MATERI GESERAN (TRANSLASI) 6A

GESERAN ( TRANSLASI )

DI SUSUN OLEH

:

KELOMPOK

: 6 ( ENAM )

NAMA

: HERMANSYAH

( 4007002

)

: EKA ERLINAWATI

( 4007020 )

: LUSI ZULAIHA

( 4007027 )

: WENI WULANDARI

( 4007039

)

: HOIRI

( 4006134

)

SEMESTER

:VI . A

M. KULIAH

: GEOMETRI TRANSFORMASI

DOSEN: FADLI, S.Si.,M.Pd

y

PERSATUAN GURU REPUBLIK INDONESIA ( STKIP - PGRI ) LUBUK LINGGAU

TAHUN AKADEMIK 2009/2010 GESERAN ( TRANSLASI )

1. Pengertian Translasi

Translasi adalah suatu transformasi yang memindahkan semua titik pada bidang dengan jarak yang sama dan arah yang sama.

Definisi : Suatu padanan G dinamakan suatu geseran apabila ada garis berarah _AB´

sehingga setiap titik P pada bidang menjadi G(t) = P’ dan⃗_PP'= ⃗_AB

Teorema 10.1

Andaikan g dan h dua garis yang sejajar. Apabila ada dua titik A dan B maka ⃗_{AA ¿ =} ⃗_{BB¿ dengan A}’’ _{= M}

hMg ( A ) dan B’’ = MhMg (B).

Andaikan A= ( a1,a2 ) dan B= ( b1 ,b2 ). Kalau N tengah-tengah ruas garis ⃗AB¿

maka harus dibuktikan SN ( A ) = B”. Andaikan persamaan h adalah x = k ( k ≠0¿.

Apabila P = ( x,y ) dan P’ = Mh (P) maka PP´ memotong h di sebuah titik Q ( k,y )

dengan Q sebagai titik _PP´ _{, jadi P’ = Mh P = ( 2k-xy ) sedangkan Mg P = ( -x,y ).}

Jadi MhMg (P) = Mh [ ( -x,y ) ] = ( 2k + x,y ).

Jadi pula A” = MhMg (A) = ( 2x + a1.a2 )

B” = MhMg (B) = ( 2x + b1.b2 )

Oleh karena N titik tengah _A´_{B¿, maka}

N =

[

(2k+₂a1)+b1,a2+₂b2

]

Sedangkan SN (A) =

[

2

[

(2k₂+a1)

]

−a₁.2

[

a2+₂b2

]

−a₂

]

SN (A) = ( 2k + b1.b2 ) = B”

Dengan demikian maka⃗_{AA ¿ +} ⃗_BB¿

Disetiap ruas garis berarah, dengan pangkal sebuah titik dan akhir di titik petanya oleh MhMg adalah ekivalen dengan setiap garis berarah seperti di atas. Jadi hasil

transformasi MhMg seakan-akan penggeser setiap titik sejauh jarak dan searah.

Transformasi demikian dinamakan translasi.

Teorema 10.2 : Apabila ⃗_{AB =}⃗_{CD maka Gab = Gcd}

Bukti : Jika X sebarang, maka harus dibuktikan GAB (X) = GCD (X).

Andaikan GAB (X) = X1 dan GCD (X) =X2

Jadi _XX´

1 = AB´ dan XX´ 2 =CD´

Contoh :

Diberikan tiga titik A, B, dan P yang tak kolinear.

Lukisllah :

a). Titik P’ sehingga GAB (P) = P dan

b). Titik P” sehingga GAB (P”) = P

PENYELESAIAN :

a) Karena GAB (P) = P’ maka PP'´ = AB´ atau AB´ = PP'´ . Dengan

pengetahuan ruas garis berarah,anda dapat lukis titik P’ yang memenuhi syarat di atas.

b) Karena P = GAB (P”) maka P´P¿ = AB´ atau AB´ = P´P¿ juga dengan

pengetahuan anda mengenai ruas garis berarah anda dapat melukis titik P” yang memenuhi syarat di atas.

Teorema 10.3 : Andaikan g dan h dua garis yang sejajar dan _CD´ _{sebuah garis}

berarah tegak lurus pada g dengan Cϵ g dan Dϵ h.

C” =MhMg

C

D

C

g P

P

B

Bukti : Andaikan P sebuah titik sebarang. Jika P’ = GAB (P) dan P” = MhMg (P).

maka harus dibuktikan bahwa P’ = P”

Menurut ketentuan geseran, _PP'´ _=AB´ _{. Oleh karena AB}´ _{=2 CD}´ _{, maka AB}´ _=2CD´ _.

Berhubung C” = MhMg (C), C∈g. Maka C” = Mg (C). Jadi D adalah titik tengah

´

CC¿ sehingga CC´ ¿ = 2CD´ . Oleh karena CC´ ¿ = PP´ ¿ maka PP´ ¿ = 2CD´ = PP´ . Ini berarti bahwa P’=P”. Jadi GAB (P) = MhMg (P). Karena P sebarang, maka GAB = MhMg.

Teorema 10.4 : Jika GAB sebuah geseran maka (GAB)-1 = GBA

Bukti : Oleh karena himpunan isometri-isometri merupakan grupbagian dari grup tranformasi-transformasi. Maka setiap geseran memiliki balikan (GAB)-1. Dari

uraian diatas kita peroleh berturut-turut :

Maka CD ruas garius berarah dari k ke n. Oleh karena _AB´ _=2CD´ _{maka GAB =}

MmMk. Sedangkan SD = MmMg dan Sc = MgMk.

Jadi : SDSC = ( MmMg ) (MgMk ) = Mm ( MgMg ) Mk

Atau : SDSC = Mm I Mk = MmMk

Dengan demikian GAB = SDSC

Contoh :

Jika A ( 3,-1 ), B ( 1,7 ) dan C ( 4,2 ) adalah titik yang diketahui, tentukan sebuah titik D sehingga GAB = SDSC

Penyelesaian : Andaikan E sebuah titik sehingga _CE´ _{= AB}´ _{. Maka}

E = ( 4 + [ 1-3 ], 2 + [ 7- (-1) ] ) atau E = ( 2,10 )

Apabila P titik tengah _CE´ _{maka D = ( 3,6 ), sehingga CE}´ _{= 2 CD}´

Jadi _AB´ _{= 2 CD}´

Menurut teorema 10.5 diperoleh GAB = SDSC maka titik D yang dicari adalah

( 3,6 )

Teorema 10.6 : Komposisi suatu geseran dan suatu setengah putaran adalah suatu setengah putaran.

Bukti : Andaikan GAB suatu geseran dan C sebuah titik sebarang. Andaikan E titik ( yang tunggal ) sehingga _CE´ _{= AB}´ _{. Andaikan D titik tengah CE}´ _{maka CE}´ ₌₂

´

CD.

Menurut teorema 10.5 : GAB = SDSC

A

D C

B

B

A _C

O

P _R

E

E’

E Akibat : Andaikan SA , SB dan SC masing-masing setengah putaran, maka SCSBSA =

SD dengan D sebuah titik sehingga AD´ = BC´ .

Bukti : Kita peroleh berturut-turut : SCSB = GZBC . Jadi SCSCSA = GZBCSA.

Andaikan GZBCSA = SX maka 2 BC´ = 2 AX´ atau BC´ = AX´

Jadi SCSBSA = SD sehingga BC´ = AD´ .

Perhatikan dua geseran GAB dan GBC , maka GBC (A) = B dan GBC (B) = C, sehingga

dapat kita tulis bahwa GBCGAB (A) = C.

Apabila E titk sebarang, maka GAB(E) = F dengan EE´ = AB´ . Sedangkan GDC (E)

= E” sehingga _{EE '}´ _{= BC}´ _.

Jika GBCGAB (E) = E” denganEE´ ¿ = AC´ , sehingga GEE”(E) = E” = GAC (E).

Jadi GACGAB = GAC.

Andaikan P.Q dua titik sehingga 2 _PQ´ _{= AB}´ _{dan titik g sehingga 2 QR}´ _{= BC}´

GAD = SQSP dan GBC = SRSQ

Sehingga GBCGAB = ( SRSQ ) ( SQSR ) = SRSQ

Oleh karena 2 _PR´ _{= AC}´ _{maka SQSR = GAC}

Jadi GBCGAB = GAC

Berdasarkan penguraian diatas terbukti teorema berikut :

Teorema 10.7 : Hasilkali dua transiasi adalah sebuah translasi.Catatan : Apabila

´

CD = _BA´ _{maka GABGCD = GABGBA = I. Disini I adalah transformasi identitas. Jadi}

kalau _CD´ _{= BA}´ _{maka kalau I dianggap sebagai translasi.}

Teorema 10.8 : Jika GOA sebuah translasi yang ditentukan oleh titik O ( 0,0 ) dan

A ( a,b ) dan T transformasi yang didefinisikan untuk semua titik P ( x,y ) sebagai T (P) = ( x + a,y + b ) maka T = GOA .

b) Tentukan persamaan garis-garis g dan h sehingga C ε g dan sehingga MhMg=GAB.

3) G adalah geseran yang ditentukan sebagai berikut :

Jika P = ( x,y ) maka G (P) = ( x+2,y+3).Diketahui C = (1,-7).Tentukan koordinat D sehingga SDSC = G.

4) Jika A = (1,0), B = (2,3) dan C = (3,8) titik-titik yang diketahui, tentukan koordinat-koordinat titik D sehingga GCD = SBSA.

6) Diketahui garis-garis g dan h dan ruas garis _{A B}´ _{seperti pada gambar}

dibawah ini.Gunakan translasi untuk melukis ruas garis _PQ´ _{sehingga Pεg,}

Q ε h dan _PQ´ _{= AB}´

pasangan g dan h tak terhingga sesuai pasangan C dan D sehingga

Dimana:

( GABGBF) ( P ) = GAB[ GBF(P)] = GAB ( ( x3 - x2) + x, (y3- y2)+y)

= ((x1- x0) + ( x3 - x2)+ x,( y1- y0)+ (y3- y2)+y)

= (( x3 - x2)+ (x1- x0)+x, (y3- y2)+ ( y1- y0)+y)

= GEF (x1- x0 + x, ( y1- y0)+y)

= GEF ( GAB (x,y))

= (GEF GAB) ( P). Terbukti

6) Misalkan g’ = GAB(g) dan ambil {Q} = g’ ᴒ h.Kemudian misalkan P =

GAB( Q ), karena Q ε g’, maka P ε g.

Bukti : g’ = GAB (g), {Q} = g’ᴒ h, missal P = GAB (Q) maka Pε g.

GAB (Q) = P => Q => GAB (P), sehingga PQ´ = ´AB.