T R A N S F O R M A S I
T R A N S F O R M A S I
PENGERTIAN TRANSFORMASI
PENGERTIAN TRANSFORMASI
Transformasi adalah perpindahan dari
Transformasi adalah perpindahan dari suatu posisi ke posisi lainsuatu posisi ke posisi lain. . Dalam geometri, transformasiDalam geometri, transformasi ialah suatu pemetaan setiap bangun geometri pada
ialah suatu pemetaan setiap bangun geometri pada suatu bidang ke bangun geometri lainnya padasuatu bidang ke bangun geometri lainnya pada bidang yang sama, yang disebut transformasi bidang.
bidang yang sama, yang disebut transformasi bidang. Ada 2 macam transformasi, yaitu :
Ada 2 macam transformasi, yaitu : 1.
1. Transformasi isometri yaitu suatu transformasi yang tidak merTransformasi isometri yaitu suatu transformasi yang tidak mer ubah ukuran bangunubah ukuran bangun semula.
semula.
Yang termasuk transformasi isometri : pergeseran (translasi), pencerminan (refleksi) dan Yang termasuk transformasi isometri : pergeseran (translasi), pencerminan (refleksi) dan pemutaran (rotasi).
pemutaran (rotasi). 2.
2. Transformasi Transformasi non-isometri yaitu non-isometri yaitu suatu transformasi yang suatu transformasi yang merubah ukuran bangunmerubah ukuran bangun semula.
semula.
Yang termasuk transformasi non-isometri : perkalian (dilatasi) Yang termasuk transformasi non-isometri : perkalian (dilatasi) Untuk menentukan bayangan hasil transformasi
Untuk menentukan bayangan hasil transformasi biasanya dipergunakan bantuan matriks.biasanya dipergunakan bantuan matriks.
1.
1. PERGESERAN (TRANSLASI)
PERGESERAN (TRANSLASI)
Suatu titik P(x,y) ditranslasikan oleh translasi
Suatu titik P(x,y) ditranslasikan oleh translasi
=
=
b b a a TT menjadi P’(x’,y ’) ditulis P(x,y)menjadi P’(x’,y ’) ditulis P(x,y)
→
→
T T P’(x’,y ’) dimana P’(x’,y ’) dimana x’ x’ = = x + x + aa y ’ = y + b y ’ = y + b atau atau
+
+
=
=
b b a a y y x x y y x x '' ''Secara geometri dapat digambarkan sebagai berikut : Secara geometri dapat digambarkan sebagai berikut :
Y Y P’(x’ , y ‘) = P’(x+a , y+b) P’(x’ , y ‘) = P’(x+a , y+b) b b P(x,y) P(x,y) aa O O XX
Contoh 1: Tentukan bayangan (peta) dari titik A(-1,2) oleh translasi
Contoh 1: Tentukan bayangan (peta) dari titik A(-1,2) oleh translasi
=
=
2 2 3 3 T T Jawab : ……….. Jawab : ………..Tidak hanya titik yang dapat ditranslasikan tetapi bisa juga garis atau kurva. Yaitu de Tidak hanya titik yang dapat ditranslasikan tetapi bisa juga garis atau kurva. Yaitu de nganngan menyatakan x dan y dengan x’ dan y’ kemudian disubstitusikan ke persamaan garis atau kurva menyatakan x dan y dengan x’ dan y’ kemudian disubstitusikan ke persamaan garis atau kurva yang ditranslasikan.
Contoh 2 : Tentukan bayangan garis y = 2x
Contoh 2 : Tentukan bayangan garis y = 2x – 1 oleh translasi– 1 oleh translasi
−
−
=
=
4 4 3 3 T T Jawab : Jawab : 4 4 '' 3 3 '' 4 4 3 3 '' ''−
−
=
=
+
+
=
=
⇒
⇒
−
−
+
+
=
=
y y y y x x x x y y x x y y x xSubstitusi x dan y ke per
Substitusi x dan y ke persamaan y = 2x – 1 ssamaan y = 2x – 1 sehingga :ehingga : 9 9 '' 2 2 '' 1 1 )) 3 3 '' (( 2 2 4 4 ''
−
−
=
=
x x+
+
−
−
⇔
⇔
y y=
=
xx+
+
y y Jadi bayangannya y = 2x + 9 Jadi bayangannya y = 2x + 9 LATIHAN SOAL LATIHAN SOAL 1.1. Titik A(2,5) dipetakan ke bayangannya A’ oleh translasiTitik A(2,5) dipetakan ke bayangannya A’ oleh translasi
−
−
=
=
7 7 3 3 TT . Tentukan . Tentukan koordinat titik koordinat titik A’ A’ !! 2.
2. Jika B’ merupakan bayangan titik B oleh translasi I, Jika B’ merupakan bayangan titik B oleh translasi I, maka tentukan koordinat titik B jikamaka tentukan koordinat titik B jika diketahui titik B’ (-5,7) dan
diketahui titik B’ (-5,7) dan
−
−
=
=
0 0 3 3 I I 3.3. Jika koordiat titik Q(-3,8) ditranslasikan olehJika koordiat titik Q(-3,8) ditranslasikan oleh
−
−
=
=
7 7 5 5 1 1 TT kemudian ditranslasikan lagi olehkemudian ditranslasikan lagi oleh
−
−
=
=
3 3 2 2 2 2 TT , maka tentukan bayangan titik Q !, maka tentukan bayangan titik Q ! 4.
4. P’(-5,8) adalah bayangan titik P(-12,3) oleh translasiP’(-5,8) adalah bayangan titik P(-12,3) oleh translasi
=
=
k k h h TT . Tentukan nilai h dan k !. Tentukan nilai h dan k ! 5. 5. DiberikanDiberikan
−
−
=
=
−
−
=
=
=
=
−
−
=
=
5 5 10 10 9 9 2 2 ,, ,, 6 6 4 4 ST ST dan dan RS RS b b a a QR QR PQPQ . Jika translasi tunggal yang. Jika translasi tunggal yang
mewakili jumlah semua translasi tersebut adalah
mewakili jumlah semua translasi tersebut adalah
−
−
−
−
12 12 4 4 , tentukan , tentukan QRQR !! 6.6. Titik (-5,9) ditranslasikan oleh T menjadi (2,-12). Tentukan bayangan titik P(-4,7) oleh translasi T Titik (-5,9) ditranslasikan oleh T menjadi (2,-12). Tentukan bayangan titik P(-4,7) oleh translasi T !!
7.
7. Garis OA melalui titik O(0,0) dan A(5,5). Garis OA melalui titik O(0,0) dan A(5,5). Tentukan bayangan garis OA oleh translasiTentukan bayangan garis OA oleh translasi
=
=
3 3 0 0 T T 8.8. Tentukan bayangan garis y = x + 5 Tentukan bayangan garis y = x + 5 oleh translasioleh translasi
2 2 1 1 9.9. Tentukan bayangan lingkaran yang berpusat di titik (3,5) dan berjari-jari 3 Tentukan bayangan lingkaran yang berpusat di titik (3,5) dan berjari-jari 3 oleh translasioleh translasi
−
−
−
−
9 9 7 7 10. 10. D D CC PP A A BB JikaJika AB AB mewakili translasimewakili translasi
1 1 3 3 dandan BD BD mewakili translasimewakili translasi
−
−
−
−
4 4 2 2maka nyatakan translasi yang maka nyatakan translasi yang diwakili oleh
2.
2. PENCERMINAN (REFLEKSI)
PENCERMINAN (REFLEKSI)
suatu pencerminan ditentukan oleh suatu garis tertentu sebagai sum
suatu pencerminan ditentukan oleh suatu garis tertentu sebagai sum bu pencerminan. Jarakbu pencerminan. Jarak bangun mula-mula ke sumbu pencer
bangun mula-mula ke sumbu pencerminan sama dengan jarak bangun bayangannya ke sumbuminan sama dengan jarak bangun bayangannya ke sumbu pencerminan. pencerminan. Sumbu pencerminan Sumbu pencerminan A A K K A’A’ B B B’B’ C C M M C’C’ Keterangan
Keterangan : : AK AK = = A’K, A’K, BL BL = = B’L B’L dan dan CM CM = = C’MC’M
2.1
2.1 PENCERMINAN TERHADAP SUMBU X
PENCERMINAN TERHADAP SUMBU X
Y Y P(x,y) P(x,y) O O XX P’(x’,y’) P’(x’,y’)
−
−
=
=
y y x x y y x x 1 1 0 0 0 0 1 1 '' ''2.2
2.2 PENCERMINAN TERHADAP SUMBU Y
PENCERMINAN TERHADAP SUMBU Y
Y Y P’(x’,y’) P(x,y) P’(x’,y’) P(x,y) O O XX
−
−
=
=
y y x x y y x x 1 1 0 0 0 0 1 1 '' ''2.3
2.3 PENCERMINAN TERHADAP TITIK ASAL
PENCERMINAN TERHADAP TITIK ASAL
Y Y P(x,y) P(x,y) 0 0 XX P’(x’,y’) P’(x’,y’)
−
−
−
−
=
=
y y x x y y x x 1 1 0 0 0 0 1 1 '' ''2.4 PENCERMINAN TERHADAP GARIS y = k
2.4 PENCERMINAN TERHADAP GARIS y = k
Y Y P’(x’,y’) P’(x’,y’) y = k y = k P(x,y) P(x,y) 0 0 XX
+
+
−
−
=
=
k k y y x x y y x x 2 2 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 '' ''2.5 PENCERMI
2.5 PENCERMINAN
NAN TERHADAP
TERHADAP GARIS x
GARIS x = k
= k
+
+
−
−
=
=
0 0 2 2 1 1 0 0 0 0 1 1 '' '' k k y y x x y y x x2.6 PENCERMINAN TERHADAP GARIS y = x
2.6 PENCERMINAN TERHADAP GARIS y = x
=
=
y y x x y y x x 0 0 1 1 1 1 0 0 '' ''2.7 PENCERMINAN TERHADAP GARIS y = -x
2.7 PENCERMINAN TERHADAP GARIS y = -x
−
−
−
−
=
=
y y x x y y x x 0 0 1 1 1 1 0 0 '' ''2.8 PENCERMINAN TERHADAP GARIS y = mx
2.8 PENCERMINAN TERHADAP GARIS y = mx
m m y y x x y y x x arctan arctan ,, 2 2 cos cos 2 2 sin sin 2 2 sin sin 2 2 cos cos '' ''
=
=
−
−
=
=
α α α α α α α α α α2.9 PENCERMINAN TERHADAP TITIK (a,b)
2.9 PENCERMINAN TERHADAP TITIK (a,b)
+
+
−
−
−
−
=
=
b b a a y y x x y y x x 2 2 2 2 1 1 0 0 0 0 1 1 '' ''2.10 PENCERMINAN TERHADAP GARIS x = k
2.10 PENCERMINAN TERHADAP GARIS x = k DILANJUTKAN x = h
DILANJUTKAN x = h
P’’(x+2(h – k) , y)P’’(x+2(h – k) , y)
2.11 PENCERMINAN TERHADAP GARIS y = k
2.11 PENCERMINAN TERHADAP GARIS y = k DILANJUTKAN y = h
DILANJUTKAN y = h
P”(x , y + 2(h-k))P”(x , y + 2(h-k))
2.12 PENCERMINAN TERHADAP DUA GARIS x = k DAN y = h YANG SALING
2.12 PENCERMINAN TERHADAP DUA GARIS x = k DAN y = h YANG SALING
TEGAK LURUS
TEGAK LURUS
P”(2k – x , 2h – y) P”(2k – x , 2h – y)
Contoh 1 : Tentukan bayangan dari titik P(5,3) oleh p
Contoh 1 : Tentukan bayangan dari titik P(5,3) oleh pencerminan terhadap garis y = -x !encerminan terhadap garis y = -x ! Jawab : ………
Jawab : ………
Contoh 2 : Tentukan bayangan titik P(3,-2) oleh pencerminan terhadap gar
Contoh 2 : Tentukan bayangan titik P(3,-2) oleh pencerminan terhadap gar is x = 2 dilanjutkan olehis x = 2 dilanjutkan oleh pencerminan terhadap garis x = 6 !
pencerminan terhadap garis x = 6 ! Jawab : ………..
Jawab : ………..
Contoh 3 :
Contoh 3 : Tentukan bayangan titTentukan bayangan titik P(2,-4) oleh pencerminan terhadap garis ik P(2,-4) oleh pencerminan terhadap garis x = -1 dilanjutkanx = -1 dilanjutkan pencerminan terhadap garis y = 2 !
pencerminan terhadap garis y = 2 ! Jawab : ………
Jawab : ………
LATIHAN SOAL LATIHAN SOAL 1.
1. Tentukan bayangan titik (-2,5) dan (3,-6) jika dicerminkan terhadap :Tentukan bayangan titik (-2,5) dan (3,-6) jika dicerminkan terhadap : a.
a. sumbu Xsumbu X b.
b. sumbu Ysumbu Y 2.
2. Diketahui persegi panjang ABCD dengan A(1,1), B(4,1) , C(4,3) dan D(1,3). Tentukan bayanganDiketahui persegi panjang ABCD dengan A(1,1), B(4,1) , C(4,3) dan D(1,3). Tentukan bayangan persegi panjang tersebut jika dicerminkan terhadap sumbu
persegi panjang tersebut jika dicerminkan terhadap sumbu Y !Y ! 3.
3. Tentukan bayangan titik (-3,1) yang dicerminkan terhadap garis y = 8 !Tentukan bayangan titik (-3,1) yang dicerminkan terhadap garis y = 8 ! 4.
4. Tentukan bayangan titik (-2,7) yang dicerminkan terhadap garis x = Tentukan bayangan titik (-2,7) yang dicerminkan terhadap garis x = -12 !-12 ! 5.
5. Tentukan bayangan jajargenjang ABCD dengan A(0,0), B(4,1), Tentukan bayangan jajargenjang ABCD dengan A(0,0), B(4,1), C(5,3) dan D(1,2) jika dicerminkanC(5,3) dan D(1,2) jika dicerminkan terhadap garis y = -1 !
6.
6. Suatu segitiga ABC dengan A(2,1), B(0,-2) dan C(-1,2) dicerminkan terhadap garis x = 0. KemudianSuatu segitiga ABC dengan A(2,1), B(0,-2) dan C(-1,2) dicerminkan terhadap garis x = 0. Kemudian dicerminkan lagi terhadap garis y
dicerminkan lagi terhadap garis y = 0. Tentukan koordinat= 0. Tentukan koordinatbayangan akhir bayangan akhir segitiga ABC tersebut !segitiga ABC tersebut ! 7.
7. Titik-titik sudut segitiga ABC adalah A(1,3), B(3,4) Titik-titik sudut segitiga ABC adalah A(1,3), B(3,4) dan C(2,1). Segitiga tersebut dicerminkandan C(2,1). Segitiga tersebut dicerminkan terhadap sumbu X, dilanjutkan pencerminan ter
terhadap sumbu X, dilanjutkan pencerminan terhadap sumbu Y dan terakhir pencerminanhadap sumbu Y dan terakhir pencerminan terhadap titik asal. Tentukan koordinat bayangan segitiga tersebut !
terhadap titik asal. Tentukan koordinat bayangan segitiga tersebut ! 8.
8. Persegi panjang ABCD dengan A(-1,1), B(-1,3), C(3,3) dan D(3,1) dicerminkan terhadap garis y = x.Persegi panjang ABCD dengan A(-1,1), B(-1,3), C(3,3) dan D(3,1) dicerminkan terhadap garis y = x. Tentukan koordinat bayangannya !
Tentukan koordinat bayangannya ! 9.
9. Tentukan bayangan titik A(-2,1) oleh pencerminan terhadap garis x Tentukan bayangan titik A(-2,1) oleh pencerminan terhadap garis x = 2 dilanjutkan oleh= 2 dilanjutkan oleh pencerminan garis x = 4 !
pencerminan garis x = 4 ! 10.
10. Tentukan bayangan titik C(2,3) karena pencerminan terhadap garis y Tentukan bayangan titik C(2,3) karena pencerminan terhadap garis y = -1 dilanjutkan oleh= -1 dilanjutkan oleh pencerminan terhadap garis y = 3 !
pencerminan terhadap garis y = 3 !
3.
3. PERPUTARAN (ROTASI)
PERPUTARAN (ROTASI)
Pada rotasi ada 3 komponen, yaitu titik pusat pe
Pada rotasi ada 3 komponen, yaitu titik pusat pemutaran, besar sudut putar mutaran, besar sudut putar dan arah sudut putar.dan arah sudut putar. Pemutaran mempunyai arah positif jika ber
Pemutaran mempunyai arah positif jika berlawanan dengan arah putaran jarum jam.lawanan dengan arah putaran jarum jam.
3.1 ROTASI DENGAN PUSAT TITIK ASAL
3.1 ROTASI DENGAN PUSAT TITIK ASAL
Y Y P’(x’ , y’) P’(x’ , y’) P(x,y) P(x,y) α α θ θ 0 0 XX
( (
θ θ α α))
θ θ α α θ θ α α α α α α α α α α α α θ θ α α θ θ α α θ θ α α θ θ θ θ θ θ θ θ cos cos sin sin sin sin cos cos cos cos sin sin sin sin '' sin sin cos cos sin sin sin sin cos cos cos cos )) (( cos cos '' )) ,, (( '' )) '' ,, '' (( '' )) ,, (( )) ,, (( sin sin cos cos y y x x r r r r r r y y y y x x r r r r r r x x r r P P y y x x P P r r P P y y x x P P r r y y r r x x+
+
=
=
+
+
=
=
+
+
=
=
−
−
=
=
−
−
=
=
+
+
=
=
+
+
=
=
=
=
=
=
=
=
−
−
=
=
y y x x y y x x α α α α α α α α cos cos sin sin sin sin cos cos '' ''Contoh 1 : Tentukan bayangan titik A(2,-4) jika diputar Contoh 1 : Tentukan bayangan titik A(2,-4) jika diputar oo
90
90 dengan pusat putaran di titik pusat !dengan pusat putaran di titik pusat ! Jawab : ………….
3.2 ROTASI DENGAN PUSAT (a,b)
3.2 ROTASI DENGAN PUSAT (a,b)
Y P’(x’,y’) Y P’(x’,y’) P(x,y) P(x,y) α α A(a,b) A(a,b) θ θ X X
Hal ini sebenarnya sama dengan rotasi dengan pusat (0,0) yang d
Hal ini sebenarnya sama dengan rotasi dengan pusat (0,0) yang d i translasikan sebesari translasikan sebesar
b b a a ..
−
−
−
−
−
−
=
=
−
−
−
−
b b y y a a x x b b y y a a x x α α α α α α α α cos cos sin sin sin sin cos cos '' ''
+
+
−
−
−
−
−
−
=
=
b b a a b b y y a a x x y y x x α α α α α α α α cos cos sin sin sin sin cos cos '' ''Contoh 2 : Tentukan bayangan titik B(4,5) oleh rotasi sebesar Contoh 2 : Tentukan bayangan titik B(4,5) oleh rotasi sebesar oo
90
90 dengan pusat (1,2) !dengan pusat (1,2) ! Jawab : ……….
Jawab : ……….
LATIHAN SOAL LATIHAN SOAL 1.
1. Tentukan bayangan titik A(3,6) dan B(-2,1) karena rotasi :Tentukan bayangan titik A(3,6) dan B(-2,1) karena rotasi : a. a. oo 90 90 R R b. b. oo 180 180 R R 2.
2. Diketahui segitiga ABC dengan A(2,3), B(-5,1) Diketahui segitiga ABC dengan A(2,3), B(-5,1) dan C(3,5).Tentukan bayangan segitiga tersebutdan C(3,5).Tentukan bayangan segitiga tersebut karena rotasi karena rotasi oo 90 90 − − R R !! 3.
3. Tentukan bayangan koordinat jajargenjang ABCD dengan A(1,2), B(3,5), CTentukan bayangan koordinat jajargenjang ABCD dengan A(1,2), B(3,5), C (6,1) dan D(m,n) karena(6,1) dan D(m,n) karena rotasi rotasi oo 180 180 R R !! 4.
4. Tentukan bayangan titik (5,4) dengan pusat rotasi (1,2) yang diputar Tentukan bayangan titik (5,4) dengan pusat rotasi (1,2) yang diputar sejauhsejauh oo 90 90 !! 5.
5. Tentukan bayangan titik (-1,2) dengan pusat rotasi (0,-3) yang diputar Tentukan bayangan titik (-1,2) dengan pusat rotasi (0,-3) yang diputar sejauhsejauh oo 270 270 !!
6.
6. Tentukan bayangan titik (-2,3) dengan pusat rotasi (2,-1) yang diputar Tentukan bayangan titik (-2,3) dengan pusat rotasi (2,-1) yang diputar sejauhsejauh oo
180
180
!! 7.7. Tentukan persamaan garis Tentukan persamaan garis yang melalui titik A(1,-4) dayang melalui titik A(1,-4) dan B(-3,4) yang diputar sejauh -n B(-3,4) yang diputar sejauh - oo 90
90 dengandengan pusat rotasi R(0,-2) !
pusat rotasi R(0,-2) !
8.
8. Tentukan bayangan titik A(-1,2) karena rotasiTentukan bayangan titik A(-1,2) karena rotasi oo 90 90 R
R dilajutkan dengan rotasidilajutkan dengan rotasi oo 180 180 R R 9.
9. Tentukan bayangan titik B(3,-2) karena rotasiTentukan bayangan titik B(3,-2) karena rotasi oo 180 180 R R dilanjutkandilanjutkan oo 90 90 − − R R
10.
10. Tentukan bayangan titik X(-1,-2) karena translasiTentukan bayangan titik X(-1,-2) karena translasi
1 1 2 2dilajutkan refleksi terhadap garis x = 5 dilajutkan refleksi terhadap garis x = 5 dan terakhir oleh rotasi
dan terakhir oleh rotasi R R9090 dengan pusat (1,2) !dengan pusat (1,2) !
4.
4. PERKALIAN (DILATASI)
PERKALIAN (DILATASI)
Pada dilatasi diperlukan suatu titik sebagai pusat per
Pada dilatasi diperlukan suatu titik sebagai pusat per kalian dan faktor skala kkalian dan faktor skala k
∈
∈
R.R.4.1
4.1 DILATASI DENGAN PUSAT O(0,0) DAN FAKTOR SKALA k
DILATASI DENGAN PUSAT O(0,0) DAN FAKTOR SKALA k
Y Y P’(x’ , y’) P’(x’ , y’) P(x,y) P(x,y) O O Q Q Q’ Q’ XX
=
=
y y x x k k k k y y x x 0 0 0 0 '' ''Dilatasi dengan pusat O(0,0) dan faktor skala k
Dilatasi dengan pusat O(0,0) dan faktor skala k sering ditulissering ditulis D D
[ [
OO,,k k ))]]
Contoh 1 : Tentukan bayangan titik A(-3,4) oleh dilatasi dengan faktor skala 2Contoh 1 : Tentukan bayangan titik A(-3,4) oleh dilatasi dengan faktor skala 2 dan pusat (0,0) !dan pusat (0,0) ! Jawab : ………
Jawab : ………
4.2
4.2 DILATASI DENGAN PUSAT (a,b) DAN FAKTOR SKALA k
DILATASI DENGAN PUSAT (a,b) DAN FAKTOR SKALA k
Y Y P’(x’ , y’) P’(x’ , y’) P(x,y) P(x,y) A(a,b) A(a,b) 0 0 XX
+
+
−
−
−
−
=
=
b b a a b b y y a a x x k k y y x x '' ''Contoh 2 : Tentukan bayangan titik P(4,7) dengan pusat
Contoh 2 : Tentukan bayangan titik P(4,7) dengan pusat A(2,3) dan faktor skala 2 !A(2,3) dan faktor skala 2 ! Jawab : ………
LATIHAN SOAL LATIHAN SOAL
1.
1. Tentukan bayangan titik (5,7) oleh dilatasiTentukan bayangan titik (5,7) oleh dilatasi
[ [ ]]
OO,,22 !!2.
2. Tentukan bayangan titik (12,-27) oleh dilatasiTentukan bayangan titik (12,-27) oleh dilatasi
3 3 1 1 ,, O O !! 3.
3. Tentukan bayangan titik A(2,1) oleh dilatasiTentukan bayangan titik A(2,1) oleh dilatasi
[ [
P P ((44,,33),),22]]
!!4.
4. Tentukan bayangan titik B(-3,2) oleh dilatasiTentukan bayangan titik B(-3,2) oleh dilatasi
−
−
3 3 2 2 ), ), 1 1 ,, 3 3 (( P P !! 5.
5. Tentukan bayangan titik C(4,-1) oleh dilatasiTentukan bayangan titik C(4,-1) oleh dilatasi
−
−
2 2 1 1 ), ), 5 5 ,, 0 0 (( P P !! 6.
6. Tentukan bayangan segitiga PQR dengan P(3,2), Q(-1,4) dan R(-2,-1) oleh dilatasiTentukan bayangan segitiga PQR dengan P(3,2), Q(-1,4) dan R(-2,-1) oleh dilatasi
[ [
OO,,−
−
22]]
!! 7.7. Tentukan luas segitiga hasil bayangan dari segitiga ABC dimana A(2,1), Tentukan luas segitiga hasil bayangan dari segitiga ABC dimana A(2,1), B(3,5) dan C(6,1) olehB(3,5) dan C(6,1) oleh dilatasi dilatasi
2 2 1 1 ,, O O 8.8. Tentukan bayangan titik A(2,3) karena rotasiTentukan bayangan titik A(2,3) karena rotasi oo 90 90 − − R
R dilanjutkan refleksi terhadap garis y = 5dilanjutkan refleksi terhadap garis y = 5 dilanjutkan lagi dengan translasi
dilanjutkan lagi dengan translasi
−
−
2 2 2 2dan diakhiri dengan dilatasi
dan diakhiri dengan dilatasi
[ [
P P ((00,,33),),44]]
!!5.
5. TRANSFORMASI TEMPAT KEDUDUKAN
TRANSFORMASI TEMPAT KEDUDUKAN
Yang dimaksud tempat kedudukan dalam
Yang dimaksud tempat kedudukan dalam hal ini yaitu himpunan titik-titik yang mempunyai polahal ini yaitu himpunan titik-titik yang mempunyai pola tertentu. Seperti garis dan kurva. Transformasi terhadap suatu garis atau kurva oleh suatu tertentu. Seperti garis dan kurva. Transformasi terhadap suatu garis atau kurva oleh suatu transformasi (translasi, refleksi, rotasi atau dilatasi) dilakukan dengan dengan menyatakan x d transformasi (translasi, refleksi, rotasi atau dilatasi) dilakukan dengan dengan menyatakan x d anan y dengan x’ dan y’
y dengan x’ dan y’ sesuai dengan transformasi yang digunakan. Kemudian disubstitusikan kesesuai dengan transformasi yang digunakan. Kemudian disubstitusikan ke persamaan garis atau kurva yang diketahui. Hasilnya akan ber
persamaan garis atau kurva yang diketahui. Hasilnya akan ber upa persamaan yang menggunakanupa persamaan yang menggunakan variabel x’ dan y’ sebagai
variabel x’ dan y’ sebagai tanda hasil transformasi (batanda hasil transformasi (bayangan). Sehingga yangan). Sehingga tanda aksennya bisatanda aksennya bisa dihilangkan.
dihilangkan.
Contoh 1 : Tentukan bayangan parabola
Contoh 1 : Tentukan bayangan parabola y y
=
=
xx22+
+
11 karena rotasi sebesarkarena rotasi sebesar oo90
90 dengan pusat O !dengan pusat O ! Jawab : Rotasi dengan pusat O sebesar
Jawab : Rotasi dengan pusat O sebesar oo
90 90 '' '' 0 0 1 1 1 1 0 0 90 90 cos cos 90 90 sin sin 90 90 sin sin 90 90 cos cos '' '' x x y y y y x x x x y y y y x x y y x x y y x x
−
−
=
=
=
=
⇒
⇒
−
−
=
=
−
−
=
=
−
−
=
=
o o o o o o o o SubstitusiSubstitusi x x
=
=
y y''dandan y y=
=
−
−
x x'' keke y y=
=
xx22+
+
11 sehingga :sehingga :( ( ))
'' 11 11''
=
=
22+
+
−
−
=
=
22+
+
−
LATIHAN SOAL LATIHAN SOAL
1.
1. Tentukan persamaan garisTentukan persamaan garis g g
≡
≡
x x+
+
yy+
+
11=
=
00 terhadap pencerminan sumbu X !terhadap pencerminan sumbu X !2.
2. Tentukan persamaan garisTentukan persamaan garis g g
≡
≡
x x+
+
yy+
+
11=
=
00 di atas oleh rotasidi atas oleh rotasi oo 90 90 R R !!3.
3. Tentukan persamaan bayangan garis y = x + Tentukan persamaan bayangan garis y = x + 1 oleh transformasi1 oleh transformasi
1 1 0 0 2 2 1 1 !! 4.4. Tentukan peta dari garis 2x – Tentukan peta dari garis 2x – y = 7 oleh transformasiy = 7 oleh transformasi
−
−
1 1 0 0 1 1 2 2 !! 5.5. Tentukan bayangan garis x – 2y Tentukan bayangan garis x – 2y + 3 = 0 oleh transfor+ 3 = 0 oleh transformasimasi
−
−
−
−
5 5 2 2 3 3 1 1 !! 6.6. Tentukan bayangan lingkaranTentukan bayangan lingkaran x x22
+
+
yy22=
=
99 oleh transformasioleh transformasi
1 1 0 0 1 1 1 1 !! 7.7. Tentukan peta lingkaranTentukan peta lingkaran x x22
+
+
y y22+
+
44 x x+
+
88yy−
−
55=
=
00 oleh pencerminan terhadap titik pusat !oleh pencerminan terhadap titik pusat !8.
8. Tentukan peta dari parabolaTentukan peta dari parabola y y
=
=
22xx22+
+
11 oleh dilatasioleh dilatasi[ [ ]]
OO,,33 !! 9.9. Tentukan persamaan bayangan kurva xy = 4 Tentukan persamaan bayangan kurva xy = 4 jika diputar terhadap titik O sebesarjika diputar terhadap titik O sebesar oo
45 45 !!
10.
10. Tentukan persamaan peta lingkaranTentukan persamaan peta lingkaran x x22
+
+
yy22=
=
99 oleh transformasi yang ditentukan :oleh transformasi yang ditentukan :y y x x y y y y x x x x
−
−
=
=
+
+
−
−
=
=
2 2 1 1 1 16.
6. KOMPOSISI TRANSFORMASI
KOMPOSISI TRANSFORMASI
Komposisi transformasi berarti transformasi yang dilakukan lebih dari satu kali ter
Komposisi transformasi berarti transformasi yang dilakukan lebih dari satu kali ter hadap suatuhadap suatu objek (titik, garis atau kurva) tertentu.
objek (titik, garis atau kurva) tertentu.
6.1 KOMPOSISI BEBERAPA TRANSLASI
6.1 KOMPOSISI BEBERAPA TRANSLASI
Komposisi dari dua translasi
Komposisi dari dua translasi T T 11 dan dilanjutkan dengandan dilanjutkan dengan T T 22 ditulisditulis T T 22 ooT T 11. Jadi dalam suatu. Jadi dalam suatu
komposisi, yang dilaksanakan/dioperasikan terlebih dahulu adalah elemen yang paling kanan ( komposisi, yang dilaksanakan/dioperasikan terlebih dahulu adalah elemen yang paling kanan ( T T 11).). Misal titik P(x,y) ditranslasikan oleh
Misal titik P(x,y) ditranslasikan oleh T T 22 ooT T 11 dimanadimana
=
=
=
=
d d cc T T dan dan b b a a TT 11 22 maka bayangan titikmaka bayangan titik P oleh komposisi dua translasi tersebut dapat d
P oleh komposisi dua translasi tersebut dapat digambarkan sebagai berikut :igambarkan sebagai berikut :
P’’(x+a+c , y+b+d) P’’(x+a+c , y+b+d) d d P’ P’ cc b b
Jadi untuk menentukan bayangan titik P(x,y) oleh komposisi translasi
Jadi untuk menentukan bayangan titik P(x,y) oleh komposisi translasi T T 22 ooT T 11 dapat juga dengandapat juga dengan
menjumlahkan terlebih dahulu elemen-elemen translasinya yaitu menjumlahkan terlebih dahulu elemen-elemen translasinya yaitu
1 1 1 1 2 2
+
+
+
+
=
=
d d b b cc a a T T TT oo baru hasilbaru hasil
komposisi translasi tersebut yaitu matriks
komposisi translasi tersebut yaitu matriks
+
+
+
+
d d b b cc a auntuk mentranslasikan P(x,y) ke P’’. untuk mentranslasikan P(x,y) ke P’’.
Contoh 1 : Jika titik A(1,-5) maka tentukan bayangan titik A oleh translasi
Contoh 1 : Jika titik A(1,-5) maka tentukan bayangan titik A oleh translasi
−
−
=
=
1 1 2 2 1 1 T T dilanjutkandilanjutkan
−
−
=
=
4 4 3 3 2 2 T T Jawab : Jawab :
−
−
=
=
+
+
−
−
−
−
+
+
+
+
−
−
=
=
−
−
2 2 0 0 4 4 1 1 )) 3 3 (( 2 2 5 5 1 1 )) 5 5 ,, 1 1 )( )( ((T T 22 ooT T 11Coba tentukan bayangan titik A(1,-5) karena translasi
Coba tentukan bayangan titik A(1,-5) karena translasi T T 11ooT T 22 ! Apakah hasil bayangannya sama ?! Apakah hasil bayangannya sama ?
Jika sama sifat apakah yang berlaku untuk komposisi dua tr
Jika sama sifat apakah yang berlaku untuk komposisi dua tr anslasi tersebut ?anslasi tersebut ?
6.2 KOMPOSISI BEBERAPA REFLEKSI
6.2 KOMPOSISI BEBERAPA REFLEKSI
Sudah dibahas di bab refleksi. Sudah dibahas di bab refleksi.
6.3 KOMPOSISI BEBERAPA ROTASI
6.3 KOMPOSISI BEBERAPA ROTASI
Ada 3 cara menentukan hasil komposisi dua rotasi, yaitu de
Ada 3 cara menentukan hasil komposisi dua rotasi, yaitu de ngan merotasikan satu per satu ataungan merotasikan satu per satu atau dengan menentukan terlebih dahulu matriks hasil komposisi rotasi kedua r
dengan menentukan terlebih dahulu matriks hasil komposisi rotasi kedua r otasi tersebut denganotasi tersebut dengan cara mengalikan. Atau bisa juga dengan menjumlahkan besar rotasi yang digunakan kemud
cara mengalikan. Atau bisa juga dengan menjumlahkan besar rotasi yang digunakan kemud ianian
gunakan matriks rotasi dari hasil penjumlahan tersebut. gunakan matriks rotasi dari hasil penjumlahan tersebut.
Contoh 2 : Tentukan bayangan titik A(-1,2) oleh rotasi
Contoh 2 : Tentukan bayangan titik A(-1,2) oleh rotasi oo
90
90 dilanjutkan dengan rotasidilanjutkan dengan rotasi oo
180
180 !!
Jawab : Sudut hasil komposisi rotasi =
Jawab : Sudut hasil komposisi rotasi = oo oo
180 180 90 90
+
+
== oo 270 270
=
=
−
−
−
−
=
=
−
−
−
−
=
=
1 1 2 2 2 2 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 2 2 1 1 270 270 cos cos 270 270 sin sin 270 270 sin sin 270 270 cos cos "" o o o o o o o o A A6.4 KOMPOSISI BEBERAPA DILATASI
6.4 KOMPOSISI BEBERAPA DILATASI
Untuk komposisi dilatasi dengan pusat O bisa dilakukan dengan 2 cara y
Untuk komposisi dilatasi dengan pusat O bisa dilakukan dengan 2 cara y aitu dengan dilatasi satuaitu dengan dilatasi satu per satu atau dengan menentukan terlebih dahulu
per satu atau dengan menentukan terlebih dahulu faktor skala hasil komposisi yaitu denganfaktor skala hasil komposisi yaitu dengan mengalikan kedua faktor skala dilatasi. Untuk komposisi dilatasi dengan pusat (a,b)
mengalikan kedua faktor skala dilatasi. Untuk komposisi dilatasi dengan pusat (a,b) dilakukandilakukan satu per satu.
satu per satu.
LATIHAN SOAL LATIHAN SOAL 1.
1. Tentukan bayangan titik (5,3) oleh refleksi terhadap garis x Tentukan bayangan titik (5,3) oleh refleksi terhadap garis x = 2 dan dilanjutkan terhadap garis x= 2 dan dilanjutkan terhadap garis x = 6 !
2.
2. Tentukan bayangan titik (-3,8) oleh refleksi terhadap garis y Tentukan bayangan titik (-3,8) oleh refleksi terhadap garis y = 3 dan dilanjutkan terhadap garis= 3 dan dilanjutkan terhadap garis x = -1 !
x = -1 ! 3.
3. Diketahui segitiga PQR dengan P(1,1), Q(-3,4) dan Diketahui segitiga PQR dengan P(1,1), Q(-3,4) dan R(-2,-1) . Tentukan bayangannya jikaR(-2,-1) . Tentukan bayangannya jika direfleksikan terhadap garis y = -1 dan dilanjutkan terhadap y = 3 !
direfleksikan terhadap garis y = -1 dan dilanjutkan terhadap y = 3 ! 4.
4. Tentukan bayangan titik (2,1) yang direfleksikan terhadap garis y Tentukan bayangan titik (2,1) yang direfleksikan terhadap garis y = x, kemudian dilajutkan= x, kemudian dilajutkan terhadap sumbu Y !
terhadap sumbu Y ! 5.
5. Tentukan bayangan titik (5,5) yang dirotasikan terhadapTentukan bayangan titik (5,5) yang dirotasikan terhadap oo
90 90
R
R dan dilanjutkandan dilanjutkan oo
270 270
R
R !!
6.
6. Tentukan bayangan titik (-5,4) yang dirotasikan terhadapTentukan bayangan titik (-5,4) yang dirotasikan terhadap oo
150 150
R
R dan dilanjutkandan dilanjutkan oo
120 120
R
R !!
7.
7. JikaJika M M y y adalah pencerminan terhadap sumbu Y,adalah pencerminan terhadap sumbu Y, M M 11 adalah pencerminan terhadap garis x = 6adalah pencerminan terhadap garis x = 6 dan
dan M M 22 adalah pencerminan terhadap garis x = 11. adalah pencerminan terhadap garis x = 11. Tentukan peta segitiga ABC dengan Tentukan peta segitiga ABC dengan A(-1,1),A(-1,1), B(-2,6) dan C(-4,4) oleh komposisi pencer
B(-2,6) dan C(-4,4) oleh komposisi pencerminan :minan : a.
a. M M y y ooM M 11 b.
b. M M 22 ooM M 11ooM M y y 8.
8. JikaJika M M 11,, M M 22 dandan M M 33 adalah operasi pencerminan terhadap garis x = 2, x = 3 dan x = 7adalah operasi pencerminan terhadap garis x = 2, x = 3 dan x = 7 berturut-turut, maka tentukan bayangan titik P(3,2) oleh transformasi
berturut-turut, maka tentukan bayangan titik P(3,2) oleh transformasi M M 11ooM M 22 ooM M 33 !! 9.
9. Pada no. 8, tentukan Pada no. 8, tentukan bayangan garis y + x = bayangan garis y + x = 3 oleh 3 oleh transformasitransformasi M M 33 ooM M 22 ooM M 11 10.
10. Diketahui transformasiDiketahui transformasi
=
=
−
−
=
=
−
−
−
−
=
=
1 1 2 2 0 0 1 1 1 1 0 0 ,, 1 1 2 2 90 90 11 R R dandan I I
T
T . Tentukan bayangan titik (7,10). Tentukan bayangan titik (7,10) oleh transformasi
