BAB 21 TRANSFORMASI GEOMETRI 1. TRANSLASI ( PERGESERAN) Contoh : Latihan 1.

(1)

183 TRANSFORMASI GEOMETRI

Suatu transformasi bidang adalah suatu pemetaan dari bidang Kartesius ke bidang yang lain atau T : (x,y)  ( x' , y')

Jenis-jenis transformasi antara lain :

Transformasi Isometri yaitu transformasi yang tidak mengubah jarak Translasi ( Pergeseran) , Rotasi ( Pemutaran ) , Refleksi ( Pencerminan ).

Dilatasi ( Perbesaran) , Stretch ( Regangan ) , Shear ( Gusuran / kecondongan )

1. TRANSLASI ( PERGESERAN)

Translasi atau pergeseran adalah transformasi yang memindahkan titik-titik dengan jarak dan arah tertentu. Jarak dan arah ditunjukkan oleh vektor translasi.

Vektor translasi dpt ditunjukkan oleh bil. berurutan yang ditulis dlm bentuk matriks kolom a b

  

 . Suatu translasi T dengan vektor translasi a

b

  

 . Mentransformasikan titik P ke P' secara pemetaan dapat dituliskan :

T = a b

  

  : P(x,y)  P' (x + a , y + b)

Jika P'(x' ,y') , secara aljabar dapat dituliskan dengan hubungan : x' = x + a

y' = y + b

Titik P' disebut bayangan titik P oleh translasi T = a b

  

 .

Contoh :

Tentukan bayangan PQR dengan P(1,1) , Q(2,4) dan R(-1,3) bila dilakukan translasi oleh 2 3

  

 . P(1,1)  P' ( 1+2 , 1+3) atau P' (3,4)

Q(2,4) Q' (2+2 , 4+3) atau Q' (4,7) R(-1,3) R' (-1+2 , 3+3) atau R' (1,6)

Latihan 1.

1. Tentukan peta dari grafik yx² jika ditranslasikan oleh bentuk 2 4

 

 

 

BAB 21

2 2

R R

(2)

184

2. Tentukan bayangan parabola y3x²x oleh translasi 5

2

 

 

 

3. Diketahui suatu pergeseran yang dinyatakan oleh pemetaan T: (x,y) (x-3 , y+4). Tentukan peta dari garis 2y = 3x + 4

4. Suatu lingkaran x²y²r² apabila pada lingkaran tersebut dilakukan pergeseran bentuk a b

  

  , tunjukkan bahwa peta dari lingkaran tersebut mempunyai persamaan (xa)²(y b )² r² 5. Tentukan translasi untuk mendapatkan parabola dengan persamaan yx²4x1 dari parabola

2 2 3

yx  x 6. Suatu ellips

2 2

16 4 1

x  y  ditransformasikan dengan suatu tarnsformasi yang bersesuaian dengan

matriks 1 0 2 0 1

 

 

 

, tentukan bayangannya serta beri kesimpulan tentang bayangnnya

7. Tentukan bayangan titik dan garis berikut oleh suatu transformasi yang bersesuaian dengan matriks 1 1

3 2

 

 

 

a. (-2,3)

b. 2y – x + 6 = 0

8. Suatu hiperbola yang puncaknya ( 0,3) dan (0,-3) serta fokusnya (0,5) dan (0,-5) ditarnslasikan

oleh 2

T 4 

  

  tentukan : a. Persamaan hiperbola

b. Bayangan hiperbola oleh translasi T

9. Oleh suatu pemetaan 9 , )P x y P x y'( ', ') dengan x'= 3x-4y dan y' = 4x-3y a. Tentukan matriks yang berkaitan dengan dengan pemetaan itu

b. Carilah peta dari segitiga ABC jika A( 2,-1 ) , B( 5, -1 ) dan C( 5, -3 ) 10. Tentukan puncak dan focus parabola y²16x yang ditranslasikan dengan 2

1

  

 

2. REFLEKSI

Refleksi atau pencerminan adalah transformasi yang memindahkan titik-titik dengan menggunakan sifat bayangan oleh suatu cermin yaitu :

1) Garis yang menghubungkan setiap titik dengan bayangannya tegak lurus dengan cermin (sumbu pencerminan)

(3)

185

2) Jarak antara setiap titik dan cermin sama dengan jarak bayangan ke cermin

3) Bangun dan bayangannya adalah kongruen

Pencerminan dilambangkan dengan M dengan a adalah cermin (sumbu simetri) _a Beberapa pencerminan yang telah dipelajari antara lain :

a. Pencerminan terhadap garis y = x b. Pencerminan terhadap garis y = - x c. Pencerminan terhadap sumbu X d. Pencerminan terhadap sumbu Y

e. Pencerminan terhadap garis yang sejajar sumbu Pencerminan terhadap garis y = mx adalah suatu pemetaan

2 2

:

T R R ( , )x y ( ', ')x y dimana

2

2 2

1 2

' 1 1

m m

x x y

m m

  

 

2

2 2

2 1

' 1 1

m m

y x y

m m

  

 

Dari difinisi diatas dapat dilihat hal-hal khusus yaitu apabila m=0 ; m = -1 dan m =  .

a. Jika m = 0, maka pencerminan diatas merupakan pencerminan terhadap sumbu X. akibatnya persamaan pencerminan menjadi :

x' = x dan y' = -y

Jadi pencerminan terhadap sumbu X adalah pemetaan T : (x,y)  ( x , -y ) Matriks Refleksinya 1 0

0 1

 

  

 

b. Jika m , maka pencerminan diatas merupakan pencerminan terhadap sumbu Y. yang mengakibatkan persamaan pencerminan menjadi ;

x' = -x dan y' = y

Pencerminan terhadap sumbu Y adalah pemetaan T: ( , )x y  ( x y, ) Matriks Refleksinya 1 0

0 1

 

 

 

y=mx A'(x',y')

0 X

A(x,y)

(4)

186

c. Jika m=1 , maka pencerminan diatas merupakan pencerminan terhadap garis y = x yang

mengakibatkan persamaan pencerminan menjadi ; x' = y dan y' = x

Pencerminan terhadap garis y = x adalah pemetaan T: ( , )x y ( , )y x Matriks Refleksinya 0 1

1 0

 

 

 

d. Jika m=-1, maka pencerminan diatas merupakan pencerminan terhadap garis y = -x . yang mengakibatkan persamaan pencerminan menjadi ;

x' = - y dan y' = -x

Pencerminan terhadap garis y = x adalah pemetaan T: ( , )x y   ( y, x) Matriks Refleksinya 0 1

1 0

  

 

 

e. Pencerminan terhadap garis y = k x' = 2k – x dan y' = y

f. Pencerminan terhadap garis y = k x' = x dan y' = 2k - y

g. Pencerminan terhadap titik (a,b) x' = 2a – x dan y' = 2b – y

Contoh :

Tentukan bayangan lingkaran x²y²4x6y10 jika dicerminkan terhadap garis y x Persamaan dari pencerminan terhadap garis y x adalah 'x  y dan 'y  x

Dari persamaan tersebut maka x = y' dan y = - x', kemudian substitusikan ke persamaan lingkaran akan didapat :

2 2

(y')  ( x')  4( y') 6( x') 10 atau ( ')x ²( ')y ²6 ' 4 ' 10x y 

dengan membuang "aksen" diperoeh bentuk x²y²6x4y10 yang merupakan bayangan lingkaran.

Latihan 2.

1. Diketahui titik A(3,2), B(4,-1) dan C(5,4) dicerminkan terhadap garis x = 5. Lukislah dan tentukan bayangan masing-masing titik serta tentukan titik invariannya ( titik yang terletak pada cermin

2. Suatu lingkaran x²y²2x6y10 dicerminkan terhadap garis y = - x , tentukan bayangan dari lingkaran itu

3. Belah ketupat PQRS dengan P(1,1) , Q(3,-1) ,R(5,1) dan S( 3,5 ) . Tentukan bayangan PQRS oleh refleksi terhadap pusat koordinat.

4. Tentukan bayangan dari persamaan garis 3x – y – 4 = 0 jika dicerminkan terhadap garis x = - 2

(5)

187



(x,y) (x',y')

P

5. Tentukan bayangan parabola y3x²4x2 oleh pencerminan terhadap (2 , - 4 ) 6. Tentukan bayangan garis 3x + 2y – 4 = 0 oleh pencerminan terhadap garis x 2 7. Tentukan bayangan ellips

2 2

16 9 1

x  y  oleh pencerminan terhadap titik (5,3)

8. Tentukan matriks yang bersesuaian dengan pencerminan terhadap garis y 3x dengan menentukan sudut antara garis dan sumbu X_

3. ROTASI

Suatu transformasi yang memindahkan titik-titik dengan cara memutar titik-titik sejauh  dengan pusat titik P.

Jika  positip maka arah putaran berlawanan arah putaran jarum jam dan jika  negatip akan searah dengan arah putaran jarum jam.  disebut dengan sudut rotasi dan P disebut pusat rotasi dan suatu rotasi dengan pusat P dan sudut rotasi  ditulis R (P,  )

2 2

:

T R R ( , )x y ( ', ')x y

dimana 'x xcosysin

' sin cos

y x y 

Jika R(P,  ) : ( , )x y ( ', ')x y dengan P(a,b) Terdapat hubungan :

' ( )cos ( )sin

x  xa  y b a

' ( )sin ( )cos

y  xa  y b b

Matriks yang bersesuaian dengan rotasi :

Rotasi Matriks

0

0 90 (0,90 ) R R

0

0 90 (0, 90 ) R_ R 

0

0 180 (0,180 ) R R

(0, ) R 

' 0 1

' 1 0

x x

y y

     

    

    

' 0 1

' 1 0

x x

y y

    

     

    

' 1 0

' 0 1

x x

y y

    

     

    

' cos sin

' sin cos

x x

y y

 

     

    

    

(6)

188 Contoh :

Tentukan bayangan dari titik A(2,4) , B(-3, 5) dan C(0, -3) jika dirotasi dengan : a. seperampat putaran

b. setengah putaran

a. Rotasi seperempat putaran berarti  90⁰ maka

0 0

' cos90 sin 90

x x y atau x' = -y

0 0

' sin 90 cos90

y x y y' = x

Jadi rotasi seperempat putaran adalah T: ( , )x y  ( y x, ) Maka A'(-4,2) , B'(5,-3) dan C'(3,0)

b. Rotasi setengah putaran berarti 180⁰ maka

0 0

' cos180 sin180

x x y atau x' = - x

0 0

' sin180 cos180

y x y y' = - y

Jadi rotasi setengah putaran adalah T: ( , )x y   ( x, y) Maka A'(-2,-4) , B'(3,-5) dan C'(0,3)

Contoh :

Tentukan peta dari garis y = -x + 2 jika dirotasi seperempat putaran.

Persamaan rotasi seperempat putaran x' = -y dan y' = x

Maka dari persamaan didapat x = y' dan y = -x' yang selanjutnya disubstitusikan pada persamaan y' = -x' +2 atau –x' = -y' + 2 dengan menghilangkan tanda " aksen" diperoleh

-x = -y + 2 atau y = x + 2 yang merupakan peta dari garis y = -x + 2

Latihan 3.

1. Tentukan peta dari segitiga ABC dengan A( 1,2 ) , B( 3, 1) dan C ( 2, 5 ) jika diputar dengan sudut 90⁰ dan pusatnya titik B(3,1)

2. Tentukan bayangan dari garis y = -x + 2 jika diputar 90⁰ dengan pusat titik (2,0) 3. Tentukan peta dari lingkaran x²y²2x4y6 jika diputar oleh bentuk 0,180⁰

4. Jika M(1,2), tentukan bayangan dari lingkaran x²y²25 jika dirotasi oleh bentuk M,90⁰ 5. Diketahui A(2,2) dan B(4,0) di[etakan ke A'(0, 2 2 ) dan B'( 2 2, 2 2 ). Tentukan matriks

transformasinya dan tulis jenis transformasinya.

(7)

189

6. Persegi panjang KLMN dengan K(1,-2) , L(5,-2). M(5,2) DAN n(1,2) Dirotasikan terhadap

( 1, 2), 1 2

   

 

 . Tentukan bayangan dari koordinat titik sudut persegi panjang tersebut.

7. Tentukan matriks yang bersesuaian oleh rotasi 3 0,4

 

 

 

8. Tentukan bayangan titik A(- 3 , 2 ) , B( 4,5) C (1 , - 2 ) oleh rotasi yang berpusat di (0,0) sebesar 270 0

4. DILATASI

Adalah suatu transformasi yang mengubah jarak titik-titik dengan faktor skala (pengali) tertentu dipusat dilatasi tertentu. Dilatasi suatu bangun akan mengubah ukuran tanpa mengubah bentuk bangun tersebut.

Transformasi Dilatasi dengan faktor saa sebesar k adalah suatu pemetaan yang didefinisikan sbb:

2 2

:

T R R

( , )x y (kx ky, ) dimana k real.

Suatu dilatasi dengan faktor skala k dan pusat dilatasi P ditulis :

 

^{P k}^,

Jika

 

^{P k}^, ^{: ( , )}^{A x y} ^^{A x y}^{'( ', ')}dengan P(a,b) maka terdapat hubungan : x' = a + k (x – a )

y' = b + k (y – b )

Jika dengan pusat O (0,0) terdapat hubungan : x' = kx

y' = ky dengan matriks yang sesuai 0 0 k

k

 

 

 

Pada dilatasi faktor k akan menentukan ukuran dan letak bangun bayangannya.

1) Jika k1, maka bangun bayangan diperbesar dan searah terhadap pusat dan bangun semula 2) Jika 0 k 1, maka bangun bayangan diperkecil dan searah terhadap pusat dan bangun semula 3) Jika   1 k 0 , maka bayangan diperkecil dan berlawanan arah dengan pusat dan bangun

semula

4) Jika k 1, maka bangun bayangan diperbesar dan berlawanan arah terhadap pusat dan bangun semula

Contoh :

Diketahui dilatasi dengan pusat (2,1) dan faktor skala 3. Oleh dilatasi tsb tentukan bayangan dari : a. titik A(3,2) dan B9-4,3)

Y

O X A

B A’

B’

(8)

190

b. garis y-2x+5=0

a. ' 3 0 3 2 4 2 2 2 5 16

' 0 3 2 1 3 1 1 1 4 7

x y

   

        

          

        

Bayangan nya adalah :A' (5,4) dan B'(-16,7)

b. ' 3 0 2 2

' 0 3 1 1

x x

y y

       

       

      

3 6 2 3 4

3 3 1 3 2

x x

y y

 

     

            ' 3 4 4

3 x  x  x x

' 3 2 2

3 y  y  y y

substitusi ke y –2x+5=0 didapatkan :

' 2 4

2. 5 0

3 3

y x

  

' 2 2 ' 8 15 0 y  x  

' 2 ' 9 0

y x  maka bayangannya adalah : y – 2x +9 = 0

Latihan 4.

1. Tentukan peta dari garis y = x – 3 apabila dilakukan transformasi perkalian sebesar 4 dengan pusat dilatasi :

a. titik (0,0) b. titk M (1,2)

2. Titik P(x,y) didilatasikan dengan pusat A(a,b) dan faktor skala k sehingga didapat bayangan P'(x',y').

a. Tunjukkan bahwa ' ' 1

x x a

k k

y y b

     

  

     

     

b. Jika EFG adalah segitiga dengan E(3,3) , F(-2,-6) dan G(7,-4) , maka tentukan bayangan segitiga EFG oleh dilatasi



^A^{, 4}^



dengan A(-6,8)

3. Tentukan bayangan dari y2x²5x3 oleh dilatasi



^{0, 2}^



4. Dilatasi

 

0, k mentransformasikan titik L(-4,6) ke L'(2,-3). Tentukan faktor dilatasinya

5. Titik B (4,6) didilatasikan dengan pusat A dan faktor dilatasi –3 sehingga bayangannya adalah B' (-20, 2) . Tentukan koordinat titik A

(9)

191

6. Lingkaran x²y²4x6y 3 0 didilatasikan oleh



(2, 2), 2 . Tentukan persamaan



bayangannya.

7. Dengan menggunakan matriks yang sesuai , tentukan bayangan titik K(- 3,- 4 ) oleh dilatasi



^{( 1,3), 2}^ ^



8. Diketahui titik-titik P(2,4) , Q(0,2), R(3,1) jika P'(6,8) merupakan hasil dilatasi titik P dengan faktor skala 3

a. Tentukan pusat dilatasi

b. Tentukan koordinat titik Q' dan R'

9. Suatu lingkaran dengan pusat (3,2) dan jari-jari 4 ditarnsformasikan oleh dilatasi dengan pusat ( - 3 , 6 ) dan faktor skala 1

3. Tentukan : a. persamaan lingkaran tersebut b. bayangan oleh transformasi tersebut

10. Lingkaran dengan persamaan x²y²4x2y240 oleh dilatasi dengan pusat (2,4) dan faktor skala 1

2. Tentukan bayangannya

5. TRANSFORMASI GUSURAN ( SHEAR)

Transformasi gusuran adalah suatu transformasi yang menggeser suatu titik menurut arah sumbu X atau sumbu Y, jadi ada 2 macam transformasi gusuran, yaitu:

1. Transformasi gusuran arah sumbu X

Matriks transformasi yang bersesuaian adalah 1 0 1

 q

 

  dengan 1

q^tg =factor skala Titik A ( x, y ) ditransformasikan menjadi ( x' , y' ) dengan :

x' = x + qy y' = y

2. Transformasi gusuran dengan arah sumbu Y Matriks transformasi yang bersesuaian adalah 1 0

1 p

 

 

  dengan 1

p^tg =factor skala Titik A ( x, y ) ditarnsformasikan menjadi ( x' , y' ) dengan :

x' = x y' = y + p

Contoh :

Diketahui titik (2 , -3 ) . Tentukan bayangan titik itu oleh a. gusuran searah sumbu Y dengan faktor skala – 3

B A’

O

A B’

X

(10)

192

b. gusuran searah sumbu X dengan faktor skala 4

a. ' 1 0 1 0 2 2

' 3 1 3 1 3 9

x x

y y

         

  

         

         

b. ' 1 4 1 4 2 10

' 0 1 0 1 3 3

x x

y y

          

          

         

LATIHAN 5.

1. Tentukan bayangan garis 2x – 3y + 2 = 0 oleh transformasi gusuran searah sumbu x dengan faktor skala –2

2. Diketahui persegi ABCD dengan titik sudutnya A(2,0) , B(4,0),C(4,2) dan D(2,2). Tentukan koordinat titik sudut bayangan persegi ABCD oleh transformasi gusuran dengan factor skala 2 dan garis invariant sumbu X , gambarkan hasil gusurannya.

3. Diketahui titik ( 2 , -3) . Tentukan bayangan titik itu oleh : a. gusuran searah sumbu Y dengan factor skala –3 b. gusuran searah sumbu X dengan factor skala 4

4. Persegi OABC dengan O(0,0) , A(6,0),B(6,6) dan C(0,6) digusur dengan sumbu Y sebagai garis invariant sehingga bayangan titik B adalah B' (9,6).

a. gambar gusuran tersebut

b. tentukan skala gusuran dan matriks yang bersesuaian dengan gusuran tersebut 5. Tentukan bayangan suatu lingkaran dengan persamaan ² ² 1 0

16 oleh gusuran 2 1

x y  

   

6. REGANGAN ( STRETCHING)

Merupakan suatu transformasi yang memetakan himpunan titik pada bidang ke himpunan titik lainnya dengan cara memperbesar/memperkecil jarak titik-titik itu ke garis tertentu ( invariant ) . Perbandingan antara jarak titik peta ke garis invariant dengan jarak titik semula ke garis invariant disebut factor regangan. Arah garis yang tegak lurus dengan garis invariant disebut arah regangan.

a. Regangan searah sumbu X

Artinya garis searah sumbu Y ( garis invariant) dengan factor regangan k Matriks tarnsformasi yang bersesuaian 0

0 1

k 

 

 

Titik A ( x, y ) ditransformasikan menjadi ( x' , y' ) dengan : x' = kx

y' = y

b. Regangan searah sumbu Y

A A’

B B’

(11)

193

Artinya garis searah sumbu X ( garis invariant) dengan factor regangan k

Matriks tarnsformasi yang bersesuaian 1 0 0 k

 

 

 

Titik A ( x, y ) ditransformasikan menjadi ( x' , y' ) dengan : x' = x

y' = k y

Contoh :

Carilah persamaan bayangan kurva 3x + y = 9 oleh regangan 2 0

0 1

 

 

 

 2 0 '

0 1 '

x x

y y

    

    

    

2 0 1 2 0 1 1 0 '

0 1 0 1 2 0 2 '

x x

y y

  

       

        

       

1 0 0 1

 

 

 

1

2 0 '

0 1 '

x x

y y



 

   

  

   

    maka

1 2 '

'

x x

y y



 

   

     diperoleh :

3x + y = 9

1

3(2x') y' 9

3 x' – 2 y' = - 18 diperoleh bayangannya adalah 3x – 2y = - 18

Latihan 6.

1. Sebuah persegi panjang ABCD setelah diregangkan dengan skala regangan 2 dan garis invariant sumbu Y diperoleh ppersegi panjang A'B'C'D' dengan koordinat A'(-2, 1) , B'(4 , 1 ) , C'(4 , 3) dan D'( -2 , 3). Tentukan koordinat titik sudut persegi panjang ABCD

2. Penggal garis AB setelah diregangkan dengan skala 2 dan garis invariant sumbu Y diperoleh ¹₂ penggal garis A'B' yang koordinat titik ujung A'(0,3)dan B'(10,0). Tentukan koordinat titik A dan B.

3. Tentukan peta dari kurva 2x + 3y = 24 oleh transformasi regangan searah sumbu X dan factor regangan –3

4. Diketahui trapezium PQRS dengan koordinat titik sudutnya P(-2, -2) ,Q(4,-2) ,R(2,1) dan S(- 1,1). Tentukan koordinat bayangan titik sudut trapezium PQRS tersebut jika diregangkan dengan skala 1 dan garis invariant sumbu Y ¹₂

5. Persegi panjang OABC diregangkan menjadi OA'B'C. Bila A(6,0) , B(6,4) ,C(0,4) dan A'(9,0), maka:

a. Gambar hasil regangan tersebut

(12)

194

b. Tentukan skala regangan

c. Tulis matriks transformasinya.

7. Transformasi Komposisi

Misalkan adalah transformasi yang didefinisikan oleh pemetaan :

Dari diagram terlihat bahwa ada suatu transformasi lain yaitu yang dinamakan komposisi dari T₁ dan T ₂

Jika ₁ adalah translasi oleh bentuk a dan ₂ c

T T

b d

   

   

    maka komposisi T dengan ₁ T adalah ₂ T₃T₂ T₁ yang merupakan translasi oleh bentuk a c

b d

  

  

 

a. Pencerminan berturut-turut terhadap dua sumbu yang sejajar.

T1

T2

T3

x,y

x',y'

x",y"

A A’ A’’

X

X=a X=b

(13)

195 Pertama oleh sumbu x=a , dan dilanjutkan oleh sumbu sumbu x = b , maka titik A(x,y) akan ditranslasi ke A’ (2a-x,y) kemudian ke A” ( 2b-2a+x , y)

Jadi A(x,y) ke A”(x”,y”) dengan :

" 2( )

" 0

x x b a

y y

      

 

     

     

Titik bergeser :

1. sejauh 2 kali jarak sumbu pertama dan sumbu kedua 2. arahnya dari sumbu pertama ke sumbu kedua.

Jika cermin pertama y = c dan cermin kedua y=d maka titik A(x,y) akan pindah ke A’(x , 2c – y) kemudian ke A” ( x , 2d – 2c + y)

" 0

" 2( )

x x

y y d c

     

 

      

     

Contoh :

Titik B(-2,3) dicerminkan berturut-turut terhadap sumbu Y=-4 kemudian terhadap Y = 2.

Tentukan koordinat bayangannya.

" 2 0

" 3 2(2 ( 4)

x

y

      

 

       

     

" 2

" 15

x

y

    

    

   

b. Pencerminan berturut-turut terhadap dua sumbu yang membentuk sudut 

A(x,y) dicerminkan terhadap S1 kemudian S2 akan menghasilkan bayangan A” (x”,y”) dengan :

" cos 2 sin 2

" sin 2 cos 2

x x a a

y y b b

 

 

      

 

       

      

Jika S2 sebagai cermin pertama dan S1 sebagai cermin kedua maka :

" cos( 2 ) sin( 2 )

" sin( 2 ) cos( 2 )

x x a a

y y b b

 

   

      

 

         

      

Pencerminan berturut-turut terhadap dua sumbu yang membentuk sudut  sama dengan :

 pemutaran terhadap titik potong kedua sumbu itu sebesar 2 

 arah dari sumbu pertama ke sumbu kedua



A A’

A”

S1

S2

(14)

196 Contoh :

Ditentukan titik A(5,1) , garis k : y=

¹₂

x +2 , garis l : = 3x – 3

Tentukan koordinat titik bayangan yang terjadi jika titik A dicermnkan berturut-turut terhadap a) garis k kemudian garis l

b) garis l kemudian garis k

a) garis k dan l berpotongan di P(2,3)

m_k



¹₂

,

m_l 3

sudut antara k dan l =  tg

1 2

3 1

1 .3

  ^ 

 maka 

45⁰

0 0

" cos 90 sin 90 5 2 2 4

" sin 90 cos 90 1 3 3 6

x y



  

       

    

        

         

b.coba sendiri.

c. Rotasi berturut-turut terhadap pusat yang sama.

Titik A(x,y) diputar sebesar 

₁

terhadap titik P(a,b) kemudian diputar lagi sebesar 

₂

terhadap pusat yang sama , maka bayangannya adalah A”(x”,y”) dengan :

1 2 1 2

cos( ) sin( )

"

sin( ) cos( )

"

x x a a

y y b b

   

   

 

     

   

        

       

c. Transformasi berturut-turut dengan matriks M1 dilanjutkan dengan M2, memindahkan titik A(x,y) ke titik A”(x”,y”) dengan :

2 1

"

" .

x x

y M M y

   

    

   

Latihan 7.

1. Diketahui ₁ 2 ₂ 3 ₃ 0

, ,

5 1 6

T   T   T  

      . Tentukan bayangan dari :

a. A(-4,2) oleh T₁ dilanjutkan T ₂

b. Transformasi tunggal T₃T₂ dan tentukan pula bayangan titik A oleh T₁ T ₃

2. Diketahui R adalah rotasi dengan pusat (0,0) sebesar ₁ 30 , ⁰ R rotasi dengan pusat (0,0) sebesar ₂ 90 , dan 0 R dengan pusat (0,0) sebesar ₃ 150⁰, Tentukan bayangan titik C(6,-4) oleh :

a. R₁R₂ b. R₁R₂R₃

(15)

197

3. Tentukan bayangan garis 3x – y = 3 oleh refleksi terhadap garis x = 3 dilanjutkan dengan rotasi

dengan pusat (2,1) sebesar 270 ⁰ 4. Diketahui ₂ 4

T  3

  

 . Bayangan titik A(2,5) oleh T T₁ ₂ adalah A'(-3,2). Carilah matriks translasi T 1

5. Tentukan matriks yang ekuivalen dengan rotasi yang berpusat di (0,0) sebesar 75 dilanjutkan ⁰ dengan rotasi yang berpusat di (0,0) sebesar 60 ⁰

6. Tentukan bayangan titik (4,-8) jika dicerminkan terhadap garis x = 6 dilanjutkan dengan rotasi (0,60 ) 0

7. Garis x – 2y – 3 = 0 dicerminkan terhadap sumbu Y kemudian dicerminkan terhadap sumbu X.

Tentukan persamaan bayangannya

8. Lingkaran berpusat di (3,-2) dan berjari-jari 4 diputar dengan R(0,90 )⁰ kemudian dicerminkan terhadap sumbu X. Tentukan persamaan bayangannya.

9. parabola x3y²2y3 dirotasikan dengan R(0,90 )⁰ dilanjutkan dengan transformasi regangan 2 0

0 3

 

 

  . Tentukan bayangannya.

10. Garis g: x – 2y + 4 = 0 adalah bayangan garis l oleh pencerminan terhadapsumbu X dilanjutkan rotasi yang berpusat di (0,0) sebesar 270

⁰

. Tentukan persamaan garisnya.

8.Perubahan Luas Bangun Karena Transformasi.

Jika luas bangun semula = L, kemudian bangun itu ditransformasikan dengan matriks

a b

c d

 

 

  , maka luas bangun bayangannya = L’ = ad bd xL  .

Latihan 8.

1. Diketahui persegi PQRS dengan P(2,1),Q(5,1),R(5,4) dan S(2,4) oleh transformasi 1 4

2 1

 

 

  . Tentukan luas bangun bayangannya.

2. Trapesium ABCD dengan A(1,1) , B(7,1), C(6,4) dan D(2,4) . Carilah luas bangun

bayangnnya jika ditarnsformasikan terhadap garis y=-x.

(16)