GEOMETRI TRANSFORMASI ISOMETRI DAN ISOME

A.A. PENGERTIAN ISOMETRIPENGERTIAN ISOMETRI

Isometri adalah suatu transformasi atas Refleksi (pencerminan), Translasi (pergeseran), dan Rotasi (perputaran) pada sebuah garis yang mempertahankan jarak (panjang suatu ruas garis).

Secara matematis, Isometri didefinisikan sebagai berikut :

Contoh 2.1 :

Misalkan diketahui garis g pada bidang v. Anda pandang transformasi T yang ditetapkan sebagai berikut.

a. Jika P ϵ g maka T (P) = P

b. Jika P ∉ g maka T (P) = P’ sehingga g sumbu dari PP’. Apakah

transformasi T ini suatu isometri atau bukan? Penyelesaian:

Sesuai definisi 2.1, ambil sembarang dua titik yaitu P dan Q anggota dari v. Selanjutnya kita misalkan T(P) = P’ dan T(Q) = Q’. Dari permisalan T(P) = P’ dan T(Q) = Q’ kita memperoleh dua hal yaitu

a. g sumbu dari PP’ , misalkan g ∩ PP’ ={N} maka PN = NP’ b. g sumbu dari QQ’, misalkan g ∩ QQ’ = {M} maka QM = MQ’

Sekarang perhatikan gambar, hubungkan masing-masing P dan Q, P’ dan Q’, P dan M serta P’ dan M.

Kemudian pandang ∆ PQM dengan ∆ P’Q’M’

Karena PN = NP’, ∠ PNM ¿ ∠ P’NM (sudut siku-siku) dan NM = NM

maka Δ PNM ¿ Δ _{P’NM. Akibatnya:}

ISOMETRI DAN

ISOMETRI SEBAGAI GRUP

Definisi 2.1

1. PM = P’M dan

Karena P dan Q diambil sebarang titik pada v maka anda dapat menyimpulkan bahwa untuk setiap pasangan titik P dan Q pada v berlakau P’Q’ = PQ. Sehingga transformasi T yang ditetapkan seperti di atas memenuhi definisi 2.1.

Jadi, dapat disimpulkan transformasi T merupakan suatu isometri

B.

B. SIFAT – SIFAT ISOMETRISIFAT – SIFAT ISOMETRI

Setiap isometri mempunyai sifat, seperti tertuang pada teorema berikut :

Teorema 2.1

Bukti :

1. Ambil isometri sebarang T dan garis g. Akan ditunjukkan bahwa T(g) berupa sebuah garis. Perhatikan gambar dibawah, ambil dua titik sebarang A dan B pada garis g. misalkan T(A) = A’ dan T(B) = B’ dan garis lurus yang menghubungkan A’ dan B’, namakanlah sebagai h.

Sebuah isometri bersifat :

1. Memetakan garis menjadi garis.

2. Mengawetkan besarnya sudut antara dua garis. 3. Mengawatkan kesejajaran dua garis.

T

Y B ’ X

Kemudian ditetapkan T(g) = {Y | y = T(X), X ϵ g}, akibatnya A’, B’

ϵ T(g). untuk mencapai tujuan bahwa T(g) berupa garis lurus maka

harus ditunjukkan T(g) = h, artinya harus ditunjukkan

a) T(g) ⊂ h dan

b) h ⊂ T (g).

Untuk ini akan dibuktikan T(g) ⊂ h dan h ⊂ T (g).

a) Untuk T(g) ⊂ h

Ambil sebarang titik Y ∈ T(g), hal ini berakibat tiga kasus, yaitu Y ∈

T(g) terletak antara A’ dan B’ atau (A’YB’), Y ∈ T (g) diluar daerah

antara A’ dan B’, tetapi dibagian A’(B’A’Y) atau Y ∈ T(g) diluar daerah

antara A’ dan B’, tetapi dibagian B’ atau (A’B’Y).

Ambil kasus pertama, yaitu Y ∈ T(g) dan (A’YB’) maka ada X ∈ g

Apabila (2) disubstitusikan pada (1), didapat hubungan,

A’Y + YB’ = A’B’ (3)

Akibat dari (3) A’, Y dan B’ kolinier, artinya Y ∈ h. karena untuk

sebarang Y ∈ T(g) ternyata Y ∈h , dapat disimpulkan bahwa T(g) ⊂

h.

b) Untuk h ⊂ T (g)

Untuk sebarang C’ ∈ h, seperti pada a) akan terdapat juga tiga kasus,

yaitu C’ antara A’ dan B’ atau (A’C’B’), C’ diluar daerah antara A’ dan B’ dipihak A’ atau (B’A’C’), atau C’ di luar daerah antara A’ dan B’ dipihak B’ atau (A’B’C’). tetapi karena setiap kasus pada pembuktiannya serupa maka

hanya ditunjukkan untuk kasus (A’C’B’). karena C’ ∈ h dan h ∈ v

maka C’ ∈ v. karena T suatu transformasi dan C’ ∈ v maka ada C

∈ v sehingga C’ = T(C). Selanjutnya, kita andaikan bahwa C bukan

∈ g. Perhatikan gambar dibawah

Karena C bukan ∈ g diperoleh hubungan

Tetapi karena C’ = T(C), A’ = T(A), dan B’ = T(B) dan T suatu isometri maka didpat A’C’ = AC, C’B’ = CB, dan A’B’ =AB. Apakah hal ini disubstitusikan pada (1) diperoleh hubungan

A’C’ + C’B’ ≠ A’B’

(3)

Tetapi karena A’, B’ dan C’ terletak pada garis lurus h dan C’ antara A’ dan B’ maka di dapat hubungan

A’C’ + C’B’ = A’B’ (4)

Terjadinya kontradiksi antara (3) dan (4), karena terjadi hal ini, artinya

pengandaian bahwa C bukan ∈ g bernilai salah. Akibatnya haruslah C

∈ g. karena C ∈ g maka C’ ∈ T(g) (perhatikan ketentuan T(g)).

Karena untuk sebarang C’ ∈ h, dapat ditunjukkan bahwa C’ ∈ T(g)

maka h ⊂ T(g). karena T(g) ⊂ dan h ⊂ T(g), hal ini berakibat bahwa T(g) =

h. karena h suatu garis lurus maka T(g) juga garis lurus.

2. Ambil sebuah ∠ ABC

Andaikan A' = T (A), B' = T (B), C' = T (C)

Menurut (a), maka A' B' dan B' C' adalah garis lurus.

Oleh karena itu ∠ ABC = BA ¿ BC maka ∠ A' B' C' = B' A' ¿

B' C' sedangkan A' B' = AB, B' C' = BC, C' A' = CA.

Sehingga Δ ABC ¿ Δ _{A' B' C'. Jadi} ∠ _{A' B' C' =} ∠ _ABC.

Sehingga suatu isometri dapat mengawetkan besarnya suatu sudut. 3. Kesejajaran Dua Garis

Andaikan a' memotong b' di sebuah titik P'. Jadi P' ¿ _{a' dan P} ¿ _b. Oleh karena T sebuah transformasi maka ada P sehingga T(P) = P' dengan P

¿ _{a dan P} ¿ _b.

Ini bearti bahwa a memotong b di P, jadi bertentangan dengan yang diketahui bahwa a // b.

Maka pengandaian bahwa a' memotong b' salah. Jadi haruslah a' // b'.

Akibat : salah satu akibat dari sifat (b) teorema 2.1 ialah bahwa apabila a

¿ _{b maka T(a)} ¿ _{T (b) dengan T sebuah isometri.}

Teorema 2.2

Bukti :

Karena sudut yang dibentuk oleh g dan h adalah siku - siku dan T suatu isometri, berdasarkan teorema 2.1 bagian b) mengakibatkan bahwa sudut yang dibentuk oleh T(g) dan T(h) juga siku-siku. Dengan kata lain T(g) dan T(h) saling tegak lurus

Teorema 2.3

Bukti :

Ambil dua isometri, namakalah mereka dengan T 1 dan T2 terjadilah komposisi

dari T1 dan T2 yaitu a) T1 o T2 dan b) T2 o T1. Dalam uraian diatas akan ditunjukkan

salah satu saja, yaitu untuk T1 o T2 adalah isometri. Ambil dua titik sebarang A, B

∈ v, misalkan T2(A) = A1, T2(B) = B1 dan T1(A1) = A’, T1(B1) = B’. berdasarkan

C.C. KOMPOSISI ROTASI DENGAN PUSAT BERLAINANKOMPOSISI ROTASI DENGAN PUSAT BERLAINAN

Teorema berikut menjelaskan hasil komposisi dua rotasi dengan pusat berlainan.

Teorema 2.4

Apabila garis g dan h saling tegak lurus dan T suatu isometri maka T(g) dan T(h) juga saling tegak lurus.

Komposisi dua buah isometri adalah sebuah

Bukti :

Ambil dua rotasi sembarang ρA , φ1 dan ρB ,φ2 , A ≠ B. Tarik garis s = ⃗AB

, ambil garis l, s, t sehingga s ∩ t = {A} , l ∩ s = {B} , dan sudut dari t

ke s adalah 1₂φ₁ dan sudut dari s ke l adalah 1₂φ₂ . Maka ρA , φ1 =

μ_s∘μ_t dan ρB ,φ2 = μl∘μs

ρ_{B ,φ2}o ρ_{A , φ1} = ( μ_to μ_s ) o ( μ_so μ_l .)

= μ

¿ ¿

μto¿

o μ_s¿o μ_l

= ( μ_to ε o μ_l ) = ( μ_to μ_l )

D.

D. KOMPOSISI ROTASI DENGAN TRANSLANSIKOMPOSISI ROTASI DENGAN TRANSLANSI

setelah anda mempelajari konposisi rotasi dengan rotasi yang berbeda pusatnya. Sekarang anda akan mepelajari komposisi rotasi dengan transalasi, seperti tertuang dalam teorerma berikut.

Teorema 2.5

Bukti :

Ambil sebarang rotasi PA, ϕ dan translasiyBC. komposisi kedua isometri ini

adalah :

a) PB, ϕ o YBC dan

b) YBC o ρ A φ

untuk a) ρ A, ϕ o YBC

misalkan 2 DA = BC . Misalkan garis t melalui D tegak lurus BC dan garis s

melalui A sejajr t maka yBC = μ s o μ t. Misalkan garis r melalui A ssehingga sudut

dari s ke r adalah

1

2ϕ _maka

ρ

A,ϕ ₌ μ _{r o} μ _{s. Akibatnya di dapat :}

ρ

_A,ϕ

o yBC = ( μ r o μ s) o ( μ s o μ t) = μ r o ( μ s o μ s) o μ t = μ r o ε o μ t

= μ r o μ t

=

ρ

E,ϕ1

di mana ϕ 1 = ϕ dan {E} = r ¿ t

Untuk b) yBC o

ρ

A,ϕ

Misalkan 2 AF = BC . Misalkan garis v melalui F tegak lurus BC dan s

misalkan A sejajar v maka yBC = μ v o μ s. Misalkan garis u melalui A sehingga sudut

dari u ke s adalah

1

2ϕ _maka

ρ

A,ϕ ₌

μ

s _o

μ

u _{. Akibatnya didapat:}

yBC

o

ρ

_{A,ϕ = (}

μ

_v

o

μ

s ) o (

μ

s o

μ

u )

=

μ

v _{o (}

μ

s _o

μ

s _{) o}

μ

u

=

μ

v _o ε _o

μ

u

=

μ

v _o

μ

u

=

ρ

H ,ϕ2

Teorema 2.6

Bukti:

Apabila dibuat Tabel Cayley, didapat:

o γ_AB

ρ

H ,ϕ1

γ

_CD

γ

_GH

ρ

_{H ,ϕ1}

ρ

_{H ,ϕ2}

ρ

_{k ,ϕ2}

γ

MN ρH ,ϕ₃

Akibatnya himpunan semua translasi tertutup terhadap operasi komposisi ”o”.

Ambil γAB _{suatu translasi maka} γ

−1

AB

= γBA _{suatu translasi, begitu pula}

apabila

ρ

A,ϕ _{suatu rotasi maka}

ρ

A,ϕ _{-1 =}

ρ

A,−ϕ _{suatu rotasi lagi. Sehingga}

setiap unsur dari himpunan translasi dan rotasi balikannya (inversnya) juga unsur dari himpunan translasi dan rotasi.

Bedasarkan teori subgrup, dengan kedua alas an di atas, dapat di simpulkan bahwa himpunan semua translasi dan rotasi membentuk sistem matematika subgrup transpormasi. Jadi, himpunan semua translasi dan rotasi membentuk grup terhadap oprasi komposisi ‘‘o’’

E.E. ISOMETRI LANGSUNG DAN ISOMETRI LAWANISOMETRI LANGSUNG DAN ISOMETRI LAWAN Definisi 2.2 :

Misalkan (P, Q, R) adalah ganda tiga titik yang koliniear (tidak segaris). Apabila urutan perputaran P, Q, R sesuai dengan perputaran jarum jam maka Himpunan semua translasi dan rotasi membentuk sistem matematika

Contoh 2.2

Misalkan diberi enam buah titik (lihat gambar) karena urutan perputaran A, B, dan C berlawanan dengan perputaran jarum lonceng maka (A, B, C) berorientasi positif sedangkan urutan perputaran (P, Q, dan R) berorientasi negatif.

Isometri Lawan

Misalnya sebuah refleksi (pencerminan)

∆ PQR berlawanan dengan jarum jam (+) sedangkan ∆ P'Q'R' searah dengan

jarum jam (-).

Isometri Langsung

Misalnya sebuah rotasi (perputaran)

Definisi 2.3

Suatu Transformasi T disebut langsung jika dan hanya jika transformasi itu mempertahankan orientasi. Sedangakan Transformasi T disebut transformasi lawan jika dan hanya jika transformasi itu mengubah arah orientasi.

Definisi 2.4

Misalkan T suatu transformasi. T disebut mempertahankan orientasi apabila untuk setiap ganda tiga titik A, B, C yang kolinear orientasinya sama dengan orientasi dari petanya. Sedangkan lainnya disebut mengubah orientasi.

Definisi 2.5

Isometri langsung adalah isometri yang merupakan transformasi langsung, sedangkan isometri lawan adalah isometri yang merupakan transformasi

P

Q

R

C

B

∆ PQR berlawanan dengan jarum jam (+) sedangkan ∆ P'Q'R' tetap

berlawanan dengan jarum jam (+).

Sifat yang penting dalam geometri transformasi ialah :

1. Setiap refleksi (pencerminan) pada garis adalah suatu isometri lawan. 2. Akan tetapi tidak setiap isometri adalah isometri lawan, ini dapat dilihat

pada gambar di atas yaitu rotasi (perputaran) adalah isometri langsung. 3. Setiap isometri adalah sebuah isometri langsung atau sebuah isometri

lawan.

F.F. ISOMETRI SEBAGAI GRUPISOMETRI SEBAGAI GRUP Definisi 2.6

Suatu himpunan S ≠ Ø dan operasi o yang di notasikan dengan (S,o) di sebut

grup, jika memenuhi aksioma-aksioma berikut :

1. S tertutup terhadap operasi o, artinya ∀ a, b ∈S , a o b ∈S

2. Operasi o asosiatif pada S, artinya ∀ a, b , c∈S , (a o b) o c = a o (b o c)

3. Ada unsur Identitas, untuk setiap anggota S , artinya

∃eϵS ,∀aϵS → a o e = e o a = a.

4. Untuk setiap anggota S, mempunyai balikan di S, artinya :

Ambil T1 dan T2 di S. Menurut teorema, komposisi T2 O T1 adalah juga

teorema. Jadi eksistensi identitas untuk operasi komposisi dipenuhi.

Aksioma 4 :

Ambil T S . Menurut teorema, setiap transformasi mempunyai balikan ,

sehingga To T-1 = T-1o T = 1. Atau untuk ∀T ε S ,∃ T-1 ε S sehingga To T-1 = T-1

o T = 1. Jadi , eksistensi balikan dipenuhi.

Karena keempat aksioma grup di atas di penuhi (S,o) adalah grup. Grup (S,o) di

sebut pula grup transformasi sebab S merupakan transformasi- transformasi.

1.

Trasnformasi T disebut isometri jika dan hanya jika untuk setiap pasangan titik P

dan Q pada bidang Euclid v berlaku P’ Q’ = PQ dimana P’= T(P) dan Q’= T(Q). 2. Setiap isometri bersifat :

a) Memetakan garis menjadi garis b) Mengawetkan ukuran sudut c) Mengawetkan kesejajaran

3. Jika g tegak lurus h dan T suatu isometri maka T(g) tegak lurus T(h). 4. Komposisi adalah isometri.

5. Komposisi sebuah rotasi dan sebuah translasi adalah sebuah rotasi yang sudut rotasinya sama dengan sudut rotasi yang diketahui.

6. Himpunan semua rotasi dan translasi membentuk sistem matematika grup terhadap operasi komposisi.

7. Isomerti langsung adalah isometri yang mengawetkan isometri dan isometri lawan adalah isometri yang tidak mengawetkan orentasi.

8. Suatu himpunan S ≠ Ø dan operasi o yang di notasikan dengan (S,o) di sebut

grup, jika memenuhi aksioma-aksioma berikut :

a) S tertutup terhadap operasi o, artinya ∀ a, b ∈S , a o b ∈S

b) Operasi o asosiatif pada S, artinya ∀ a, b , c∈S , (a o b) o c = a o

(b o c)

c) Ada unsur Identitas, untuk setiap anggota S , artinya

∃eϵS ,∀aϵS → a o e = e o a = a.

d) Untuk setiap anggota S, mempunyai balikan di S, artinya : ∀aϵS ,∃b∈S → a o b = b o a = e

Rasmedi S,Ame .2007.Geometri Transformasi . Jakarta : Universitas Terbuka.