BAB 5 TRANSFORMASI GEOMETRI

(1)

BAB 5

TRANSFORMASI GEOMETRI I. TRANLASI

Minggu lalu, Candra duduk di pojok kanan baris pertama di kelasnya. Minggu ini, ia berpindah ke baris ketiga lajur keempat yang minggu lalu ditempati Dimas. Dimas sendiri berpindah ke baris kedua lajur kedua yang minggu lalu ditempati Sari. Perhatikan perpindahan tempat duduk Candra dan Dimas ini.

 Candra berpindah 2 lajur ke kiri dan 2 baris ke belakang. Saat berpindah ini, Candra telah melakukan translasi 2 satuan ke kiri dan 2 satuan ke atas yang ditulis sebagai _

      2 2

 Kemudian, Dimas berpindah 2 lajur ke kiri dan 1 baris ke depan. Saat berpindah ini, Dimas telah melakukan translasi 2 satuan ke kiri dan 1 satuan ke bawah ditulis sebagai _

      1 2

 Misalkan, tempat duduk Candra minggu lalu di titik N(a, b) pada koordinat Cartesius. Dengan translasi _       2 2

, diketahui tempat duduknya inggu ini pada titik N ’(a-2,b+2).

Kalian dapat menuliskan translasi ini sebagai berikut :

 

, 2 '



2, 2



2             b a N b a N

Dengan prinsip yang sama, jika titik P(x, y) ditranslasikan dengan _

      b a T1 maka diperoleh bayangannya P'



xa,yb



.

Secara matematis, ditulis sebagai berikut : P

 

x y b P



x a y b



a T            , , 1 '

Sekarang, translasikan lagi bayangan yang telah kalian peroleh dengan _

      d c T₂ Didapat, P



x a y b



d P



x a c y b d



c T                , , '' ' 2 Perhatikan bahwa P''



xac, ybd



P''



x



ac



, y



bd



(2)

Ini berarti P''



xac, ybd



diperoleh dengan mentranslasikan P

 

x,y dengan          d b c a

T Translasi T ini merupakan translasi T1 dilanjutkan dengan T2, yang ditulis

sebagai T₁T₂. Oleh karena _

      b a T₁ dan _       d c T₂ maka _         d b c a T T₁ ₂

Akibatnya, titik P

 

x,y ditranslasikan dengan T1 dilanjutkan dengan translasi T2 menghasilkan bayangan '' P sebagai berikut : P

 

x y b d P



x a c y b d



c a T T                 , , '' 2 1 Sifat:

 Dua buah translasi berturut-turut _

     b a diteruskan dengan _      d c

dapat digantikan dengan

translasi tunggal _        d b c a

 Pada suatu translasi setiap bangunnya tidak berubah. Contoh: 1. Translasi _       q p

T₁ memetakan titik A(1,2) ke titik A'(4,6) a. Tentukan translasi tersebut !

b. Tentukanlah bayangan segitiga ABC dengan titik sudut A(1, 2), B(3, 4), dan C(5, 6) oleh translasi tersebut.

c. Jika segitiga yang kalian peroleh pada jawaban b ditranslasikan lagi dengan _         1 1 2 T Tentukan bayangannya!

d. Translasikan segitiga ABC dengan translasi T2 ◦T1. Samakahjawabannya dengan jawaban c? Jawab : a. A

 

1,2 1 q A'



1 p,2 q



A1

 

4,6 p T             Diperoleh 1 + p = 4 sehingga p = 3

2 + q = 6 sehingga q = 4 Jadi translasi tersebut adalah _

     4 3 1 T b. Translasi _       4 3 1

T artinya memindahkan titik, 3 satuan ke kanan dan 4 satuan ke atas. Dengan mentranslasikan titik-titik A', B', dan C'dari segitiga ABC dengan translasi T1, kalian

memperoleh segitiga A'B'C' sebagai berikut

 





 





 



5,6



'



5 3,6 4



'



2,10



8 , 6 ' 4 4 , 3 3 ' 4 , 3 6 , 4 ' 4 2 , 3 1 ' 2 , 1 4 3 4 3 4 3 1 1 1                                           C C C B B B A A A T T T

(3)

c. ' 4,6 1 ''4  1,6  1 '' 3,5 1 2 A A A T                

 



 



 

4,6 ''



   

2 1,10

 

1



''



3,9



' 7 , 5 ' ' 1 8 , 1 6 ' ' 8 , 6 ' 1 1 1 1 2 2                                     A A A B A A T T

Jadi bayangan segitiga A'B'C' adalah A''B''C'' dengan A''(3,5), B''(5,7) dan C''(-3,9)

d. translasi titik                       3 2 1 4 1 3 2 1 T T 

 

1,2 3 '



1 2,2 3



'

 

3,5 2 A A A        

 

3,4 3 '



3 2,4 3



'

 

5,7 2 B B B          5,6 3 ' 5 2,6 3 ' 3,9 2              C C C

Jadi bayangan ∆ ABC adalah ∆ A'B'C' dengan titik A'(3,5), B'(5,7) dan C'(-3,9)

Perhatikan bahwa segitiga yang kalian peroleh pada jawaban c sama dengan segitiga yang kalian peroleh pada jawaban d.

2. Tentukan bayangan lingkaran (x-3)2 + (y+1)2 = 4 jika ditranslasikan _

      2 5 T ! Jawab :

Ambil sembarang titik P(a,b) pada lingkaran (x-3)2 + (y+1)2 = 4 sehingga diperoleh (a-3)2 + (b+1)2 = 4

Translasikan titik P dengan _

      2 5 T diperoleh

 

, 2 ''



5, 2



5             b a P b a P Jadi titik P'(a-5, b+2)

Perhatikan bahwa: a'= a - 5. Dari persamaan (*), didapat a = a'+ 5. b'= b + 2. Dari persamaan (*), didapat b = b' – 2. Dengan mensubstitusi nilai a dan b ini ke persamaan (*), akan

Diperoleh (a'+ 5-3)2 + (b' - 2+1)2 = 4 dan (a'+ 2)2 + (b' - 1)2 = 4

Jadi bayangan dari (a' + 5 – 3)2 + (b' – 2 + 1)2 = 4 jika ditranslasikan dengan _

      2 5 T adalah (a'+ 2)2 + (b ' – 1)2 = 4 II. REFLEKSI

(4)

Dari gambar tersebut, kalian dapat mengatakan bahwa:

 Lingkaran Q kongruen dengan bayangannya, yaitu lingkaran Q’

 Jarak setiap titik pada lingkaran Q ke cermin sama dengan jarak setiap titik bayangannya ke cermin, yaitu QA = Q’A dan PB = P’ B.

 Sudut yang dibentuk oleh cermin dengan garis yang menghubungkan setiap titik ke bayangannya adalah sudut siku-siku.

Sifat-sifat tersebut merupakan sifat-sifat refleksi. Matriks yang bersesuaian dengan tranformasi geometri

Refleksi Rumus Matriks

Refleksi terhadap sumbu x A

 

x y A



x y



x sb   ' , , . _x_y_''__1₀ _0₁___yx_ Refleksi terhadap sumbu y A

 

x y A



x y



y sb , ' , .  _x_y_''_ _ ₀1 ₁0___yx_ Refleksi terhadap garis y = x A

 

x y A

 

y x x y , ' ,  _                   y x y x 0 1 1 0 ' ' Refleksi terhadap garis y = – x A

 

x y A



y x



x y      , ' , _x_y_''___0₁ ₀1___yx_ Refleksi terhadap garis x = k A

 

x y A



k x y



k x , 2 ' ,   Refleksi terhadap garis y = k A

 

x y A



x k y



k y    2 , ' , Refleksi terhadap titik ( p, q )

 

_,  ,  _'

_

_'_, _'

_

y x A y x A  pq

Sama dengan rotasi pusat (p,q) sejauh 180˚                             q y p x q y p x 180 cos 180 sin 180 sin 180 cos ' ' Refleksi terhadap titik pusat ( 0, 0 )

 

  _A



_x _y



y x A ,  0,0 '  , _                     y x y x 1 0 0 1 ' ' Refleksi terhadap garis y = mx, m = tan α

 





    2 cos 2 sin ' 2 sin 2 cos ' ' , ' ' , y x y y x x dengan y x A y x A y mx                              y x y x     2 cos 2 sin 2 sin 2 cos ' ' Refleksi terhadap garis y = x + k

 





k x y k y x dengan y x A y x A y x k          ' ' ' , ' ' ,                            k k y x y x 0 0 1 1 0 ' ' Refleksi terhadap garis y = –x + k

 





k x y k y x dengan y x A y x A y x k              ' ' ' , ' ' ,                              k k y x y x 0 0 1 1 0 ' ' Sifat-Sifat

a. Dua refleksi berturut-turut terhadap sebuah garis merupakan suatu identitas, artinya yang direfleksikan tidak berpindah.

b. Pengerjaan dua refleksi terhadap dua sumbu yang sejajar, menghasilkan translasi (pergeseran) dengan sifat:

(5)

 Jarak bangun asli dengan bangun hasil sama dengan dua kali jarak kedua sumbu pencerminan.

 Arah translasi tegak lurus pada kedua sumbu sejajar, dari sumbu pertama ke sumbu kedua. Refleksi terhadap dua sumbu sejajar bersifat tidak komutatip.

c. Pengerjaaan dua refleksi terhadap dua sumbu yang saling tegak lurus, menghasilkaan rotasi (pemutaran) setengah lingkaran terhadap titik potong dari kedua sumbu

pencerminan. Refleksi terhadap dua sumbu yang saling tegak lures bersifat komutatif. d. Pengerjaan dua refleksi berurutan terhadap dua sumbu yang berpotongan akan

menghasilkan rotasi (perputaran) yang bersifat:

 Titik potong kedua sumbu pencerminan merupakan pusat perputaran.

 Besar sudut perputaran sama dengan dua kali sudut antara kedua sumbu encerminan.

 Arah perputaran sama dengan arah dari sumbu pertama ke sumbu kedua. Contoh :

1. Diketahui segitiga ABC dengan koordinat titik A (2,0), B (0,-5) dan C (-3,1). Tentukan koordinat bayangan segitiga ABC tersebut bila dicerminkan terhadap sumbu x

jawab :

Pencerminan terhadap sumbu x

2. Bayangan garis – oleh refleksi terhadap sumbu x adalah Jawab :

oleh pencerminan terhadap sumbu x maka: dan disubstitusi ke kurva – diperoleh:

– Jadi bayangannya adalah

3. Tentukan bayangan kurva – oleh pencerminan terhadap sumbu Y. Jawab:

oleh pencerminan terhadap sumbu Y maka: dan dan disubstitusi ke – diperoleh:

Jadi bayangannya adalah

4. Tentukan bayangan kurva oleh pencerminan terhadap garis . Jawab:

oleh pencerminan terhadap garis x = 3 maka:

dan dan disubstitusi ke

diperoleh: – – –

(6)

5. Tentukan bayangan kurva oleh pencerminan terhadap garis . Jawab:

oleh pencerminan terhadap garis maka: dan maka:  dan –  disubstitusi ke – – Jadi bayangannya:

6. Bayangan garis yang dicerminkan tehadap garis adalah…. Jawab :

Matriks transformasi refleksi terhadap y = x adalah _

     0 1 1 0 Sehingga dan disubstitusi ke – diperoleh: – dikali (-1) → – – 0 Jadi bayangannya adalah –

7. Bayangan persamaan lingkaran yang dicerminkan terhadap garis adalah….

Jawab :

dan atau dan Kemudian disubstitusikan ke –

Jadi bayangannya adalah III. ROTASI

Rotasi Rumus Matriks

Rotasi dengan pusat

(0,0) dan sudut putar α

 

_

_

     cos sin ' sin cos ' ' , ' ' , 0, y x y y x x dengan y x A y x A R                             y x y x     cos sin sin cos ' '

Rotasi dengan pusat P(a,b) dan sudut putar α

 

_

_



















    cos sin ' sin cos ' ' ,' ' , , b y a x b y b y a x a x dengan y x A y x A RP                                            b a b y a x y x     cos sin sin cos ' ' Keterangan

α + : arah putaran berlawanan putaran jarum jam α - : arah putaran searah putaran jarum jam

(7)

Sifat-Sifat

Dua rotasi bertumt-turut mempakan rotasi lagi dengan sudut putar dsama dengan jumlah kedua sudut putar semula.Pada suatu rotasi, setiap bangun tidak berubah bentuknya. Catatan:

Pada transformasi pergeseran (translasi), pencerminan (refleksi) dan perputaran (rotasi), tampak bahwa bentuk bayangan sama dan sebangun (kongruen) dengan bentuk aslinya. Transformasi jenis ini disebut transformasi isometri.

Contoh :

1. Persamaan bayangan garis setelah dirotasikan pada pangkal koordinat dengan sudut putaran , adalah….

Jawab :

berarti: dan disubstitusi ke:

diperoleh – Jadi bayangannya: –

2. Persamaan bayangan garis setelah dirotasikan pada pangkal koordinat dengan sudut putaran , adalah ..

Jawab : berarti: – atau atau disubstitusi ke: diperoleh – Jadi bayangannya:

3. Persamaan bayangan parabola – setelah dirotasikan pada pangkal koordinat dengan sudut putaran , adalah ...

Jawab :

berarti: disubstitusi ke: –

di peroleh atau (dikali ) Jadi bayangannya:

IV. DILATASI

Aini dan teman-temannya berkunjung ke IPTN. Di sana, mereka mengamati miniatur sebuah pesawat terbang. Miniatur pesawat terbang ini mempunyai bentuk yang sama dengan pesawat terbang sesungguhnya, tetapi ukurannya lebih kecil. Bentuk seperti miniatur pesawat terbang ini telah mengalami dilatasi diperkecil dari pesawat terbang sesungguhnya. Selain dilatasi diperkecil, terdapat pula dilatasi diperbesar, misalnya pencetakan foto yang diperbesar dari klisenya. Faktor yang menyebabkan diperbesar atau diperkecilnya suatu bangun ini disebut faktor dilatasi. Faktor dilatasi ini dinotasikan dengan huruf kecil, misalnya k.

 Jika k > 1 atau k < -1, maka hasil dilatasinya diperbesar  Jika -1 < k < 1, maka hasil dilatasinya diperkecil

(8)

Dilatasi Rumus Matriks Dilatasi dengan pusat (0,0) dan

faktor dilatasi k

 

 

_

_

ky kx A y x A , 0,k ' ,                    y x k k y x 0 0 ' '

Dilatasi dengan pusat P(a,b) dan faktor dilatasi k

 

 

_

_







y b



k b y a x k a x dengan y x A y x A Pk           ' ' ' , ' ' , ,                             b a b y a x k k y x 0 0 ' ' Contoh :

1. Garis memotong sumbu x di A dan memotong sumbu y di B. Karena dilatasi [O,-2], titik A menjadi A’ dan titik B menjadi B’. Hitunglah luas segitiga OA’B’ Jawab :

garis – memotong sumbu x di memotong sumbu y di karena dilatasi [O,-2] maka :

dan

Titik dan titik membentuk segitiga seperti pada gambar: Sehingga :

V. KOMPOSISI TRANSFORMASI DENGAN MARIKS

Matriks yang bersesuaian dengan transformasi geometri

Transformasi Rumus Matriks

Identitas A

 

x,y 1 A'

 

x,y _                   y x y x 1 0 0 1 ' ' Translasi

 





q y p x A y x A q p           , ' , _                   q p y x y x ' ' Refleksi terhadap sumbu-x A

 

x y A



x y



x sb   ' , , . _                    y x y x 1 0 0 1 ' ' Refleksi terhadap sumbu-y A

 

x y A



x y



y sb , ' , .  _                   y x y x 1 0 0 1 ' ' Refleksi terhadap garis y=x A

 

x y A

 

y x x y , ' ,  _                   y x y x 0 1 1 0 ' ' Refleksi terhadap garis y=-x A

 

x y A



y x



x y      , ' , _                     y x y x 0 1 1 0 ' ' Refleksi terhadap garis x=k A

 

x y A



k x y



k x , 2 ' ,   Refleksi terhadap garis y=k A

 

x y A



x k y



k y    2 , ' ,

(9)

Refleksi terhadap titik (p,q)

 

_

_

' , ' ' ,y , A x y x A  pq

Sama dengan rotasi pusat (p,q) sejauh 180˚                             q y p x q y p x 180 cos 180 sin 180 sin 180 cos ' ' Refleksi terhadap titik pusat (0,0) A

 

x,y   0,0 A'



x,y



                     y x y x 1 0 0 1 ' ' Refleksi terhadap garis y = mx, m = tan α

 





    2 cos 2 sin ' 2 sin 2 cos ' ' , ' ' , y x y y x x dengan y x A y x A y mx                              y x y x     2 cos 2 sin 2 sin 2 cos ' ' Refleksi terhadap garis y=x+k

 





k x y k y x dengan y x A y x A y x k          ' ' ' , ' ' ,                            k k y x y x 0 0 1 1 0 ' ' Refleksi terhadap garis y=-x+k

 





k x y k y x dengan y x A y x A y x k              ' ' ' , ' ' ,                              k k y x y x 0 0 1 1 0 ' ' Rotasi dengan pusat (0,0) dan sudut putar α





 

_

_

     cos sin ' sin cos ' ' , ' ' , 0, y x y y x x dengan y x A y x A R                             y x y x     cos sin sin cos ' ' Rotasi dengan pusat P(a,b) dan sudut putar α

 

_

_



















    cos sin ' sin cos ' ' , ' ' , , b y a x b y b y a x a x y x A y x A RP                                            b a b y a x y x     cos sin sin cos ' ' Dilatasi dengan pusat (0,0) dan factor dilatasi k

 

 

_

_

ky kx A y x A , 0,k ' ,                    y x k k y x 0 0 ' ' Dilatasi dengan pusat P(a,b) dan faktor dilatasi k

 

 

_

_







y b



k b y a x k a x dengan y x A y x A Pk           ' ' ' , ' ' , ,                             b a b y a x k k y x 0 0 ' ' Komposisi transformasi

1. komposisi dua translasi berurutan Diketahui dua translasi _

      b a T1 dan        d c

T₂ . Jika translasi T₁ dilanjutkan translasi T₂ maka dinotasikan ”T₁T₂” dan translasi tunggalnya adalah T=T1+T2=T2+T1 (sifat komutatif).

2. komposisi dua refleksi berurutan

a. refleksi berurutan terhadap dua sumbu sejajar

Jika titik A ( x, y ) direfleksikan terhadap garis x = a dilanjutkan terhadap garis x = a. Maka bayangan A adalah A'



x',y'



yaitu: x ' = 2 (b – a ) + x dan y' = y

Jika titik A( x, y) direfleksikan terhadap garis y = a dilanjutkan terhadap garis y = b. Maka bayangan A adalah A'



x',y'



yaitu: x' = x dan y '= 2 (b – a ) + y

(10)

b. refleksi terhadap dua sumbu saling tegak lurus

Jika titik A (x, y) direfleksikan terhadap garis x = a dilanjutkan terhadap gris y = b (dua sumbu yang saling tegak lurus) maka bayangan akhir A adalah A'



x',y'



sama dengan rotasi titik A (x, y) dengan pusat titik potong dua sumbu (garis) dan sudut putar 180˚

c. refleksi terhadap dua sumbu yang saling berpotongan

Jika titik A (x, y) direleksikan terhadap garis g dilanjutkan terhadap garis h, maka bayangan akhirnya adalah A'



x',y'



dengan pusat perpotongan garis g dan h dan sudut putar 2 α (α sudut antara garis g dan h) serta arah putaran dari garis g ke h.

Catatan k garis gradien m l garis gradien m m m m m k l l k l k       1 tan

d. sifat komposisi refleksi

Komposisi refleksi (refleksi berurutan) pada umumnya tidak komutatif kecuali komposisi refleksi terhadap sumbu x dilanjutkan terhadap sumbu y (dua sumbu yang saling tegak lurus).

3. rotasi berurutan yang sepusat

a. Diketahui rotasi dan , maka transformasi tunggal dari komposisi transformasi rotasi R1 dilanjutkan R2 adalah rotasi

b. Rotasi R1 dilanjutkan R2 sama dengan rotasi R2 dilanjutkan R1

4. komposisi transformasi Diketahui transformasi _              s r q p T dan d c b a

T₁ ₂ maka transformasi tunggal dari

transformasi:

a. T1 dilanjutkan T2 (T2 ◦T1) adalah T=T2 . T1

b. T2 dilanjutkan T1 (T1 ◦T2) adalah T=T1 . T2

Catatan T1 . T2 = T2 . T1

5. bayangan suatu kurva/bangun oleh dua transformasi atau lebih

Contoh: Tentukan bayangan garis oleh pencerminan terhadap garis dilanjutkan translasi _      2 3 !

Jawab: misal titik P(x,y) pada garis -4x + y = 5

P(x,y) dicerminkan terhadap garis y=x, bayangannya P'(y,x) P'(y,x) ditranslasi _      2 3 . Bayangannya Jadi x'' = y + 3 → y = x'' – 3 y'' = x + 2 → x = y'' – 2 persamaan -4x + y = 5 → -4(y'' – 2) + (x'' – 3) = 5 -4y'' + 8 + x'' – 3 = 5 x'' – 4y' ' = 0 jadi bayangan akhirnya adalah

(11)

6. luas bangun hasil tranformasi

Jika suatu bangun (segitiga, lingkaran, dan lain-lain) ditransformasikan maka: a. Luas bangun bayangan tetap untuk transformasi : translasi, refleksi, dan rotasi.

b. Luas bangun bayangan berubah untuk transformasi dilatasi, yaitu jika luas bangun mula-mula L setelah didilatasi oleh , maka luas bangun bayangannya adalah

EVALUASI

1. Tentukan bayangan garis 3x + 2y – 3 = 0 ditranslasikan oleh T = _

     2 1

2. Tentukan bayangan lingkaran x2 + y2 – 4x – 6 = 0 ditranslasikan oleh T2 =       3 2 dilanjutkan oleh T1 =         1 1

3. Diketahui titik A(1,2), B(3,4), dan C(5,6). Tentukan bayangan segitiga ABC jika dicerminkan terhadp sumbu y

4. Tentukan bayangan lingkaran x2 + y2 -2x + 4y – 3 = 0 jika dicerminkan terhadap garis y = x 5. Tentukan bayangan titik P(3, -4) dirotasi 900 berlawanan dengan arah jarum jam dengan

pusat putar O(0,0)

6. Tentukan bayangan garis x – y + 3 = 0 jika dirotasi +600 dengan pusat putar O(0,0) 7. Tentukan bayangan titik R(-2,4) didilatasikan oleh ]

4 1 , [O

8. Tentukan bayangan garis 3x – 5y + 15 = 0 yang didilatasikan oleh [O,5].

9. Tentukan persamaan bayangan dari garis 3x – y + 2 = 0 oleh refleksi trhadap garis y=x dilanjutkan dengan rotasi 900 terhadap pusat putar O.

10.Titik P(x,y) direfleksikan terhadap y = x menghasilkan bayangan titik Q. Kemudian diputar 900 dengan titik pusat O, sehingga bayangan akhirnya adalah R(1,-2). Tentukan koordinat titik P dan Q.