STANDAR KOMPETENSI. 5. Menggunakan konsep matriks, vektor, dan transformasi dalam pemecahan masalah KOMPETENSI DASAR

(1)

STANDAR KOMPETENSI

5. Menggunakan konsep matriks, vektor, dan transformasi dalam pemecahan masalah KOMPETENSI DASAR

5.1 Menggunakan sifat-sifat dan operasi matriks untuk menunjukkan bahwa suatu matriks persegi merupakan invers dari matriks persegi lain

5.2 Menentukan determinan dan invers matriks 2 x 2

5.3 Menggunakan determinan dan invers dalam penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel

5.4 Menggunakan sifat-sifat dan operasi aljabar vektor dalam pemecahan masalah

5.5 Menggunakan sifat-sifat dan operasi perkalian skalar dua vektor dalam pemecahan masalah.

5.6 Menggunakan transformasi geometri yang dapat dinyatakan dengan matriks dalam pemecahan masalah

5.7 Menentukan komposisi dari beberapa transformasi geometri beserta matriks transformasinya

(2)

TRANSFORMASI GEOMETRI A. Transformasi

Transformasi adalah pemetaan suatu titik A pada suatu bidang ke titik A. Tiitik A disebut bayangan dari titik A.

Transformasi ada dua, yaitu : 1. Transformasi Isometri

Merupakan transformasi yang memindahkan suatu bangun geometri dari bentuk nya sebelum dan sesudah transformasi tidak berubah( besarnya tetap). Transformasi pegeseran,pencerminan,pemutaran,dan perkalian termasuk isometri.

2. Transformasi Non isometri

Merupakan transformasi memindahkan suatu bangun geometri dari bentuknya semula sebelum dan sesudah transformasi mengalami perubahan ( besarnya berubah ). Transformasi perkalian termasuk transformasi nonisometri.

Jenis – jenis Transformasi

Dalam transformasi dikenal empat transformasi dasar, yaitu: a) Pegeseran (translasi) B B’ A A’ C C’ Translasi b) Pencerminan (refleksi) B B’ A A’ C C’ Refleksi

(3)

c) Perputaran (rotasi) B’ C’ B A’ C O A Rotasi

d) Perubahan sekala (dilatasi) C’ C

A A’

B B’

Dilatasi

a. Pergeseran Atau Translasi

Pergeseran atau translasi adalah suatu transformasi yang memindahkan tiap titik pada bidang dengan jarak dan arah tertentu. Jarak dan arah tertentu tersebut dapat diwakili oleh suatu ruas garis berarah atau oleh suatu pasangan bilangan terurut . dinamakan komponen translasi.

Jika translasi T = memetekan titik P’ ( x’, y’ ) maka berlaku hubungan

secara pemetaan dapat dituliskan:

Titik P’ disebut bayangan titik P oleh translasi T = y P’(x+a, y+b) T= X x’ = x + a dan y’ = y + b. T = : P ( x,y ) P’ ( x + a, y + b ) b a p(x.y) O

(4)

Contoh:

Bayangan titik ( 3,-7 ) oleh translasi adalah…. a. ( 5, -3 ) c. ( 7, -5 ) e. ( 12, -4 ) b. ( -1, -9 ) d. ( 1, 9 )

Penyelesaian:

Misalkan titik P ( 3, -7 )

T = : P ( 3, -7 ) → P’ ( 3+4, -7+2 ) = P’ ( 7, -5 )

Jadi bayangan titik ( 3, -7 ) oleh translasi adalah ( 7, -5 ) Jawaban: C

b. Pencerminan Atau Refleksi

Pencerminan atau refleksi adalah suatu transformasi yang memindahkan titik-titik dengan menggunakan sifat bayangan oleh suatu cermin. Pencerminan dilambangkan dengan Ma, dinamakan a adalah sumbu cermin.

Sifat-sifat pencerminan adalah:

a. Jarak dari titik asal kecermin sama dengan jarak cermin ke titik bayangan.

b. Garis yang menghubungkan titik asal dengan titik bayangan tegak lurus terhadap cermin.

Langkah-langkah menentukan bayangan titik A terhadap garis l

a. Buatlah garis g yang melalui titik A dan memotong garis l tegak lurus. Misalkan g dan l berpotongan di titik N.

b. Tentukan sebuah A’ pada terusan ruas garis AN sehingga | | = | A’N |. c. Titik A’ adalah bayangan titik A terhadap garis l.

Untuk menentukan bayangan titik A terhadap garis l

L

B B’ Menunjukkan refleksi garis AB terhadap sumbu Pencerminan l.

(5)

Y Hasil pencerminan titik p(x,y) di tuliskan pada Pn(-x,y) P(x,y) table dibawah ini:

X O

P’(x,-y)

• Pencerminan terhadap sumbu x

Jika titik P ( x,y ) dicerminkan terhadap sumbu X, maka bayangannya adalah titik P’ (x’,y’) dengan x’ = x dan y’ = -y.

Mx : P ( x’,y ) → P’ ( x’,y’ ) = P’ ( x,-y )

Pemetaan P ( x,y ) → P’ ( x’,y’ ) dapat pula ditentukan oleh persamaan matriks ′_′ = 1 0_{0 −1}

Matriks 1 0

0 −1 dinamakan matriks yang bersesuaian dengan pencerminan terhadap sumbu X.

• Pencerminan terhadap sumbu y

Jika titik P ( x,y ) dicerminkan terhadap sumbu Y, maka bayangannya adalah titik P’ (x’,y’) dengan x’ = -x dan y’ = y.

Secara pemetaan dapat ditulis:

My : P ( x,y ) → P’ ( x’,y’ ) = P’ ( -x,y )

Dengan persamaan matriks ′

′ = −1 0_{0 1}

Matriks −1 0

0 1 dinamakan matriks yang bersesuaian dengan pencerminan terhadap sumbu Y.

• Pencerminan terhadap titik asal O ( 0,0 ).

Jika titik P ( x,y ) dicerminkan terhadap titik asal O ( 0,0 ), maka bayangannya adalah titik P’ (x’,y’) dengan x’ = -x dan y’ =- y.

Secara pemetaan ditulis:

M0 : P ( x,y ) → P’ ( x’,y’ ) = P’ ( -x,-y )

Dengan persamaan matriks ′_′ = −1 0_{0 −1}

Matriks −1 0

0 −1 dinamakan matriks yang bersesuaian dengan pencerminan terhadap sumbu O ( 0,0 ).

titik Sumbu pencerminan Bayangan P (x,y) Sumbu x

Sumbu y

(x,-y) (-x,y)

(6)

• Pencerminan terhadap garis y = x

Jika titik P ( x,y ) dicerminkan terhadap garis y = x, maka bayangannya adalah titik P’ (x’,y’) dengan x’ = y dan y’ = x.

My = x : P ( x,y ) → P’ ( x’,y’ ) = P’ ( y,x )

Dengan persamaan matriks ′

′ = 0 1_{1 0}

Matriks 0 1

1 0 dinamakan matriks yang bersesuaian dengan pencerminan terhadap garis y = x.

• Pencerminan terhadap garis y = -x

Jika titik P ( x,y ) dicerminkan terhadap garis y = -x, maka bayangannya adalah titik P’ (x’,y’) dengan x’ = -y dan y’ = -x.

My =- x : P ( x,y ) → P’ ( x’,y’ ) = P’ ( -y,-x )

Dengan persamaan matriks ′_′ = 0 −1_{−1 0}

Matriks 0 −1

−1 0 dinamakan matriks yang bersesuaian dengan pencerminan terhadap garis y = -x.

• Pencerminan terhadap garis x = h

Jika titik P ( x,y ) dicerminkan terhadap garis x = h, maka bayangannya adalah titik P’ (x’,y’) dengan x’ = 2h – x dan y’ = y.

Mx = h : P ( x,y ) → P’ ( x’,y’ ) = P’ ( 2h – x, y )

• Pencerminan terhadap garis y = k

Jika titik P ( x,y ) dicerminkan terhadap garis y = k, maka bayangannya adalah titik P’ (x’,y’) dengan x’ = x dan y’ = 2k - y.

My = k : P ( x,y ) → P’ ( x’,y’ ) = P’ ( x, 2k - y )

• Pencerminan terhadap titik ( a,b )

Jika titik P ( x,y ) dicerminkan terhadap titik ( a,b ), maka bayangannya adalah titik P’ (x’,y’) dengan x’ = 2a – x dan y’ = 2b - y.

M( a,b ) : P ( x,y ) → P’ ( x’,y’ ) = P’ ( 2a – x, 2b - y )

Contoh:

Jika garis x – 2y – 3 = 0 dicerminkan terhadap sumbu Y, maka persamaan bayangannya adalah

(7)

a. x + 2y – 3 = 0 c. –x + 2y + 3 = 0 e. –x – 2y – 3 = 0 b. –x – 2y + 3 = 0 d. x – 2y – 3 = 0

Penyelesaian:

Garis x – 2y – 3 = 0 dicerminkan terhadap sumbu Y ′_′ = −1 0_{0 1}

′_′ =

Dengan demikian x’ = -x → x = -x’ dan y’ = y → y = y’

Dengan mensubstitusikan x = -x’ dan y = y’ pada persamaan garis, maka diperoleh: ( -x’ ) -2 ( y’ ) -3 = 0

-x’ – 2y’ – 3 = 0

Jadi bayangan garis x – 2y – 3 = 0 oleh pencerminan terhadap sumbu Y adalah –x – 2y – 3 =0

Jawaban: E

c. Perputaran atau rotasi

Perputaran atau rotasi adalah transformasi yang memindahkan titik-titik dengan cara memutar titik-titik tersebut sejauh terhadap suatu titik pusat rotasi.

Perputaran atau rotasi pada bidang datar ditentukan oleh: 1. Titik pusat rotasi

2. Besar sudut rotasi 3. Arah sudut rotasi

Sudut rotasi adalah sudut antara garis yang menghubungkan titik asal dan pusat rotasi dengan garis yang menghubungkan titik bayangan dan pusat rotasi.

Jika ( sudut rotasi ) positif, arah putaran ( rotasi ) berlawanan dengan arah putaran jam . sebaliknya jika negatif, arah putaran searah dengan arah putaran jam.

Suatu rotasi dengan pusat P dan sudut rotasi dinotasikan dengan R ( P, ).

A Titik A pada gambar dirotasikan terhadap titik O

Sejauh 120o searah dengan perputaran jarum jam.

Bayangan A adalah A’. Rotasi yang berlawanan

120o arah dengan perputaran jarum jam disebut rotasi A’ positif, dan begitu pula sebaliknya.

a. Rotasi terhadap titik pusat O ( 0,0 )

Y p’(x’,y’) jika P(x,y) dirotasikan dengan pusat O(0,0) sebesar Berlawanan arah perputaran jarum jam, bayangannya Adalah P’(x’,y') dengan:

R p(x,y)

(8)

O x Pembuktian: Misalkan: OP = R x = R cos y = R sin x’ = R cos ( + )

= R cos cos - R sin sin

x’ = x cos − sin ………. !"#$%

y’ = R sin ( + )

= R sin cos + R cos sin = y cos + x sin

y’ = x sin + y cos ………. !"#$%

secara pemetaan ditulis:

R ( O, ) : P ( x,y ) → P’ ( x’,y’ ) = P’ ( x cos - y sin , x sin + y cos )

Dengan persamaan matriks, pemetaan diatas ditulis: ′_′ = cos − sin _sin _cos

Matriks cos − sin

sin cos dinamakan matriks yang bersesuaian dengan rotasi R ( O, ) Berikut ini adalah bayangan dan matriks yang bersesuaian dengan rotasi

P ( x,y ) → P’ ( x’,y’ )

Rotasi Bayangan Matriks

R ( O, 90o ) R ( O, 90o ) R ( O, 180o ) R ( O, 270o ) R ( O, -270o ) ( -y, x ) ( y, -x ) ( -x,-y ) ( y, -x ) ( -y, x ) 0 −1_{1 0} 0 1_{−1 0} −1 0_{0 −1} 0 1_{−1 0} 0 −1_{1 0} x’ = x cos - y sin

(9)

b. Rotasi terhadap titik pusat A ( a,b ) Y P’(x’,y’) R R p(x,y) b A O X

Jika titik P ( x,y ) diputar sebesar berlawanan arah putaran jam terhadap titik pusat A ( a,b ), maka diperoleh bayangan P’ ( x’,y’ ) dengan:

Pembuktian: Misalkan: AP = R, maka x = + ( cos y = b + R sin x – = ( cos ) y – b = R sin ) x’ = ) + ( cos( + )

x’ - ) = R cos cos − ( sin sin

x’ - ) = ( x – ) ) cos − ( − ! ) sin ……… !"#$%

y’ = b + R sin ( + )

y’ – b = R sin cos + ( cos sin y’ – b = (y-b) cos + (+ − )) sin

y’ – b =(x - ) sin +(y - b)cos ………[ terbukti ]

Dengan persamaan matriks, pemetaan diatas ditulis: ,, = cos − sin _sin _cos +

Contoh:

Titik B ( 5, -1 ) dirotasikan terhadap titik P ( 2,3 ) sejauh 90o searah putaran jam. Bayangan titik B adalah…..

a. B’ ( -4, -3 ) c. B’ ( -5, -1 ) e. ( 0, -2 ) b. B’ ( -5, 1 ) d. B’ ( -2, 0 )

x’ – a = ( x – a ) cos - ( y – b ) sin y’ – b = ( x – a ) sin + ( y – b ) cos

(10)

c. Perkalian atau dilatasi

Perkalian atau dilatas adalah suatu transformasi yang mengubah jarak titik-titik dengan faktor pengali tertentu terhadap suatu titik tertentu. Faktor pengali tertentu disebut faktor dilatasi atau faktor sekala dan titik tertentu itu dinamakan pusat dilatas.

Dengan demikian dapat dikatakan bahwa suatu dilatasi ditentukan oleh: a. Faktor skala ( k )

b. Pusat dilatasi

Jika yang dilatasikan suatu bangun, maka dilatasi akan mengubah ukuran tanpa mengubah bentuk bangun tersebut. Dilatasi yang berpusat di P dengan faktor skala k dinotasikan desngan 〈., #〉

Berdasarkan nilai dari faktor skala k, bangun bayangan yang diperoleh dapat ditetapkan sebagai berikut:

Jika k > 1, bangun bayangan diperbesar dan terletak sepihak terhadap pusat dilatasi dan bangun semula.

Jika 0 < k < 1 , bangun bayangan diperkecil dan terletak sepihak terhadap pusat dilatasi dan bangun semula.

Jika -1 < k < 0 bangun bayangan diperkecil dan terletak tidak sepihak terhadap pusat dilatasi dan bangun semula.

Jika k < -1 , bangun bayangan diperbesar dan terletak tidak sepihak terhadap pusat dilatasi dan bangun semula.

a. Dilatasi terhadap titik pusat O ( 0,0 )

Jika titik P ( x,y ) didilatasikan terhadap titik pusat O ( 0,0 ) dengan faktor skala k, maka bayangannya adalah P’ ( x’,y’ ) dengan

x’ = kx dan y’ = ky

secara pemetaan dapat ditulis: 1, #% : P ( x,y ) → P’ ( kx, ky )

Dengan persamaan matriks, pemetaan diatas ditulis: ′

′ = # 00 #

Matriks # 0

0 # dinamakan matriks yang bersesuaian dengan dilatasi 1, #%. b. Dilatasi terhadap titik pusat A ( a,b )

Jika titik P ( x,y ) didilatasikan terhadap titik pusat A ( a,b ) dengan faktor skala k, maka bayangannya adalah P’ ( x’,y’ ) dengan

x’ – a = k ( x – a ) dan y’ – b = k ( y – b )

Dengan persamaan matriks, pemetaan diatas ditulis: ′

′ = # 00 # + Matriks # 0

0 # dinamakan matriks yang bersesuaian dengan dilatasi 1, #%. Contoh:

(11)

Bayangan titik P ( -6,3 ) oleh dilatasi terhadap titik pusat O ( 0,0 ) dengan faktor sekala -3 adalah….. a. ( 3,- 4 ) c. ( -63, 23 ) e. ( -4, 3 ) b. ( - 3, 4 ) d. ( 53, 23 ) Penyelesaian: ′ ′ = # 00 # ′_′ = 5− 3 0 0 −36 74 ′_′ = 849 :;

d. Transformasi Oleh Suatu Matriks

Jika transformasi yang bersesuaian dengan matriks <) !

= >? mentransformasikan titik A ( x,y ) Ke A’ ( x’,y’ ), maka hubungan antara koordinat A dan A’ dinyatakan dengan persamaan matriks:

′

′ = ) != > contoh:

bayangan titik A ( 3, -4 ) oleh suatu transformasi yang bersesuaian dengan matriks <1 3 2 5? adalah….

a. A’ ( -9, -14 ) c. A’ ( 9, -32 ) e. A’ ( -5, -11 ) b. A’ ( 7, 9 ) d. A’ ( 12, -14 ) Penyelesaian: ′ ′ = 1 32 54 ′_′ = 81.3 + 3 (−4) 2.3 + 5 (−4); ′_′ = 43_7D ′_′ = ₃E

Dengan demikian x’ = -9 dan y’ = -14.

Jadi, bayangan titik A ( 3, -4 ) oleh suatu transformasi yang bersesuaian dengan matriks 1 3_{2 5} adalah A’ ( -9, -14 )

Jawaban : A

B. KOMPOSISI TRANSFORMASI

Komposisi transformasi adalah pengerjaan dua atau lebih transformasi secara berurutan. Transformasi T1 dilanjutkan dengan transformasi T2 terhadap sasuatu titik A dapat ditulis:

(12)

Sebaliknya, T1o T2 (baca:T1 komposisi T2) berarti transformasi T2 dilanjutkan T1.

(T1 o T2) (A) → T1 (T2(A))

1. Komposisi Translasi

Jika ditranslasi T1 = )! dan T2 = => , maka komposisi translasi T1 dan T2 dapat

diwakili oleh sebuah translasi tunggal yang ditentukan oleh : T= ) + =

! + > Sifat- sifat komposisi translasi:

1) Untuk dua translasi berurutan berlaku : T1 oT2 = T2 o T1 (kumutatif)

2) Untuk tiga translasi berurutab berlaku : (T1 oT2) = T1 o (T2 o T3 ) (asosoatif)

Contoh :

Titik A ( 6,3) ditranslasi oleh T1 = 2₋₃ kemudian dilajutkan dengan

T2 = −1

4 Bayangan titik A adalah… A. A’ ( 9, -4 ) B. A’ ( 7, 4 ) C. A’ ( 3, 10 ) D. A’ ( 9, 10) E. A’ ( 3, -4) Penyelesaian : T = T2 o T1 = −1 + 2 4 + −3 = 11 8+′′; = 63 + 11 = 47

Jadi, bayangannya adalah A’ ( 7, 4) Jawaban : b

2. Komposisi Refleksi

a) Komposisi Dua Refleksi Berurutan Terhadap Dua sumbu Sejajar B A B1 C B2 A A1 A2 G G2 G1 C C1 C2 B D

(13)

G2 adalah bayangan G1 karena refleksi terhadap sumbu CD

G2 adalah juga merupakan bayangan dari G karena refleksi terhadap

sumbu AB dilanjutkan refleksi terhadap sumbu CD

Perhatikan, melakukan refleksi dua kali berurutan terhadap sumbu sejajar sama dengan melakukan sebuah translasi. Masalah kita sekarang adalah menentukan suatu translasi yang ekuivalen dengan komposisi dua refleksi di atas.

b) Komposisi dua refleksi berurutan terhadap dua sumbu yang sejajar sumbu x Dua sumbu sejajar yang sejajar terhadap sumbu X misalkan titik P(x’,y ) Dicerminkan terhadap garis y = a , kemudian dicerminkan terhadap garis Y = b, maka diperoleh bayangan

P” ( x, 2 (b-a) + y).

Secara pemetaan dapat dituliskan :

My = b o My = a : P(x,y) → P” (x,3 (b-a) + y)

Misalkan titk P (x,y) dicerminkan terhadap garis y = b, kemudian dicerminkan terhadap garis y= a , maka diperoleh bayangan P” (x, 2(a-b) + y)

Secara pemetaan dapat dituliskan :

My = a o My = b : P(x,y) → P” (x,2 (a-b) + y)

c) Komposisi dua refleksi berurutan terhadap dua sumbu yang saling tegak lurus G HOH₃ G2 A G G1 C D G2 B

Segitiga G direfleksikan dua kali berurutan terhadap sumbu AB lalu sumbu CD G1 adalah bayangan G karena refleksi terhadap sumbu AB

G2 adalah bayangan G1 karena refleksi terhadap sumbu CD

G2 juga merupakan bayangan dari G karena refleksi berurutan terhadap sumbu AB

dilanjutkan refleksi terhadap sumbu CD.

Misalkan M1 adalah refleksi terhadap AB dan M2 adalah refleksi terhadap CD,

(14)

Garis l dan m berpotongan di titik P. Garis l dan m membentuk sudut .

Titik A1 adalah bayangan titik A Karena refleksi terhadap garis l.

Titik A2 adalah bayangan titik A1 karena refleksi terhadap garis m.

Titik A2 merupakan bayangan titik A karena dua refleksi berurutan terhadap garis l dan

garis m.

Misalkan M1 adalah refleksi terhadap sumbu l dan M2 adalah refleksi terhadap sumbu m,

c. Komposisi dua rotasi sepusat yang berurutan

Perhatikan gambar 5.27. titik A1 adalah bayangan titik A karna rotasi sebesar a1 terhadap

pusat P dan A2 adalah bayangan A1 karna rotasi sebesar a1 terhadap pusat P.

Maka titik A dipetaka ke A2oleh rotasi terhadap pusat p sejauh a1 + a2 .

Jadi, transformasi tunggal ekuivalen dengan komposisi dua rotasi yang berurutan terhadap pusat P sejauh a1 dan a2 adalah rotasi terhadap pusat yang sama jauh (a1 + a2 )

Misalkan R1 = rotasi terhadap pusat P sejauh a1 = Rot(P,a1)

R2 = rotasi terhadap pusat P sejauh a2 = Rot(P,a2)

R2 o R1 = rotasi terhadap pusat P sejauh a1 dilanjutkan rotasi terhadap pusat P sejauh a2

= rotasi terhadap pusat P sejauh (a1 + a2 )

= rot(P, a1 + a2)

Contoh

1. Tentukan bayangan titki (4,2) kerna rotasi sejauh a1 = 10o dilanjutkan rotasi sejauh a2 =50

Terhadap pusat (0,0) Jawab :

(15)

Rotasi sejauh a1 = 100 dilanjutkan rotasi sejauh a2 = 50 ekuivalen dengan rotasi Rot(0,a1 +

a2) = Rot (0,600)

Misalkan (x2,y2,)adalah bayangan titik (4,2) akibat rotasi 2 diatas , maka

: : = IJK7D –KMN 7D KMN 7D IJK 7D = 5 2 − 3 3 √3 3 6 42 = 8 2 − √3 2√3 + 1;

Jadi, bayangan titik ( 4, 2 ) akibat rotasi terhadap pusat O sejauh 10o dilanjutkan 50o adalah titik ( 2-√3, 2√3 + 1 )

(16)

SOAL

1. Titik (4, −8) dicerminkan terhadap garis x = 6,dilanjutkan dengan rotasi (0, 60D_{),hasilnya adalah...} a −4 + 4√3 , 4 − 4√3 b −4 + 4√3 , −4 − 4√3 c 4 + 4√3 ,4 − 4√3 d 4 + 4√3 − ,4 − 4√3 e 4 + 4√3, 4√3 − 4 UAN 2006

2. Garis dengan persamaan 2+ − − 6 = 0 dicerminkan terhadap garis = + dilanjutkan dengan bersesuaian dengan matriks 2 1

−1 0.persamaan bayangan adalah... a 2+ + 5 + 6 = 0 b 2+ + 5 − 6 = 0 c 2+ + 3 − 6 = 0 d 2+ + 2 − 6 = 0 e 5+ + 2 + 6 = 0 UAN 2005

3. Garis dengan garis persamaan = 2+ + 3dicerminkan terhadap sumbuh Q kemudian diputar dengan ( (1, 90D) .Persamaan bayangan adalah...

a + − 2 − 3 = 0 b + + 2 − 3 = 0 c 2+ − − 3 = 0 d 2+ + − 3 = 0 e 2+ + + 3 = 0 EBTANAS 2000

4. Persamaan peta garis + − 2 + 4 = 0 yang dirotasikan dengan pusat 0(0,0) sejauh 90D_{,dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis}_{= + adalah ...}

a + + 2 + 4 = 0 b + + 2 − 4 = 0 c 2+ + + 4 = 0 d 2+ − − 4 = 0 e 2+ + − 4 = 0 UAN 2003

5. Bayangan ST, dengan (2,1),S(6,1), T(5,3) karena fefleksi terhadap sumbu U dilanjutkan rotasi (1, 90D_{) adalah ...}

a ′′(−1, −2) ,S"(1,6 ) dan T′′(−3, −5) b ′′ (−1, −2) ,S"(1, −6 ) dan T′′(−3, −5) c ′′(1, −2) ,S" (−1,6 ) dan T′′(−3, 5) d ′′(−1, −2) ,S"(−1, −6 ) dan T′′(−3, −5) e ′′ (−1, 2) ,S" (−1, −6 ) dan T′′(−3, −5) EBTANAS 2001

(17)

. (−1, 2 ), W ( 3, 2 ), ( ( 3, −1 ), X ( −1, −1 ) karena dilatasi 0 3% dilanjutkan rotasi dengan pusat 1 sejauh Y

adalah a 36 satuan luas b 48 satuan luas c 72 satuan luas d 96 satuan luas e 108 satuan luas UAN 2007

7. Bayangan garis = 2+ + 2 yang dicerminkan terhadap garis = + adalah ... a = + + 1 b = + − 1 c =3 + − 1 d =3 + + 1 e =3 + − 3 UAN 2005

8. Garis yang persamaannya + − 2 + 3 = 0 dipetakan dengan transformasi yang berkaitan dengan matriks 1 −3

2 −5.Persamaan bayangan garis itu adalah... a 3+ + 2 − 3 = 0 b −+ + + 3 = 0 c 3+ − 2 − 3 = 0 d + − + 3 = 0 e 3+ + 2 + 3 = 0 SNMPTN 2008

9. Persamaan peta garis 2+ − + 5 = 0 karena refleksi terhadap garis + + 3 = 0 dilanjutkan dengan transformasi yang bersesuaian dengan matriks −2 4_{−1 1} adalah..

a 3+ − 10 + 17 = 0 b 3+ − 10 + 14 = 0 c 3+ − 10 − 14 = 0 d 3+ + 2 − 7 = 0 e + + 2 − 14 = 0 SNMPTN 2007

10. Persamaan bayangan garis = −6+ + 3 karena transformasi oleh matriks 2 1 −1 −2 karena kemudian dilanjutkan dengan matriks 0 2

1 −2 adalah ... a + + 2 + 3 = 0 b + + 2 − 3 = 0 c 8+ − 19 + 3 = 0 d 13+ + 11 + 9 = 0 e 13+ + 11 − 9 = 0 SNMPTN 2009

11. Persamaan bayangan garis 4+ − 3 + 5 = 0 oleh translasi sejauh matriks 2 −3 dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis = + adalah...

a 4+ − 3 − 12 = 0 b 4+ − 3 + 22 = 0 c 4 − 3+ − 9 = 0

(18)

d 4 − 3+ − 12 = 0 e 4 − 3+ + 22 = 0

UAN 2004

12. Titik ′ (6, −1) S′ (1,0) berturut-turut adalah bayangan titik (2,4), >)Z S(+, ) karena

percerminan terhadap garis = + dilanjutkan dengan translasi [ = )_{! + 3.Koordinat} titik S(+, ). a (6, −1) b (−1,3) c (2, −3) d (2, −6) e (3, −1) UAN 2010

13. Bayangan lingkaran (+ − 2) + ( + 3) = 25,Oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks 0 −1

1 0 .dilanjutkan dengan pencerminan terhaddap garis = + adalah ... a + +−6+ − 4 − 12 = 0 b + +−6+ + 4 − 12 = 0 c + ++4+ − 6 − 12 = 0 d + +−4+ − 6 − 12 = 0 e + +−4+ + 6 − 12 = 0 SNMPTN 2004

14. Persamaan bayangan lingkaran + + −4+ − 6 − 3 = 0 oleh Trnsformasi yang berkaitan dengan matriks 0 1

−1 0 adalah.. a. + + −6+ − 4 − 3 = 0 b. + + −6+ + 4 − 3 = 0 c. + + −6+ + 4 − 3 = 0 d. + + −4+ + 6 − 3 = 0 e. + + +4+ − 6 + 3 = 0 UAN 2007

15. Persamaan peta suatu kurva oleh rotasi pusat 1 sejauh 3

\ ,dilanjutkan dilatasi

(0,2)adalah + = 2 + − _{.persamaan kurrva semula adalah...}

a = −3 +– + + 4 b = −3 +– + − 4 c = −3 +++ + 4 d = −2+ – + + 1 e = 2+ – + − 1 UAN 2003

16. Banyangan garis = 2+ + 2 yang dicerminkan terhadap garis = + adalah: a. = + + 1 b. = + − 1 c. = − 1 d. = + 1

(19)

e. =

−3

UAN 2002

17. Persamaan bayangan kurva = +− 2+ − 3 oleh rotasi 0,180D%, kemudian dilanjutkan oleh pencerminan terhadap garis = −+ adalah

a. = +− 2+ − 3 b. = +− 2+ + 3 c. = ++ 2+ + 3 d. + = − 2 − 3 e. + = ++ 2 + 3 UAN 2005

18. Segitiga ABC dengan (2,1), S (6,1), T (6,4) ditransformasikan dengan matriks transformasi 3 1

0 1. Luas bangun hasil transformasi segitiga adalah a. 56 satuan b. 36 satuan c. 28 satuan d. 24 satuan e. 18 satuan Ebtanas 2001

19. Luas bayangan persegipanjang PQRS dengan . (−1,2), W (3,2), ( (3, −1), X (−1, −1) karena dilatasi 0,3% dilanjutkan rotasi pusat 0 bersudut Y

adalah... a. 36 b. 48 c. 72 d. 96 e. 108 Ebtanas 2001

20. Persamaan peta kurva = +− 3+ + 2 karena pencerminan terhadap sumbu x dilanjutkan dilatasi dengan pusat O dan faktor skala 3 adalah...

a. 3 + +− 9+ + 18 = 0 b. 3 − ++ 9+ − 18 = 0 c. 3 − ++ 9+ + 18 = 0 d. 3 + ++ 9+ + 18 = 0 e. + ++ 9+ − 18 = 0 UAN 2003

21. Diketahui koordinat titik P adalah (4, −1). Oleh karena translasi diperoleh bayangan titik P, yaitu .′(−2), −4), nilai ) = ……

a. -3 b. -1 c. 0 d. 2 e. 3 SNMPTN 2OO4

22. Titik .^(2, −4) adalah bayangan titik. (3, 5) oleh translasi [. Translasi [ = ….. a. 3_E

b. _E3 c. 3_E d. _₃ e. 3_E

(20)

Ebtanas 2001

23. Jika garis = + + 5 ditranslasikan oleh ₄, maka persamaan bayangannya adalah…. a. = 2+ + 8 b. = + + 10 c. = + + 5 d. = 2+ + 5 e. = + + 8 SNMPTN 2000

24. titik (3, −5)dicerminkan terhadap sumbu Q. koordinat bayangan titik adalah…. a. (3, 5) b. (−3, −5) c. (−3, −5) d. ( −5, 3) e. ( −5, − 3) UAN 2009

25. Titik P ( -3, 7 ). (−3, 7) dicerminkan terhadap garis = −+ koordinat bayangan titik . adalah….. a. (3, −7) b. (3, −7) c. (7, −3) d. (−7, 3) e. (−7, −3) UAN 2007

26. Titik (2,1) dirotasikan terhadap titik 1 (0,0) sejauh 90D berlawanan arah putaran jam. Bayangan titik adalah…

a. ^(−1,2 ) b. ^(−2, 1 ) c. ^(1, −2 ) d. ^(−1, −2 ) e. ^(2, 1 ) SNMPTN 2009

27. Bayangan titik oleh rotasi ( (0, 45D) adalah −√2, √2. Koordinat titik adalah…. a. (0, 0) b. (0, 2) c. (2, 0) d. (−2, 0) e. (0, −2) UAN 2008

28. Jika garis x – 2y = 5 diputar sejauh 90o terhadap titik ( 2,4 ) berlawanan arah putaran jam, maka persamaan bayangannya adalah….

a. 2+ + = −19 b. 2+ + = 19 c. + − = 19 d. − + = 19 e. −+ − = 19

(21)

UAN 2010

29. Bayangan titik . (2, −1) oleh dilatasi terhadap titik pusat (3, 4)dengan faktor skala -3 adalah…. a. .^(−6, 1) b. .^(−3,15) c. (6, 19) d. .^(3, 15) e. .^(0, 11) UAN 2007

30. Diketahui bayangan titik . (3, 2)oleh suatu transformasi adalah .^(3,7) dan bayangan titik W (1, 1) adalah W^(1, 4). Matriks yang bersesuaian dengan transformasi tersebut adalah… a. −1 0 −1 −5 b. 1 0 −1 5 c. −1 5 1 0 d. 5 −1 1 0 e. 0 −5 −1 1 SNMPTN 2008

31. Garis = 2+ − 3 ditranslasikan oleh D₇ dilanjutkan oleh translasi persamaan bayangan garis adalah….

a. = + − 5 b. = 2+ + 5 c. = 2+ − 5 d. = 3 + + 3 e. = 3 + − 3 SNMPTN 2009

32. titik W (5, 1)dicerminkan terhadap garis + = 1 kemudian dilanjutkan terhadap garis + = −3 Bayangan terakhir titik W adalah….

a. (5, −7) b. (5, −3) c. (−3, 1) d. (−3, 3) e. (13, 1) UAN 2005

33. Titit ( (2, −5) dicerminkan terhadap garis + = 3 kemudian dilanjutkan garis = 1. Koordinat bayangan titik R adalah….

a. (4, −5) b. (−4, 5) c. (−4, −7) d. (4, 7) e. (−4, 7) UAN 2007

34. Garis + + = 3 dicerminkan terhadap sumbu U kemudian dicerminkan terhadap sumbu Q. persamaan bayangan adalah….

(22)

b. + + = −3 c. + + = 3 d. – + + = −3 e. + − = 3

UAN 2010

35. Persamaan bayangan garis = 2+ − 3 yang direfleksikan terhadap garis = −+ dan di lanjutkan garis = + adalah …………..

a. 2 + + + 3 = 0 b. + 2+ − 3 = 0 c. − 2+ − 3 = 0 d. 2 + + − 3 = 0 e. 2 − + − 3 = 0 UAN 2009

36. Bayangan garis 2+ − − 6 = 0 jika dicermikan tehadap sumbu Q dilajutkan rotasi pusat 1 sejauh 90° adalah………….. a. 2+ + − 6 = 0 b. + + 2 − 6 = 0 c. + − 2 − 6 = 0 d. + + 2 + 6 = 0 e. + − 2 + 6 = 0 UAN 2008

37. Persamaan bayangan garis 4+ + 3+ − 2 = 0 oleh transformasi yang bersesuaian dengan matrik 0 −1

1 1 di lanjutkan matrik 1 11 −1 adalah…….. a. 8+ + 7 − 4 = 0 b. 8+ + 7 − 2 = 0 c. + − 2 − 2 = 0 d. + + 2 − 2 = 0 e. 5+ + 2 − 2 = 0 UAN 2007

38. Bayangan kurva = + − 3 jika dicerminkan terhadap sumbu Q dilanjutkan dengan dilatasi pusat 1 dan faktor skala 2 adalah ……..

a. = 3 + + 6 b. = 3 + − 6 c. = 3 + − 6 d. = 6 − 3 + e. = 3 −3 + UAN 2006

39. Persamaan bayangan garis 4+ − + 5 = 0 oleh transformasi yang bersesuaian dengan matrik 2 0_{−1 3} dilanjutkan pencerminan terhadap sumbu U adalah ………..

(23)

b. 6+ + 12 − 5 = 0 c. 7+ + 3 + 30 = 0 d. 11+ + 2 − 30 = 0 e. 11+ − 2 + 30 = 0

UAN 2005

40. Persamaan peta suatu kurva oleh rotasi pusat O bersudut Y

, dilanjutkan dilatasi 0,2% adalah

+ = 2 + − _{. Persamaan kurva semula adalah}

a. = −3 +− + + 4 b. = −3 ++ + − 4 c. = −3 ++ + + 4 d. = −2++ + + 1 e. = 2+− + − 1 UAN 2011

(24)

PEMBAHASAN

1. Titik P (x,y) dicermin terhadap x = a bayangan adalah P’ (2a-x,y).

Titik P (4,-8) dicerrmin terhadap x = 6 bayangan adalah p’ (2.6-4 ,-8 ) = (8,-8).

Selanjutnya titik P’ (2,-8) dirotasikan (0,600) untuk menghasilkan bayangan hasil P(x”,y”) P’ (8,8) rot (0,60) P(x”.y”).

Matriks rotasi (0,600) adalah cos 60 − sin 60_{sin 60} _{cos 60 = 5}

3 −3√3 3 √3 3 6 8+"_{"; = 5} 3 −3√3 3 √3 3 6 8₋₈ = 84 + 4√3 4√ 3 − 4;

Bayangan adalah akhirnya adalah (4 + 4√3, 4√3 − 4.

Jawaban: E

2. Matriks yang bersesuaian dengan pencerminan terhadap garis = + adalah 0 1 1 0. Garis yang persamaan 2+ − − 6 = 0 dicerminkan terhadap garis = + dilanjutkan dengan bersesuaian dengan matriks 2 1

−1 0 bayangannya ditentukan sebagai berikut: 8+"_"; = 2 1_{−1 0}0 1_{1 0}+ =1 2 0 −1 + ₌+ 1 2_{0 −1}38+"_"; = 3 3D1 20 −1 8+ ^ ^; ₌+ 1 2_{0 −1 8}+^^; =8+ ^_{+ 2′} −′ ; → + = +^_{+ 2}^_dan_{= ′}

Substitusikan harga + dan kedalam persamaan garis 2+ − − 6 = 0 didapat : 2(+^_{+ 2′) − (−) − 6 = 0}

↔ 2+^_{+ 4}^₊^_{− 6 = 0}

↔ 2+^_{+ 5}^_{− 6 = 0}

Jadi bayangan akhirnya adalah 2+ + 5 − 6 = 0

Jawaban: B

3. Matriks yang bersesuaian dengan pencerminan terhadap sumbu Q addalah 1 0

0 −1 dan matriks yang bersesuaian dengan rotasi ((1, 90D)adalah 1 0

0 −1.bayangan garis = 2+ + 3 dicerminkan terhadap sumbu U kemudian diputar dengan ((1, 90D₎

ditentukan sebagai berikut: 8+′_′;=0 −1

(25)

=0 1 1 0 + ↔ +=0 11 0 3 8+′_′; =3 3 0 −1−1 0 8+′′;

Di dapat + = ^ dan = +′.disubsitusikan harga + = ^ dan = +′ kedalam persamaan garis = 2+ + 3 didapat ;

+^_{= 2}^_{↔ +}^_{− 2}^_{− 3 = 0 .}

persamaan bayangan adalah; + − 2 − 3 = 0

Jawaban: A

4. Matriks yang rotasi dengan pusat 1(0,0)sejauh 90D adalah 0 −1

1 0 .Matriks rotasi terhadap garis = + adalah 0 1

1 0.

Persamaan peta garis + − 2 + 4 = 0 yang dirotasikan dengan pusat 1(0,0) percerminan terhadap garis = + ditentukan sebagai berikut:

8+′_′;=1 0 0 −1 0 −11 0 + =0 1 1 0 + ↔ +₌1 0_{0 −1}38+′_′; =3 31 00 −1 8′;+′ ₌+ −1 0_{0 1 8}+′_′; =8−+′ ′ ;

Didapat + = −+′ dan = ′ ke dalam persamaan garis + − 2 + 4 = 0 di dapat : + − 2 + 4 = 0

→ +^_{− 2(−) + 4 = 0}

↔ +^_{+ 2}^_{+ 4 = 0}

jadi persamaan bayanganya adalah: + + 2 + 4 = 0

Jawaban : A

5. Matriks refleksi terhadap sumbu U adalah −1 0

0 1 dan matriks rotasi (1, 90D) adalah 0 −1_{1 0}.Bayangan titik . (+. ) karena refleksi terhadap sumbu U dilanjutkan dengan rotasi (1, 90D) ditentukan sebagai berikut :

8+"_{"; =}0 −1_{1 0}−1 0_{0 1}+

=0 −1 1 0 +

=8+"_{"; =}−+₋

Diperoleh + = −" dan = −+" atau ." (−, −+).Bayangan ketiga titik karena refleksi terhadap sumbu U dilanjutkan dengan rotasi (1, 90D) adalah:

• (2, ,1) → "(−1, −2) • S(6,1) → S" (−1, −6) • T (5,3) → T" (−3, −5)

(26)

Jawaban : D

6. Matriks dilatasi 0,3% adalah 3 0

0 3 danrotasi dengan pusat 1 sejauh Y adalah 0 −11 0

.Dilatasi 0,3% dilanjutkan dengan pusat 1 sejauh Y

,matriks komposisi trnsformasinya

adalah 0 −1

1 0 3 00 3 = 0 −33 0 .Persegi panjang .W(X dengan .(−1,2) , W(3,2), ((3, −1), X(−1, −1).

.W = a(3 + 1)_{+ (2 − 2)}₌_{√16 + 0 = 4 dan}

.X = a(−1 + 1)_{+ (−1 − 2)}₌_{√9 = 3}

Luas persegi panjang .W(X :

b = .W × .X = 4 × 3 = 12 X)")Z b")d .

Luas bayangan persegi panjang .W(X karena dilatasi 0,3% dilanjutkan rotasi dengan pusat 1 sejauh Y

adalah

b = e0 −3_{3 0 e × b = (0 + 9) × 12 = 108 X)")Z b")d} .

Jawaban : E

7. Matriks refleksi terhadap garis = + adalah 0 1

1 0 .Bayangan garis 2+ + 2 yang dicerminkan terhadap garis = + ditentukan sebagai berikur:

8+′_{′; =}0 1_{1 0}+_{>$>)f) = +}^_{>)Z + = ′.Subsitusikan} _{= +}^_{>)Z + = ′.}

Kedalam persamaan garis 2+ + 2 didapat: +^_{= 2}^_{+ 2 → 2}^_{= +}^_{− 2} ↔ ^₌ 3 +^− 1 ))" = 3 + − 1 Jawaban : C 8. 8+′ ′; = 1 −32 −5 → + + 1 −32 −5 3 8+′_′; ₌+ _{_g7}3 −5 3_{−2 1 8}_{′; =}+′ _{−2 1 8}−5 3 _{′; = 8}+′ −5+₋₂₊^_^+ 3′_{+ ′ ;}

Didapat + = −5+^+ 3^>)Z ^− 2+^+ ^. Disubsitusikan nilai + dan kedalam persamaan garis + − 2 + 3 = 0 ↔ −5+^+ 3^− 2 (−2+^+ ^) + 3 = 0 → −5+^_{+ 3}^_{+ 4+}^_{− 2}^_{+ 3 = 0} → −+^₊^_{+ 3 = 0} Persamaan bayangan −+ + + 3 = 0 Jawaban : B 9. Garis + + 3 = 0 → + = −3 .(+, )hijkilmn opqqqqqqqqr .^_{(2) − +, )} 2+ − + 5 = 0hijkilmn o4pqqqqqqqqqr 2(2(−3) − +) − + 5 = 0 → 2(−6 − +) − + 5 = 0 ↔ −2+ − − 7 = 0

(27)

Garis −2+ − − 7 = 0 ini ditransformasikan oleh matriks −2 4 −1 1. Bayangannya ditentukan sebagai berikut:

8+′_{′; =}−2 4_{−1 1}+_→+−2 4_{−1 1}38+′_{′; = 8}+′_′;= 3 g1 −41 −2 8+′′; 5 3 −2 3 1 6 8+′_{′; = 5} 3 +′ −2+′ 3 ′ −′ 6 didapat + =3+^_{− 2}^_>)Z^₌ 3 +^− ′

.Subsitusikan harga-harga ini kedalam persamaan garis −2+ − − 7 = 0 . ↔ −2 3+^_{− 2′ −}3 +^− ′ − 7 = 0 ↔ −+^_{+ 4}^₋3 +^+ ^− 7 = 0 ↔ −4+^_{+ 5}^_{− 7 = 0} ↔ 3+^_{− 10}^_{+ 14 = 0} ↔ 3+ − 10 + 14 = 0 stutvtw: y

10. Bayangan ditentukan sebagai berikut:

8+′_{′; =}0 2_{1 −1}_{−1 −2}2 1 +₌−2 −4₄ ₅+_→+₌−2 −4₄ ₅38+′^; =_3Dg373 5_{−4 −2 8}4 +′_′; ↔ +_{= 5} _ 7 7 −₇ −₇6 8+′′; = 5 _,_g
" 7 ,_^ 7 6 → >$>)f) + =_,g ^₇ >)Z = ,_^ 7

Subsitusikan nilai-nilai + dan kedalam persamaan garis = −6+ + 3 didapat:

,, 7 = −6 _,_g, 7 + 3 ↔ −4+^_{− 2}^_{= 30+}^_{− 24}^_{+ 18 ↔} 26+^_{+ 22}^_{− 18 = 0} 13+^_{+ 11}^_{− 9 = 0 ))" 13+ + 11 − 9 = 0} Jawaban : E 11. 4+ − 3 + 5 = 0 zo : {9 pqqqr 4(+ − 2) − 3( + 3) + 5 = 0 ↔ 4+ − 8 − 3 − 9 + 5 = 0 ↔ 4+ − 3 − 12 = 0 4+ − 3 − 12 = 0hijkilmn ( o)pqqqqqqqqqr 4 − 3+ − 12 = 0 Jadi ,persamaan bayangan adalah 4 − 3+ − 12 = 0

(28)

12. (2,4)hijkilmn opqqqqqqqqr (2,4)|h}mkmn z pqqqqqqqqqqqr g4 ^(g,_g)= (6, −1) >$>)f) ) = 2, ! = −6 S(+, )hijkilmn opqqqqqqqqr (, +)|h}mkmn z pqqqqqqqqqqqr Sg4 ^( g,gg4) _{= (1,0)didapat + ) = 1 ↔ +}

2 = 1 ↔ = −1 >)Z + + ! + 3 = 0 ↔ + − 6 + 3 = 0 ↔ + = 3 ~)>$, $$# S(3, −1) Jawaban : E 13.(+ − 2)+ ( + 3) = 25 ↔ f"d) (2, −3) >)Z = 5 Matriks Pencerminan ; = + )>))ℎ 0 1_{1 0}

Matriks Komposisi Transformasi ; = 0 1_{1 0}0 −1_{1 0 =}1 0_{0 −1} 8+′_{′; =}1 0_{0 −1}+ ↔ 8+^^; = 1 0_{0 −1} 3 8+^^; ₌+ _3D3 −1 0_{0 1 8}_′;+′ = −1 0_{0 1 8}+′_{′; = 8}_−′;+′ >$>)f) + = +^_{>)Z =}^_.

subsitusikan + = +^_{dan = −}^_{kedalam persamaan lingkaran}

(+ − 2)_{+ ( + 3)} _{= 25 didapat} (+^_{− 2)}_{+ ( + 3)} _{= 25} ↔ (+^₎_{− 4+}^_{+ 4 + (}^₎ _{− 6}^_{+ 9 = 25} ↔ (+′)_{+ (′)}_{− 4+}^_{− 6}^_{− 12 = 0} ↔ +₊_{− 4+ − 6 − 12 = 0} Jawaban : D 14. 8+′_{′; =} 0 1 −1 0 + ↔ +₌_{−1 0}0 1 38+^^; +₌_Dg33 0 −1_{1 0 8}_′;+′ = 0 −1_{1 0 8}+′_{′; = 8}−′_+′ ; >$>)f) + = −^_{>)Z = +}^_.

subsitusikan + = ^_{dan = + kedalam persamaan +} ₊_{− 4+ − 6 − 3 = 0}

↔ (−^₎_{+ (+′)}_{− 4 + (−′) − 6+′ − 3 = 0}

↔ (′)_{+ (+′)}_{+ 4}^_{− 6+}^_{− 3 = 0}

(29)

Jawaban : C

15. Matriks Rotasi <1,3

\? adalah 0 −11 0 .Matriks dilatasi 1, 2% adalah 2 00 2 misal

persamaan kurva semula adalah = )++ !+ + = maka perbayangan ditentukan sebaggai berikut. 8+′_{′; =}2 0_{0 2}0 −1_{1 0}+₌0 −2_{2 0}+ ↔ +₌0 −2_{2 0}38+^^; =3 0 2_{−2 0 8}+ ^ ^; +_{= 5} 0 3 −3 06 8+ ^ ^; = 5 3 ′ −3+′6 Didapat + =3 ^>)Z = − 3

+^ subsitusikan keduanya kedalam persamaan kurva

= )+_{+ !+ + = >$f ℎ;} ↔ −3+^_{= )}3 ′ + ! 3′ + = ↔ −3+^₌ 3 )(′)+ ! 3′ + = ↔ +^_{= −}3 )(′)− !^− 2=

persamaan garis bayangannya adalah; = −1_{2 )(}^₎ _{− !}^_{− 2= ↔ + = −2= − !−}

= −1_{2 )(}^₎_.

Karena persamaan bayangannya adalah + = 2 + − maka = = −1, ! = −1, ) = 2. Dengan demikian persamaan kurva semula adalah

= 2+_{− + − 1.}

Jawaban : E

16. Rumus dasarnya :

.(+, ) → .(+, )... (1)

Pencerminan terhadap garis y = x : .(+, ) → .( , +)... (2)

Dari (1) dan (2) maka :

+ = >)Z = + ... (3) Substitusi (3) kegaris = 2+ + 2

+ = 2 + 2 ⟺ 2 = + − 2 =− 1

Hasil pencerminannya adalah =

− 1

(30)

17. 1. Rotasi terhadap R (0, ) = cos − sin sin cos

Maka rotasi terhadap R (0, 180D) = cos 180D − sin 180D sin 180D _{cos 180}D

= −1 0 0 −1

Rotasi sudut – sudut yang lain dapat dihitung sendiri menggunakan kaidah trigonometri. 2. Pencerminan terhadap garis = −+

. (+, ) → . (−, −+) matriksnya −1 0_{0 −1}

Bayangan oleh rotasi 0, 180D%, kemudian dilanjutkan oleh pencerminan terhadap garis = −+ adalah : ₌+ −1 0_{0 −1} 0 −1 −1 0 + = 0 1 1 0 + = (, +) + = ; = +

Substitusikan pada kurva = +− 2+ − 3 + = _{− 2+ − 3}

⇒ + = _{− 2+ − 3}

Jawaban: D

18. Misalkan [ = 3 1

0 1 maka luas bayangan atau transformasi ∆ ABC = |det | x luas ∆ ST |det [| = |)> − !=| = |3 − 0| = 3 Luas ∆ ST: Luas ∆ ST =3 ))d + $Z$ = 3 + S + ST = 3 + 4 + 3 = 6

Luas bayangan/ transformasi ∆ ST = |det [|+ ")d ∆ ST = 3 + 6

= 18 d)")Z

Jawaban: E

19. Dilatasi 0,3#%

0,3#% ∶ . (+, ) ⟶ . (3+, 3) Rotasi pusat O bersudut Y

( <0, Y ? . (+, ) → . – , + 0,3% (−, +) . (+, ) → . (3+, 3) → . (−3, 3+)

(31)

Sehingga : . (+, ) → . (−3, 3+) . (−1, 2), W (3, 2), ((3, −1), X (−1, −1) . (−1,2) → .′ (−6, −3) W (3,2) → W^_(−6,9) ( (3, −1) → (^_(3,9) X (−1, −1) → X^_{(3, −3)}

Sehingga luas transformasinya adalah :

Panjang (p) x lebar (l) = 12 x 9 = 108 satuan luas

Jawaban: E

20. Pencerminan terhadap sumbu x :

. (+, ) → . (+, −) Dilatasi terhadap titik pusat 1 (0,0) dengan faktor skalar 3 : 1, #% ∶ . (+, ) → . (#+, #)

1, 3#% ∶ . (+, ) → . (3+, 3)

Pencerminan terhadap sumbu x dilanjutkan dilatasi dengan pusat O dan faktor skalar 3 : . (+, ) → .^_{(+, −) → . (3+, −3)}

+′ = 3+ ⇒ + = 1_{3 +′} ^_{= −3 ⇒ = −}1

3 ′

Substitusi pada persamaan = + − 3+ + 2 menjadi : −1_{3 ′ = 8}1_{3 +}^_;_{− 3.}1 3 +′ + 2 ⇔ −1₃^₌1 9 +^− +^+ 2 |+9| ⇔ −3 = +′_{− 9+}^_{+ 18} ⇔ 3^_{+ +}_{− 9+}^_{= 0 ⇒ 3 + +} _{− 9+ + 18 = 0} stutvtw ∶  21. Penyelesaian: [ = 2) :. (4,1) → .^_{(−2), −4)} .^_{(−2), −4) = .}^_{2 + 4, ) + (−1)} Jadi : −2) = 6 dan ) + (−1) = −4 ) = −3 ) = −3 Jawaban: A 22. Penyelesaian: [ = )! ∶ . (3,5) → : P (3,5) .^_{((3 + ), 5 + !) = .}^_{(2, −4)} Sehingga diperoleh :

(32)

3 + ) = 2 → ) = −1 5 + ! = −4 → ! = −9 Jadi transslasi [ = 3_E Jawaban : E 23. Penyelesaian: 8+′_′;= +₊2 3

Dengan demikian +^= + + 2 → + = +^− 2, dan ^_{= + 3 → + =}^_{− 3}

Dengan mensubtitusikan + = +^− 2 dan + = ^− 3 pada persamaan garis, Diperoleh:

^_{− 3 = (+}^_{− 2) + 5}

^_{= +}^_{− 2 + 5 + 3}

^ _{= +}^_{+ 6}

Jadi, persamaan bayangan garis = + + 5 oleh translasi 23 adalah = + + 6

Jawabann: C

24. Penyelesaian :

H = . (3, −5) → .^(+^, ′)

Kita gunakan persamaan matriks untuk menentukan +^ dan ′ 8+′_′; = 1 0 0 −1+ ⟺ 8+′ ′; = 1 00 −1 3−5 ⟺ 8+′ ′; = 8 1.3 + 0 (−5)0.3 + (−1)(−5); = 35

Jadi bayangan titik (3, −5) oleh pencerminan terhadap sumbu + adalah ^(3, 5)

Jawaban: A 25. Penyelesaian: 8+′_′; = 0 −1 −1 0 + ⟺ 8+′ ′; = 0 −1−1 0 −37 ⟺ 8+′_′; = 80. (−3) + (−1). 7 (−1)(−3) + 0.7 ; ⟺ 8+^^; = −7₃

Jadi, bayangan titik . (−3, 7) oleh pencerminan terhadap garis = −+ adalah .^_{(−7, 3)} Jawaban: D 26. Penyelesaian: 8+′_′; = 0 −1 1 0 + ⟺ 8+′_′; = 0 −1 1 0 21 ⟺ 8+′ ′; = −12

Dengan demikian +^= −1 dan ^ = 2

Jadi bayangan titik (2, 1) oleh rotasi terhadap titik 1 (0,0) sejauh 90D berlawanan arah putaran jam adalah ^(−1, 2)

(33)

27. Penyelesaian:

Misalkan koordinat titik A adalah ( x, y ). 8+′_′; = cos − sin

sin cos + Karena = 45D, maka 8+′′;=cos 45 − sin 45sin 45 cos 45

+ ⟺ 8−√2 √2 ; = 5 3 √2 − 3 √2 3 √2 3 √2 6 + ⟺ 8−√2 √2 ; = 5 3 √2+ −3a2 3 √2+ 3 √2 6 Dengan demikian , 3 √2+ − 3 a2 = −√2 … … … . (1) 3 √2+ +3a2 = √2 … … … . (2)

Dengan menyelesaikan persamaan 1 dan 2 diatas,diperoleh x=0 dan y=2. Jadi koordinat titik A adalah (0,2)

Jawaban : B 28. 8+ ′ ′;=0 −11 0 8+ − 2 − 4; + 24 ⟺ 8+′′;=4 − + + 2 + 24 ⟺ 8+′′;=6 − + + 2

Dengan demikian +′ = 6 − ⟶ = 6 − +′dan y′ = x + 2 ⟶ x = y′− 2 Dengan mensubsitusikan + = ′− 2 dan y = 6 − x′pada persamaan ,diperoleh; (′− 2) − 2(6 − +′) = 5

′− 2 − 12 + 2+′= 5

+′+ ′ = 5 + 2 + 12

+′+ ′ = 19

Jadi ,persamaan bayangan garis + − 2 = 5 oleh rotasi sejauh 90°terhadap titik(2,4) berlawanan arah putaran jam adalah 2+ + = 19

Jawaban : B 29. ⇔. 8+′ ′;=−3 00 −3 −1 − 4 + 2 − 3 34 ⇔. 8+′_′;=−3 0_{0 −3}−1_{−5 +}3₄ ⇔. 8+′′;= 315 + 34 ⇔. 8+′_′;=₁₉6

Dengan demikian +, = 6 dan , = 19

Jadi , banyangan titik P (2, 1) oleh dilatasi terhadap titik pusat A (3, 4 )adalah ., ( 6, 9 )

Jawaban : C

30. 8+′_′;=) ! = > + 37=) != > 32

(34)

⇔. 37=3) + 2!3= + 2> Dengan demikian 3) + 2! = ⋯ … … … . ..(1) 3= + 2> = 7 … … … . . . (2) Untuk titik W 14=) != > 11 ⇔. 14=) + != + > Dengan demikian ) + ! = 1 … … … . . . . (3) = + > = 4 … … … . … . (4)

Dengan menyelesaikan persamaan 1 dan 3 diperoleh ) = 1 dan ! = 0,dengan menyelesaikan persamaan 2 dan 4diperoleh = = −1 dan > = 5.jadi ,matriks yang bersesuaian dengan transformasi itu adalah:

1 0_{−1 5} Jawaban : B 31. Misalkan [_3o06 Dan [ = 2 −4 T = T oT_3o 2 + 0_{−4 + 6 =}2₂ 8+′_{′; =}+₊2₂ ⟺ 8+′_{′; = 8}+ + 2_{+ 2;}

Dengan demikian +′ = + + 2 → + = +′− 2 dan ′ = + 2

Dengan mensubsitusikan + = +′− 2 dan = ′− 2 kepersamaan = 2+ − 3 diperoleh :

′− 2 = 2(+′− 2) − 3

⇔ ′− 2 = 2+′− 4 − 3

⇔ ′ = 2+′− 5

Jadi persamaan garis bayangan adalah = 2+ − 5

Jawaban : C

32. H_o} H_o = W(+, ) → W"(2(Z − ) + +, )

Ho4 Ho3= W(5,1) → W"(2(−3 − 1) + 5,1 = W"(−3,1)

Jadi bayangan adalah W′(−3,1)

Jawaban : C

33. H_¡o¢ H_o£ = H_o£ o M_¥o¦ = M ((P, Q)) H o3 o M¥o4= M ((3,1))

Pencerminan terhadap garis + = 3 dilanjutkan terhadap garis = 1 ekuivalen dengan pencerminan terhadap titik (3,1)

H(,) ∶ ( (+, ) → (′(2) − +, 2) − )

H(4,3) :((2, −5) → (′(2.3 − 2, 21— 5 = (′(4,7)

Dengan demikian

(35)

Jadi bayangan adalah R’(4,7) Jawaban D 34. Matriks H = <1 0 0 −1? dan M« = <−1 00 1? Matriks H o H_« = H_¥× M_« = <1 0_{0 −1? × <}−1 0_{0 1?} = <−1 0_{0 −1?} 8+′_{′; = <}−1 0 0 −1? + ¬+′_{′ = <}−+_−? Dengan demikian +′ = −+ → + = −+′dan ′= − → = −′

Dengan mensubsitusikan + = −+′>)Z = −′ kepersamaan + + = 3

Diperoleh ;

(−+′) + (−′) = 3 ↔ −+′− ′= 3

+′+ ′= −3

Jadi persmamaan bayangan adalah + + = −3

Jawaban B

35. Langkah 1:

= 2+ − 3 direfleksikan terhadap garis = −+ matriks yang bersesuaian dengan = −+ = 0 −1_{−1 0} 8+^^; = 0 −1_{−1 0}+ 8+′_{′; =}−₋₊ Dengan demikian: +^_{= − → = +}^ ^ _{= −+ → + = −}^ = 2+ − 3 opqqr − + = −2 − 3 Langkah 2:

−+ = −2 − 3 direfleksikan terhadap garis = +.

Matriks yang bersesuaian dengan. = + = 0 1_{1 0} 8+′_{′; =}0 1_{1 0}+ 8+′_{′; =}₊ Dengan demikian +^= ^_{= +} −+ = 2 − 3 opqr − = 2+ − 3

(36)

− 2+ − 3 = 0 Jawaban : C 36. Matriks H= 1 0 0 −1 dan ( (0, 90D) = 0 −11 0 Matriks ( = (0, 90) + H = 0 −1 1 0 1 00 −1 = 0 11 0 8+′_{′; =}0 1_{1 0}+₌₊

Dengan demikian +′ = dan ′ = +

Dengan mensubstitusikan +′= dan ′ = + kepersamaan 2+ − − 6 = 0 diperoleh 2 − + − 6 = 0

+ − 2 − 6 = 0

Jawaban : E

37. garis 4 + 3+ − 2 = 0 ditransformasikan oleh matriks 0 −1

1 1 dilanjutkan oleh 1 1_{1 −1} 8+′_{′; =}1 1_{1 −1}0 −1_{1 1}+ 8+′_{′; =}_{−1 −2}1 0 +_{... (1)} +₌_{−1 −2}1 0 3 8+′_′; = − 3 2_{−1 −1 8}0 +′_′; −3 2_{−1 −1 8}0 +′_{′; = −}3 2_{−1 −1}0 _{−1 −2}1 0 + ®−1 03 3¯ 8+′′; = = − 3 2 00 2 + ®₋3 −+′ +^+ 3^¯ = −+ − = ®3 +′ +^ − 3 ^¯ = +

Hasil transformasi garis 4 + 3+ − 2 = 0 adalah 4 ®3 +′ +^ − 3 ^¯ + 3 (+′) − 2 = 0 −2+^_{− 2}^_{+ 3+}^_{− 2 = 0} +^_{− 2}^_{− 2 = 0} + − 2 − 2 = 0

(37)

Jadi persamaan bayangannya adalah + − 2 − 2 = 0

Jawaban : C

38. Diketahui kurva = +− 3 dicerminkan terhadap sumbu −Q kemudian 0, 2% Ditanyakan bayangan akhir kurva

Matriks yang berhubungan dengan refleksi terhadap sumbu – Q adalah 1 0 0 −1 Matriks yang berhubungan dengan 0,2 % adalah 2 0

0 2

Dengan demikian matriks yang berhubungan dengan transformasi refleksi terhada sumbu – Q dilanjutkan 0,2 % adalah

2 0_{0 2}1 0_{0 −1 =}2 0_{0 −2}

Bayangan x dan y oleh transformasi diatas adalah 8+′^^^; = 2 0_{0 −2}+ = 8 2+_−2; +^^ _{= 2+, maka + =}3 +′′ ... (1) ^^ _{= −2, maka = −}3 ′′ ...(2)

Substitusikan (1) dan (2) ke persamaan kurva = +_{− 3} −3^^₌3 +′′ − 3 −3^^₌3 (+′′)− 3 ^^ _{= 6 −}3 (+′′) Atau = 6 − 3 +

Jadi bayangan kurva oleh transformasi diatas adalah = 6 − 3

+

Jawaban : D

39. misalkan

[3 = transformasi yang bersesuaian dengan matriks

H3 = 2 0_{−1 3}

[ = transformasi pencerminan terhadap sumbu Y

H = −1 0_{0 1}

Persamaan garis 4+ − + 5 = 0 ditransformasikan oleh [₃ kemudian oleh [. ([ [₃) Komposisi transformasi [ [₃ bersesuaian dengan perkalian matriks H. H₃, yaitu

(38)

H. H3 = −1 0_{0 1}_{−1 3}2 0 Bayangan 8+′_{′; =}−1 0_{0 1}_{−1 3}2 0 + = −2 0_{−1 3}+ = 8 −2+_{−+ + 3;} +^_{= −2+ → + = −}3 +′ ^_{= −+ + 3} Dengan mensubstitusikan + = −3

+′ pada ^= −+ + 3 maka diperoleh:

^₌_{− −}3 +^ + 3 ^₌3 +^+ 3 ^_-3 +^ = 3 = 3₄^₋3 7+^ Substitusikan + =3

+^ dan = 34^− 37+^ pada persamaan garis 4+ + =

50 diperoleh: 4 −3+^₋3

4^− 3

7+^ + 5 = 0 kalikan kedua ruas dengn 6, sehingga di peroleh:

12+^_{− 2}^_{+ +}^_{+ 30 = 0}

−11+^_{− 2}^_{+ 30 = 0}

11+^_{+ 2}^_{− 30 = 0}

Jadi persamaan bayangan garis 4+ − + 5 = 0 adalah 11+ = 2 − 3 = 0

Jawaban: D 40. Rotasi ,Y = 0 −11 0 Dilatasi (0,2) = 2 0 0 2 Rotasi ,Y

dilanjutkan dengan dilatasi (0,2) bersesuaian dengan matrik:

2 0_{0 2}0 −1_{1 0}+_{= 8}+^^; 0 −2_{2 0}_{= 8}+ +^^; ₌+ 3 0 2_{−2 0 = 8}+^^; _{= 5}+ 3 ^ 3 +^ 6 +^_{= −2} ^_{= 2+}

Dimisalkan persamaan peta suatu kurva oleh rotasi (0, 90°) dilanjutkan dilatasi(0,2) adalah +^= 2 + ^− ^ maka persamaan kurva semula :

+^_{= 2 +}^₋^ ⇔ −2 = 2 + 2+ − (2+₎ ⇔ −2 = 2 + 2+ − 4+ : 2 = 2+_{− + − 1} Jawaban : E