1 1
GEOMETRI TRANSFORMASI
GEOMETRI TRANSFORMASI
“ “ISOMETRI
ISOMETRI
”” Disusun oleh : Disusun oleh : Aghni Ermawati A. ( 130210101057 ) Aghni Ermawati A. ( 130210101057 ) WahyuWahyu Sulistio Sulistio ( ( 13021010107130210101073 3 )) Achmad Fachruddin ( 130210101083 ) Achmad Fachruddin ( 130210101083 )
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKANPENDIDIKAN UNIVERSITAS JEMBER
UNIVERSITAS JEMBER SEMESTER GASAL 2014/2015 SEMESTER GASAL 2014/2015
5.1 Pengertian Isometri
Definisi 5.1.1Transformasi U adalah isometri jika untuk setiap pasang Q dipenuhi P’Q’ = PQ dengan P’ = U(P) dan Q’ = U(Q).
Dapat dikatakan juga bahwa isometri adalah transformasi yang mengawetkan jarak (panjang garis). Selanjutnya digunakan lambang U untuk menyatakan isometri.
Dalil 5.1.1
Isometri adalah kolineasi Akibat 5.1.1
Isometri adalah kolineasi yang a. Mengawetkan keantaraan b. Mengawetkan ruas garis
c. Mengawetkan titik tengah d. Mengawetkan sinar garis e. Mengawetkan sudut
Contoh 5.1.1
Diketahui suatu transformasi F dengan rumus
[
′
′] = 4
a. Apakah F suatu kolineasi?b. Apakah F suatu Isometri Penyelesaian
b. misalkan A(a,b)dipetakan F ke A’(a’,b’) dan B(c.d) dipetakan F ke B’(c’,d’). Maka
′
′= √ 〈
′−
′〉
+ 〈
′−
′〉
= √ 〈4−〉
+ 〈 − 〉
= √ 16〈 − 〉
+ 〈 − 〉
...(1)Dilain pihak
= √ 〈 − 〉
+ 〈 − 〉
...(2)Dari (1) dan (2) didapatkan AB≠A’B’ sehingga F bukan isometri a. dari rumus F diperoleh x=y’ dan y=
x’. Selanjutnya nilai-nilai ini disubtitusikan ke persamaan umum pX+qY+r=0, sehingga didapatkan qX’+4pY’+4r=0. Karena persamaan iniadalah persamaan garis. Maka F adalah suatu kolineasi
Dalil 5.1.2
Isometri mengawetkan kesejajaran a
b a b
Ambil dua garis sejajar a dan b dengan a’=U(a). B’=U(b). Harus diperlihatkan a’ II b’. Andaikan a’ # b’, berarti a’ berpotongan b’. Misalkan P adalah titik (a’,b’). Jadi P € a’ dan
3
P € b’. Oleh karena U sebuah isometri, maka ada P sehinggga U(P)=P’ dengan P € a dan P €
b. Ini berarti a dan b berpotongan di P, yang bertentangan dengan yang diketahui. Karena itu
pengandaian a’ # b’ salah. Jadi haruslah a’ II b’ Akibat 5.1.2
Isometri mengawetkan ketegaklurusan
Dalil 5.1.3
Isometri mengawetkan besar sudut
Perhatikan sebuah sudut , <ABC
Misalkan A’=U(A), B’=U(B) dan C’=U(C). Berdasarkan dalil 5.1.1 maka A’B’ dan B’C’
masing-masing adalah garis. Oleh karena itu <ABC=BA U BC, maka <A’B’C’=B’A U B’C’. Sedangkan AB=A’B’, BC=B’C’, AC=A’C’, sehingga ahirnya dapat disimpulkan bahwa ∆ABC ≈ ∆A’B’C’. Akibatnya <ABC ≈ <A’B’C’ yang berarti u<ABC = u<A’B’C’. Jadi
5.2 Pencerminan
Definisi 5.2.1
Pencerminan terhadap garis s adalah suatu pemetaan Ms sedemikian hingga untuk setiap titik P pada bidang dipenuhi:
() =
′,ℎ ℎ
, ∈
′, ∈
Garis s selanjutnya disebut sumbu pencerminan atau disingkat cermin. Nantinya dapat diketahui bahwa pencerminan merupakan unsur yang penting dalam membangun geometri transformasi.
Dalil 5.2.1
Pencerminan adalah transformasi
Akibat 5.2.1
a. Mengawetkan keantaraan b. Mengawetkan ruas garis
c. Mengawetkan titik tengah d. Mengawetkan sinar garis e. Mengawetkan sudut
f. Mengawetkan besar sudut g. Mengawetkan ketegaklurusan h. Mengawetkan kesejajaran
Dalil 5.2.2
Pencerminan adalah isometri
Misalkan A’=Ms(A) dan B’=Ms(B). Akan ditinjau beberapa kejadian. Kasus 1. A,B
∈
s pembuktiannya lihat gambar 1Kasus 2. AB
⊥
s perhatikan gambar 2Pembuktiannya didapatkan langsung dari definisi
Dalil 5.2.3
Pencerminan adalah involusi
Dalil 5.2.4
a. titik tetap pencerminan adalah sautu titik pada sumbu cermin
b. garis tetap adalah sumbu cermin dan semua garis yang tegak lurus sumbu cermin itu
Dalil 5.2.5
5
5.3 Geseran
Definisi 5.3.1.
Geseran searah vektor
⃗
adalah pemetaan SAB sedemikian hingga untuk setiap titik P padabidang dipenuhi
⃗
′=
⃗
dengan P’=S(P)Vektor
⃗
disebut vektor geser. Setiap vektor menentukan geseran. Jika
⃗
adalah vektor maka SAB adalah sebuah geseran yang sesuai dengan
⃗
.Dalil 5.3.1
SAB = SCD jika dan hanya jika
⃗ =
⃗
Bukti :
1. Bukti pertama
Akan dibuktikan jika SAB = SCDmaka
⃗ =
⃗
.Jika P adalah sebarang titik dengan P’= SAB (P) maka
⃗
′=
⃗
. Tetapi karena SAB =SCD maka SCD(P)=P’ sehingga
⃗
′=
⃗
. Jadi, maka
⃗
′=
⃗ =
⃗
2. Bukti kedua
Jika P adalah sebarang titik, harus dibuktikan bahwa SAB (P)= SCD (P). Misalkan SAB
(P)=P1 dan SCD (P) = P2 maka
1
⃗ =
⃗
.dan2
⃗ =
⃗
. Karena
⃗ =
⃗
. Maka1
⃗ =2
⃗ .
ini berarti bahwa P1=P2 sehingga SAB = SCD. Bukti selesai.Dalil 5.3.2
Jika A, B dan C adalah tiga titik tak segaris, berlaku SAB = SCD jika dan hanya jika ACDB
adalah jajaran-genjang
Dalil 5.3.3
Geseran adalah transformasi.
Dalil 5.3.4
Geseran adalah isometri.
Bukti :
Geseran adalah transformasi sudah terjamin oleh dalil 5.3.3. misalkan P dan Q adalah dua
titik berbeda dengan P’ = SAB (P) dan Q’ = SAB (Q) maka
⃗
′=
⃗ =
⃗
. Akan dibuktikanbahwa P’Q’ = PQ. Untuk ini akan ditinjau dua kasus.
B P’ Q’
A P Q
7 Q’ Q P’ P (b) Gambar 5.3.2.
Kasus 1 : bila P, P’ dan Q tidak segaris (perhatikan gambar 5.3.2(a)) maka PQQ’P’ adalah jajar genjang (dalil 5.3.2.) dari hal tersebut maka P’Q’ = PQ.
Kasus 2 : Bila P, P’ dan Q segaris (Perhatikan gambar 5.3.2.(b)) maka Q’ terletak pada garis yang sama. Dengan aljabar vektor :
′
′⃗
=
⃗
′−
⃗
′=
⃗ +
⃗
′−
⃗ =
⃗ +
⃗ −
′⃗
′ =
⃗
Jadi P’Q’=PQ. Dengan demikian geseran adalah isometri. Bukti selesai.
Akibat 5.3.1
Geseran adalah kolineasi yang : a. Mengawetkan keantaraan b. Mengawetkan ruas garis
c. Mengawetkan titik tengah d. Mengawetkan sinar garis
Dalil 5.3.5
Geseran mengawetkan arah garis.
Geseran SAB menjadi I bila A= B, namun SAB bukan I, sehingga geseran bukan identitas tidak
mempunyai nilai tetap.
Dalil 5.3.6
a. Geseran yang bukan identitas tidak mempunyai titik tetap.
b. Garis tetap geseran yang bukan identitas adalah semua garis yang sejajar vektor gesernya
Dalil 5.3.7
Rumus umum geseran pada bidang Cartesius adalah
[
′
′] = 1 0
0 1[
′
′] +
Y P’ (x+a,y+b) B(a,b) P(x,y) x 0
Misalkan pada bidang koordinat XOY dipilih titik B(a,b) maka SOB memetakan setiap titik
(x,y) menjadi SOB ((x,y)) = (x+a,y+b). Ini berarti bahwa setiap titik P(x,y) oleh SOB dipetakan ke P’ (x+a,y+b) dengan
⃗
=
sebagai vektor geser.Dengan demikian, apabila geseran SOB dengan
⃗
=
memetakan titik P(x,y) ke titik P’(x’,y’) dapat dirumuskan hubungan “x’=x+a y’=y+b
atau dengan cara tulis vektor
[
′
′] = +
Vektor
adalah vektor geser. Selanjutnya 5.3.1 dapat dinyatakan dengan :[
′
′] = 1 0
0 1
+
Jika a=m dan b=m maka
[
′
′] = 1 0
0 1
+
Sehingga rumus 5.3.3 adalah rumus geseran dengan vektor geser
. Bukti selesai. Contoh 5.3.2Tentukan persaman peta tempat kedudukan titik-titik dengan persamaan x2+y2+4x+6y+9=0 karena geseran yang memetakan titik asal (2,3)
Penyelesaian :
Geseran yang memetakan (0,0) ke (2,3) adalah geseran dengan vektor geser
23
sehingga rumusnya adalah :[
′
′] = +23
Dari rumus ini diperoleh x=x’-2 dan y=y’-39
Apabila disubsitusikan ke persamaan x2+y2+4x+6y+9=0 diperoleh persamaan x2+y2=4
5.4 Setengah Putaran
5.4.1 Definisi
setengah putaran terhadap titik P adalah pemetaan H p sedemikian hingga untuk setiap titik A pada bidang dipenuhi sebagai berikut:
( ) =
′,ℎ ℎ ℎ
, =
′, ≠
Yang selanjutnya titik P disebut pusat tengah putaran.
Dalil 5.4.1
Setengah putaran adalah transformasi
Akibat 5.4.1
a. Mengawetkan keantaraan b. Mengawetkan ruas garis
c. Mengawetkan titik tengah d. Mengawetkan sinar garis e. Mengawetkan sudut
f. Mengawetkan besar sudut g. Mengawetkan ketegaklurusan h. Mengawetkan kesejajaran
Dalil 5.4.2
Setengah putaran adalah Isometri
Dalil 5.4.3
Setengah putaran adalah involusi
Pembuktiannya langsung diturunkan dari definisi 5.4.1
Dalil 5.4.4
Jika H p setengah putaran dan g sembarang garisdengan P
∈
g, maka P ll H p(g)Dalil 5.4.5
a. Satu-satunya titik teteap setengah putaran adalah titik pusatnya
b. Garis tengah setengah putaran adalah garis yang melalui pusat setengah putaran itu.
Dalil 5.4.6
Rumus umum setengah putarana pada bidang kartesius adalah
11
5.5 Putaran
Definisi 5.5.1
Putaran terhadap titik P sejauh
2 adalah pemetaan,
sedmikian hingga untuk setiap titik A pada bidang dipenuhi :,
(A) ={
, =
′
′=
˂
′= , ≠
Titik P disebut pusat putaran dan
disebut sudut putar.Dalil 5.5.1
Putaran adalah isometri Akibat 5.5.1
Putaran adalah kolineasi yang : a. Mengawetkan keantaraan. b. Mengawetkan ruas garis.
c. Mengawetkan titik tengah. d. Mengawetkan sinar garis e. Mengawetkan sudut
f. Mengawetkan besar sudut. g. Mengawetkan ketegaklurusan. h. Mengawetkan kesejajaran. Dalil 5.5.2
Putaran yang merupakan involusi adalah setengah putaran. Dalil 5.5.3
Ukuran sudut-sudut antara sebuah garis dan petanya karena suatu putaran sama dengan ukuran sudut-putar putaran itu.
Jadi, jika g’=
,
(g)
, maka u˂(g,g’)=
Dalil 5.5.4
a. Satu-satunya titik tetap putaran yang bukan identitas adalah titik pusat putaran.
b. Suatu putaran bukan identitas mempunyai garis tetap hanya jika putaran itu berupa setengah lingkaran.
Dalil 5.5.5
Rumus umum putaran pada bidang kartesius adalah
[
′
′] =
−
+
dengan p2+ q2= 1 dan ada sepasang tunggal bilangan a dan b yang memenuhi
13 5.6 Pencerminan Geser
Definisi 5.6.1
Untuk sembarang garis s dan vektor
⃗
yang sejajar s,
⃗
≠⃗
, pencerminan geser K s,ABadalah komposisi Ms dan SAByang ditentukan oleh K s,AB= MsSAB
Garis s disebut sumbu pencermminan geser. Notasi K AB,s berarti pencerminan geser dengan
⃗
ǀǀ s. K s,AB menyatakan komposisi MsSAB , sedangkan K AB,s menyatakan SABMs.Dalil 5.6.1
Pencerminan geser adalah isometri.
Akibat 5.6.1
Pencerminan geser adalah kolineasi yang : a. Mengawetkan keantaraan.
b. Mengawetkan ruas garis. c. Mengawetkan titik tengah. d. Mengawetkan sinar garis e. Mengawetkan sudut
f. Mengawetkan besar sudut. g. Mengawetkan ketegaklurusan. h. Mengawetkan kesejajaran.
Dalil 5.6.2
a. Pencerminan geser tidak mempunyai titik tetap.
b. Satu-satunya garis tetap pencerminan geser adalah sumbunya sendiri.
Dalil 5.6.3
Titik tengah
pp
̅
′ dengan p’ = K s,AB(p) pada s. Akibat 5.6.2Jika P dan Q adalah dua titik berbeda dengan P’= K s,AB(P) dan Q’= K s,AB(Q) serta T1 adalah
titik tengah
̅
’ dan titik T2 adalah titik tengah
̅
’ , maka s=
⃡
. Dalil 5.6.4Rumus umum pencerminan geser pada bidang kartesius adalah
[
′
′] =
−
+
dengan p2+ q2= 1 dan
