Artikel Materi Transformasi SMA Kelas XI

(1)

a)

a) Translasi (Pergeseran)Translasi (Pergeseran)

Translasi (pergeseran) adalah pemindahan suatu objek sepanjang garis lurus dengan arah Translasi (pergeseran) adalah pemindahan suatu objek sepanjang garis lurus dengan arah dan jarak tertentu. Misalkan x, y, a dan b adalah bilangan real. Translasi titik A(x,y) dengan dan jarak tertentu. Misalkan x, y, a dan b adalah bilangan real. Translasi titik A(x,y) dengan T(a,b) menggeser ordinat y sejauh b,

T(a,b) menggeser ordinat y sejauh b, sehingga diperoleh titik A′(x+a, y+b), secara notasi ditulis:sehingga diperoleh titik A′(x+a, y+b), secara notasi ditulis:

 



 AA′′++

_{++}

Contoh: Contoh:

Bayangan titik (3,-7) oleh translasi

4422

adalah. adalah. . . . . .. jawab:

jawab:

Misalkan titik P(3,-7) di translasikan oleh T Misalkan titik P(3,-7) di translasikan oleh T

4422

. .

 3377



  PP′′ 33++44

_7+2

_7+2

 3377



 P′P′ 7755

Jadi bayangan titik (3,-7) oleh translasi

4422

adalah (7,- 5) adalah (7,- 5)

b)

b) Refleksi (Pencerminan)Refleksi (Pencerminan)

1)

1) Pencerminan terhadap titik asal (0,0)Pencerminan terhadap titik asal (0,0) Jika titik P(a

Jika titik P(a,b) dicerminkan ter,b) dicerminkan terhadap/ke hadap/ke titik asal (titik asal (0,0) maka banyangannya adalah P′(0,0) maka banyangannya adalah P′(-a,- -a,- b).

b). DituliskanDituliskan

 



 AA′′

,



dengandengan





==

11 00

00 11

. Dengan demikian. Dengan demikian pencerminan terhadap titik O ditunjukkan dengan matriks

pencerminan terhadap titik O ditunjukkan dengan matriks



,

 11 00

(2)

(3)

2)

2) Pencerminan terhadap sumbu x (garis y = 0)Pencerminan terhadap sumbu x (garis y = 0)

Jika titik A(a,b) dicerminkan terhadap sumbu x (garis y = 0) ma

Jika titik A(a,b) dicerminkan terhadap sumbu x (garis y = 0) maka bayangannya adalah A′(ka bayangannya adalah A′(--a,-b). Dituliskan

a,-b). Dituliskan

 





 

AA′′ 

, dengan, dengan

 

= =

11 00

00 11  



 

 11 00

00 11

.. Contoh:

Contoh:

Titik A(3,-5) dicerminkan terhadap sumbu X. koordinat bayangan titik A adalah . . . Titik A(3,-5) dicerminkan terhadap sumbu X. koordinat bayangan titik A adalah . . . Jawab: Jawab:

 



_{ AA′′ }

 

  3355



_{ AA′′(( 33}

 

5

5))

  3355



 

 AA′′3355

Menggunakan matriks Menggunakan matriks

((′′′′))

= =

11 00

00 11 3355

((′′′′))

= =

(( 1.3+0.5

0.3+1.5

0.3+1.5))

1.3+0.5

((′′′′))

= =

3355

3)

3) Pencerminan terhadap sumbu y (garis x = 0)Pencerminan terhadap sumbu y (garis x = 0) Jika

Jika titik A(a,b) dicerminkan terhadap sumbu y (garis x = 0) maka bayangannya adalah A′(titik A(a,b) dicerminkan terhadap sumbu y (garis x = 0) maka bayangannya adalah A′(--a,b). Dituliskan

a,b). Dituliskan

 





 

AA′′



, dengan, dengan





==

11 00

00 11  



 

 11 00

00 11

.. 4)

4) Pencerminan terhadap garis y = xPencerminan terhadap garis y = x

Jika titik A(a,b) dicerminkan terhadap garis y = x maka bayangannya adalah A′(b,a). Jika titik A(a,b) dicerminkan terhadap garis y = x maka bayangannya adalah A′(b,a). Dituliskan

Dituliskan

 



 AA′′



, dengan, dengan



==

00 11

11 00  

. Dengan demikian pencerminan. Dengan demikian pencerminan terhadap titik O ditunjukkan dengan matriks

terhadap titik O ditunjukkan dengan matriks



=

 00 11

11 00

.. 5)

5) Pencerminan terhadap garis y = - xPencerminan terhadap garis y = - x

Jika titik A(x,y) dicerminkan terhadap garis y = - x maka bayangann

Jika titik A(x,y) dicerminkan terhadap garis y = - x maka bayangannya adalah A′(ya adalah A′(-y,-x).-y,-x). Dituliskan

Dituliskan

 



 AA′′

−



, dengan, dengan





= =

 00 11

11 00  

..

Contoh: Contoh:

(4)

((′′′′))

= =

 00 11

11 00  3377

((′′′′))

= =

7733

 



_{ AA′′}

−



 3377



−

 AA′′7733

6)

6) Pencerminan terhadap garis x=hPencerminan terhadap garis x=h

Jika titik A(x,y) dicerminkan terhadap garis y=k, maka bayangannya adalah

Jika titik A(x,y) dicerminkan terhadap garis y=k, maka bayangannya adalah A’(2hA’(2h-x,y).-x,y). Dituliskan

Dituliskan

 



 AA′′((2ℎ



2ℎ

 ))

.. 7)

7) Pencerminan terhadap garis y=kPencerminan terhadap garis y=k

Jika titik A(x,y) dicerminkan terhadap garis y=k, maka ba

Jika titik A(x,y) dicerminkan terhadap garis y=k, maka ba yangannya adalah A’(x,2k yangannya adalah A’(x,2k -y).-y). Dituliskan

Dituliskan

 



 AA′′ 



2

2

.. Contoh:

Contoh:

Tentukan koordinat bayangan, jika titik B(-3,4) dicerminkan terhadap garis dengan Tentukan koordinat bayangan, jika titik B(-3,4) dicerminkan terhadap garis dengan persamaan y = 3.

persamaan y = 3. Jawab:

Jawab:

Bayangan dari titik B(-3,4); Bayangan dari titik B(-3,4);





_{  BB′′ }



2

2

3344



_{  BB′′(( 33}



234

234))

3344





  BB′′3322

8)

8) Pencerminan terhadap titik (a,b)Pencerminan terhadap titik (a,b)

Jika titik A(x,y) dicerminkan terhadap titik (a,b), maka ba

Jika titik A(x,y) dicerminkan terhadap titik (a,b), maka ba yangannyayangannya adalah A’(2aadalah A’(2a-x,2b-y).-x,2b-y). Dituliskan

(5)

c)

c) Rotasi (Perputaran)Rotasi (Perputaran)

1)

1) Rotasi terhadap titik pusat O(0,0)Rotasi terhadap titik pusat O(0,0)

Jika titik P(x,y) diputar sebesar θ berlawanan arah putaran jam terhadap titik pusat O(0,0) Jika titik P(x,y) diputar sebesar θ berlawanan arah putaran jam terhadap titik pusat O(0,0) maka diperoleh bayangan P′(

maka diperoleh bayangan P′(x′, x′, y′) dengan x′ = y′) dengan x′ = x cos θ x cos θ – – y sin θ dan y′ = x sin θ + y cos θ,y sin θ dan y′ = x sin θ + y cos θ, dituliskan

dituliskan

→P′(

→P′(x′x′y′y′)P′(

)P′( x cos θ – y sin θ

x cos θ – y sin θ

x sx sin in θ θ + + y cy cos os θθ))

. Sedangkan. Sedangkan

P′P′(( x co

x cos θ –

s θ – y sin θ

y sin θ

x sx sin θ

in θ + + y cy cos os θθ))

= =

ccoos s θθ ssiin n θθ

_{ssiin n θθ ccoos s θθ }



Contoh: Contoh:

Titik A(2,1)dirotasikan terhadap titik O(0,0) sejauh 90 derajat berlawanan arah putaran jam. Titik A(2,1)dirotasikan terhadap titik O(0,0) sejauh 90 derajat berlawanan arah putaran jam. Bayangan titik A….

Bayangan titik A…. Jawab: Jawab:

((x′x′y′y′))00 11

11 00 

xxyy

((x′x′y′y′))00 11

11 00 2211

((x′x′y′y′))1122

 2211



[,9]

 AA′′1122

2)

2) Rotasi terhadap titik pusat A(a,b)Rotasi terhadap titik pusat A(a,b)

Jika titik P(x,y) diputar sebesar θ berlawanan arah pu

Jika titik P(x,y) diputar sebesar θ berlawanan arah putaran jam terhadap titik pusat A(a,b)taran jam terhadap titik pusat A(a,b) maka diperoleh

maka diperoleh bayangan P′(x′, bayangan P′(x′, y′) dengan y′) dengan x′x′ - a = (x- a = (x – – a) cos θ – a) cos θ – (y (y – – b) sin θ b) sin θ dan dan y′y′ - b =- b = (x

(x – – a) sin θ + (y – a) sin θ + (y – b) b) cos θcos θ, dituliskan, dituliskan

→P′(

→P′(xx

_yy





_{bb)P′}

)P′x –

_{x x – – a a sin}

x – a c

a cos θ

_{sin θ θ + + y y – – bc}

os θ – – y y – – b si

b sin θ

_{bcos os θθ}

n θ

. Dengan. Dengan

P′P′x –

_{x x – – a a sin}

x – a c

a cos θ

_{sin θ θ + + y y – – bc}

os θ – – y –

y – b si

b sin θ

_{bcos os θθ}

n θ

==

ccoos s θθ ssiin n θθ

ssiin n θθ ccoos s θθ 

xx

yybb++

Contoh: Contoh: Jika garis x

Jika garis x – – 2y = 5 diputar sejauh 90 derajat thdp titik (2,4) berlawanan arah putaran jam, 2y = 5 diputar sejauh 90 derajat thdp titik (2,4) berlawanan arah putaran jam, maka persamaan bayangannya adalah….

maka persamaan bayangannya adalah…. Jawab:

Jawab:

((x′x′y′y′))00 11

11 00 

yybb

xxaa

++

aabb

(6)

Dgn demikian Dgn demikian x’ = x’ = -y + 6-y + 6y = -x+ 6y = -x+ 6 y’ = x + 2 y’ = x + 2  x = y - 2 x = y - 2 Subsitusikan ke garis Subsitusikan ke garis x x – – 2y = 5 2y = 5 (y (y – – 2) 2) – – 2 (-x + 6) = 5 2 (-x + 6) = 5 y y – – 2 + 2x -12 = 5 2 + 2x -12 = 5 2x + 2x + y y -14 = -14 = 55 2x + y = 5 + 14 2x + y = 5 + 14 2x + y = 19 2x + y = 19

Jadi persamaan bayangannya adalah 2x + y =19 Jadi persamaan bayangannya adalah 2x + y =19

d)

d) Dilatasi (Perkalian)Dilatasi (Perkalian)

1)

1) Dilatasi dengan pusat O(0,0) dan faktor skala k adDilatasi dengan pusat O(0,0) dan faktor skala k ad alahalah

 ,,



 A′A′

[,]



,,′′

,,

′′′′k

k

Contoh: Contoh:

Titik A(1,2) bila didilatasikan dengan skala 2 dan pusat (0,0) dilanjutkan dengan dilatasi Titik A(1,2) bila didilatasikan dengan skala 2 dan pusat (0,0) dilanjutkan dengan dilatasi skala

-skala -3 dan pusat (0,0) adalah…3 dan pusat (0,0) adalah… Jawab: Jawab:

 1, 1, 22



_{ A′A′}

[,]

_

_{, , ′′}

((′′′′)k

)k

((′′′′)2

)21122

 1, 1, 22



[,]

 A′A′2, 2, 44((′′′′))  2244

Selanjutnya, Selanjutnya,

′ ′2, 2, 44



_{ AA′′′′}

[[,−

,−]]

_

_{, , ′′′′}

((′′′′′′′′)3

)32244

((′′′′′′′′))6612

12

′ ′2, 2, 44



_{ AA′′′′6, 12}

[[,−

,−]]

_{6, 12}

Jadi dilatasinya adalah (-6,-12) Jadi dilatasinya adalah (-6,-12)

(7)

2)

2) Dilatasi dengan pusat P(p,q) dan faktor skala k Dilatasi dengan pusat P(p,q) dan faktor skala k adalahadalah

 ,,





[[,

,,],]

A′A′



,,′′

,,

′′′′k

k

_{++}

Contoh: Contoh: Lingkaran

Lingkaran





++



24200

didilatasikan dengan faktor skala -1 d didilatasikan dengan faktor skala -1 dengan pusat rotasiengan pusat rotasi pada titik (1,-5). pada titik (1,-5). Jawab: Jawab: