Vi_detective^_^
Page 1 TUGAS II
GEOMETRI TRANSFORMASI Tentang
Isometri dan Refleksi
Oleh :
EVI MEGA PUTRI : 412. 35I
Dosen Pembimbing : ANDI SUSANTO, S. Si, M.Sc
TADRIS MATEMATIKA A FAKULTAS TARBIYAH
INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI (IAIN) IMAM BONJOLPADANG
Vi_detective^_^ Page 2 DAFTAR ISI A. Isometri ... 3 a. Pengertian isometri ... 3 b. Sifat-sifat Isometri ... 3
1. Memetakan garis menjadi garis ... 3
2. Mempertahankan ukuran besarnya sudut antara dua garis ... 5
3. Mempertahankan kesejajaran dua garis... 6
B. Refleksi... 6
a. Pengertian Refleksi ... 6
b. Sifat-sifat Refleksi... 7
c. Persamaan Refleksi ... 8
Vi_detective^_^
Page 3 A. ISOMETRI
a. Pengertian Isometri
Isometri merupakan suatu transformasi atas Refleksi (pencerminan), Translasi (pergeseran), dan Rotasi (perputaran) pada sebuah garis yang mempertahankan jarak (panjang suatu ruas garis).
Secara matematis, Isometri didefinisikan sebagai berikut :
“misalkan T suatu transformasi, transformasi T ini disebut isometri jika dan hanya jika untuk setiap pasangan titik P dan Q anggota dari bidang Euclid 𝑣 berlaku bahwa 𝑃’𝑄’ = 𝑃𝑄 𝑑𝑖𝑚𝑎𝑛𝑎 𝑃’ = 𝑇(𝑃) 𝑑𝑎𝑛 𝑄’ = 𝑇(𝑄).
b. Sifat-sifat Isometri
Suatu isometri memiliki sifat-sifat sebagai berikut : 1. Memetakan garis menjadi garis
2. Mempertahankan ukuran besarnya sudut antara dua garis 3. Mempertahankan kesejajaran dua garis
Bukti :
I. Memetakan garis menjadi garis
Andaikan g sebuah garis dan 𝑇 suatu isometri. Kita akan membuktikan bahwa 𝑇(𝑔) = ℎ adalah suatu garis juga.
B B’
A A’
Vi_detective^_^
Page 4 Kemudian ditetapkan 𝑇 𝑔 = {𝑌𝑌 = 𝑇(𝑋), 𝑋 ∈ 𝑔} akibatnya 𝐴’, 𝐵’ ∈ 𝑇(𝑔). Untuk membuktika bahwa T(g) merupakan garis lurus.
Ambil 𝐴 ∈ 𝑔 dan 𝐵 ∈ 𝑔. maka 𝐴’ = 𝑇(𝐴) ∈ ℎ, 𝐵’ = 𝑇(𝐵) ∈ ℎ melalui 𝐴’ 𝑑𝑎𝑛 𝐵’ ada satu garis. Misalnya ℎ’. Untuk ini akan dibuktikan ℎ’ ⊂ ℎ 𝑑𝑎𝑛 ℎ ⊂ ℎ’.
Bukti ℎ’ ⊂ ℎ
Ambil 𝑋’ ∈ ℎ’. oleh karena bidang kita adalah bidang Euclides, maka kita andaikan (𝐴’ 𝑋’ 𝐵’), artinya 𝐴’ 𝑋’ + 𝑋’ 𝐵’ = 𝐴’ 𝐵’. oleh karena 𝑇 suatu isometric. Jadi suatu transformasi maka ada 𝑋 sehingga 𝑇 (𝑋) = 𝑋’ dan oleh karena 𝑇 suatu isometric maka 𝐴𝑋 = 𝐴’𝑋’ ; begitu pula 𝑋𝐵 = 𝑋’𝐵’.
Maka 𝐴𝑋 + 𝐵𝑋 = 𝐴𝐵
Ini berarti bahwa 𝐴, 𝑋, 𝐵 𝑠𝑒𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑔 Ini berarti lagi bahwa 𝑋’ = 𝑇(𝑋) ∈ ℎ.
Sehingga ℎ’ ⊂ ℎ sebab bukti serupa berlaku untuk posisi 𝑋’ dengan (𝑋’ 𝐴’ 𝐵’) 𝑎𝑡𝑎𝑢 (𝐴’ 𝐵’ 𝑋’).
Bukti ℎ ⊂ ℎ’ Misalkan 𝑌’ ∈ ℎ
Maka ada 𝑌 ∈ 𝑔 sehingga 𝑇(𝑌) = 𝑌’ dengan 𝑌 misalnya (𝐴 𝑌 𝐵), artinya 𝑌 ∈ 𝑔 dan 𝐴𝑌 + 𝑌𝐵 = 𝐴𝐵. Oleh karena 𝑇 sebuah isometric.
maka 𝐴’𝑌’ = 𝐴𝑌, 𝑌’𝐵’ = 𝐴𝐵. Sehingga 𝐴’𝑌’ + 𝑌’𝐵’ = 𝐴’𝐵’. Ini berarti bahwa 𝐴’, 𝑌’, 𝐵’ segaris, yaitu garis yang melalui 𝐴’ 𝑑𝑎𝑛 𝐵’.
Oleh karena ℎ’ satu-satunya garis yang melalui 𝐴’ 𝑑𝑎𝑛 𝐵’ 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑌’ ∈ ℎ’. Jadi terbukti ℎ ⊂ ℎ’
Vi_detective^_^
Page 5 Bukti serupa berlaku untuk keadan (𝑌 𝐴 𝐵) 𝑎𝑡𝑎𝑢 (𝐴 𝐵 𝑌) sehingga ℎ = ℎ’. Jadi, kalau 𝒈 sebuah garis maka 𝒉 = 𝑻(𝒈) adalah sebuah garis juga, maka terbuktilah bahwa sifat isometri memetakan garis menjadi garis.
II. Mempertahankan ukuran besarnya sudut antara dua garis Ambil sebuah ∠ 𝐴𝐵𝐶 𝐴 𝐵 𝐶 𝐴’ 𝐵’ 𝐶’ Andaikan 𝐴’ = 𝑇(𝐴), 𝐵’ = 𝑇(𝐵), 𝐶’ = 𝑇(𝐶)
Menurut (𝑎), 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝐴’𝐵’ 𝑑𝑎𝑛 𝐵’𝐶’ adalah garis lurus Oleh karena ∠𝐴𝐵𝐶 = 𝐵𝐴 ∪ 𝐵𝐶 maka,
∠𝐴’𝐵’𝐶’ = 𝐵’𝐴’ ∪ 𝐵’𝐶’
Sedangkan 𝐴’𝐵’ = 𝐴𝐵, 𝐵’𝐶’ = 𝐵𝐶, 𝐶’𝐴’ = 𝐴𝐶
Sehingga ⊿ 𝐴𝐵𝐶 = ⊿ 𝐴’𝐵’𝐶’. 𝑗𝑎𝑑𝑖 ∠ 𝐴’𝐵’𝐶’ = ∠𝐴𝐵𝐶
Sehingga terbuktilah suatu isometri mempertahankan besarnya sebuah sudut.
Vi_detective^_^
Page 6 III. Mempertahankan kesejajaran dua garis
𝐴 𝐵 𝐴’ 𝐵’
Kita harus memperlihatkan bahwa 𝑎’ ⁄⁄ 𝑏’
Andaikan 𝑎’ memotong 𝑏’ disebuah titik 𝑃’ 𝑗𝑎𝑑𝑖 𝑃’ ∈ 𝑎’ 𝑑𝑎𝑛 𝑃’ ∈ 𝑏’. oleh karena 𝑇 sebuah transformasi,
maka ada 𝑃 𝑠𝑒ℎ𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 𝑇(𝑃) = 𝑃’ 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑃 ∈ 𝑎 𝑑𝑎𝑛 𝑃 ∈ 𝑏.
Ini berarti bahwa 𝑚𝑒𝑚𝑜𝑡𝑜𝑛𝑔 𝑏 𝑑𝑖 𝑃 ; jadi bertentangan dengan yang diketahui bahwa 𝑎 ⁄⁄ 𝑏
Maka Pengandaian bahwa 𝑎’ 𝑚𝑒𝑚𝑜𝑡𝑜𝑛𝑔 𝑏’ 𝑆𝐴𝐿𝐴𝐻 Jadi haruslah 𝑎’ ⁄⁄ 𝑏’.
Sehingga terbuktilah suatu isometri mempertahankan kesejajaran dua garis.
B. REFLEKSI a. Pengertian Refleksi (Pencerminan)
Refleksi adalah suatu transformasi yang memindahkan setiap titik pada bidang dengan menggunakan sifat bayangan cermin dari titik-titik yang hendak dipindahkan itu. Refleksi suatu bangun geometri adalah proses mencerminkan setiap titik bangun geometri itu terhadap garis tertentu. Garis tertentu itu dinamakan sebagai sumbu cermin atau sumbu simetri. Jika suatu bangun geometri dicerminkan terhadap garis tertentu, maka bangun bayangan kongruen dengan bangun semula.
Vi_detective^_^
Page 7
Secara matematis, refleksi dapat didefinisikan sebagai berikut :
“sebuah pencerminan pada garis 𝑔 adalah fungsi 𝜇𝑔 yang ditetapkan untuk setiap
titik 𝑃 pada bidang Euclid 𝑣 sebagai berikut : 1) 𝐽𝑖𝑘𝑎 𝑃 ∈ 𝑔 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝜇𝑔 (𝑃) = 𝑃
2) 𝐽𝑖𝑘𝑎 𝑃 ∉ 𝑔 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝜇𝑔 𝑃 = 𝑄 𝑠𝑒ℎ𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 𝑔 𝑚𝑒𝑟𝑢𝑝𝑎𝑘𝑎𝑛 𝑠𝑢𝑚𝑏𝑢 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑃𝑄 Maka 𝑔 disebut sumbu refleksi (cermin) 𝜇𝑔.
b. Sifat-sifat Refleksi
a. Dua refleksi berturut-turut terhadap sebuah garis merupakan suatu identitas, artinya yang direfleksikan tidak berpindah.
b. Pengerjaan dua refleksi terhadap dua sumbu yang sejajar, menghasilkan translasi (pergeseran) dengan sifat:
i. Jarak bangun asli dengan bangun hasil sama dengan dua kali jarak kedua sumbu pencerminan.
ii. Arah translasi tegak lurus pada kedua sumbu sejajar, dari sumbu pertama ke sumbu kedua. Refleksi terhadap dua sumbu sejajar bersifat tidak komutatif.
c. Pengerjaaan dua refleksi terhadap dua sumbu yang saling tegak lurus, menghasilkaan rotasi (pemutaran) setengah lingkaran terhadap titik potong dari kedua sumbu pencerminan. Refleksi terhadap dua sumbu yang saling tegak lurus bersifat komutatif.
d. Pengerjaan dua refleksi berurutan terhadap dua sumbu yang berpotongan akan menghasilkan rotasi (perputaran) yang bersifat:
i. Titik potong kedua sumbu pencerminan merupakan pusat perputaran. ii. Besar sudut perputaran sama dengan dua kali sudut antara
kedua sumbu pencerminan.
iii. Arah perputaran sama dengan arah dari sumbu pertama ke sumbu kedua.
Vi_detective^_^
Page 8
c. Persamaan Refleksi
Persamaan Transformasi Refleksi pada Bidang :
Refleksi Rumus Persamaan Matriks
Refleksi terhadap sumbu-x A
x y sbx A
xy
, ' , . y x y x 1 0 0 1 ' 'Refleksi terhadap sumbu-y A
x,y sb.y A'
x,y
y x y x 1 0 0 1 ' '
Refleksi terhadap garis
y=x
x y A
y x A , yx ' , y x y x 0 1 1 0 ' 'Refleksi terhadap garis
y=-x
x y A
y x
A , y x ' , y x y x 0 1 1 0 ' 'Refleksi terhadap garis
x=k
x y A
k x y
A , xk ' 2 ,Refleksi terhadap garis
y=k
x y A
x k y
A , yk ' ,2 Refleksi terhadap titik
(p,q)
x,y , A'
x',y'
A pqSama dengan rotasi pusat (p,q) sejauh 180˚ q y p x q y p x 180 cos 180 sin 180 sin 180 cos ' '
Refleksi terhadap titik pusat (0,0)
x y A
x y
A , 0,0 ' , y x y x 1 0 0 1 ' 'Vi_detective^_^
Page 9 d. Refleksi (Pencerminan) sebagai suatu Isometri
Pencerminan dikatakan sebagai suatu Isometri karena, setiap pencerminan pada garis merupakan suatu Isometri lawan.
Bukti :
1. Setiap refleksi merupakan transformasi kongruen.
Misal 𝑟𝑚 adalah sebuah refleksi dengan 𝑟𝑚 𝐴 = 𝐴′ dan 𝑟𝑚 𝐵 = 𝐵′. Untuk membuktikan bahwa 𝑟𝑚 adalah sebuah transformasi yang mempertahankan jarak, harus ditunjukkan bahwa 𝐴𝐵 = 𝐴′𝐵′. Tinjau empat kasus:
Kasus I. Titik 𝐴 dan titik 𝐵 segaris:
Refleksi terhadap garis
y=mx,m=tan α
2 cos 2 sin ' 2 sin 2 cos ' ' , ' ' , y x y y x x dengan y x A y x A y mx y x y x 2 cos 2 sin 2 sin 2 cos ' 'Refleksi terhadap garis
y=x+k
k x y k y x dengan y x A y x A y x k ' ' ' , ' ' , k k y x y x 0 0 1 1 0 ' 'Refleksi terhadap garis
y=-x+k
k x y k y x dengan y x A y x A y x k ' ' ' , ' ' , k k y x y x 0 0 1 1 0 ' ' 𝐵′ = 𝐵 𝐴′ = 𝐴 𝑚Vi_detective^_^
Page 10 Misalkan 𝑚 adalah sebuah garis pada bidang. Titik 𝐴 dan titik 𝐵 keduanya terletak pada garis 𝑚. Maka :
1) 𝑟𝑚 𝐴 = 𝐴′ ∈ 𝑚 sehingga 𝐴𝐴′ = 0 ⟺ 𝐴′ = 𝐴 2) 𝑟𝑚 𝐵 = 𝐵′ ∈ 𝑚 sehingga 𝐵𝐵′ = 0 ⟺ 𝐵′ = 𝐵 Karena 𝐴′ = 𝐴 dan 𝐵′ = 𝐵, maka 𝐴′𝐵′ = 𝐴𝐵
Dapat disimpulkan refleksi mempertahankan jarak dua titik yang segaris.
Kasus II.Titik 𝐴 pada garis dan titik 𝐵 diluar garis.
Misalkan 𝑚 adalah sebuah garis pada bidang. Titik 𝐴 terletak pada garis 𝑚 dan titik 𝐵 terletak diluar garis 𝑚. Maka
1) 𝑟𝑚 𝐴 = 𝐴′ ∈ 𝑚 sehingga 𝐴𝐴′ = 0 ⟺ 𝐴′ = 𝐴
2) 𝑟𝑚 𝐵 = 𝐵′ sehingga𝑚 ⊥ 𝐵𝐵′ dan berpotongan di titik 𝐶 = 𝐶′, maka 𝐵𝐶 = 𝐵′𝐶′ Karena 𝐴′𝐶′ = 𝐴𝐶 , 𝑚∠𝐴𝐶𝐵 = 𝑚∠𝐴′𝐶′𝐵′ dan 𝐵′𝐶′ = 𝐵𝐶 (sisi, sudut,sisi) maka ∆𝐴𝐵𝐶 kongruen dengan ∆𝐴′𝐵′𝐶′. Dengan menggunakan perbadingan sisi-sisi yang bersesuaian diperoleh: 𝐵𝐶 𝐵′ 𝐶′ = 𝐴𝐵 𝐴′ 𝐵′ .Karena 𝐵𝐶 = 𝐵 ′𝐶′, maka: 𝐵𝐶 𝐵𝐶= 𝐴𝐵 𝐴′𝐵′ ⟺ 1 = 𝐴𝐵 𝐴′𝐵′ ⟺ 𝐴′𝐵′ = 𝐴𝐵
Dapat disimpulkan refleksi mempertahankan jarak dua titik yang tidak segari
𝐶 = 𝐶′
𝑚
𝑟𝑚 𝐵 = 𝐵′
𝐵
Vi_detective^_^
Page 11
Kasus III. Titik 𝐴 dan titik 𝐵 keduanya terletak pada sisi yang sama diluar garis
Misalkan 𝑚 adalah sebuah garis pada bidang. Titik 𝐴 dan titik 𝐵 terletak pada sisi yang sama diluar garis 𝑚. Maka
1) 𝑟𝑚 𝐴 = 𝐴′ sehingga 𝑚 ⊥ 𝐴𝐴′ dan berpotongan di titik 𝐶 = 𝐶′, maka 𝐴𝐶 = 𝐴′𝐶′ 2) 𝑟𝑚 𝐵 = 𝐵′ sehingga 𝑚 ⊥ 𝐵𝐵′ dan berpotongan di titik 𝐷 = 𝐷′, maka 𝐵𝐷 = 𝐵′𝐷′ Karena ∆𝐵𝐶𝐵′ merupakan segitiga sama kaki, maka 𝐵𝐶 = 𝐵′𝐶′ .
Karena 𝐵𝐶 = 𝐵′𝐶′ ,𝑚∠𝐴𝐶𝐵 = 𝑚∠𝐴′𝐶′𝐵′ dan 𝐴𝐶 = 𝐴′𝐶′, (sisi, sudut,sisi) maka ∆𝐴𝐵𝐶 kongruen dengan ∆𝐴′𝐵′𝐶′ dengan menggunakan perbadingan sisi-sisi yang bersesuaian diperoleh: 𝐴𝐶 𝐴′ 𝐶′ = 𝐴𝐵 𝐴′ 𝐵′. Karena 𝐴𝐶 = 𝐴′𝐶′, maka: 𝐴𝐶 𝐴𝐶 = 𝐴𝐵 𝐴′𝐵′ ⟺ 1 = 𝐴𝐵 𝐴′𝐵′ ⟺ 𝐴′𝐵′ = 𝐴𝐵
Dapat disimpulkan refleksi mempertahankan jarak dua titik yang berada disisi yang sama diluar garis.
𝐶 = 𝐶′ 𝐷 = 𝐷′ 𝐴 𝐴′ 𝐵′ 𝐵 𝑚
Vi_detective^_^
Page 12
Kasus IV. Titik A dan titik B terletak pada sisi yang berlawanan di luar garis
Misalkan 𝑚 adalah sebuah garis pada bidang. Titik 𝐴 dan titik 𝐵 terletak pada sisi yang berlawanan diluar garis 𝑚. Maka
1) Jika 𝐶, 𝐷, 𝐸 ∈ 𝑚, maka 𝑟𝑚 𝐶 = 𝐶′ ∈ 𝑚, 𝑟𝑚 𝐷 = 𝐷′ ∈ 𝑚 dan 𝑟𝑚 𝐸 = 𝐸′ ∈ 𝑚 sehingga 𝐶 = 𝐶′, 𝐷 = 𝐷′ dan 𝐸 = 𝐸′
2) 𝑟𝑚 𝐴 = 𝐴′ sehingga 𝑚 ⊥ 𝐴𝐴′ dan berpotongan di titik 𝐶 = 𝐶′, maka 𝐴𝐶 = 𝐴′𝐶′
3) 𝑟𝑚 𝐵 = 𝐵′ sehingga 𝑚 ⊥ 𝐵𝐵′ dan berpotongan di titik 𝐸 = 𝐸′, maka 𝐵𝐸 = 𝐵′𝐸′ Karena 𝐴𝐶 = 𝐴′𝐶′ , 𝑚∠𝐴𝐶𝐷 = 𝑚∠𝐴′𝐶′𝐷′ dan 𝐶𝐷 = 𝐶′𝐷′ (sisi, sudut,sisi) maka ∆𝐴𝐶𝐷 konruen dengan ∆𝐴′𝐶′𝐷′ dengan menggunakan perbadingan sisi-sisi yang bersesuaian diperoleh: 𝐴𝐶 𝐴′ 𝐶′ = 𝐴𝐷 𝐴′𝐷′ . Karena 𝐴𝐶 = 𝐴′𝐶′, maka: 𝐴𝐶 𝐴𝐶 = 𝐴𝐷 𝐴′𝐷′ ⟺ 1 = 𝐴𝐷 𝐴′𝐷′ ⟺ 𝐴′𝐷′ = 𝐴𝐷 … … … ∗)
Karena 𝐵𝐸 = 𝐵′𝐸′ ,𝑚∠𝐵𝐸𝐷 = 𝑚∠𝐵′𝐸′𝐷′ dan 𝐸𝐷 = 𝐸′𝐷′ (sisi, sudut,sisi) maka ∆𝐵𝐸𝐷 kongruen dengan ∆𝐵′𝐸′𝐷′ dengan menggunakan perbadingan sisi-sisi yang bersesuaian diperoleh:: 𝐵𝐸 𝐵′ 𝐸′ = 𝐷𝐵 𝐷′ 𝐵′ Karena 𝐵𝐸 = 𝐵′𝐸′, maka: 𝐵𝐸 𝐵𝐸= 𝐷𝐵 𝐷′𝐵′ ⟺ 1 = 𝐷𝐵 𝐷′𝐵′ ⟺ 𝐷′𝐵′ = 𝐷𝐵 … … … ∗∗) 𝐶 = 𝐶′ 𝐷 = 𝐷′ 𝐵′ 𝐴 𝐵 𝑚 𝐸 = 𝐸′ = 𝐸 ′ 𝐴′
Vi_detective^_^
Page 13 𝐴′𝐵′ = 𝐴′𝐷′ + 𝐷′𝐵′ . Dari ∗ : 𝐴′𝐷′ = 𝐴𝐷 dan ∗∗ : 𝐷′𝐵′ = 𝐷𝐵, maka
𝐴′𝐵′ = 𝐴𝐷 + 𝐷𝐵 𝐴′𝐵′ = 𝐴𝐵
Dapat disimpulkan refleksi mempertahankan jarak dua titik yang terletak diluar garis di sisi yang berlawana..
“Keempat kasus di atas menunjukkan bahwa 𝑨′𝑩′ = 𝑨𝑩. Dapat disimpulkan bahwa setiap refleksi merupakan transformasi kongruen”
2. Dengan suatu refleksi, bayangan sebuah sudut adalah sebuah sudut dengan ukuran yang sama.
Misalkan 𝑚 adalah sebuah garis pada bidang. Titik 𝐴 dan titik 𝐵 terletak berseberangan dengan titik 𝐶 pada diluar garis 𝑚. Maka berdasarkan sifat pencerminan, jika 𝑟𝑚 𝐴 = 𝐴′ , 𝑟𝑚 𝐵 = 𝐵′ dan 𝑟𝑚 𝐶 = 𝐶′, sehingga: 𝐵′𝐴′ = 𝐵𝐴 dan 𝐴′𝐶′ = 𝐴𝐶. Maka; ∠𝐵′𝐴′𝐶′ = 𝐵′𝐴′ ∪ 𝐴′𝐶′ = 𝐵𝐴 ∪ 𝐴𝐶 = ∠𝐵𝐴𝐶 Karena ∠𝐵′𝐴′𝐶′ = ∠𝐵𝐴𝐶 , maka 𝑚∠𝐵′𝐴′𝐶′ = 𝑚∠𝐵𝐴𝐶
“Jadi bayangan sebuah sudut adalah sebuah sudut dengan ukuran yang sama.”
𝐶′ 𝐵′ B 𝐴′ 𝐴 𝐶 𝑚
Vi_detective^_^
Page 14 DAFTAR PUSTAKA
Rawuh. Geometri Transformasi. Bandung : Perpustakaan Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, 1993
Lipschutz, Seymour, Teori dan Soal-soal Geometri(seri buku Schaum), Jakarta : Erlangga, 1995
Juliartawan, I Wayan, Matematika(contoh soal dan penyeleseain), Yogyakarta : Andi, 2004
Rasmedi S, Ame, Darhim, Geometri transformasi, Jakarta :Universitas Terbuka, 2007
http://id.wikipedia.org/wiki/Isometri_(matematika)
http://id.wikipedia.org/wiki/refleksi_(matematika)
http://anchasinyo.blogspot.com/2011/10/bukti-pencerminan-sebagai-isometri.html
