GEOMETRI TRANSFORMASI PENCERMINAN

(1)

Jurusan

Jurusan Pendidikan Pendidikan Matematika Matematika FPMIPA FPMIPA IKIP IKIP PGRI PGRI Bali Bali 2012 2012 Page Page 11 ke feometri. Fermat ( 1601

ke feometri. Fermat ( 1601 – – 16650 dan Rene Descartes (159616650 dan Rene Descartes (1596 – – 1650) menciptakan1650) menciptakan geometri analitik. Diferensial geometri dikembangkan sebagai suatu konsep dan geometri analitik. Diferensial geometri dikembangkan sebagai suatu konsep dan menggunakan notasi dari kalkulus yang dikembangkan oleh Newton dan Leibniz menggunakan notasi dari kalkulus yang dikembangkan oleh Newton dan Leibniz diaplikasikan pada gwomwtri. Alam abad 18 dan 19 , sejumolah geometri non Euclid diaplikasikan pada gwomwtri. Alam abad 18 dan 19 , sejumolah geometri non Euclid dikebangkan, mengakibatkan beberapa orang menjadi ragu apakah geometri akan dikebangkan, mengakibatkan beberapa orang menjadi ragu apakah geometri akan terpisah sesuai dengan teori-teori yang bersaing satu dengan yang lain. Di tahun 1782, terpisah sesuai dengan teori-teori yang bersaing satu dengan yang lain. Di tahun 1782, seorang ahli matematika berusia 23 tahun, Felix Klein ( 1849

seorang ahli matematika berusia 23 tahun, Felix Klein ( 1849 – – 1925) mengusulkan1925) mengusulkan suatu prinsip pemersatu untuk mengklasifikasikan berbagai geometri dan menjelaskan suatu prinsip pemersatu untuk mengklasifikasikan berbagai geometri dan menjelaskan hubungan-hubungan diantara mereka. Inti dari gagasan atau konsep Klein itu adalah hubungan-hubungan diantara mereka. Inti dari gagasan atau konsep Klein itu adalah Geometri Transformasi.

Geometri Transformasi.

Geometri transformasi adalah pemetaan satu-

Geometri transformasi adalah pemetaan satu- satu, dengan menggunakan hinpunansatu, dengan menggunakan hinpunan titik-titik sebagai input dan

titik-titik sebagai input dan returning pointsreturning points sebagai output. Untuk sederhananya,sebagai output. Untuk sederhananya, hinpunan-himpunan input dinamakan

hinpunan-himpunan input dinamakan obyek obyek dan outputnya yang bersesuaiandan outputnya yang bersesuaian dinamakan

dinamakan imageimage. Tergantung dari konteks, transformasi-transformasi dapat dipandang. Tergantung dari konteks, transformasi-transformasi dapat dipandang sebagai diterapkan pada obyek-obyek geomeri yang umum dikenal, misalnya garis, sebagai diterapkan pada obyek-obyek geomeri yang umum dikenal, misalnya garis, polygon, atau polihedra ataupun pada ruang

polygon, atau polihedra ataupun pada ruang dimana obyek-obyek itu ada.dimana obyek-obyek itu ada.

Ada empat pemetaan yang dibahas dalam Geometri Transformasi yaitu Translasi Ada empat pemetaan yang dibahas dalam Geometri Transformasi yaitu Translasi (pergeseran), Rotasi (Perputaran), Refleksi (Pencerminan) dan Dilatasi (Perkalian). (pergeseran), Rotasi (Perputaran), Refleksi (Pencerminan) dan Dilatasi (Perkalian). Dalam bab ini akan dibahas secara spesifik tentang Refleksi atau

Dalam bab ini akan dibahas secara spesifik tentang Refleksi atau pencerminan.pencerminan.

1.2

1.2 Rumusan MasalahRumusan Masalah

Berdasarkan pemaparan di atas maka rumusan masalah yang akan dibahas pada Berdasarkan pemaparan di atas maka rumusan masalah yang akan dibahas pada makalah ini adalah sebagai berikut :

makalah ini adalah sebagai berikut : 1.

(2)

Titles you can't find anywhere else

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions!

Start Free Trial

Cancel Anytime.

(3)

2.

2. Bagaimana pencerminan terhadap sumbu x dan sumbu y ?Bagaimana pencerminan terhadap sumbu x dan sumbu y ? 3.

3. Bagaimana pencerminan terhadap suatu garis?Bagaimana pencerminan terhadap suatu garis? 4.

4. Bagaimana pencerminaBagaimana pencerminan terhadap suatu n terhadap suatu titik titik asal?asal?

1.3

1.3 TujuanTujuan

Adapun tujuan dari pembuatan makalah ini adalah sebagai berikut: Adapun tujuan dari pembuatan makalah ini adalah sebagai berikut: 1.

1. Untuk mengetahui definisi serta sifat-sifat pencerminan (refleksi).Untuk mengetahui definisi serta sifat-sifat pencerminan (refleksi). 2.

2. Untuk mengetahui pencerminan terhadap sumbu x dan sumbu y.Untuk mengetahui pencerminan terhadap sumbu x dan sumbu y. 3.

3. Untuk mengetahui pencerminan terhadap suatu garis.Untuk mengetahui pencerminan terhadap suatu garis. 4.

(4)

Cancel Anytime.

(5)

BAB II BAB II PEMBAHASAN PEMBAHASAN

2.1

2.1 Definisi dan Sifat-sifat PencerminanDefinisi dan Sifat-sifat Pencerminan A.

A. Definisi Definisi PencermPencerminaninan

Pencerminan dalam arti geometri dapat disebut juga dengan refleksi. Refleksi Pencerminan dalam arti geometri dapat disebut juga dengan refleksi. Refleksi adalah menggambarkan pencerminan cermin suatu bangun. Pencerminan itu dapat adalah menggambarkan pencerminan cermin suatu bangun. Pencerminan itu dapat diperoleh sebagai berikut :

diperoleh sebagai berikut : 1.

1. Tentukan terlebih dahulu sumbu cerminnya atau sumbu simetriTentukan terlebih dahulu sumbu cerminnya atau sumbu simetri 2.

2. Tarik garis tegak lurus pada sumbu cermin dari tiap-tiap sudut bangun (titik)Tarik garis tegak lurus pada sumbu cermin dari tiap-tiap sudut bangun (titik) yang hendak dibuat

yang hendak dibuat pencerminannyapencerminannya.. 3.

3. Jarak antara titik sudut bangunan dengan titik sudut pencerminannya harusJarak antara titik sudut bangunan dengan titik sudut pencerminannya harus sama terhadap sumbu simetri.

sama terhadap sumbu simetri.

Contoh : Buatlah pencerminan dari bangun berikut ini: Contoh : Buatlah pencerminan dari bangun berikut ini: Caranya: Caranya: m m Gambar 2.1 Gambar 2.1 m= sumbu cermin m= sumbu cermin

Garis putus-putus merupakan pencerminan dari bangun yang dimaksud. Garis putus-putus merupakan pencerminan dari bangun yang dimaksud. Pencerminan suatu bangun dalam bidang kartesius.

(6)

Cancel Anytime.

(7)

Bangun



adalah pencerminan bangunadalah pencerminan bangun



jika dicerminkan terhadapjika dicerminkan terhadap sumbu

sumbu y y. Bangun. Bangun



merupakan pencerminanmerupakan pencerminan



yang dicerminkanyang dicerminkan terhadap sumbu

terhadap sumbu x. x. Pencerminan terhadap sumbuPencerminan terhadap sumbu x x disimbolkan dengandisimbolkan dengan X X . Bangun. Bangun ABCD

ABCD dicerminkan terhadap sumbudicerminkan terhadap sumbu x x ditulisditulis X (ABCD). X (ABCD).

 

    



Pencerminan terhadap sumbu

Pencerminan terhadap sumbu y y disimbolkan dengandisimbolkan dengan Y Y . Jadi. Jadi Y (ABCD)Y (ABCD) merupakanmerupakan pencerminan bangun

pencerminan bangun ABCD ABCDterhadap sumbuterhadap sumbu y y..

 

 



   





Pada pencerminan diperlukan sebuah garis sebagai sumbu pencerminan. Pada pencerminan diperlukan sebuah garis sebagai sumbu pencerminan. Pencerminan terhadap suatu sumbu

Pencerminan terhadap suatu sumbu merupakan transformasi berlawanan.merupakan transformasi berlawanan.

B.

B. Sifat-sifat Sifat-sifat PencerminaPencerminann

Dalam transformasi geometri khususnya pencerminan terdapat beberapa sifat-sifat Dalam transformasi geometri khususnya pencerminan terdapat beberapa sifat-sifat yang selalu ditemukan. Adapun sifat tersebut adalah sebagai berikut :

yang selalu ditemukan. Adapun sifat tersebut adalah sebagai berikut : 1.

1. Jarak suatu titik terhadap cermin sama dengan jarak antara pencerminanJarak suatu titik terhadap cermin sama dengan jarak antara pencerminan dengan cermin.

dengan cermin. 2.

2. Garis yang menghubungkan titik dengan pencerminannya selalu tegak lurusGaris yang menghubungkan titik dengan pencerminannya selalu tegak lurus dengan cermin.

dengan cermin. 3.

3. Setiap garis dan Setiap garis dan pencerminannypencerminannya selalu sama a selalu sama panjang.panjang. 4.

4. Setiap bangun dan Setiap bangun dan pencerminannypencerminannya selalu a selalu kongruen.kongruen.

xx B’ B’ C’C’ A’ A’ D’D’ D” D” A A DD C” C” B B CC

(8)

Cancel Anytime.

(9)

2.2

2.2 PencermPencerminan Terhadap Sumbu-x inan Terhadap Sumbu-x dan Sumbudan Sumbu

_–

yy

Pencerminan terhadap sumbu-x berarti suatu pecerminan yang menggunakan Pencerminan terhadap sumbu-x berarti suatu pecerminan yang menggunakan sumbu- x dalam diagram kartesius sebagai cermin. Pencerminan titik A(a,b) terhadap sumbu- x dalam diagram kartesius sebagai cermin. Pencerminan titik A(a,b) terhadap sumbu-x menghasilkan pencerminan titik B(

sumbu-x menghasilkan pencerminan titik B(







) dengan) dengan





 

dandan





 

. Oleh. Oleh karena itu

karena itu pencerminan terhapencerminan terhadap sumbu- x dapat dirumuskan sdap sumbu- x dapat dirumuskan sebagai berikut :ebagai berikut :

 

 

Gambar 2.2 Gambar 2.2





_{ }



_{   }



_{  }



_{}

Berdasarkan pemaparan di atas maka dapat dirumuskan matriks transformasi untuk Berdasarkan pemaparan di atas maka dapat dirumuskan matriks transformasi untuk pencermina

pencerminan tn terhadap sumbu-x adalaherhadap sumbu-x adalah

 

 

, sehingga, sehingga

      

 





Pencerminan terhadap sumbu-y berarti suatu pecerminan yang menggunakan Pencerminan terhadap sumbu-y berarti suatu pecerminan yang menggunakan sumbu- y dalam diagram kartesius sebagai cermin. Pencerminan titik A(a,b) terhadap sumbu- y dalam diagram kartesius sebagai cermin. Pencerminan titik A(a,b) terhadap sumbu-y menghasilkan pencerminan titik C(

sumbu-y menghasilkan pencerminan titik C(







) dengan) dengan





 

dandan





 

. Oleh. Oleh karena itu

karena itu pencerminan terhapencerminan terhadap sumbu- y dapat dirumuskan sdap sumbu- y dapat dirumuskan sebagai berikut :ebagai berikut :

B(a,-b) B(a,-b) b b o o -b -b A(a,b) A(a,b) xx y y

(10)

Cancel Anytime.

(11)

 





  





  



   





_{ }

_{   }



_{  }

erdasarkan pemaparan di atas maka dapat dirumuskan matriks transformasi untuk erdasarkan pemaparan di atas maka dapat dirumuskan matriks transformasi untuk pencermina

pencerminan tn terhadap sumbu-y adalaherhadap sumbu-y adalah

 

 

      

 





2.3

2.3 PencermPencerminan Terhadap inan Terhadap Suatu GarisSuatu Garis A.

A. PencermPencerminan Terhadap Garis atau inan Terhadap Garis atau SumbuSumbu 1.

1. Pencerminan titik Pencerminan titik Titik P’ merupakan

Titik P’ merupakan pencerminan dari titik Ppencerminan dari titik P Dikatakan titik P dicerminkan terhadap gari

Dikatakan titik P dicerminkan terhadap gari xy xy (sumbu(sumbu xy xy)) Ditulis

Ditulis







Disingkat







terhadap xyterhadap xy 2.

2. Pencerminan garisPencerminan garis Garis

Garis



merupakan pencerminan dari garismerupakan pencerminan dari garis



.. Dikatakan PQ dicerminkan terhadap garis

Dikatakan PQ dicerminkan terhadap garis xy xy..

-a -a O O aa C(-a,b) b C(-a,b) b A(a,b) A(a,b) xx y y y y xx p’ p’ p p x x Q’ Q’ P’ P’ P P Q Q

(12)

Cancel Anytime.

(13)

Cancel Anytime.

B.

B. Pencerminan Terhadap GarisPencerminan Terhadap Garis Pencerminan titik

Pencerminan titik A(a,b)A(a,b) terhadap garisterhadap garis y=xy=x menghasilkan bayanganmenghasilkan bayangan

Dab

dengn

dengn aa

b

dandan

ba

 

 









_{ }

_{   }



_{  }





_{ }

_{   }



_{   }

 

 

      

 





C.

C. PencermPencerminan Terhadap Garis y= inan Terhadap Garis y= -x-x

a a b b o o A(a,b) A(a,b) D(b,a) D(b,a) xx y y y=x y=x

(14)

(15)

Cancel Anytime.





_{  }



_{  }





_{  }



_{ }

  

  

       

  





D.

D. PencermPencerminan Terhadap inan Terhadap Garis x=hGaris x=h Pencerminan titik

Pencerminan titik A(a,b)A(a,b) terhadap garisterhadap garis x=hx=h menghasilkan bayanganmenghasilkan bayangan GG

ab

dengn

a

2h-a2h-a dandan

b

b.b.

 

 









_{ }

_{ }

_{  }

_{  }



_{ }

_{}





_{ }

_{   }



_{ }

_{}

x=h x=h G(2h-a,b) G(2h-a,b) a 2h-a a 2h-a b b o o A(a,b) A(a,b) xx y y

(16)

(17)

Start Free Trial Cancel Anytime.

 

 



 





_{ }

_{   }



_{ }

_{}





_{    }

_{  }



_{ }

_{}

Jika ditulis dengan matriks transformasi sebagai berikut: Jika ditulis dengan matriks transformasi sebagai berikut:

      

 



 

F.

F. Pencerminan Dua KaliPencerminan Dua Kali

Apabila suatu bangun dicerminkan terhadap sumbu

Apabila suatu bangun dicerminkan terhadap sumbu AB AB kemudian dicerminkan lagikemudian dicerminkan lagi terhadap sumbu

terhadap sumbu CDCD, dapat dikatakan bangun tersebut docerminkan dua kali atau, dapat dikatakan bangun tersebut docerminkan dua kali atau dua pencerminan. Jika pencerminan terhadap

dua pencerminan. Jika pencerminan terhadap AB AB = = M M 11 dan pencerminan terhadapdan pencerminan terhadap

CD

CD == M M 22 , , maka dua pencerminan itu disimbolkan dengan:maka dua pencerminan itu disimbolkan dengan: M M 22 o o M M 11. Dibaca :. Dibaca : M M 11

diteruskan dengan

diteruskan dengan M M 22. Dua pencerminan dapat dilakukan dengan :. Dua pencerminan dapat dilakukan dengan :

a.

a. Dua sumbu sejajarDua sumbu sejajar

y=k y=k H(a, 2k-b) H(a, 2k-b) a a 2k-b 2k-b b b o o A(a,b) A(a,b) xx y y

(18)

(19)

Cancel Anytime.

Gambar 2.3 Gambar 2.3 AB

AB sejajarsejajar CDCD di manadi mana CDCD berada padaberada pada x x = = 33.. F’ F’ merupakan hasil pencerminanmerupakan hasil pencerminan dari

dari F F sumbusumbu AB AB. Sedangkan. Sedangkan



adalah hasil pencerminanadalah hasil pencerminan



terhadap sumbuterhadap sumbu CDCD.. Titik ( - 1,2) menjadi titik (1,2) oleh pencerminan terhadap

Titik ( - 1,2) menjadi titik (1,2) oleh pencerminan terhadap AB AB sehingga ditulissehingga ditulis

 

    



. Titik (1,2) menjadi titik (5,2) akibat pencerminan terhadap. Titik (1,2) menjadi titik (5,2) akibat pencerminan terhadap CD yang dapat ditulis

CD yang dapat ditulis

   

Dengan cara pemetaan dapat ditulis sebagai berikut : Dengan cara pemetaan dapat ditulis sebagai berikut :





  

 



_{  }

atauatau







 





  

Jadi pencerminan berturut-turut terhadap sumbu-sumbu



dandan

            

Jarak antara

Jarak antara AB ABdandan CD = 3CD = 3 serta arahnya merupakan arahserta arahnya merupakan arah AC AC (ke kanan).(ke kanan). Apabila pencerminan terhadap

Apabila pencerminan terhadap AB AB disebut sebutdisebut sebut M M 11 dan pencerminan CDdan pencerminan CD disebutdisebut

dengan

dengan M M 22, maka hasil, maka hasil M M 11 o o M M 22 = (5,2). Simbol= (5,2). Simbol M M 11 o o M M 22 berartiberarti M M 11 diteruskanditeruskan

dengan dengan M M 22..

H.

H. PencermPencerminan dengan Sumbu inan dengan Sumbu Saling Tegak LurusSaling Tegak Lurus

B B DD -1 0 -1 0 1 1 2 2 3 3 4 4 55 (-1,2) (-1,2) (1,2) (1,2) (5,2)(5,2) y y CC F F AA F’F’ F”F”

(20)

(21)

Cancel Anytime.

Sumbu m tegak lurus pada sumbu

Sumbu m tegak lurus pada sumbu nn padapada x = x = 33 dandan nn tegak lurus garistegak lurus garis mm padapada y = y = 11.. Bangun

Bangun OO berada pada posisi titik berada pada posisi titik A A (2,3)(2,3). Jika bangun tersebut dicerminkan terhadap. Jika bangun tersebut dicerminkan terhadap sumbu

sumbu mm diperolehdiperoleh

   





. Jika. Jika

 





dicerminkan terhadap sumbudicerminkan terhadap sumbu nn diperoleh n

diperoleh n

 



   





..

Pada gambar 2.5 tampak bahwa pencerminan dua kali berturut-turut pada sumbu yang Pada gambar 2.5 tampak bahwa pencerminan dua kali berturut-turut pada sumbu yang saling tegak lurus sama dengan setengah putaran pada pusat

saling tegak lurus sama dengan setengah putaran pada pusat SS.. Apabila pencerminan terhadap sumbu

Apabila pencerminan terhadap sumbu m = M m = M 11, pencerminan terhadap sumbu, pencerminan terhadap sumbu n = M n = M 22 ,,

dan pemutaran setengah putaran

dan pemutaran setengah putaran terhadapterhadap SS disebutdisebut H H , maka, maka





 



   



 



Pencerminan pada dua sumbu yang saling tegak lurus berlaku hukum komutatif Pencerminan pada dua sumbu yang saling tegak lurus berlaku hukum komutatif sebagai berikut : sebagai berikut : (-3,2) (-3,2) (3,-2) (3,-2) y y xx

(22)

(23)

Cancel Anytime.

2.4

2.4 PencermPencerminan Terhadap Titik inan Terhadap Titik AsalAsal

Pencerminan titik A(a,b) terhadap ttik asal menghasilkan bayangan F(a’,b’) Pencerminan titik A(a,b) terhadap ttik asal menghasilkan bayangan F(a’,b’) dengan a’=

dengan a’=--a dan b’=a dan b’=-b.-b.

 



 







_{  }



_{ }

_{}





_{    }

_{  }



_{ }

_{}

  

a a b b o o -a -a A(a,b) A(a,b) F (-b,-a) F (-b,-a) xx y y

(24)

Cancel Anytime.

Cancel Anytime. a. a. A (10,-3) A (10,-3) b. b. B (-5,2) B (-5,2) 4.

4. Tentukan koordinat bayanganTentukan koordinat bayangannya, jika titnya, jika titik-titik berikut dicerminkan terhadap garisik-titik berikut dicerminkan terhadap garis X=2. X=2. a. a. A (-3,4) A (-3,4) b. b. B (5,-1) B (5,-1) 5.

5. Tentukan koordinat bayangaTentukan koordinat bayangannya, jika titinnya, jika titik-titik berikut dicerminkan terhadap garisk-titik berikut dicerminkan terhadap garis Y=3. Y=3. a. a. A (3,-4) A (3,-4) b. b. B (-5,1) B (-5,1) 6.

6. Tentukan koordinat bayangannya, jika titik-titik berikut dicerminkan terhadap titik Tentukan koordinat bayangannya, jika titik-titik berikut dicerminkan terhadap titik asal asal O (0,0).O (0,0). a. a. A (-1,-6) A (-1,-6) b. b. B (2, -10) B (2, -10) 7.

7. TransformasiTransformasi T T memetakan titik memetakan titik P (x,y)P (x,y) ke titik ke titik P’ (x’y’) P’ (x’y’) melalui hubungan:melalui hubungan: x’=2x

x’=2x-y-y y’=3x+2y y’=3x+2y a.

a. Tentukan matriks tansformasi yang bersesuaian dengan persamaan itu.Tentukan matriks tansformasi yang bersesuaian dengan persamaan itu. b.

(25)

Cancel Anytime.

Cancel Anytime. BAB III BAB III PENUTUP PENUTUP 3.1 3.1 SimpulanSimpulan

Refleksi adalah menggambarkan pencerminan cermin suatu bangun yang memiliki Refleksi adalah menggambarkan pencerminan cermin suatu bangun yang memiliki sifat yaitu jarak suatu titik terhadap cermin sama dengan jarak antara pencerminan sifat yaitu jarak suatu titik terhadap cermin sama dengan jarak antara pencerminan dengan cermin, garis yang menghubungkan titik dengan pencerminannya selalu tegak dengan cermin, garis yang menghubungkan titik dengan pencerminannya selalu tegak lurus dengan cermin, setiap garis dan pencerminannya selalu sama panjang, dan setiap lurus dengan cermin, setiap garis dan pencerminannya selalu sama panjang, dan setiap bangun dan pencerminannya selalu kongruen.

bangun dan pencerminannya selalu kongruen.

Beberapa jenis pencerminan yaitu pencerminan terhadap suatu titik asal, Beberapa jenis pencerminan yaitu pencerminan terhadap suatu titik asal, pencermina

pencerminan terhadap sumbu-x, n terhadap sumbu-x, pencerminan terhadap sumbu y, pencerminan terhadappencerminan terhadap sumbu y, pencerminan terhadap garis y=x, pencerminan terhadap garis y=-x, dan pencerminan terhadap garis x = h dan garis y=x, pencerminan terhadap garis y=-x, dan pencerminan terhadap garis x = h dan y = k. Berikut merupakan beberapa matriks yang digunakan pada beberapa y = k. Berikut merupakan beberapa matriks yang digunakan pada beberapa pencerminan.

pencerminan. a.

a. Untuk Refleksi A (x, Untuk Refleksi A (x, y) terhadap sumbu X menghasilkany) terhadap sumbu X menghasilkan

 

((







) dengan matriks) dengan matriks berikut:

berikut:

(26)

Cancel Anytime.

e.

e. Jika garis y = -x sebagai cermin maka dihasilkanJika garis y = -x sebagai cermin maka dihasilkan

 

((







) ) dengan dengan matriksmatriks berikut :

berikut :

      

f.

f. Jika garis x = Jika garis x = a sebagai cermin dihasilkana sebagai cermin dihasilkan

 

((







) ) dengan dengan matriks matriks berikut berikut ::

     



 

g.

g. Jika titik asalJika titik asal OO

  

00,,00 sebagai cermin dihasilkansebagai cermin dihasilkan A A''

 

x x'',,yy''



dengan matriks berikut:dengan matriks berikut:

   

 





3.2

3.2 SaranSaran

Dalam pokok bahasan geometri khususnya pencerminan atau refleksi Dalam pokok bahasan geometri khususnya pencerminan atau refleksi membutuhkan pemahaman siswa terlebih dahulu mengenai penggunaan diagram membutuhkan pemahaman siswa terlebih dahulu mengenai penggunaan diagram kartesius. Pada pokok bahasan pencerminan diagram kartesius merupakan media utama kartesius. Pada pokok bahasan pencerminan diagram kartesius merupakan media utama untuk menjelaskan sifat-sifat suatu pencerminan. Oleh sebab itu diharapkan untuk menjelaskan sifat-sifat suatu pencerminan. Oleh sebab itu diharapkan

(27)

Cancel Anytime.

DAFTAR PUSTAKA DAFTAR PUSTAKA

Tamrin. 2003.

Tamrin. 2003. Rahasia Rahasia Penerapan Penerapan RumusRumus – – rumus Matematika SMU.rumus Matematika SMU. Gitamedia Press:Gitamedia Press: Surabaya.

Surabaya.

Negoro, S.T & B.Harahap. 1998.

Negoro, S.T & B.Harahap. 1998. Ensiklope Ensiklopedia Matedia Matematikamatika. Ghalia Indonesia.. Ghalia Indonesia. Yohanes, S. 2008.

Yohanes, S. 2008. Mahir Mat Mahir Matematika Sematika SMP.MP. Kendi Mas Media: Jakarta.Kendi Mas Media: Jakarta. Wirodikromo,Sartono.2006.

Wirodikromo,Sartono.2006. Matemat Matematika ika untuk untuk SMA SMA Kelas Kelas XII XII Program Program IlmuIlmu Alam.