TINJAUAN PUSTAKA
Rancangan Campuran
Rancangan campuran merupakan rancangan dengan faktor berupa komponen atau campuran bahan yang jumlah totalnya konstan (Montgomery, 2001). Rancangan campuran banyak diaplikasikan dalam bidang industri. Penentuan proporsi komponen yang optimum lebih mendapatkan perhatian dari pada jenis komponen yang dipakai. Beberapa teladan produk yang dibuat dari campuran beberapa komponen (Cornel, 1990) yaitu adonan kue yang tersusun atas tepung, gula dan air, dan adonan beton yang terdiri dari campuran pasir, air, dan semen.
Rancangan campuran mengasumsikan bahwa perbedaan respon hanya dipengaruhi oleh perbedaan proporsi setiap komponen pada campuran tersebut, bukan banyaknya campuran (Montgomery, 2001). Nilai respon pada campuran yang sama akan berubah apabila proporsi setiap komponen berubah.
Misalkan campuran terdiri dari q jenis bahan (komponen). Jika xi merupakan proporsi bahan ke-i pada campuran maka syarat dasar pada percobaan campuran adalah: xi 0 i1,2,...,q (1)
q i q i x x x x 1 2 1 ... 1 (2)Jika salah satu bahan memiliki xisebesar 1, maka campuran seperti itu disebut campuran bahan tunggal (pure mixture).
Persamaan (1) dan (2) secara geometrik menyebabkan titik q komponen terletak pada atau berada pada batas ruang simpleks beraturan berdimensi (q-1). Apabila q=2 komponen maka ruang simpleksnya berupa garis lurus, dan setiap kombinasi diwakili oleh satu titik di garis tersebut. Sedangkan apabila q=3 maka ruang simpleksnya berupa segitiga sama sisi yang dibentuk oleh x1x2 x3 1 (Gambar 1).
Gambar 1 Daerah simpleks tiga komponen.
Cornell (1990) menyebutkan bahwa sistem koordinat simpleks menggambarkan proporsi setiap komponen xi,i1,2,...,q. Rancangan titik koordinat pada rancangan komposisi tiga komponen dapat dilihat pada Gambar 2.
Gambar 2 Koordinat simpleks campuran tiga komponen.
Setiap titik sudut pada segitiga menggambarkan komposisi komponen tunggal yang dilambangkan dengan xi 1,xj 0 untuk i j. Campuran dua komponen digambarkan oleh sisi segitiga, sedangkan campuran yang mengandung tiga komponen diwakili oleh titik-titik dalam segitiga. Titik tengah
Komponen 3 (0,0,1) Komponen 2 (0,1,0) Komponen 1 (1,0,0) x3=1 (0,0,1) x1=1 (1,0,0) x2=1 (0,1,0) x1=1 (1, 0, 0) ( 1/2,0,1/2) x3=1 (0, 0, 1) (0,1/2,1/2) x2=1 (0, 1, 0) (1/2 ,1/2,0) (1/3, 1/3, 1/3)
segitiga merupakan campuran ketiga komponen dengan proporsi yang sama yaitu (1/3,1/3,1/3). Beberapa rancangan campuran dengan tiga komponen diantaranya simplex-lattice, simplex-centroid, dan axial design (Cornel, 1990) seperti pada Gambar 3.
Gambar 3 Simplex-lattice (a), simplex-centroid (b), simplex-centroid dengan axial (c). Rancangan campuran berbentuk simplex-lattice difokus pada pengaruh tunggal dan kombinasi dua komponen (biner) terhadap respon yang dihasilkan. Pada rancangan simplex-centroid, selain pengaruh tunggal dan biner, pengaruh kombinasi tiga komponen pada titik tengah (centroid) juga diikut sertakan. Pada simplex-centroid dengan axial, pengaruh kombinasi tiga komponen diperbanyak dengan menambah titik pada daerah axial. Gabungan dua buah rancangan campuran disebut rancangan campuran-campuran.
Model polinomial simplex-centriod yang dikembangkan oleh Scheffe digunakan untuk analisis data percobaan sebagai salah satu model permukaan respon untuk data hasil percobaan campuran (Cornel, 1990). Persamaan polinomialnya:
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ … … 3
Parameter menunjukkan campuran linier komponen i, dan merupakan koefisien nonadditif campuran komponen i dan j. Parameter lainnya didefinisikan sama yaitu merupakan koefisien nonadditif campuran komponen i, j, dan k. Persamaan (3) dapat diduga dengan metode kuadrat terkecil (Cornel, 1990).
Pada q komponen rancangan simplex-centroid terdapat 2 1 kombinasi titik yang berbeda. Parameter 2 1 pada persamaan polinomial (3) dapat
dinyatakan sebagai fungsi linier dari respon pada titik-titik rancangan simplex-centroid. Jika , dan disubtitusikan dalam persamaan (3) untuk respon
1, 0, , , dan , untuk setiap i, j, dan, k maka paramaternya menjadi:
,
2 2 1 ,
3 3 2 1
Secara umum, jika Sr didefinisikan sebagai himpunan , , … , dari r elemen untuk {1,2,...,q}, maka model parameter secara umum dapat dituliskan:
1 1
∑ 1
Rancangan Petak Terbagi
Model umum rancangan petak terbagi (Naes, 2006) :
dimana:
y = vektor respon
X= matriks faktor percobaan b = vektor koefisien regresi
= vektor galat petak utama
e = vektor galat anak petak.
Masing-masing unsur dan e diasumsikan tidak saling berkorelasi.
Vektor galat anak petak (e) juga tidak berkorelasi dengan unsur-unsur . Apabila
komponen ragam galat petak utama dituliskan σ dan komponen ragam galat anak petak dituliskan σ , maka matriks peragam petak terbagi dapat dituliskan:
σ σ
dengan:
V = matriks peragampetak terbagi
J = matriks diagonal berdimensi n×n bernilai 1 pada masing-masing petak
utama dan lainnya 0. n
R r d y t P m s g N m m B Rancangan Ranc rancangan dengan fakt yang digamb tiga kompo Pengacakan masing-mas segitiga peta gabungan ra Gambar Titik Notasi xijk d merupakan masing mer 1:1:1. Borges (200 ˆ yap Campuran cangan cam campuran. tor pertama barkan dalam onen pada dilakukan ing segitiga ak utama (G ancangan cam (a r 4Susunan k-titik anak dan zijk adal
notasi camp rupakan not 07) menulisk , , (x1 x2 x3 h n-Campuran mpuran-camp Borges (2 terdiri dari m bentuk se 7 macam pada komp anak petak Gambar 4(a) mpuran deng a) rancangan c petak berse lah notasi S puran tungg tasi polinom kan model du ) 3 n dengan Pe puran merup 007) meng tiga kompo gitiga pada proporsi di osisi petak (Gambar 4( )) sehingga gan penempa campuran-ca esuaian den cheffe untuk gal polinomi mial Scheffe ugaan respon etak Terbag pakan gabu gilustrasikan onen dengan Gambar 4(a iilustrasikan utama terle (b)) diacak p bentuk ranc atan struktur ampuran den ngan rancan k campuran ial Scheffe, e campuran n (y) kubik a gi ungan lebih campuran n 10 macam a). Faktor ke pada Gam ebih dahulu pada setiap cangan bisa r data petak t (b) ngan petak te ngan simplex n dua faktor. xij dan xij biner 1:1 d anak petak se dari satu -campuran m proporsi edua terdiri mbar 4(b). kemudian komposisi dikatakan terbagi. erbagi. x-centroid. . Notasi xi ijk masing-dan terner ebagai:
3 1 3 1 123 1 2 3 3 1 i i j j ij i j i i i x x x b x x b x b (4)
Pada sistem tiga komponen dimana subindeks menunjukkan indeks komponen anak petak dan variabel menyatakan proporsi dalam campuran anak petak. Batasan campuran yang biasa berlaku untuk proporsi ini dengan x1 + x2 + x3 = 1 dan xi≥ 1 untuk i = 1,2,3. Analog dengan persamaan (4), model respon (y) kubik petak utama dituliskan sebagai:
) , , ( ˆ h z1 z2 z3 ypu 3 1 3 1 1 2 3 123 3 1 k k l l k l kl k k kz b z z b z z z b (5)
Superindeks menunjukkan indeks komponen petak utama dan variabel menyatakan proporsi dalam campuran petak utama. Sebuah model yang mengandung efek interaksi antara komponen anak petak dan petak utama dapat diperoleh dengan mengalikan kedua persamaan (4) dan (5). Persamaan efek interaksi dijabarkan pada persamaan berikut:
( , , , , , ) ˆ f x1 x2 x3 z1 z2 z3 y h(x1,x2,x3)g(z1,z2,z3)
3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 2 1 123 ˆ i k i i j j k k k k k j i k ij k i k i x z b x x z b x x x z b y
3 1 3 1 3 1 i k k l l l k i kl i x z z b
3 1 3 1 3 1 3 1 i i j j k k l l l k j i kl ij x x z z b
3 1 3 2 1 123 i i i x z z z b
3 1 3 1 3 2 1 123 i i j j j i ij x x z z z b +
3 1 3 1 3 2 1 123 k k l l l k kl z z x x x b b123123x1x2x3z1z2z3 (6)Model standar campuran untuk komposisi anak petak ketika dilakukan pada campuran komponen tunggal ke-k petak utama:
3 1 3 1 123 1 2 3 3 1 ˆ i i j j k j i k ij i i k i x b x x b x x x b y (7)
Rancangan simplex-centroid dan model kubik lengkap menafsirkan bahwa jumlah rancangan titik sama dengan jumlah koefisien dalam model. Persamaan (5)
menunjukkan suatu model lengkap rancangan simplex-centroid. Interaksi linear antara anak petak dan petak utama untuk rancangan tanpa ulangan setara dengan nilai respon untuk komponen yang terlibat, yaitu:
a i a i y b (8) dengan ragam 2 ) ( a e i b Var (9) 2 e
adalah ragam yang bersifat unik.
Persamaan efek interaksi kuadrat diantara antara anak petak komponen ke-i dan komponen ke-j untuk campuran tunggal petak utama pada komponen ke-a adalah:
) ( 2 4 a j a i a ij a ij y y y b (10) dan 2 24 ) ( a e ij b Var
(11)Persamaan (12) menunjukkan efek interaksi kubik antara tiga komponen dalam campuran terner anak petak untuk komponen tunggal petak utama ke-a dan ragamnya: ) ( 3 ) ( 2 ) ( 27 123 12 13 23 1 2 3 123a ya ya ya ya ya ya ya b (12) dan 2 123) 1188 ( a e b Var (13) Persamaan-persamaan sebelumnya (8) s.d (13) sama seperti persamaan untuk mengevaluasi koefisien campuran standar pada sebuah segitiga campuran tunggal. Analog dengan persamaan (8) s.d (13) ini dapat ditulis untuk interaksi kuadrat dan interaksi kubik komponen petak utama untuk setiap komponen anak petak.
Persamaan yang menjelaskan efek interaksi biner-biner untuk komponen anak petak dan petak utama adalah:
4[4 2( )] 2{[4 2( )] [4 2( lj)]} l i l ij k j k i k ij kl j kl i kl ij kl ij y y y y y y y y y b (14)
dan persamaan ragamnya
2 576 ) ( kl e ij b Var
(15) Koefisien klb123 yang mewakili efek interaksi terner anak petak dan melibatkan interaksi biner ke-k dan komponen petak utama ke-l:
)] ( 2 4 [ )] ( 2 4 {[ 12 )] ( 2 4 [ 27 123 123 123 12 12 12 13 13 13 123 l k kl l k kl l k kl kl y y y y y y y y y b [4 23 2( 23 23)]} 3{[4 1 2( 1 1)] [4 2 2( 2 2)] l k kl l k kl l k kl y y y y y y y y y [4 3 2( 3 3)]} l k kl y y y (16) dengan ragam 2 123) 28512 ( e kl b Var (17)
Efek interaksi terner antara komponen anak petak dan petak utama diperoleh dengan persamaan: )] ( 3 ) ( 12 27 [ 27 123 3 123 2 123 1 123 23 123 13 123 12 123 123 123 123 y y y y y y y b - )] ( 3 ) ( 12 27 [ )] ( 3 ) ( 12 27 [ )] ( 3 ) ( 12 27 [ 12 23 3 23 2 23 1 23 23 23 13 23 12 23 123 13 3 13 2 13 1 13 23 13 13 13 12 13 123 12 3 12 2 12 1 12 23 12 13 12 12 12 123 y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y + )] ( 3 ) ( 12 27 [ )] ( 3 ) ( 12 27 [ )] ( 3 ) ( 12 27 [ 3 3 3 3 2 3 1 3 23 3 13 3 12 3 123 2 3 2 2 2 1 2 23 2 13 2 12 2 123 1 3 1 2 1 1 1 23 1 13 1 12 1 123 y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y (18) dengan ragam 2 123 123) 1411344 (b e Var (19)
Metode OLS dan GLS merupakan dua metode kuadrat terkecil yang dapat digunakan untuk menduga parameter pada model rancangan campuran-campuran. Model linier rancangan campuran-campuran dengan metode OLS dituliskan:
… . …
dengan parameter
(20)
dan
Cov σ (21)
Pada rancangan campuran-campuran petak terbagi terdapat dua macam galat yaitu galat petak utama dan galat anak petak sehingga model liniernya:
… . …
dengan galat petak utama ~ 0, dan galat anak petak ~ 0, . Metode yang digunakan untuk menduga koefisien pada struktur galat petak terbagi adalah metode GLS. Parameter regresi diduga dengan persamaan:
GLS (22) dengan matriks peragam:
Cov GLS (23)
σ σ .
Pada model klasik hanya terdapat satu jenis sumber galat yang diasumsikan menyebar normal dengan nilai tengah nol dan ragam . Pada dasarnya rancangan campuran-campuran terdiri lebih dari satu faktor sehingga struktur galat yang dihasilkan lebih kompleks. Prosedur petak utama memberikan kontribusi galat lebih rumit karena heterogenitas yang timbul pada suatu sumber keragaman. Metode restricted maximum likelihood (REML) lebih baik digunakan untuk menduga nilai ragam galat karena dapat menduga komponen ragam dalam model yang terdiri dari komponen acak dan tetap.
Nilai Ragam galat petak utama σ dan ragam galat anak petak σ
diduga menggunakan metode REML dengan memaksimumkan fungsi:
ℓR , | | (24)
dimana
ℓR= likelihood rasio tes
σ ; σ
Z= matriks variabel dummy berukuran n×p
Letsinger (1996) telah menunjukkan secara simulasi pada rancangan campuran dengan faktorial bahwa rasio antar ragam σ σ 0.4 metode OLS lebih baik. Berdasarkan simulasi pada saat rasio ragam antar galat dan anak petak kurang dari 0.4 maka ragam galat petak utama bernilai nol atau bisa diartikan petak utama bersifat homogen.
