE = E uE özdeğer denklemini ele alalım ve

(2.7) ifadesini uE ‘ye uygulayalım :

[H,A] u_E = H Au_E – A Hu_E = H AuE – E AuE

= - ħw Au_E

13

H AuE = ( E – ħw ) AuE (2.9)

Bu ifadeye göre u_E , H’ın E özdeğerli bir özdurumu ise, Au_E de H’ın bir özdurumudur, ancak özdeğeri E – ħw ‘dır; yani enerjisi ε = ħw kadar azalmıştır. Bu yüzden şunu yazabiliriz :

Au_E = C(E) u_E-ε (2.10)

Eğer A’yı yeni duruma yani uE-ε ‘ye uygularsak A2 uE durumunun enerjisi

E - 2ε olacaktır. Böylece A’yı herhangi bir u_E ‘ye arka arkaya uygulayarak gittikçe azalan enerjili durumlar oluşturabiliriz. Bu nedenle (2.4) ile tanımlanan A’ya Eksiltme İşlemcisi denir. (2.1) ile verilen H’ın özdeğerlerinin pozitif olması

gerektiğinden (bkz. Prob. 1-5) A’nın kaç kez uygulanabileceği sınırlıdır. O halde eksiltme işlemi bir yerde sona ermelidir. Bu durum, taban durumu

olarak adlandırılır ve uo ile gösterilir :

Au_o = 0 (2.11)

Taban durumu enerjisi ise şu şekilde bulunur : Hu_o = ( ħw/2 + wA† A ) u_o = (ħw/2) uo + wA† Auo

14

Şimdi (2.8)’i taban durumuna uygulayalım : [H,A†] uo = H A†uo - A† Huo

= H A†u_o - E_o A† u_o = ħw A† uo

H A†u_o = ( E_o + ħw ) A† u_o

Bu durumda enerji ε = ħw kadar artmış olduğundan (2.4) ile tanımlanan A† niceliğine Yükseltme (ya da Arttırma) İşlemcisi denir. Buna göre taban durumuna A† işlemcisini arka arkaya uygulayarak bütün durumları elde edebiliriz. Bunun sonucu olarak harmonik salınıcı için enerji spektrumu şu

şekilde yazılabilir :

E = ( n + ½ ) ħw n = 0,1,2,... (2.13)

Böylece Schrödinger denklemini çözmeden enerji spektrumunu elde etmiş

oluyoruz. Yükseltme işlemcisi cinsinden harmonik salınıcı için öz vektörlerin genel temsili şu şekilde verilir :

u_n = ( 1/√n! )

(

A† / √ħ

)

n u_o (2.14)

Bu gösterim yardımıyla farklı enerjilere karşılık gelen özdurumların ortogonal olduğunu gösterebiliriz. Bu tür hesaplamalarda < uo | Am (A† )n | uo > tipindeki

ifadelerle karşılaşırız ki, bunları hesaplarken (2.6) bağıntısını kullanarak A’ları

15

ÖRNEK 1 < u2 | u3 > = 0 olduğunun gösterilmesi

Bu amaçla A2 (A† )3 niceliğini hesaplayalım. A2 (A† )3 = A (AA† ) (A† )2

= A (A† A + ħ) (A† )2

= ħA(A† )2 + (AA† ) (AA† ) A† = ħA(A† )2 + (AA† ) (A† A + ħ) A† = ħA(A†)2 + ħA(A† )2 + A(A† )2 (AA† ) = 2ħA(A†)2 + A(A† )2 (A† A + ħ) = 2ħA(A†)2 + ħA(A†)2 + A (A† )3 A = 3ħA(A†)2 + A (A† )3 A 3ħA(A†)2 = 3ħ (A† A + ħ) A† = 3ħ2A† + 3ħA† (AA† ) = 3ħ2A† + 3ħA† (A† A + ħ) = 3ħ2A† + 3ħ(A† )2 A + 3ħ2A† = 6ħ2A† + 3ħ(A† )2 A A2 (A† )3 = 6ħ2A† + 3ħ(A† )2 A + A (A† )3 A < u2 | u3 > ~ < uo | A2 (A† )3 | uo > ~ < uo | A† | uo > ~ < Auo | uo > = 0

Böylece genel olarak şunu yazabiliriz :

16

Şimdi harmonik salınıcı taban durumu dalga fonksiyonunu elde edelim.

(2.4) ve (2.11)’den şunu yazabiliriz :

(

√mw/2 x + ip/√2mw

)

uo (x) = 0

Her iki tarafı √2mw ile çarpıp p = (ħ/i) d/dx olduğunu kullanalım :

(

mwx + ħ d/dx

)

uo (x) = 0

Bu ifade, değişkenlerine ayrılabilir türde bir diferansiyel denklem olup şu

şekilde çözülebilir :

duo /dx = - mwxuo / ħ

∫

du_o / u_o = - ( mw/ħ)

∫

x dx ℓn uo / C = - mwx2 / 2ħ

uo(x) = C exp (- mwx2 / 2ħ) (2.16)

Taban durumu dalga fonksiyonunun < u_o | uo > = 1 şeklindeki normalizasyon

koşulu, C integral sabitini belirler :

C2 ∫ exp (- mwx2 / ħ) dx = 1

∫ exp (- mwx2 / ħ) dx = ( πħ/mw)1/2 C = (mw/πħ)1/4

Böylece harmonik salınıcının taban durumu özfonksiyonu elde edilmiş olur. Uyarılmış durumlar ise (2.14) yardımıyla şu şekilde bulunabilir :

u_n = ( 1/√n! )

(

A† / √ħ

)

n u_o

=(ħ-n/2/√n!) (mw/πħ)1/4

{

√mw/2 x – (ħ /√2mw) d/dx

}

n exp (- mwx2 / 2ħ) Böylece diferansiyel denklemin genel çözümü elde edilmiş olur.

17

Bu bölümde son olarak zamana bağlı Schrödinger denklemini soyut bir uzayda ele alacağız :

i ħ dΨ(t) / dt = H Ψ(t) (2.17)

Burada Ψ(t) soyut uzayda bir vektör olup zamana bağlı bir doğrultuyu gösterir:

∫ dΨ/Ψ = - ( iH/ħ) ∫ dt ℓn Ψ/Ψo = - i H t / ħ

Ψ(t) = exp ( - i H t / ħ ) Ψ(0) (2.18)

3. Burada Ψ(0) , t = 0 anındaki vektör olup exp ( - i H t / ħ ) işlemcisi, Prob. 1-3’e göre şu şekilde tanımlanır :

exp ( - i H t / ħ ) = ∑ ( - i H t / ħ )n / n!

Bu çözüm bize, zamana açık olarak bağlı olmayan bir A işlemcisinin beklenen değerinin, zamanla nasıl değiştiğini anlamamızı sağlar :

‹

A

›

_t = < Ψ(t) | A | Ψ(t) >

= < e-iHt/ћΨ(0) | A | e-iHt/ћ Ψ(0) > = < Ψ(0) | eiHt/ћ A e-iHt/ћ | Ψ(0) > = < Ψ(0) | A(t) | Ψ(0) >

‹

A

›

_t =

‹

A(t)

›

_o (2.19)

Burada H’ın hermitik olduğunu kullandık ve A(t) ‘yi şu şekilde tanımladık :

18

(2.19) ifadesine göre zamandan bağımsız bir A işlemcisinin, zaman bağımlılığı

(2.18) şeklinde olan Ψ(t) durumu için beklenen değeri, zaman bağımlılığı

(2.20) ile verilen bir A(t) işlemcisinin, zamandan bağımsız Ψ(0) durumu için beklenen değerine eşittir. Bu çok önemli bir sonuçtur, çünkü soyut vektör uzayında ortonormal özvektörlerin bir tam kümesini oluşturduktan sonra bu baz vektörlerinin zamanla nasıl değiştiği bizi ilgilendirmez. Durum vektörlerinin sabit olduğu gösterime Heisenberg Gösterimi denir. Bu gösterimde işlemciler zamana açık olarak bağlıdır. İşlemcileri zamandan bağımsız olarak sabit tutarsak, bu da Schrödinger Gösterimidir. Sonuçlar her iki gösterimde de aynıdır; tıpkı dönen bir cismi sabit bir eksen sisteminde anlatmakla, cismi sabit tutup eksen sistemini döndürmenin eşdeğer olması gibi.

Heisenberg gösteriminde bir gözlenebilirin zamanla değişimi (2.20)’den hesaplanabilir :

dA(t)/dt = d/dt { eiHt/ћ A e-iHt/ћ }

= i HA(t) / ћ – i A(t)H / ћ

= ( i / ћ ) [ H , A(t) ] (2.21)

Bu ifade d

‹

A

›

/dt = (i/ħ)

‹

[H,A]

›

şeklindeki (1.14) ifadesine çok benzemektedir. (1.14) ifadesi beklenen değer için bir denklem olup, beklenen değerin hangi durum için alındığından bağımsız olduğundan tamamen işlemci özelliklerini yansıtmalıydı; (2.21) ifadesi bunun gerçekten böyle olduğunu gösteriyor.

Şimdi harmonik salınıcı problemine dönelim. H = wA† A + ћw/2 olup H bir hareket sabiti olduğundan şunu yazabiliriz :

H = w A† (t) A(t) + ћw/2

Buradan (2.20) yardımıyla [ A(t) , A†(t) ] niceliğini hesaplayabiliriz. Önce A†(t) ‘yi hesaplayalım : A†(t) = {eiHt/ћ A e-iHt/ћ } = eiHt/ћ A† e-iHt/ћ

19

[A(t),A†(t)] = [ eiHt/ћ A e-iHt/ћ , eiHt/ћ A† e-iHt/ћ ]

= eiHt/ћ A e-iHt/ћ eiHt/ћ A† e-iHt/ћ - eiHt/ћ A† e-iHt/ћ eiHt/ћ A e-iHt/ћ = eiHt/ћ [A, A†] e-iHt/ћ

= ħ eiHt/ћ e-iHt/ћ = ħ

Buna göre (2.7) ile (2.8) gene aynı yapıdadır :

[H,A(t)] = - ħwA(t) [H,A†(t)] = ħwA†(t) Böylece (2.21)’den şunları elde ederiz :

dA(t)/dt = (i / ћ) [ H , A(t) ] = (i / ћ) { - ħwA(t) } = - i w A(t) dA† (t)/dt = (i / ћ) [ H , A†(t) ] = (i / ћ) { ħwA†(t) } = i w A†(t)

Son iki ifade çözülerek A(t) ile A†(t) ‘nin zaman bağımlılıklarışöyle bulunur : A(t) = e-iwt A(0) A† (t) = eiwt A†(0)

Şimdi (2.4) tanımlarını kullanalım :

A(t) = √mw/2 x(t) + ip(t) / √2mw = A(0) coswt – i A(0) sinwt A† (t) = √mw/2 x(t) – ip(t) / √2mw = A†(0) coswt + i A†(0) sinwt

Bu iki bilinmeyeni iki denklemi çözerek şunları elde ederiz :

x(t) = x(0) coswt + (1/mw) p(0) sinwt

20

PROBLEMLER

1) Aun = √nħ un-1 olduğunu gösteriniz.

u_n = ( 1/√n! )

(

A† / √ħ

)

n u_o = (1/√n!) (1/√ħ)n (A† )n u_o [A,A†] = ħ n = 1 için u1 = (1/√ħ) A†uo (i) Au₁ = (1/√ħ) AA†u_o = (1/√ħ) ( A†A + ħ ) uo = √ħ uo n = 2 için u₂ = (1/ħ√2) (A† )2 u_o Au2 = (1/ħ√2) (AA† ) A† uo = (1/ħ√2) (A†A + ħ ) A† u_o = (1/ħ√2) { A† (AA† ) uo + ħ A†uo } = (1/ħ√2) { A† (A†A + ħ ) uo + ħ A†uo } = (1/ħ√2) ( 2ħ A†u_o ) = √2 A†uo

(i) ‘den A†u_o = √ħ u₁ olduğundan Au₂ = √2ħ u₁ bulunur.

Au1 = √ħ uo

Au2 = √2ħ u1

Au_n = √nħ u_n-1

Benzer şekilde A† un ‘i de hesaplayalım. u1 = (1/√ħ) A†uo olduğundan,

A† u₁ = (1/√ħ) (A† )2 u_o

Öte yandan u2 = (1/ħ√2) (A† )2 uo → (A† )2 uo = (ħ√2) u2

A† u1 = (1/√ħ) (ħ√2) u2 = √2ħ u2

A†u_o = √ħ u₁ A†u1 = √2ħ u2

21

2) f(A† ) , A† ‘a göre herhangi bir polinom olmak üzere, A f(A† ) uo = ħ (d/dA† ) f(A† ) uo

olduğunu gösteriniz.

f(A† ) = a1 A† + a2 (A†)2 + . . . + an (A†)n olsun.

[A,f(A†)] u_o = [ A, a₁ A† + a₂ (A†)2 + . . . + a_n (A†)n ] u_o

= { a₁ [A,A† ] + a₂ [A,(A†)2] + . . . + a_n [A,( A†)n] } u_o = { ħ a1 + 2ħ a2 A† + . . . + nħ an (A†)n-1 } uo

= ħ { a₁ + 2a₂ A† + . . . + na_n (A†)n-1 } u_o = ħ (d/dA† ) f(A† ) uo

Sol taraf ise [A,f(A†)] u_o = A f(A†) u_o – f(A†) Au_o = A f(A† ) u_oşeklindedir.

NOT : A = ħ d/dA† gösterimi [A,A†] = ħ bağıntısına uygundur ve p = - iħ d/dx momentum işlemcisinin benzeridir.

_____________________________________________________________

3) < u_p | x | u_q > niceliğini hesaplayın ve p ≠ q±1 için sıfır olduğunu gösterin. A = √mw/2 x + ip/√2mw

A† = √mw/2 x - ip/√2mw

Bu denklemlerden yararlanılarak x = (1/√2mw) ( A + A† ) yazılabilir. < up | x | uq > = (1/√2mw) < up | A+A† | uq > = (1/√2mw) { < u_p | A | u_q > + < u_p | A† | u_q > } < up | A | uq > = √qħ < up | uq-1 > = √qħ δp,q-1 < up | A† | uq > = √(q+1)ħ < up | uq+1 > = √(q+1)ħ δp,q+1 < u_p | x | u_q > = (1/√2mw) { √qħ δ_p,q-1 + √(q+1)ħ δ_p,q+1 }

22

4) eλA f(A†) uo = f(A† + λħ) uo olduğunu gösteriniz.

eλA = ∑ (1/n!) (λA)n = Σ (λn/n!) An

eλA f(A†) uo = ∑ (λn/n!) An f(A†) uo

= ∑ (λn/n!) (ħ d/dA†)n f(A†) u_o

= ∑ {(λħ)n /n!} {dn /d(A†)n } f(A†) u_o = f(A† + λħ) uo

Çünkü tanım olarak ∑ (an /n!) (dn /dxn ) f(x) = f(x+a) ‘dır.

______________________________________________________________

5) eλA f(A†) e-λA = f(A† + λħ) olduğunu gösteriniz.

Bir işlemci bağıntısı, herhangi bir duruma uygulandığında da geçerli olmalıdır. Bu durum, g(A†) uo olsun. O halde şu ifadeyi ispatlayacağız :

eλA f(A†) e-λA g(A†) uo = f(A† + λħ) g(A†) uo

f(A†) e-λA g(A†) uo = f(A†) g(A† - λħ) uo

eλA f(A†) e-λA g(A†) uo = eλA f(A†) g(A† - λħ) uo

= f(A† + λħ) g(A† + λħ - λħ) u_o = f(A† + λħ) g(A†) uo

______________________________________________________________

6) Genel işlemci hareket denklemi (2.21)’i kullanarak x(t) işlemcisinin zamana göre değişimini, H = p2(t)/2m + mg x(t) için hesaplayınız.

dx(t)/dt = (i/ħ) [ H , x(t) ]

= (i/ħ) [ p2(t)/2m , x(t) ] + (i/ħ) [ mg x(t) , x(t) ] = (i/2mħ) { p(t) [ p(t) , x(t) ] + [ p(t) , x(t) ] p(t) } + 0 = (i/2mħ) { - 2iħ p(t) }

23

BÖLÜM 3 İŞLEMCİLER, MATRİSLER VE SPİN

Atomları doğru olarak anlatabilmek için elektron spini mutlaka dikkate alınmalıdır. Elektronun bu özelliğinin klasik benzeri olmadığından spin, ancak soyut yöntemlerle ele alınabilir.

Geçen bölümde harmonik salınıcı problemini göz önüne aldık ve özdurumlarla özdeğerleri şu şekilde elde ettik :

un = ( 1/√n! )

(

A† / √ħ

)

n uo

Hu_n = ħw ( n + ½ ) u_n (3.1)

Ayrıca yükseltme ve eksiltme işlemcilerinin u_n ‘e etkilerini de hesapladık :

A†un = √(n+1)ħ un+1 (3.2)

A u_n = √nħ u_n-1 (3.3)

Ayrıca herhangi bir hermitik işlemcinin özdurumları için geçerli ortonormalizasyon bağıntısını da elde ettik :

< um | un > = δmn (3.4)

Şimdi (3.1)-(3.3) denklemlerinin sırasıyla u_m ile skaler çarpımını alalım :

< um | H | un > = ħw δmn (3.5)

< u_m | A† | u_n > = √(n+1)ħ δ_m,n+1 (3.6)

24

Bu ifadeler matris şeklinde de gösterilebilir. Genel olarak bir matris Mij ile

gösterilebilir; burada ilk indis olan i matrisin satırını, ikinci indis olan j ise matrisin kolonunu (sütununu) belirtir. Böylece < u_m | H | u_n > skaler çarpımını

Hmn matrisi olarak gösterebiliriz :

┌ ┐ │ 1/2 0 0 0 . . . │ │ 0 3/2 0 0 . . . │ H = ħw │ 0 0 5/2 0 . . . │ │ 0 0 0 7/2 . . │ │ . . . │ └ ┘ ┌ ┐ │ 0 0 0 0 . . . │ │ √1 0 0 0 . . . │ A† = √ħ │ 0 √2 0 0 . . . │ │ 0 0 √3 0 . . . │ │ . . . │ └ ┘ ┌ ┐ │ 0 _√1 0 0 . . . │ │ 0 0 _√2 0 . . . │ A = _√ħ │ 0 0 0 _√3 . . . │ │ 0 0 0 0 . . . │ │ . . . │ └ ┘

O halde genel olarak < um | F | un > niceliğine, ui ‘lerin bazında F’nin matris

gösterimi adı verilir. Burada F herhangi bir işlemci, u_i ‘ler de bir tam küme oluşturan fonksiyonlardır.

25

İki matrisin çarpımışu şekilde tanımlanır :

(FG)ij = ∑ (F)in (G)nj (3.8)

Şimdi bu bağıntının, F ve G işlemcilerinin matris gösterimi için de geçerli olduğunu göstermeliyiz. Bu amaçla bir Guj durumunu göz önüne alalım.

u_n ‘ler bir tam küme oluşturduğundan bu durumu, u_n ‘ler cinsinden seriye açabiliriz :

Guj = ∑ Cn un

u_n ‘ler ortonormal olduğundan katsayılar C_n = < u_n | Gu_j > şeklinde bulunur. Böylece FG çarpımınışu şekilde elde ederiz :

< ui | FG | uj > = < ui | F (∑ Cn un) >

= ∑ < u_i | F | u_n > C_n

= ∑ < ui | F| un > < un | G | uj > (3.9)

Bu ise < u_i | F | u_n > = F_in ve < u_n | G | u_j > = G_nj gösterimleri dikkate alındığında (3.8)’in aynısıdır ( NOT : < ui | FG | uj > matris elemanındaki F ve

G işlemcileri arasına

1

= ∑ | un >< un | birim işlemci konularak aynı sonuç

kolayca elde edilebilir).

< um | F | un > matris gösteriminin, matris çarpımını sağladığını

gördük. Şimdi hermitik eşlenik bağıntısına bakalım : < u_m | F | u_n >* = < u_n | F† | u_m >

Buna göre F işlemcisi bir matrisle gösterilirse, F† işlemcisi de hermitik eşlenik matrisle gösterilebilir ve şu şekilde tanımlanır :

(F)*_mn = (F†)_nm

26

Harmonik salınıcı için H’ın diagonal olması, un’lerin H’ın

özfonksiyonları olmasındandır; başka bir tam küme için H diagonal olmayabilir. Açısal momentum işlemcilerinin matris gösterimine geçmeden önce bu işlemcilerin özelliklerini hatırlayalım :

Açısal momentum işlemcisi L = r × p şeklinde tanımlanır. Vektörel çarpımın tanımına göre de L’nin bileşenleri şunlardır :

L_x = y p_z – z p_y Ly = z px – x pz

Lz = x py – y px

Küresel simetrik bir potansiyel için Hamiltonyen, μ indirgenmiş kütle olmak üzere, H = p2 / 2μ + V(r) şeklinde olup L’nin bileşenleri ile değiş edebilir :

[ H , Lx ] = [ H , Ly ] = [ H , Lz ]= 0

Buna göre açısal momentum bir hareket sabitidir. Ancak L’nin bileşenleri kendi aralarında değiş etmezler :

[ Lx , Ly ] = iħLz

[ L_y , L_z ] = iħL_x [ Lz , Lx ] = iħLy

O halde L’nin sadece bir bileşeni H ile birlikte gözlenebilirlerin bir tam kümesini oluşturur. Öte yandan L2 = (L_x)2 + (L_y)2 + (L_z)2 işlemcisinin L’nin bileşenleri ile komütasyonları sıfırdır :

[ Lx , L2 ] = [ Ly , L2 ] = [ Lz , L2 ] = 0

Buna göre değişedebilen gözlenebilirlerin tam kümesi olarak H, L2 ve L_z alınabilir.

Küresel koordinatlarda (r,θ,φ) Lz işlemcisi şu şekildedir :

L_z = - iħ ∂/∂φ

27

L± = ħ e±iφ ( ± ∂/∂θ + i cotθ∂/∂φ )

L± = Lx ± i Ly

Şimdi açısal momentum özdeğer denklemlerini ele alalım :

L2Yℓm = ħ2ℓ(ℓ+1) Yℓm (3.10)

L_z Y_ℓm = mħ Y_ℓm (3.11)

L± Yℓm = C±(ℓ,m) Yℓ,m±1 (3.12)

Buradaki katsayılar şu şekilde tanımlanmıştır :

C_±(ℓ,m) = ħ { ℓ(ℓ+1) – m(m±1) }1/2 (3.13)

Lz ile L2 ‘nin özfonksiyonları olan Yℓm ‘ler küresel harmoniklerdir :

Y_ℓm(θ,φ) = C(L_-)ℓ-m (sinθ)ℓ eiℓφ

Şimdi (3.11) ifadesini ele alalım. Sabit bir ℓ için, yani sadece m değerinin değişken olduğu durumlar için ( - ℓ < m < ℓ) şunu yazabiliriz :

< ℓ,m΄ | Lz | ℓ,m > = mħ δ(m΄,m±1)

Örneğin ℓ=1 için açısal momentum işlemcilerinin matris gösterimleri (3.11)

-(3.14)’den m = 1 , 0 , -1 için şu şekilde bulunur :

┌ ┐ │1 0 0 │ L_z = ħ│0 0 0 │ │0 0 -1 │ └ ┘ ┌ ┐ │0 √2 0 │ L₊ =ħ│0 0 √2 │ │0 0 0 │ └ ┘ ┌ ┐ │0 0 0 │ L_- = ħ│√2 0 0 │ │0 √2 0 │ └ ┘

28

Bu matrislerin komütasyon bağıntılarını sağladığı, matris çarpımları yapılarak gösterilebilir ( örneğin [ L+ , L- ] = 2ħLz ‘dir ).

Durumlarla ilgili genel bağıntılar da matris gösteriminde yazılabilir. Örneğin Ψ = AΦ bağıntısını ele alalım. ui ‘ler bir tam küme oluştursun. Bu

kümenin bir elemanı ile Ψ’nin skaler çarpımını alalım : < u_i | Ψ > = < u_i | A |Φ >

Burada A ile Φ arasına birim işlemciyi uygulayalım : < ui | Ψ > = ∑ < ui | A| un > < un | Φ >

< u_n | Φ > ile < u_i | Ψ > niceliklerini kolon vektörleri olarak yazalım :

┌ ┐ ┌ ┐ │< u1 | Φ > │ │ α1 │ │< u2 | Φ > │ │ α2 │ < un | Φ > → │ . │ ≡ │ . │ │ . │ │ . │ │ . │ │ . │ └ ┘ └ ┘ ┌ ┐ ┌ ┐ │< u₁ | Ψ > │ │ β₁ │ │< u₂ | Ψ > │ │ β₂ │ < u_i | Ψ > → │ . │ ≡ │ . │ │ . │ │ . │ │ . │ │ . │ └ ┘ └ ┘

Bu durumda Ψ = AΦ ifadesinin matris gösterimi şu şekli alır :

βi = ∑ Ainαn

Böylece matrisler işlemcileri, kolon vektörleri de durumları temsil eder. < u_n | Φ >* = < Φ | u_n > skaler çarpımı, bir satır matrisi şeklindedir :

< Φ | un > = ﴾ (α1)* (α2)* (α3)* . . . ﴿

Buna göre < Φ | Ψ > skaler çarpımışu şekilde yazılabilir : < Φ | Ψ > = ∑ < Φ | u_n > < u_n | Ψ >

29

= ∑ (αn)*βn

Ψ = AΦ ifadesinin özel hali, AΦ = aΦ şeklindeki bir özdeğer denklemidir. Bu ifadeyi soldan < ui | ile çarpıp birim işlemciyi kullanalım :

< u_i | AΦ > = a < u_i |Φ > ∑ < ui | A | un > < un |Φ > = a αi

∑ A_in α_n = a α_i

Bu ifade matris notasyonunda şu şekilde yazılabilir :

i = 1 (A₁₁ – a ) α₁ + A₁₂α₂ + A₁₃α₃ + . . . = 0 i = 2 A21α1 + (A22 – a) α2 + A23α3 + . . = 0 . . . . . . . . . . ┌ ┐┌ ┐ │A11 – a A12 A13 . . . ││α1│ │ A21 A22 – a A23 . . . ││α2│ = 0 (3.14) │ . . . . . . ││ . │ └ . . . . . . ┘└ ┘

Bu ifadenin sıfırdan farklı bir çözümünün olabilmesi için katsayılar matrisinin determinantı sıfır olmalıdır :

det │Ain – a δin │= 0 (3.15)

Sonlu boyutlu matrislerle temsil edilebilen işlemciler için özdeğerler ve özvektörler, (3.14) ve (3.15)’den bulunabilir.

30

SPİN İşlemcilerin, fonksiyonlar veya diferansiyeller yerine başka şakillerde temsil edilebilmesi iyi bir şanstır; çünkü tüm işlemciler bu şekilde temsil edilemez. Örneğin ℓ = 1/2 ve m = ± 1/2 için küresel harmoniği ele alalım :

Y_{1/2 , ±1/2} = C_± √sinθ e ±iφ/2

Genel olarak Yℓ,ℓ - 1 ~ { e i(ℓ-1)φ / (sinθ)ℓ } ( - d/dθ ) (sinθ) 2ℓ olduğundan

L_- Y_1/2,1/2 ~ { cosθ e –iφ/2 } / √sinθ

Bu ifade (3.12)’ye göre Y1/2 , ±1/2 ile orantılı olması gerekirken değildir.

Ayrıca θ = 0 ve θ = π ‘de sorunlar çıkmaktadır. O halde ℓ = 1/2 için matris gösterimine geçmeliyiz. Bundan böyle ℓ = 1/2 yerine spin s = 1/2 ‘den söz edeceğiz; ℓ indisini ise r × p ile ilişkili yörüngesel açısal momentum için kullanacağız. Spin işlemcileri, L’ye benzer şekilde, aşağıdaki komütasyon bağıntılarıyla tanımlanır :

[ S_x , S_y ] = iħS_z [ S_y , S_z ] = iħS_x [ Sz , Sx ] = iħSy

Bunları 2×2 tipinde matrislerle göstermek uygundur, çünkü ℓ = 1/2 için m = ± 1/2 olmak üzere iki değer alabilir. (3.11)’e göre Sz şu şekilde yazılabilir :

┌ ┐ S_z = ћ │1/2 0 │

│ 0 -1/2 │

31

S₊ işlemcisini elde edebilmek için (3.12) ve (3.13)’den yararlanacağız :

< ℓ,m΄| L+ | ℓ,m > = ħ { ℓ(ℓ+1) – m(m±1) }1/2 δ(m΄,m+1)

Buna göre m΄ = m = 1/2 için (S+)11 = 0 ;

m΄ = 1/2 m = m΄ - 1 = - 1/2 için (S+)12 = 1 ; m΄ = - 1/2 m = m΄ - 1 = - 3/2 olmadığı için (S₊)₂₁ = (S₊)₂₂ = 0 ‘dır : ┌ ┐ S+ = ћ │ 0 1 │ │ 0 0 │ └ ┘ ┌ ┐ S_- = ћ │ 0 0 │ │ 1 0 │ └ ┘

Spin gösterimini Pauli spin matrisleri cinsinden de yazabiliriz :

S = ½ ћ σ (3.16)

Burada σ_i ‘ler Pauli matrisleridir :

┌ ┐ ┌ ┐ ┌ ┐

σx = │0 1 │ σy = │0 –i │ σz = │1 0 │

│1 0 │ │ i 0 │ │0 -1 │

└ ┘ └ ┘ └ ┘

Bunlar kendi aralarında aşağıdaki komütasyon bağıntılarını sağlarlar : [ σ_x , σ_y ] = 2i σ_z

32

[ σy , σz

] = 2i

σx

[ σz , σx

] = 2i

σy

Öte yandan sadece spin 1/2 gösterimi için geçerli şu özelliklere de sahiptirler :

σxσy = - σyσx

σ_xσ_z = - σ_zσ_x

σyσz = - σzσy

S_z ‘nin özdurumları iki elemanlı bir kolon vektörüyle gösterilir ve özspinör adını alır : ┌ ┐ ┌ ┐ Sz │ u │ = ± ћ/2 │ u │ │ v │ │ v │ └ ┘ └ ┘

┌ ┐┌ ┐ ┌ ┐ ћ/2 │1 0 ││ u │ = ± ћ/2 │ u │ │0 -1 ││ v │ │ v │ └ ┘└ ┘ └ ┘ ┌ ┐ ┌ ┐ │ u │= ± │ u │ │ -v │ │ v │ └ ┘ └ ┘

Burada + işareti için v = 0 ve – işareti için u = 0 olduğu açıktır. O halde özspinörleri şu şekilde yazabiliriz :

┌ ┐ ┌ ┐

χ₊ = │ 1 │ χ_– = │ 0 │

│ 0 │ │ 1 │

33

Burada χ+ , + ћ/2 özdeğeri için, χ– ise – ћ/2 özdeğeri için geçerlidir. Bu

nedenle χ+ spinörüne spin yukarı , χ– spinörüne ise spin aşağı özspinörü

denilebilir.

Herhangi bir spinör, özspinörler cinsinden seriye açılabilir :

┌ ┐ ┌ ┐ ┌ ┐

│ α₊ │= α₊│ 1 │+ α_–│ 0 │

│ α_– │ │ 0 │ │ 1 │

└ ┘ └ ┘ └ ┘

Burada açılım katsayıları │α+ │2 + │α– │2 = 1 koşulunu sağlar, çünkü s = ½

için sadece iki durum vardır ve │α+ │2 niceliği, Sz ‘nin söz konusu durum için

ölçümünün + ћ/2 özdeğerini verme olasılığıdır. Benzer şekilde S_z ‘nin beklenen değerinin – ћ/2 olma olasılığı da │α–│2 ‘dir.

Herhangi bir α durumu için S’nin beklenen değerleri hesaplanabilir :

< α | S | α > = ∑ ∑ < α | i > < i | S | j > < j | α >

Açık olarak α durumu bir kolon vektörü ile gösterilirse

‹

S

›

şekilde hesaplanabilir :

┌ ┐

‹

S

›

=

(

α₊* α_–*

)

S │α₊ │

│α_– │

└ ┘

Örneğin

‹

S_x

›

hesaplanırken (3.16)’dan S_x ‘in matris şekli yukarıda yerine konulur ve matris çarpımları gerçekleştirilir.

34

‹

S_y

›

= – i ( ћ/2 ) { α₊*α_– – α_–*α₊ }

‹

S_z

›

= ( ћ/2 ) { │α₊│2 – │α_–│2 }

Pauli spin matrisleri hermitik olduğundan bu değerlerin tümü reeldir.

DIŞ MANYETİK ALANDA ELEKTRON

Açısal momentumu L olan ve dairesel yörünge üzerinde dönen “klasik” bir elektronun manyetik momenti, şu şekilde tanımlanır :

M = – ( e/2mc ) L

Kuantum mekaniksel olarak bir elektron, spininden dolayı özgün bir manyetik momente sahiptir :

M = – ( eg/2mc ) S (3.17)

Burada g, değeri 2’ye çok yakın olan jiromanyetik orandır.

g = 2

(

1 + α/2π + . . .

)

= 2,0023192

Burada α , inceyapı sabitidir ( α = e2 / ћc ≈ 1/137 ).

Şimdi bir dış manyetik alan B içindeki bir elektronu ele alalım. Elektron, manyetik momentinden dolayı dış manyetik alanla etkileşir. Hamiltonyen, (3.16)

ve (3.17)’ye göre şu şekildedir :

H = – M . B = (egћ/4mc) σ . B (3.18)

35

iћ dΨ/dt = (egћ/4mc) σ . B Ψ (3.19)

┌ ┐

Burada Ψ(t) = │α₊ │ e–iwt şeklindedir.

│α_– │

└ ┘

B alanı sadece z-doğrultusunda ise (3.19) yardımıyla şunu yazabiliriz :

┌ ┐ ┌ ┐┌ ┐

│α+ │ │ 1 0 ││α+│

ћw │α– │ = (egћB/4mc) │ 0 – 1 ││α–│

└ ┘ └ ┘└ ┘

Çözümler farklı w frekanslarına karşılık gelir :

┌ ┐ ┌ ┐ w = (egB/4mc) için │α₊ │ = │ 1 │ │α_– │ │ 0 │ └ ┘ └ ┘ ┌ ┐ ┌ ┐ w = – (egB/4mc) için │α+ │ = │ 0 │ │α– │ │ 1 │ └ ┘ └ ┘ ┌ ┐

O halde t = 0 anında başlangıç durumu Ψ(0) = │ a │ şeklinde ise,

│ b │

└ ┘

Herhangi bir t anında, w = (egB/4mc) olmak üzere, Ψ(t) şu şekli alır :

┌ ┐

Ψ(t) = │ a e–iwt │ (3.20)

│ b eiwt │

└ ┘

Başlangıçta spin, Sx ‘in ћ/2 özdeğerli bir özdrumu olsun; yani t = 0 anında

spin, +x doğrultusunda olsun : SxΨ(0) = (ћ/2) Ψ(0)

┌ ┐┌ ┐ ┌ ┐

36

│ 1 0 ││ b │ │ b │

└ ┘└ ┘ └ ┘

Burada a = b olup Ψ*(0) Ψ(0) = 1 normalizasyon koşulundan a = 1/√2 olarak bulunur. Bu sonuç (3.20)’de yerine konulur ve ilgili matris çarpımları

yapılırsa S_x ‘in beklenen değeri

‹

S_x

›

= (ћ/2) cos 2wt şeklinde elde edilir. Benzer şekilde S_y ile S_z ‘nin beklenen değerleri de şu şekilde bulunur :

‹

Sy

›

= (ћ/2) sin 2wt

‹

Sz

›

= 0

O halde spin, manyetik alan doğrultusu olan z-ekseni etrafında (yani x-y düzleminde) 2w = (egB/2mc) ≈ eB/mc frekansıyla presesyon yapmaktadır. Bir katıda elektronun g değeri, ona etkiyen kuvvetlerle yakından ilişkilidir. Bu nedenle g’nin bilinmesi bu kuvvetler hakkında bilgi sağlar. Bir katıda g değeri, paramanyetik rezonans yöntemiyle ölçülebilir. Bu yöntemi ele almak için, serbestlik derecesi sadece spin durumları olan bir elektron düşünelim. Bu elektron, z-doğrultusunda büyük bir sabit B_o manyetik alanıyla x-doğrultusunda küçük bir B1 cos wt alanı etkisinde olsun. (3.19)’a göre

Schrödinger denklemi şu şekilde yazılabilir :

iћ dΨ(t)/dt = (egћ/4mc) { σ_z B_o + σ_x B₁ cos wt } Ψ(t)

┌ ┐

Ψ(t) = │ a(t) │

│ b(t) │

└ ┘

Burada w_o = egB_o/4mc ve w₁ = egB₁/4mc frekans tanımlarını yapalım.

İlgili matris çarpımları gerçekleştirilerek aşağıdaki diferansiyel denklemler elde edilir :

37

i da(t)/dt = wo a(t) + w1 cos wt b(t)

i db(t)/dt = w1 cos wt a(t) – wo b(t)

Başlangıçta elektron spini, +z-doğrultusunda olsun. Bu durumda a(0) = 1 ve b(0) = 0 olacaktır. Dalga fonksiyonunun elemanları olan a(t) ile b(t) nicelikleri, fiziksel olarak şu şekilde yorumlanabilir : | a(t) |2 niceliği, spinin “yukarı” yönde olma olasılığıyla, | b(t) |2 ise, spinin “aşağı” yönde olma olasılığıyla orantılıdır. Yukarıdaki çiftlenimli diferansiyel denklemler çözülürse, spinin “aşağı” yönde olma olasılığışu şekilde elde edilir :

| b(t) |2 = {1/(2wo – w)2 + (w1)2 } { 1 – cos √(2wo – w)2 + (w1)2 t } / 2

B₁‹‹B_o olduğundan w₁‹‹w_o ve w₁‹‹w‘dir; bu yüzden bu nicelik küçüktür; ancak B1 ‘in frekansı ayarlanarak w = 2wo yapılırsa | b(t) |2 olasılığı 1’e

yaklaşır. “yukarı” ve “aşağı” durumların enerjileri farklı olduğundan, dış

alandan soğurulan bu enerji farkı bir “rezonans” olarak kendini gösterir. Böylece w_o ve dolayısıyla da g niceliği duyarlı bir şekilde ölçülebilir.

38

PROBLEMLER

1) Harmonik salınıcının taban durumu vektörü (uo)† = ( 1 0 0 . . . ) olsun.

un = ( 1/√n! )

(

A† / √ħ

)

n uo ve A† ‘ın matris gösteriminden yaralanarak ilk

üç uyarılma durumunu hesaplayınız.

┌ ┐┌ ┐ ┌ ┐ │ 0 0 0 0 ││ 1 │ │ 0 │ u1 = (1/√ћ) A† uo = │ 1 0 0 0 ││ 0 │ = │ 1 │ │ 0 √2 0 0 ││ 0 │ │ 0 │ │ 0 0 √3 0 ││ 0 │ │ 0 │ └ ┘└ ┘ └ ┘ ┌ ┐┌ ┐ ┌ ┐ │ 0 0 0 0 ││ 0 │ │ 0 │ u2 = (1/√2ћ) A†u1 = │ 1 0 0 0 ││ 1 │ = │ 0 │ │ 0 √2 0 0 ││ 0 │ │ 1 │ │ 0 0 √3 0 ││ 0 │ │ 0 │ └ ┘└ ┘ └ ┘ ┌ ┐┌ ┐ ┌ ┐ │ 0 0 0 0 ││ 0 │ │ 0 │ u3 = (1/√3ћ) A†u2 = │ 1 0 0 0 ││ 0 │ = │ 0 │ │ 0 √2 0 0 ││ 1 │ │ 0 │ │ 0 0 √3 0 ││ 0 │ │ 1 │ └ ┘└ ┘ └ ┘ NOT : < um | un > = δmn ______________________________________________________________

2) Bir Ψ durumu, Ψ† = (1/√6) ( 1 2 1 0 0 . . . ) şeklinde veriliyor. Harmonik salınıcı işlemcilerini kullanarak aşağıdakileri hesaplayınız.

a)

‹

H

›

= ?

‹

H

›

= Ψ* H Ψ = 3ћw/2 b)

‹

x

›

= ? x = (1/√2mw) ( A + A† )

‹

x

›

= Ψ* x Ψ = (√2ћ/√mw) ( 1 + √2 ) / 3 c)

‹

p

›

= ? p = – i (√mw/√2) ( A – A† )

‹

p

›

= Ψ* p Ψ = 0

39

d)

‹

x2

›

= Ψ* x2Ψ = (ћ/6mw) { 9 + √2 }

e)

‹

p2

›

= Ψ* p2Ψ = (mwћ/6) { – 9 + √2 }

3) ℓ = 3/2 için Lx , Ly , Lz ‘nin matris gösterimlerini bulunuz.

ℓ = 3/2 için m = 3/2, 1/2, – 1/2, – 3/2 < ℓ,m′ | L_z | ℓ,m > = mћ δ(m′,m) ┌ ┐ │ 3/2 0 0 0 │ Lz = ћ │ 0 1/2 0 0 │ │ 0 0 -1/2 0 │ │ 0 0 0 -3/2 │ └ ┘ Lx = (1/2) ( L+ + L– ) Ly = (1/2i) ( L+ – L– ) < ℓ,m′ | L_± | ℓ,m > = C_±(ℓ,m) δ(m′,m±1) C±(ℓ,m) = ћ { ℓ(ℓ+1) – m(m±1) }1/2 ℓ = 3/2 için C₊ = ћ { 15/4 – m(m+1) } m′ m=m′ – 1 C₊ / ћ 3/2 1/2 √3 1/2 – 1/2 √4 – 1/2 – 3/2 √3 – 3/2 – 5/2 0 ┌ ┐ ┌ ┐ │ 0 √3 0 0 │ │ 0 0 0 0│ │ 0 0 √4 0 │ │√3 0 0 0│ L+ = ћ │ 0 0 0 √3 │ L– = (L+)† =ћ│ 0 √4 0 0│ │ 0 0 0 0 │ │ 0 0 √3 0│ └ ┘ └ ┘ ┌ ┐ ┌ ┐ │ 0 √3 0 0 │ │ 0 √3 0 0│ │√3 0 √4 0 │ │-√3 0 √4 0│ L_x = (ћ/2) │ 0 √4 0 √3 │ L_y = (ћ/2i) │ 0 -√4 0 √3│ │ 0 0 √3 0 │ │ 0 0 -√3 0│ └ ┘ └ ┘

40

NOT : [ Lx , Ly ] = iћ Lz

4) ℓ = 1 sistemini göz önüne alınız. L_x işlemcisinin özdeğerlerini ve özvektörlerini bulunuz. Lx = ½ ( L+ + L– ) ┌ ┐ │ 0 √2 0 │ L₊ = ћ │ 0 0 √2 │ │ 0 0 0 │ └ ┘ ┌ ┐ │ 0 0 0 │ L_– = ћ │√2 0 0 │ │ 0 √2 0 │ └ ┘ ┌ ┐ │ 0 √2 0 │ L_x =ћ/2 │√2 0 √2 │ │ 0 √2 0 │ └ ┘ ┌ ┐┌ ┐ │ 0 – a √2 0 ││α │ │ √2 0 – a √2 ││β │= 0 │ 0 √2 0 – a ││γ │ └ ┘└ ┘ │ │ │ 0 – a √2 0 │ │ √2 0 – a √2 │= 0 → a3 – 4a = 0 → a1 = 0 a2 = 2 a3 = – 2 │ 0 √2 0 – a │ │ │ a1 = 0 için ┌ ┐┌ ┐ │ 0 √2 0 ││α │ │ √2 0 √2 ││β │= 0 → β = 0 α + γ = 0 → α = – γ │ 0 √2 0 ││γ │ └ ┘└ ┘ ┌ ┐ │ α │ (X₁)† X₁ = 1 → ( α 0 – α ) │ 0 │ = 1 → α = 1/√2 │–α │ └ ┘ ┌ ┐ │ 1 │ X₁ = (1/√2) │ 0 │

41 │ – 1 │ └ ┘ a₂ = 2 için ┌ ┐┌ ┐ – 2a + √2 b = 0 │ –2 √2 0 ││ a │ │ √2 –2 √2 ││ b │= 0 → √2 a – 2b + √2 c = 0 → a = c = b/√2 │ 0 √2 –2 ││ c │ └ ┘└ ┘ √2 b – 2c = 0 ┌ ┐ │ a │ ( a √2 a a ) │√2a │= 1 → a = c = 1/2 b = 1/√2 │ a │ └ ┘ ┌ ┐ │ 1 │ X₂ = (1/2) │√2 │ │ 1 │ └ ┘ a₃ = – 2 için ┌ ┐┌ ┐ 2x + √2 y = 0 │ 2 √2 0 ││ x │ │ √2 2 √2 ││ y │= 0 → √2 x + 2y + √2 z = 0 → x = z = – y/√2 │ 0 √2 2 ││ z │ └ ┘└ ┘ √2 y + 2z = 0 ┌ ┐ │ x │ ( x -√2 x x ) │ –√2x │= 1 → x = z = 1/2 y = – 1/√2 │ x │ └ ┘ ┌ ┐ │ 1 │ X₃ = (1/2) │-√2 │ │ 1 │ └ ┘

Şimdi bir u durumunu gözönüne alalım ve L_x ‘in bu durum için ölçümünün 0 olma olasılığını bulalım.

42 ┌ ┐ │ 1 │ c1 = {1/√2} ( 1 0 –1 ) {1/√26} │ 4 │= 4 / √52 │–3 │ └ ┘ İstenilen olasılık |c1|2 = 16/52 = 0,308 = % 30,8 ______________________________________________________________

43

BÖLÜM 4 AÇISAL MOMENTUMUN TOPLANMASI

Spinleri S₁ ve S₂ olan iki elektron düşünelim. Bu işlemciler ayrı ayrı

standart açısal momentum komütasyon bağıntılarını sağlarlar :

[ S_1x , S_1y ] = iћS_1z [ S_1y , S_1z ] = iћS_1x [ S_1z , S_1x ] = iћS_1y [ S2x , S2y ] = iћS2z [ S2y , S2z ] = iћS2x [ S2z , S2x ] = iћS2y

Ancak farklı parçacıklarla ilgili serbestlik dereceleri birbirinden bağımsız olduğu için, [ S1 , S2 ] = 0 ‘dır. Şimdi toplam spini S = S1 + S2 şeklinde

tanımlayalım. S ‘nin bileşenleri için komütasyon bağıntıları şu şekildedir :

[ S_x , S_y ] = [ S_1x + S_2x , S_1y + S_2y ]

=

[S1x + S1y ]

+

[S1x + S2y ] + [S2x + S1y ] + [S2x + S2y ]

= iћS_1z + 0 + 0 + iћS_2z = iћ ( S1z + S2z )

[ Sx , Sy ] = iћSz [ Sy , Sz ] = iћSx [ Sz , Sx ] = iћSy

Buna göre S ‘yi toplam spin olarak adlandırabiliriz; çünkü S’nin bileşenleri, açısal momentum komütasyon bağıntılarını sağlamaktadır.

İki-spin sisteminin gerçekte 4 durumu söz konusudur. Birinci elektronun spinörünü χ_±(1) ile, ikinci elektronun spinörünü ise χ_±(2) ile gösterelim. Tanım gereği S1zχ±(1) = ± (ћ/2) χ±(1) ve S2zχ±(2) = ± (ћ/2) χ±(2) şeklindedir.

Söz konusu 4 durum χ+(1) χ+(2) , χ+(1) χ–(2) , χ–(1) χ+(2) ve χ–(1) χ–(2) olup bunlar

44 Sz {χ+(1)χ+(2)} = { S1z χ+(1) } χ+(2) + χ+(1) { S2zχ+(2) } = ћχ+(1)χ+(2) Sz {χ+(1)χ–(2)} = (ћ/2) χ+(1) χ–(2) – (ћ/2) χ+(1) χ–(2) = 0 S_z {χ_–(1)χ₊(2)} = – (ћ/2) χ_–(1)χ₊(2) + (ћ/2) χ_–(1) χ₊(2) = 0 Sz {χ–(1)χ–(2)} = – (ћ/2) χ–(1)χ–(2) – (ћ/2) χ–(1)χ–(2) = – ћ χ–(1) χ–(2)

Genel olarak Lz Yℓm = mћ Yℓm olduğuna göre χ+(1) χ+(2) durumu için

S = 1 , m = 1 ; χ_–(1) χ_–(2) durumu için S = 1 , m = – 1 ‘dir. Diğer iki durum için de m = 0 olduğu açıktır. Bunların iki farklı çizgisel kombinasyonları

yapılarak S = 1 (triplet) ve S = 0 (singlet) durumları elde edilebilmelidir. Bunu görebilmek için “eksiltme” işlemcisini S– = S1– + S2– , m = 1

durumuna uygulayalım. Bölüm 3’den şunları yazabiliriz :

S–(i)χ+(i) = ћ χ–(i) S+(i)χ–(i) = ћχ+(i) S+(i)χ+(i) = S–(i)χ–(i) = 0

Şimdi S_– işlemcisini χ₊(1) χ₊(2) durumuna uygulayalım :

S– χ+(1)χ+(2) = { S1–χ+(1) } χ+(2) + χ+(1) { S2–χ+(2) }

= ћ χ_–(1) χ₊(2) + ћ χ₊(1) χ_–(2)

= √2 ћ { χ+(1) χ–(2) + χ–(1) χ+(2) } / √2

Baştaki √2 ћ çarpanı, Bölüm 3’deki C_– = ћ { ℓ(ℓ+1) – m(m–1) }1/2 tanımına uygundur, çünkü ℓ = ½ + ½ = 1 ve m = 1 için C– = √2 ћ ‘dir. Böylece

45

yukarıdaki çizgisel kombinasyon normalize halde yazılmış olur. Singlet duruma ait çizgisel kombinasyon ise, triplet durumuna ortogonal olacak şekilde seçilebilir :

{ χ₊(1)χ_–(2) – χ_–(1) χ₊(2) } / √2

Özetlenecek olursa özdeş iki tane ½ spinli parçacıktan oluşan bir sistem için triplet durumlar aşağıda verilmiş olup bunlar, spin isimlendirmesinin yerdeğiştirmesine göre simetriktir :

χ+(1) χ+(2)

{ χ+(1) χ–(2) + χ–(1) χ+(2) } / √2

χ_–(1) χ_–(2) Singlet durum ise antisimetriktir :

{ χ+(1) χ–(2) – χ–(1) χ+(2) } / √2

Triplet ve singlet için m = 0 ‘a karşılık gelen durumları birlikte X± ile

gösterelim ve buna S2 işlemcisini uygulayalım :

X± = { χ+(1) χ–(2) ± χ–(1) χ+(2) } / √2

Önce S2 _{‘yi oluşturalım :}

S2 = ( S1 + S2 ) 2 = S12 + S22 + 2 S1. S2

= S12 + S22 + 2S1z S2z + 2S1x S2x + 2S1y S2y

Son iki terimi S_±(i) = S_x(i) ± i S_y(i) işlemcileri cinsinden yazalım :

S₁₊ S_2– = (S_1x + i S_1y) (S_2x – i S_2y) = S_1x S_2x – i S_1x S_2y + i S_1y S_2x + S_1y S_2y S_1– S₂₊ = (S_1x – i S_1y) (S_2x + i S_2y) = S_1x S_2x + i S_1x S_2y – i S_1y S_2x + S_1y S_2y

46

Bunlar taraf tarafa toplanırsa 2S1x S2x + 2S1y S2y = S1+ S2– + S1– S2+

olduğu görülür. Böylece S2 işlemcisi şu şekli alır :

S2 = S12 + S22 + 2S1z S2z + S1+ S2– + S1– S2+

Genel olarak Si2χ±(i) = ½ (1/2+1) ћ2χ±(i) = (3ћ2/4) χ±(i) olduğundan,

S12 X± = {1/√2} { (S12χ+(1)) χ–(2) ± (S12χ–(1)) χ+(2) }

= (3ћ2/4) X_±

Benzer şekilde S22 X± = (3ћ2/4) X± olur. Şimdi 3. terimi ele alalım :

2S1z S2z X± = (2/√2) { (S1zχ+(1) ) (S2zχ–(2) ) ± (S1zχ–(1) ) (S2zχ+(2) ) }

= (2/√2) { (ћ/2) (–ћ/2) χ+(1) χ–(2) ± (–ћ/2) (ћ/2) χ–(1) χ+(2) }

= –(ћ2/2) X_±

Son iki terimin uygulanması ise şu sonuçları verir :

S₁₊ S_2– X_± = (1/√2) { (S₁₊χ₊(1) ) (S_2–χ_–(2) ) ± (S₁₊χ_–(1) ) (S_2–χ₊(2) ) } = (1/√2) { 0 ± (ћ χ+(1) ) (ћ χ–(2) ) }

S_1– S₂₊ X_± = (1/√2) { (S_1–χ₊(1) ) (S₂₊χ_–(2) ) ± (S_1–χ_–(1) ) (S₂₊χ₊(2) ) } = (1/√2) { (ћχ–(1) ) (ћ χ+(2) ) ± 0 }

47

Böylece artık S2 X± ‘yi yazabiliriz :

S2 X_± = ( S₁2 + S₂2 + 2S_1z S_2z + S₁₊ S_2– + S_1– S₂₊ ) X_± = ( 3ћ2/4 + 3ћ2/4 – ћ2 /2 ± ћ2 ) X± = ћ2 ( 1 ± 1 ) X_± S2 X+

= 2

ћ2X+

→ S2 X_± = ћ2 s ( s+ 1 ) X_± S2 X–

= 0

Buna göre X+ için S = 1 ve m = 0, X– için S = 0 ve m = 0 ‘dır.

İki tane spin ½ parçacığa ait 4 durumun, biri singlet (S=0), diğeri triplet (S=1) olan iki toplam spin durumuna dönüştürülebileceğini gördük. Serbest spinler için iki anlatım tamamen özdeştir; ancak kuvvetlerin spine bağlı olduğu bir fiziksel sistemde, ayrı spinlerin özfonksiyonları H ile S12 , S1z , S22 ,

S2z ‘nin özdeş durumları olmayıp H , S2 , Sz , S12 ve S22 ‘nin özdeş

özfonksiyonları olacaktır. Bunu en iyi bir örnek üzerinde görebiliriz.

İki elektron arasındaki etkileşme potansiyeli, spin bağımlı olsun :

V(r) = V1(r) + (1/ћ2) S1. S2 V2(r)

Burada 2. terim, her iki parçacığa ait spin işlemcilerini içerdiği için, S1z ve S2z

ile komütasyonu sıfır değildir. Bu yüzden yukarıdaki potansiyeli içeren H’ın özdurumları, S_1z ve S_2z ‘nin özdurumlarının basitçe çarpımı şeklinde yazılamaz. Ancak 2. terimi, S1 . S2 = ½ (S2 – S12 – S22 ) şeklinde yazarsak,

48

Hamiltonyen S2 , S12 ve S22 ‘nin bir özfonksiyonuna etkidiğinde, bunların

özdeğerleriyle temsil edilebilir :

V(r) = V₁(r) + (1/2ћ2) V₂(r) [ ћ2 S(S+1) – ћ2 ½ ( ½ + 1) – ћ2 ½ ( ½ + 1) ] = V1(r) + (V2(r) / 2) [ S(S+1) – ¾ – ¾ ]

= V₁(r) + (V₂(r) / 2) [ S(S+1) – 3/2 ]

Burada köşeli parantez S = 1 için 1/2, S = 0 için de – 3/2 olduğuna göre

şunu elde ederiz :

S = 1 → V(r) = V₁(r) + (V₂(r) / 4) S = 0 → V(r) = V1(r) – (3V2(r) / 4)

V(r) = V₁(r) + (1/ћ2) S₁. S₂ V₂(r) tipinde bir spin bağımlı potansiyel, gerçekte nötron-proton sisteminde gerçekleşebilir. Bağlı durum S = 1 ‘e karşılık gelir (döteron) ; ancak V2(r) ≠ 0 için gerçekleşen ve bağlı olmayan bir S = 0

durumu da vardır.

Toplam Açısal Momentum

İlerideki uygulamalar açısından önemli olan bir konu da, spinle yörüngesel açısal momentumun birleştirilmesidir. L işlemcisi r × p tanımı

gereği uzaysal koordinatlara bağlıyken, S işlemcisi bunlardan bağımsız olduğu için L ile S değişedebilirler : [ L , S ] = 0. Bu yüzden toplam açısal momentumu

J = L + S şeklinde tanımlarsak J’nin bileşenleri, açısal momentum komütasyon bağıntılarını sağlarlar. Örneğin Jz ile J2 ‘yi ele alalım.

Jz = Lz + Sz

J2 = L2 + 2 L . S + S2

49

[ J2 , Jz ] = 0 olduğundan özdurumları özdeştir ve bunların, Yℓm ile χ± ‘nin

çizgisel kombinasyonları şeklinde yazılmasını bekleriz. Bir örnek olmak üzere aşağıdaki dalga fonksiyonunu ele alalım ve J_z ‘yi buna uygulayalım :

Ψ_j,m+1/2 = α Y_ℓmχ₊ + β Y_ℓ,m+1χ_– Jz Ψj,m+1/2 = ( Lz + Sz ) (α Yℓmχ+ + β Yℓ,m+1χ– ) = α (L_z Y_ℓm) χ₊ + β (L_z Y_ℓ,m+1) χ_– + αY_ℓm (S_zχ₊)+ βY_ℓ,m+1 (S_zχ_–) = α mћ Yℓmχ+ + β (m+1)ћ Yℓ,m+1χ– + α (ћ/2)Yℓmχ+ + β (–ћ/2) Yℓ,m+1χ– = α (m+1/2)ћ Yℓmχ+ + β mћ Yℓ,m+1 χ– + βћ Yℓ,m+1χ– – β (ћ/2) Yℓ,m+1 χ–

= ћ(m+1/2) αY_ℓmχ₊

+

ћ(m+1/2) β Y_ℓ,m+1 χ_–

= ћ(m+1/2) Ψj,m+1/2

Böylece yukarıda tanımlanan Ψ_j,m+1/2 ‘nin, J_z ‘nin ћ(m+1/2) özdeğerli bir özfonksiyonu olduğunu görüyoruz. Şimdi katsayıları (α ve β) o şekilde belirleyelim ki Ψj,m+1/2 , J2 ‘nin de bir özfonksiyonu olsun. Bunu elde ederken

aşağıdaki özellikleri kullanacağız :

L+ Yℓm = ћ [ℓ(ℓ+1) – m(m+1)]1/2 Yℓ,m+1 = ћ [(ℓ+m+1) (ℓ–m)]1/2 Yℓ,m+1

L_– Y_ℓm = ћ [ℓ(ℓ+1) – m(m–1)]1/2 Y_ℓ,m–1 = ћ [(ℓ–m+1) (ℓ+m)]1/2 Y_ℓ,m–1 S–χ+ = ћχ– S+ χ– = ћ χ+ S+χ+ = S–χ– = 0

Lz Yℓm = mћ L2 Yℓm = ћ2ℓ(ℓ+1) Yℓm

S_zχ_± = ± (ћ/2) χ_± S2χ_± = (3ћ2/4) χ_±