PROGRAM STUDI : PENDIDIKAN MATEMATIKA

MAKALAH

OLEH KELOMPOK DUA NAMA : 1.GIYATNI ( 4007227 ) 2. SEPTI PRATIWI ( 4007196 ) 3.HARI YADI (4007163 )

PROGRAM STUDI : PENDIDIKAN MATEMATIKA

MATA KULIAH : GEOMETRI TRANSFORMASI

DOSEN PENGAMPU : PADLI M.Pd

SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN PERSATUAN GURU REPUBLIK INDONESIA

(STKIP-PGRI) LUBUKLINGGAU TAHUN 2009/2010

ISOMETRI DEFINISI :

Isometri adalah suatu transformasi atas refleksi (pencerminan),translasi (pergeseran) dan rotasi (perputaran) pada sebuah garis yang mempertahankan jarak ( panjang suatu ruas garis ).

Suatu isometri memiliki sifat-sifat sebagai berikut: a) Memetakan garis menjadi garis.

b) Mempertahankan ukuran dua garis. c ) Mempertahankan kesejajaran.

Bukti ;

a) Andaikan g sebuah garis dan T suatu isometri. kita akan membuktikan bahwa T (g) = h adalah suatu garis juga.

. . . . . . G A B H A’ B’

Ambil A∈ g dan B ∈ g. Maka A' = T(A) ∈h, B' = T (B) ∈h ; melalui A' dan B' ada satu garis. Misalnya h'.

Untuk ini akan dibuktikan h'⊂h dan h⊂h' (i) Bukti h'⊂h

Ambil X' ∈h'. Oleh karena bidang kita adalah bidang Euclides. Kita andaikan (A' X B' ), artinya A' X + XB' =A'B'. Oleh karena T suatu isometri. Jadi suatu transformasi maka ada X sehingga T (X) = X’ dan oleh karena T suatu isometri maka AX =A'X; begitu pula XB =XB'.

Ini berarti bahwa A . X . B segaris pada g. Ini berarti bahwa X = T (X)∈h sehingga h' ⊂h sebab bukti serupa berlaku untuk posisi X dengan

( X A' B') atau ( A'B' X). (ii) Bukti h ⊂ h'

Ambil lagi y∈ h

Maka ada y∈ g sehingga T(y) = y dengan y misalnya (A Y B). Artinya Y∈ g dan AY + YB = AB. Oleh karena T sebuah isometri maka

A'Y = AY, Y B' = YB,A'B' = AB. Sehingga A'Y + Y B' = A'B'. Ini berarti bahwa A'. Y.B' segaris, yaitu garis yang melalui A'dan B'. Oleh karena h' satu- satunya garis melalui A'dan B' maka Y∈ h'. Jadi haruslah h ⊂ h'.

Bukti serupa berlaku untuk keadaan ( Y A B) atau ( A B Y). Sehingga h = h'. Jadi kalau g sebuah garis maka h = T( g) adalah sebuah garis.

. . . . G _H A _A’ B B’ AB = A'B' Bukti :

b). Ambil sebuah ∠ ABC

. . . . . .A B C A’ B’ C’

Andaikan A'= T(A), B'= T(B), C'= T(C).

Oleh karena ∠ABC = BA ∪BC maka ∠ A' B'C'= B'A' ∪ B'C' sedangkan A'B' = AB, B'C' = BC, C'A' = CA. Sehingga ∆ABC = ∆A'B'C'.

Jadi ∠ A' B'C' = ∠ABC sehingga suatu isometri Mempertahankan besarnya sebuah sudut.

c).

.

. . .

A

B _{A’ B’}

Kita harus memperhatikan bahwa a'// b'.

Andaikan a' memotong b' disebuah titik P jadi P∈a dan P∈b. Oleh karena T sebuah transformasi maka ada P sehingga T (B)= P dengan P∈a dan P∈b.Ini berarti bahwa a memotong b di p.

Jadi bertentangan dengan yang diketahui bahwa a// b, maka pengandaian bahwa a' memotong b' salah.

Jadi haruslah a'//b'.

Contoh soal:

Diketahui garis g =

{

( )

x,y | y=−x

}

dan garis h=

{

( )

x,y | y=2x−3

}

. Apabila Mg adalah refleksi pada garis g. Tentukanlah persamaan garis

h' = Mg (h).

Penyelesaian :

Oleh karena Mg sebuah refleksi pada g jadi suatu isometri, maka menurut sifat isometri h' adalah sebuah garis. Garis h' akan melalui titik potong antara h dan g.

Persamaan y = 2x – 3 Misalkan, y = 0 x = 0 y = 2x – 3 y = 2x – 3 0 = 2x – 3 y = 2 (0) – 3 -2x = -3 y = -3 (0, -3 ) x = 2 3 ( 2 3 , 0 )

kemudian di refleksikan menjadi (0, -2 3

) dan ( 3, 0) rumus persamaan garis :

1 2 1 y y y y − − = 1 2 1 x x x x − − 0 3 0 2 3 0 2 3 − − =       − −       − − x y 3 2 3 2 3 x y = + 3 y x      =       + 2 3 2 3 3y + x 2 3 2 9₌

kedua ruas di kali 2 6y + 9 = 3x

-3x + 6y + 9 = 0 kedua ruas di bagi -3 x – 2y -3 = 0

Perhatikan gambar berikut : . . Y . . O. . X . G . . R . H’ . H . . . . . . (1, -1) . . 1 1,5 3 -1 -1,5 -3

Isometri Langsung dan Isometri Lawan Definisi :

Misalkan (P,Q,R) adalah ganda tiga titik yang tidak kolinier (tak

segaris). Apabila urutan perputaran P,Q,R sesuai dengan perputaran jarum jam, maka P,Q,R disebut memiliki orientasi negatif. Sedangkan apabila urutan perputaran P,Q,R berlawanan dengan perputaran jarum jam maka, P,Q,R disebut memiliki orientasi positif.

Definisi :

Suatu transformasi T disebut langsung jika dan hanya jika transformasi itu mempertahankan orientasi.sedangkan transformasi T disebut

transformasi lawan jika dan hanya jika transformasi itu mengubah orientasi.

Definisi :

Misalkan T suatu transformasi.T disebut mempertahankan orientasi apabila untuk setiap ganda tiga titik P,Q,R yang tidak kolinear (tak segaris) orientasinya sama dengan orientasi dari petanya.sedangkan lainnya disebut mengubah orientasi.

CONTOH :

• ISOMETRI LAWAN

misalnya sebuah refleksi (pencerminan)

P

Q

R

P’

Q’

R’

∆PQR berlawanan dengan jarum jam (+) sedangkan ∆P'Q'R' searah dengan jarum jam (-).

• ISOMETRI LANGSUNG

misalnya suatu rotasi (perputaran)

P

Q

R

P’

Q’

R’

∆PQR berlawanan dengan jarum jam (+) sedangkan ∆P'Q'R' tetap berlawanan dengan jarum jam (+).

Sifat yang penting dalam geometri transformasi ialah :

• Setiap refleksi (pencerminan) pada garis adalah suatu isometri lawan. • Akan tetapi tidak setiap isometri adalah isometri lawan, ini dapat di lihat pada gambar di atas yaitu rotasi (perputaran) adalah sebuah isometri langsung.

• Setiap isometri adalah sebuah isometri langsung atau sebuah isometri lawan.

HASIL KALI TRANSFORMASI ( KOMPOSISI TRANSFORMASI ) DEFINISI :

Misalkan ada dua transformasi Τ₁dan Τ₂maka komposisi dari Τ₁ dan

2

Τ merupakan suatu transformasi, ditulis dengan notasi Τ1oΤ2, ditetapkan

sebagai :

(

Τ1oΤ2

)

( )

Ρ = Τ1

[

Τ2

( )

Ρ

]

,∀Ρ∈ν .

Untuk membuktikan transformasi ini yang harus ditunjukkan adalah : 1. Τ1oΤ2 fungsi dari

ν

ke

ν

Karena Τ2 suatu transformasi maka Τ2merupakan fungsi dari

ν

ke

ν

,

sehingga prapeta dari Τ_1oΤ₂ = prapeta dari Τ₂.

Ambil x∈ν sebarang, karena Τ₂transformasi berarti ada y∈ν sehingga

( )

x =y

Τ2 dan Τ1 juga merupakan transformasi berarti ada z ∈ν sehingga

( )

y 1

Τ = z.

∴z=Τ1

( )

y , y=Τ2

( )

x ⇒z=Τ1

[

Τ2

( )

x

]

=

(

Τ1oΤ2

)

( )

x

Jadi ∀x∈ν nilai dari

(

Τ1oΤ2

)( )

x adalah z ∈ν . Akibatnya transformasi ini

dikatakan sebagai fungsi dari

ν

ke

ν

. 2. Τ₁oΤ₂ fungsi bijektif :

a) Τ₁oΤ₂ fungsi kepada

akibatnya ada y ∈ν sehingga Τ1

( )

y =z dan karena Τ2 juga

transformasi maka Τ2 juga fungsi kepada, akibatnya y ∈ν sehingga

Τ₂

( )

x =y. Jadi, untuk z ∈ν sebarang ada x ∈ν sehingga z = Τ₁

( )

y = Τ₁

[

Τ₂

( )

x

]

=

(

Τ_1oΤ₂

)( )

x.

∴∀ ∈ν mempunyai prapeta oleh Τ₁oΤ₂ akibatnya Τ₁oΤ₂ suatu fungsi kepada.

b) Τ₁oΤ₂ fungsi satu – satu

ambil x,y ∈

ν

sehingga

(

Τ₁oΤ₂

)( ) (

x = Τ₁oΤ₂

)( )

y maka Τ1

[

Τ2

( )

x

]

=Τ1

[

Τ2

( )

y

]

dari hubungan ini didapat

Τ2

( )

x =Τ2

( )

y →x=y. karena Τ1oΤ2 fungsi satu – satu dan kepada

Maka Τ_1oΤ₂ suatu fungsi bijektif.

Kesimpulan : dari uraian di atas maka Τ_1oΤ₂ suatu transformasi. CONTOH : . . . . . K G H .P .Q

Di ketahui garis – garis g dan h dan titik – titik p dan q. Carilah :

a) A = M_g

[

M_h

( )

p

]

b) B = M_h

[

M_g

( )

p

]

Penyelesaian : a) A = M_g

[

M_h

( )

p

]

Mh

( )

p = p'

( )

' p Mg = A b) B = M_h

[

M_g

( )

p

]

( )

p M_g = p'

( )

' p Mh = B c) C = M_h

[

M_h

( )

p

]

( )

p Mh = p'

( )

' p M_h = p

Latihan :

1. Misalkan V bidang Euclid, A sebuah titik tertentu pada V. Transformasi T yang ditetapkan sebagai berikut:

i) T(A) =A

ii) Apabila P V∈ dan P≠ A,T(p) = Q dengan Q merupakan titik tengah ruas garis AP. Apakah transformasi T ini suatu isometri?

Penyelesaian :

Perhatikan gambar dibawah ini.Ambil P,R V∈ ,misalkan

A

P

R

P’

R’

P' = T(P) dan R' = T (R),maka AP' = P'P dan AR'=R'R.Akibatnya R'P' = ½ RP. Jadi T bukan suatu isometri.

2. Diberikan relasi T : V→V yang ditetapkan sebagai berikut: Apabila P = (x,y) V∈ ,maka ; (i) T (P) = (x+1,y) untuk x≥0

(ii) T (P) = (x-1,y) untuk x<0 Apakah T suatu transformasi ?

Penyelesaian :

Bukti dari relasi T adalah fungsi dari V ke V.

Ambil sebarang titik P = (x,y) ∈V , ada dua kasus :

Untuk x≥0,x+1 ∈R dan tunggal, akibatnya (x+1,y)∈V dan tunggal. Untuk x<0, x-1∈R dan tunggal, akibatnya (x-1,y)∈V dan tunggal. Sehingga P∈V selalu mempunyai peta di V dan tunggal.

Jadi relasi T merupakan fungsi dari V ke V.

Ambil (0,0)∈V sehingga (0,0)=T (P)=(x+1,y), jika x≥0 didapat x=-1 dan y = 0. Dalam hal ini terjadi kontradiksi dengan persyaratan x≥0. Akibatnya (-1,0) bukan prapeta dari (0,0). Berdasarkan :

i) Apabila (0,0) =T(P) =(x-1,y), jika x<0 didapat x =1 dan y = 0, dan ini pun terjadi lagi kontradiksi dengan persyaratan x< 0. Akibatnya (1,0) bukan prapeta dari (0,0)

ii) Akibatnya dari kedua hal ini (0,0) tidak mempunyai prapeta oleh T. Akibatnya fungsi T bukan fungsi kepada. Jadi relasi T bukan suatu transformasi.

3. Untuk transformasi Τ₂,misalkan

ν

bidang Euclid, g suatu garis tertentu dan Τ2ditetapkan ∀Ρ∈ν :

a. jika Ρ∈Α,Τ

( )

Ρ =Α

b. jika Ρ∉Α,Τ

( )

Ρ =Ρ1 dengan Ρ1 titik tengah ruas garis tengah dari x ke g. apakah Τ₂suatu transformasi ?

Penyelesaian :

a) akan ditunjukkan bahwa : 1. Τ2 fungsi dari

ν

ke

ν

.

∀ x∈ν dan x ∈g, maka x tunggal dari x oleh Τ2 dan ada tunggal

Garis ⊥ kepada g melalui x. yang mengakibatkan tunggalnya titik tengah ruas garis ⊥ dari x ke g. jadi ∀x ∈ν dan x ∈gada tunggal peta ∈ν yang memenuhi.

∴Τ2 suatu fungsi dari ν ke

ν

.

2. Τ2 fungsi bijektif

a) Τ2 fungsi kepada

ambil y ∈ν sebarang.apabila y ∈ g, maka ada prapeta y sendiri oleh Τ₂ dan apabila y∉g, maka ada tunggal garis l yang ⊥ g melalui y.

Misalnya

( )

n =gnl,akibatnya ada garis.yang mengakibatkan ada ruas garis NX,sehingga y ∈ NX dan yN = Nx. Dari uraian ini berakibat ada x, sehingga ΥΧ ⊥ g dan y = Τ

( )

x . Jadi Τ2 fungsi

kepada.

b) Τ2fungsi satu – satu

ambil x, y ∈ν sebarang sehingga x ≠ y. untuk x, y pada sisi yang berbeda oleh garis g,maka Τ₂

( )

x ≠Τ₂

( )

y sebab Τ₂

( )

x dan Τ₂

( )

y terletak pada sisi yang berbeda oleh garis g.

.

.

G

X

T (x)

Y

T (y)

Untuk x, y pada sisi yang sama oleh garis g, dengan x, y ⊥ g maka jarak dari x ke g dengan jarak dari y ke g berbeda. Akibatnya Τ₂

( )

x ≠Τ₂

( )

y

sebab jarak dari Τ₂

( )

x ke g setengah jarak dari x ke g, sedangkan jarak dari Τ₂

( )

y ke g setengah jarak dari y ke g.

G

Y

T (y)

X

T (x)

.

.

.

Untuk x, y pada sisi yang sama oleh garis g dengan x, y tidak ⊥ g maka garis l melalui x ⊥ g dan garis m melalui y ⊥ g akan sejajar. Karena

( )

x ∈l Τ

( )

y ∈m

Τ2 , 2 dan l // m, maka Τ2

( )

x ≠Τ2

( )

y .

Jadi Τ2 fungsi satu – satu .

G

L

M

.

.

.

.

X

T (x)

Y

T (y)

2 Τ

∴ disebut sebagai suatu transformasi.